成都市石室中學2023-2024學年度上期高2024屆一診模擬文科數(shù)學試卷（含答案）

成都某中學2023-2024年度上期高2024屆一診模擬

數(shù)學試題（文）

（總分：150分，時間：120分鐘）

第I卷（共60分）

一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）

1.已知集合/=例、=218=1€刈2*-3區(qū)1},則,08=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.[1,2]

2.已知純虛數(shù)z滿足目=|3+4i|,則zi=（）

A,±5B.3-4iC.-4+3iD.±5i

3.某公司一種型號的產品近期銷售情況如表:

月份X23456

銷售額y（萬元）15.116.317.017.218.4

根據(jù)上表可得到回歸直線方程_P=0.75x+）,據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產品的銷售額約為（）

A.18.85萬元B.19.3萬元C.19.25萬元D.19.05萬元

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體最長的棱長為（）

A.MB.V14C.>/13D.屏

5.下列說法正確的是（）

A.已知非零向量a，b>C>若a,C=6,C，則a=b

B.設x,yeR,則“是“xz2且的充分不必要條件

C.用秦九韶算法求這個多項式/（》）=十+2/-3/+4必一x+1的值，當

x=2時，匕的值為14

D.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”是兩個

互斥且不對立的事件

6.已知2sina-sin夕=百，2cosa-cos/7=1,則cos（2a-2p）=（）

A1R厲C-n-

',飛B'—CI4D，-8

1

7.公差為d的等差數(shù)列｛q｝的首項為《，其前〃項和為可，若直線y=4x+加與

圓（x-2）2+y=l的兩個交點關于直線y=-±廣對稱,則數(shù)列，U,的前100項和

I〃J

等于（）

100°9998

A.---B.---C.—D.1

10110099

混，氏+/66。/￡1^）的圖象如圖所示，

8.己知函數(shù)f（x）=則（)

A.a>0,fe>0,c<0,d<0B.a<0,6>0,c<0,d>0

C.aVO,6>0,c>0,rf>0D.a>0,bVO,c>0,d>0

9.如圖，棱長為2的正方體488-4國QA中，點P在線段皿上運動,以下四個命

題:

①三棱錐。-應匕的體積為定值：②G尸，C弁；③若Pe平面月BCD,則三棱錐G-HD

的外接球半徑為6：④|c/|+|DP|的最小值為0+百.其中真命題有（）

A.B.(D@@c.(D?@@D.@@

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出N的值與下面的哪個數(shù)最接近？（）

A.%B,至工5,103D,烏

Cr.P

999

11.已知函數(shù)f（x）=（lnx）2xlnx+gf有三個零點和和與，且玉＜馬＜工3，則

2e

生++色土_+嶼的取值范圍是（）

A.一,0B.C.D.

e-5°

12.已知雙曲線--/=1的右焦點為廣，河（5.60）,直線MR與拋物線V=4x的準

3

線交于點N,點P為雙曲線上一動點，且點P在以為直徑的圓內，直線與以

為直徑的圓交于點M,。，則花上仆|尸。|的最大值為（）

A.80B.81C.72D.71

第卷（共分）

II90甲隊乙隊

二、填空題（本題共4道小題，每小題S分，共20分）7o89

2

13.拋物線y=-x的焦點坐標為2219y

0x258

2

13

14.如圖所示的莖葉圖記錄著甲、乙兩支籃球是各6名球員某份比賽的得分數(shù)據(jù)(單位：分).若這兩組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則乂+y=.

15.在等腰直角三角形中，AB=2,M為斜邊BC的中點，以M為圓心，曲為半徑作就，點P在線

段BC上，點。在三上，則|萬+誠|的取值范圍是.

16.已知函數(shù)/(x)=，-er-2sinx,不等式f{a-x1")+"2Inx+x)W0對任意的xe(0,+8)恒成立,

則a的最大值為.

三、解答題(本題共6道小題，共70分)

17.(本小題滿分12分)已知向量石=(sinx,l),3=(、/5cosx,-2),函數(shù)f(x)=(石+孫石.

(1)若石〃6，求COS2K的值；

(2)。，b,c為A43C的內角/,B,。的對邊，a=2,且〃/)=；,求A48C面積的最大值.

18.(本小題滿分12分)下圖甲是由直角梯形/8CD和等邊三角形組成的一個平面圖形，其中

AB1BC,AD=2BC=2AB=2,將

ACDE沿CD折起使點E到達點P的位

圖乙)，使二面角P-CD-8為直二面角.

(1)證明：AC上PD；

(2)求點B到平面PAC的距離.

19.(本小題滿分12分)石室中學社團為慶祝石室中學2166年校慶，為同學們準備了禮物，計劃采用無人

機空投的形式發(fā)放，進行游戲.現(xiàn)有甲、乙兩種類型無人機性能都比較出色，但為了確保實際空投過程中的

學生安全得到保障，需預先進行測試。現(xiàn)在社團分別收集了甲、乙兩種類型無人機在5個不同的地點測試

的某項指標數(shù)七，y,(i=L2,3,4,5),數(shù)據(jù)如下表所示:

地點1地點2地點3地點4地點5

甲型無人機指標數(shù)X24568

乙型無人機指標數(shù)y34445

(1)試求y與x間的相關系數(shù)r,并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系；(若卜|>0.75,則線性

3

相關程度很高)

(2)從這5個地點中任抽2個地點，求抽到的這2個地點，甲型無人機指標數(shù)均高于乙型無人機指標數(shù)的

概率.

卮?0.95.

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/'(x)=ox2-xcosx+sinr-l.

(1)若a=l時，求曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)若a=l時，求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；

(3)若對于任意xw0,；,f(x)Nl-2。恒成立，求。的取值范圍.

21.(本小題滿分12分)已知8(-2,0),。(2,0)為入48。的兩個頂點，P為A4BC的重心，邊上

的兩條中線長度之和為3#.

(1)求點P的軌跡「的方程；

(2)過C作不平行于坐標軸的直線交「于D,E兩點，若DA/_Lx軸于點M,軸于點N,直線DN

與磔/交于點0.

①求證：點。在一條定直線上，并求此定直線；

②求面積的最大值.

選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修44：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

x=t2-2t-3

22.(本小題滿分10分)在直角坐標系域8中，曲線G的參數(shù)方程為，(。為參數(shù)且),

y=t2-t-2

G分別與X軸、y軸交于2、B兩點.以坐標原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線G

的極坐標方程為22=16

1+3C0S*

4

(i)G與坐標軸交于aB兩點，求m卻；

(2)求上的點。到直線月B距離的范圍.

［選修45不等式選講］(10分)

9

23.(本小題滿分10分)己知函數(shù)/"(x)=|x+4a|+X-晨節(jié)(。＞0).

(1)當a=g時，求不等式/'(x)W8的解集；

(2)若/'(x)的最小值為AM,求(加+1)2+16/+8a+1的最小值.

5

成都石室中學2023-2024年度上期高2024屆一診模擬

文科數(shù)學(A卷)參考答案

1.B【解析】/={小=2，/叫=例y21},B={xeN||2x-3|<l)={l,2},故/CI8={1,2}.故選：B.

2.A【解析】令z=bi(bo0),貝=|歷|=|3+4i|=5,故6=±5,zi=±5.故選：A.

3.D【解析】由表中數(shù)據(jù)可得X=](2+3+4+5+6)=4,y=^(15.1+16.3+17+17.2+18.4)=16.8,

因為回歸直線過樣本點的中心，所以16.8=0.75x4+2,解得2=13.8，

所以回歸直線方程為夕=0.75x+13.8,

則該公司7月份這種型號產品的銷售額為^=0.75x7+13.8=19.05萬元.

故選：D.

4.B【解析】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐"C-A，由圖可知

222222

AB=2,BC=3,AC=V2+3=而，AD1=Vl+3=y/w,CD1=V2+l=下，

222

^D1=Vl+3+2=714

所以最長的棱長為y.

故選:B.

rzrrx

5.C【解析】對于A選項，若=貝0所以一口-以不能推出"=否，故A錯誤;

對于B選項，x22,y22成立時，必有f+j/Nd成立,

反之，取x=3,y=0,則成立，但xN25y22不成立,

因此“爐+/24”是“xN2,”2"的必要不充分條件，故B錯誤；

對于選項C,因為/卜)=/+2--3/+4/-;<;+1,

所以可以把多項式寫成如下形式：fM=((((x+2)x-3)x+4)x-l)x+1,

按照從內而外的順序，依次計算一次多項式當x=2的值：

%=2,片=2+2=4,v2=4x2-3=5,匕=5x2+4=14,故C正確；

對于選項D,至少有一個黑球包含的基本事件有“一黑一紅，兩黑”，至少有一個紅球包含的基本事件有“一

黑一紅，兩紅”，所以兩事件不互斥，故D錯誤；

故選：C.

1

6.D【解析】因為2sina-sin/=JJ，2cosa-cos夕=1,

所以平方得，(2sina-sin/?)?=3，(2cosa-cos/『=1,

即4sin2a-4sinasin/y+sin2^3=3,4cos2a-4cosacos/7+cos2^=l,

兩式相力口可得4-4sinasin/?-4cosacos/7+1=4,

即cosacos/7+sinasin夕二一,

故cos(a-/)二L

4

cos(2a—2夕)=2cos~(a—/1=2x—1=—.

故選：D.

7.A【解析】因為直線y=qx+m與圓(x-2)?+y2=l的兩個交點關于直線》=-三對稱,

所以直線曠=-與0經(jīng)過圓心，且直線y=qx+桁與直線^=-三垂直，

所以2-1=0,即1=2,且4=2,

n(n-l)1111

則S“=2〃+-^----x2=n(n+l),不=/口、=------7>

v7

〃2Snn(n+l)nw+1

所以數(shù)列的前100項和為1一1+工一1+…+」——-=1--=—.

[Sn\223100101101101

故選：A.

8.B【解析】由圖可知，XHI且XH5,

貝ljax2+bx+c=0的兩根為1,5,

bc

由根與系數(shù)的關系，得-2=6,-=5,

aa

:.a,b異號，a,c同號，排除A、C;

又f(O)=m〈O,d異號，排除D,只有B項適合.

c

故選：B

9.A【解析】正方體4B8-4耳GA中，45/ADC，M=D￡,所以四邊形為平行四邊形，所以

ADJ/BC}9

又皿＜z平面8Z)q,8qu平面8Z)G,

2

所以3//平面BDC、,即當點尸在線段陽上運動時為>恒為定值，

=X

又^D-BPCt"P-BDC、=飛SaBDC、%,SaBDC、也為定值,

所以三棱錐。-8PG的體積為定值，①正確；

在正方體ABCD-44GA中，48_L平面BCC\BnCBlu平面BCC^，所以C3J羔，

在正方形3CC￡中：CBJBQ,

又袒I8。1=3,>15,比^平面/3701，所以C^J■平面ZBCQi，

又C/u平面々CQi，所以GP_LC用，②正確；

因為點尸在線段皿上運動，若Pe平面劉8,則點尸與點月重合，則三棱錐G-P3。的外接球即為三棱

錐G-Z3D的外接球，故半徑為J?，③正確；

如圖所示：將三角形皿沿力A翻折90。得到該圖形，連接。q與NR

相交于點P,此時|C0+|DP|取得最小值DG，延長CQ1，過。作

DE上孰耳于點、E,

在R2EC］中，DQ=+(2+&丫=，8+4立，

故|C0+|QP|的最小值為78+45/2，④錯誤.

故選：A.

10.B【解析】該程序框圖相當于在［0,3］上任取10000對數(shù)對(r)，其中滿足丫2+ywl的數(shù)對有N對.

顯然該問題是幾何概型.

不等式組所表示的區(qū)域面積為9,

p<y<3

0<x<3

<0<^<3所表示的區(qū)域面積為?，

爐+好si4

P

-3

故4N2.5,IO

因此N?

-一

9

104

故選：B.

3

11.D【解析】令/(x)=0,得(1^)2-g才取+@爐=0,整理得(蛆1)2一區(qū)莊+3=0.

2ex2xe

令/=叱。>0),x>0,原方程化為『―@/+色=0.

x2e

設g(x)=g<x>0),

X

,、1-lnx.?、Kg「，、Ine1

則g(x)=--;—,令g(x)=。，解得x=e,且g(e)=---=-,

xee

當xe(0,e)時，g'(x)X),則g(x)單調遞增，

當xw(e,+8)時，gr(x)<0,則g(x)單調遞減，

則g(x)在x=e時，有最大值為g(e)=4，

e

畫出簡圖，如右圖所示，

因為原方程為t~/H—=0.

2e

由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根乙，

結合g(x)=四三(x>0)圖象可得：^<0,0</2<1,

xe

〃(0)<0o

設力--,則,.得到一二VqVO,

2e〃(一)>0

ee

InxInx,Inx,

因為。=----，，2=----=----，所以

項X2X3

皿+3+3=24+2-e二,0

e

XX2工3

故選：D.

12.A【解析】由題可知，點。在以為直徑的圓上,故NM?尸=90°,

^\PM\-\PQ\=-1w|.|py|.COSAMPN=-PM?PN,其中

-PM^PN=-fPF+或)?(而+麗［-(而+FM)?(PF-FM)=-{PF2-茲)

=M72-PF2=81-PF2,

由圖可知，當點P運動到雙曲線右頂點時，即當|而1=1時，|燈"|?|尸°1取最大值為80.

故選:A.

4

13.（0/）【解析】拋物線y=的標準方程為f=4y,焦點在N軸正半軸上，焦點坐標為（0』）.

14.3【解析】由題意得，甲的中位數(shù)為：名型=16,故乙的中位數(shù)坦1152=16①

22

—7+12+12+20+20+X+31102+x

2-----------6-----------=-'

—_8+9+19+10+^+25+28_99+y

"L6=工，

因為平均數(shù)相同，所以3券=吟?②，

66

由①?可得y=3,x=o,

所以x+y=3,

故答案為：3.

15.[0,V10]【解析】以M為圓心，以M4,MC為％），軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

由于AB=AC=2,所以BC=2-^2,BM—CM=5/2,

由于點。在定，不妨設。（0cos。,亞sin。），0e0,^

/（0,立）,尸（凡0）,其中近,

存+閑=(a,-V^)+(0cos仇應sin?)=(a+5/2cos/一&+

所以|-4P+MQ^=J(a+0cos。)+10+應5山6),

J(a+0cos4+(一五+啦sin"可看作是AC上的點。(&cos&0sin到點R(-a,匈的距離,

由于點R（-d啦）在線段,=0（-五W五）上運動,

故當點4-4五）運動到點七（一6&）時，此時距離最大，為CE=JC尸+E『=+（2&J=M,

當點R（-a,0）運動到點N（0,五）時，此時距離最小為0,

綜上可知：p+w|e[0,>/i0].

16.1【解析】因為/(一幻=尸一屋-")一2sin(-幻=b-eX+2sinx=-f(x),

所以/(x)為R上的奇函數(shù).

又f(x)=qX+e'_2cosx>2^]exe-x-2cosx=2-2cosx>0，

所以/（x）在（—,+8）上單調遞增.

5

不等式/9一/爐)+/(2111》+勸40對任意的工€(0,+?>)恒成立，

即〃21nx+x)W/(/e'-a)對任意的xw(0,+8)恒成立，

所以2卜工+*4/爐-。對任意的*€(0,+8)恒成立，

即。4*2/_(21nx+x)=eh/-(21nx+x)=e21nx+'_(21nx+x)對任意的XG(0,+8)恒成立.

令Zj(x)=e*-x,所以〃'(x)=e*-l,

所以當x>0時，，(x)>0,〃(x)在(0,+8)上為增函數(shù)；

當x<0時，A'(x)<0,6(x)在(-8,0)上為減函數(shù).

所以Mx)mn=M0)=e°-0=l，

設g(x)=21nx+x,顯然g(x)為(0,+00)上的增函數(shù)，

因為gd)=21J+1=-2+LvO,g(l)=1>0,所以存在看ed,l),使得g(Xo)=21nXo+Xo=0,

eeee

所以［/hx+'-qinx+x)1nm=1,此時21nx+x=0,

所以aVl,即。的最大值為1.

故答案為：1.

17.解：(1)al/b>V3cosx=-2sinx(貝hanx=-士

------------------------------------2分

?丫

c2.?cos2x-sin2x1-tan2K12

cos2x=cosx-sinx=-----z—=—：----=-r一.---------------------------------5分

sinx+cosxtanx+l(百)

+1

(2)

/(x)=(3+5)3=(sinx+bcosx卜inx+(l-2)xl=sin'x4-V3sinxcosx-1

V3..1_1.吟1

=——sin2x——coszx——=sin2x————,----------------------------------------------------7分

222I6)2

又/(/)=g,所以sin(24圖=1,可0微)，得冰;；=：即4-------------------------8分

2J

、、穴

因為a=2,且由余弦定理。2=/+。2-26。85/可知，4=b+c—2becos—,

3

所以/+c?=4+6c,

由基本不等式可得"+。2=4+從22歷，

6

所以從■V%（當且僅當6=c=2時取等）---------------------------------------------------11分

故（SMBCL、=；6csin/=g倉必￡=6，

即A4BC面積最大值為Ji.----------------------------------------------------------------------------------------------------12分

（注：若求角的函數(shù)值域問題，按步驟對應給分）

18.（1）證明：取血中點為尸，連接4C,CF,由4D=2BC得乂F〃BC且AF=BC.

四邊形ABCF為平行四邊形，

，CF=AF=DF,

：.AC1CD,----------------------------------------2分

又因為二面角P-CD-8為直二面角，且平面PCDn平面=

4CJ■平面PCD,因為POu平面PCD,

所以月C_LPD.---------------------------------------5分

（2）解：過點。作CE_L，P于點E,過點P作P，_LC。于點〃，連接⑷7.

因為PHu平面PCD，所以P"_L平面48,--------------------------------------------------------------------------6分

所以1VQC=gxS樹cxP〃=gx（；xlxl）x*=^

------------------------------------------------------------7分

因為工。=?。=五，

22

在A/A4C”中,AH=jAC+CH

在RfAR4H中，AP=\lAH2+PH2=^|+1=2,

所以S“4c=gx2xl=l.--------------------------------------

,9分

令點8到平面尸C4距離為d,

所以嶗“BC

痣,-----------------------------------------------------------------------------------------------11分

~T

7

即點8到平面PCA距離為—.--------------------------------------------------------------12分

4

2+4+5+6+8_3+4+4+4+5公

19.解：(1)x=-----------=5,y=-------------=4,---------------------------------1分

所以2^(^,-y)=-3x(-i)+(-1)xo+Oxo+o+3xi=6,

?=1

5,25，r-

由于—%)=9+1+0+1+9=20,一歹)=1+0+0+0+1=72--------------------------3分

1-1

力(七一引(乂-刃6IT

相關系數(shù)，==rR=\元/095,-------------------------------5分

際h刁2歷近/7V10

V1-1Vi=i

因為r>0.75,所以y與X具有較強的線性相關關系.——......................................6分

(2)將地點1,2,3,4,5分別記為“，B,C,D,E,---------------------------------7分

任抽2個地點的可能情況有:5抽),(4C),(4。),(4團,(8抽),(B,D),(C,D),(C,E),

[D,E),共10種情況，---------------------------------------------------------------9分

其中在地點3,4,5,甲型無人機指標數(shù)均高于乙型運輸機指標數(shù)，即(CD),(C,E),(2E)3種情況，

------------------------------------------------------------------------------------11分

令甲型無人機指標數(shù)均高于乙型無人機指標數(shù)為事件

3

故所求概率尸(A/)=記.-------------------------------------------------------------------12分

20.解：(1)函數(shù)/'(x)=f-xcosx+sinx-1,因為/(0)=-1,所以切點為(0,-1),-----------1分

由r(x)=2x-cosx—xsinx+cosx=x(2—sinx),xeR,得/'(0)=0,

所以曲線在點(OJ(O))處的切線斜率為0,------------------------------------------------2分

所以曲線y=f(x)在點(OJ(O))處的切線方程為》=-1.-------------------------------------3分

(2)由(1)可知r(x)=2x-cosx-xsinx+cosx=x(2-sinx),xeR,

因為sinxw[-l,l],所以2-sinx>0,令f'(x)=O,貝IJK=O--------------------------------4分

當工￡(一8,0)時，//(x)<0,/⑴單調遞減；

當X￡(0,+8)時，/^x)>0,單調遞增；

8

又因為/(o)=-l<o,(一]]=?-2>0,-----------------------------------------------------6分

華碌）使得

所以，由零點存在定理可知，存在唯一的芭使得/（毛）=0,存在唯一的與

/（x2）=0.故函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點.---------------------------------------------------7分

（3）因為0卷，當x=0時，由/'（0）=721-2a得------------------------------------9分

下面證明：當時，對于任意xe。微,f（x）Nl-2。恒成立，

即證ax2—xcosx+sinx-1>1—2a>即證(x2+2)a—xcosx+siiix_2>0；

而當aNl時，+2)a-xcosx+sinx-2Nx2+2-xcosx+sinx-2=x2-xcosx+sinx,------------10分

由(2)知，x2-xcosx+sinx>0;所以時，+2)a-xcosx+sinx-2N0恒成立；

綜上所述，ae[l,+oo).--------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

21.解：（1）因為尸為15c的重心，且邊NC,力B上的兩條中線長度之和為6,

所以歸卻+|JPC|=-|x3>/6=2>/6>\BC\,-----------------------------------------------------------------------------------1分

故由橢圓的定義可知產的軌跡「是以8（-2,0）,。（2,0）為焦點的橢圓（不包括長軸的端點）,

且a=-^6,c=2,所以％=y/2，----------------------------------------------------------------------------------------------2分

所以戶的軌跡「的方程為=+己

=1(XH±仄)4分，未挖點扣1分

62

(2)①依題意，設直線DE方程為x=ar+2(機工0).

x=my+2

x^+/_,得M+3”2+4叩-2=0,

(~6+~2~

易知A=16而+8(.+3)=24"+1)>0

設。E(x2,y2),則必+8=--%--.-------------------------------------------------5分

因為DA/JLx軸，ENJLx軸，

所以M(x,,0),N⑸0).

9

所以直線DN：y=-^—(x-x2),

直線w：y="(x-x,),

X2一再

聯(lián)立解得/=(呻+2戊+(吠+2仇=2+2^1=3.___________________

從而點Q在定直線x=3上.--------------------------------------------------------------------8分

②因為S^EO=；|四|?|馬—占卜;閡?0—七|=g|必一切1%|，-------------------------------9分

口孫為_1皿ic1必+必I?1rTV6V/?2+i

又必+二2'則532=5必一丁=#「閭=/(乂f)=彳而"

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分

V6t巫I/布

aLmti3c2c=-------;=z-S

2

當且僅當仁即桁=±1時，等號成立，

t

故AC￡Q面積的最大值為號.----------------------------------------------------------------12分

22.解：（1）令x=0，則『―2f—3=0，解得f=3,或f=-l（舍），

則夕=32—3-2=4,即3（0,4）,---------------------------------------------------------------------------------2分

令》=0，則/―f—2=0，解得f=2,或，=一1（舍），

貝iJx=22-2x2-3=-3，即，（一3,0）,........................................................................................4分

:.\AB\=40+3）2+（4-Op=5-------------