（聚焦典型）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《幾何概型》理 新人教B版

[第61講幾何概型](時(shí)間：35分鐘分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2013·武漢武昌區(qū)調(diào)研]在區(qū)間[—1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1相交的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)2．[2013·衡水一中調(diào)研]有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是()圖K61－13．[2013·石家莊質(zhì)檢]已知函數(shù)y＝sinx，x∈[－π，π]與x軸圍成的區(qū)域記為M，若隨機(jī)向圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)投入一米粒，則該米粒落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A.eq\f(4,π2)B.eq\f(4,π3)C.eq\f(2,π2)D.eq\f(2,π3)圖K61－24．為了測(cè)算如圖K61－2所示陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)．已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此，可估計(jì)陰影部分的面積是________________________________________________________________________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·邯鄲一模]某人睡午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待時(shí)間不多于15分鐘的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6．已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M為AB的中點(diǎn)，則在此長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，P與M的距離小于1的概率為()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)圖K61－37．[2013·臨沂模擬]扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°.點(diǎn)C，D，E將弧AB等分成四份．連接OC，OD，OE，從圖K61－3中所有的扇形中隨機(jī)取出一個(gè)，面積恰為eq\f(π,8)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)8．[2013·汕頭質(zhì)檢]已知實(shí)數(shù)x∈[－1，1]，y∈[0，2]，則點(diǎn)P(x，y)落在區(qū)域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)9．[2013·武漢調(diào)研]有一根長(zhǎng)為1m的細(xì)繩子，隨機(jī)從中間將細(xì)繩剪斷，則使兩截的長(zhǎng)度都大于eq\f(1,8)m的概率為________．圖K61－410．圖K61－4(2)中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖(1))的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面展開圖內(nèi)的概率是eq\f(1,4)，則此長(zhǎng)方體的體積為________．圖K61－511．如圖K61－5，矩形OABC內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)＝sinx，x∈(0，π)及直線x＝a(a∈(0，π))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為eq\f(3,16)，則a的值是________．12．(13分)[2013·吉林一模]記不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x－y＋2≥0，,x＋y＋1≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镸.(1)畫出平面區(qū)域M，并求平面區(qū)域M的面積；(2)若點(diǎn)(a，b)為平面區(qū)域M中任意一點(diǎn)，求直線y＝ax＋b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的概率．圖K61－6eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)13．(12分)[2013·青島一模]已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設(shè)集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，記A＝{y＝f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1}，求事件A發(fā)生的概率．

課時(shí)作業(yè)(六十一)【基礎(chǔ)熱身】1．C[解析]由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為1－(－1)＝2，圓x2＋y2＝1的圓心為(0，0)，要使直線y＝k(x＋2)與圓x2＋y2＝1相交，則圓心到直線y＝k(x＋2)的距離d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得所求的概率P＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3)，故選C.2．A[解析]利用幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故選A.3．B[解析]構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)閳A內(nèi)的區(qū)域，面積為π3，正弦曲線y＝sinx(x∈[－π，π])與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，得區(qū)域M的面積為S＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－2cosxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))eq\s\up12(π)0＝4，所以由幾何概型的計(jì)算公式可得，隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P＝eq\f(4,π3)，故選B.4．9[解析]點(diǎn)落在陰影部分的頻率是eq\f(200,800)＝eq\f(1,4)，由于是隨機(jī)的投擲點(diǎn)，點(diǎn)落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的，因此我們就有理由相信陰影部分的面積就是整個(gè)正方形面積的eq\f(1,4)，故陰影部分的面積約為eq\f(1,4)×36＝9.【能力提升】5．B[解析]由題意知問(wèn)題與時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)，可作為幾何概型求解，因?yàn)殡娕_(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，則事件總數(shù)包含的時(shí)間長(zhǎng)度是60，設(shè)事件A表示“他等待的時(shí)間不多于15分鐘”，事件A包含的時(shí)間長(zhǎng)度是15，由幾何概型的概率公式得到P(A)＝eq\f(15,60)＝eq\f(1,4)，故選B.6．C[解析]構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S＝4×1＝4；以M點(diǎn)為圓心，以1為半徑在長(zhǎng)方形ABCD中作半圓，則該半圓內(nèi)的任一點(diǎn)與M的距離小于1，半圓的面積S1＝eq\f(1,2)π·12＝eq\f(1,2)π，因此P與M的距離小于1的概率為eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8)，故選C.7．A[解析]依題意得知，圖中共有10個(gè)不同的扇形，分別為扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面積恰為eq\f(π,8)的扇形即相應(yīng)圓心角恰為eq\f(π,4)的扇形共有3個(gè)(即扇形AOD，EOC，BOD)，因此所求的概率等于eq\f(3,10)，故選A.8.B[解析]所求概率為圖中陰影部分的面積與正方形面積的比值．正方形的面積為4，陰影部分的面積為正方形面積減去三個(gè)小直角三角形面積所得的差，其值為4－1－1－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以所求概率為P＝eq\f(3,2)÷4＝eq\f(3,8)，故選B.9.eq\f(3,4)[解析]選擇長(zhǎng)度為相應(yīng)測(cè)度，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為1，用A表示事件“兩截的長(zhǎng)度都大于eq\f(1,8)m”，則從中間將細(xì)繩剪斷，剪得兩段的長(zhǎng)都大于eq\f(1,8)m，臨界處為1－eq\f(1,8)×2＝eq\f(3,4)m，故使兩截的長(zhǎng)度都大于eq\f(1,8)m的概率P(A)＝eq\f(\f(3,4),1)＝eq\f(3,4).10．3[解析]設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，則圖(2)中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為2＋2h，寬為1＋2h，面積為(2＋2h)(1＋2h)，展開圖的面積為2＋4h.由幾何概型的概率公式知eq\f(2＋4h,（2＋2h）（1＋2h）)＝eq\f(1,4)，得h＝3，所以長(zhǎng)方體的體積是V＝1×3＝3.11.eq\f(2π,3)[解析]構(gòu)成試驗(yàn)的全部區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形OABC的內(nèi)部，長(zhǎng)方形OABC的面積為S＝a×eq\f(8,a)＝8；陰影部分的面積S1＝eq\i\in(0,a,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))eq\s\up12(a)0＝1－cosa，由幾何概型的概率公式，得eq\f(S1,S)＝eq\f(3,16)，即eq\f(1－cosa,8)＝eq\f(3,16)，解得cosa＝－eq\f(1,2)，則a的值是eq\f(2π,3).12．解：(1)如圖，△ABC的內(nèi)部及其各條邊就表示平面區(qū)域M，其中A－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，B(1，3)，C(1，－2)，∴平面區(qū)域M的面積為eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).(2)要使直線y＝ax＋b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a<0，b>0，又點(diǎn)(a，b)的區(qū)域?yàn)镸，故使直線y＝ax＋b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的點(diǎn)(a，b)的區(qū)域?yàn)榈诙笙薜年幱安糠?，故所求的概率為P＝eq\f(2－\f(1,2)×\f(1,2)×1,\f(25,4))＝eq\f(7,25).【難點(diǎn)突破】13．解：(1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1，1；當(dāng)a＝3時(shí)，b＝－1，1.記B＝{函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)}，則事件B包含基本事件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5，∴P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絜q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0))))))，其面積SΩ＝eq\f(1,2)×8×8＝32，事件A構(gòu)成的區(qū)域A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0，,f（1）<0))))＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\