（聚焦典型）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《立體幾何中的向量方法(一)平行與垂直的證明》理 新人教B版

[第43講立體幾何中的向量方法(一)——平行與垂直的證明](時(shí)間：45分鐘分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．[2013·?？诙平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(－1，0，1)，B(1，1，2)，C(2，－1，0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是()A．a(chǎn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，－1))B．a(chǎn)＝(6，－2，－2)C．a(chǎn)＝(4，2，2)D．a(chǎn)＝(－1，1，4)2．[2013·烏魯木齊二模]若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的可能是()A．a(chǎn)＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a(chǎn)＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a(chǎn)＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)3．[2013·哈爾濱三模]若平面π1，π2互相垂直，則下面可以是這兩個(gè)平面的法向量的是()A．n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)B．n1＝(1，1，2)，n1＝(－2，1，1)C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)D．n1＝(1，2，1)，n1＝(0，－2，－2)4．a(chǎn)，b是兩個(gè)非零向量，α，β是兩個(gè)平面，下列命題正確的是()A．a(chǎn)∥b的必要條件是a，b是共面向量B．a(chǎn)，b是共面向量，則a∥bC．a(chǎn)∥α，b∥β，則α∥βD．a(chǎn)∥α，bα，則a，b不是共面向量eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·鄭州三模]已知點(diǎn)A，B，C∈平面α，點(diǎn)P?平面α，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0是eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．[2013·合肥三模]如圖K43－1，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))′＋eq\o(BD,\s\up6(→))，則|eq\o(BP,\s\up6(→))|2的值為()圖K43－1A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(10－\r(2),4)D.eq\f(9,4)7．[2013·南寧三模]二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A．150°B．45°C．60°D．120°8．已知二面角α－l－β的大小為120°，點(diǎn)B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，則AD的長為()A.eq\r(14)B.eq\r(13)C．2eq\r(2)D．2eq\r(5)9．已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分別與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，則向量a的坐標(biāo)為()A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)C．(1，1，1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1，1)或(－1，1，－1)10．[2013·銀川三模]在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6.則直線PD與BC所成的角的大小為________．11．[2013·長春模擬]在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(－2，3)，B(3，－2)，沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為θ的二面角后，這時(shí)|AB|＝2eq\r(11)，則θ的大小為________．圖K43－212．[2013·南京三模]如圖K43－2，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2，AD＝eq\r(2)，則二面角C－AS－D的余弦值為________．13．如圖K43－3，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________圖K43－314．(10分)[2013·太原三模]已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量方法證明：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.15．(13分)如圖K43－4，在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD.(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)設(shè)E是棱PD上一點(diǎn)，且PE＝eq\f(1,3)PD，求異面直線AE與PB所成的角的余弦值．圖K43－4eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)如圖K43－5，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明FG∥平面BOE；(2)證明在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.

課時(shí)作業(yè)(四十三)【基礎(chǔ)熱身】1．D[解析]設(shè)平面α的法向量為n，則n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所有與eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)))平行的向量或可用eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))線性表示的向量都與n垂直，故選D.2．D[解析]欲使l∥α，應(yīng)有n⊥a，∴n·a＝0，故選D.3．A[解析]兩個(gè)平面垂直時(shí)其法向量也垂直，只有選項(xiàng)A中的兩個(gè)向量垂直．4．A[解析]選項(xiàng)B中，a，b共面不一定平行；選項(xiàng)C中更不可能；選項(xiàng)D，空間任意兩個(gè)向量都共面，故a，b共面．【能力提升】5．A[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(AP,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0))得eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，亦即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，反之，若eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，未必等于0.6．D[解析]由題意，翻折后AC′＝AB＝BC′，∴∠ABC′＝60°，∴|eq\o(BP,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))′＋\o(BD,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))′|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))′－eq\o(BC,\s\up6(→))′·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋2－eq\f(1,2)×1×1×cos60°－1×eq\r(2)cos45°＋1×eq\r(2)×cos45°＝eq\f(9,4).7．C[解析]由條件知，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝116＋96cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝(2eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，所以二面角的大小為60°.8．D[解析]由條件知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60°＝20，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).9．C[解析]設(shè)a＝(x，y，z)，由條件知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，∵a⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，|a|＝eq\r(3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，,x2＋y2＋z2＝3，))將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)知選C.10．60°[解析]以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，3)，B(3，0，0)，D(0，3，0)，C(6，3，0)．eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，3，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，3，0)，所以cos〈eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PD,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(PD,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(9,3\r(2)×3\r(2))＝eq\f(1,2)，即〈eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝60°，于是直線PD與BC所成的角等于60°.11．120°[解析]作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(DB,\s\up6(→))|cos(180°－θ)＝－6cosθ，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴(2eq\r(11))2＝32＋52＋22＋2(0－0－6cosθ)，∴cosθ＝－eq\f(1,2).由于0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.12.eq\f(\r(10),5)[解析]如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.則D(0，0，0)，A(eq\r(2)，0，0)，B(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，C(0，eq\r(2)，0)，S(0，0，2)，得eq\o(SA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－2)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－2)．設(shè)平面ACS的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(SC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x－2z＝0，,\r(2)y－2z＝0.))取z＝eq\r(2)，得n＝(2，2，eq\r(2))．易知平面ASD的一個(gè)法向量為eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，0)．設(shè)二面角C－AS－D的大小為θ，則|cosθ|＝eq\f(|n·\o(DC,\s\up6(→))|,|n|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(10),5).結(jié)合圖形知二面角C－AS－D的余弦值為eq\f(\r(10),5).13．1[解析]以D1為原點(diǎn)，直線D1A1，D1C1，D1D為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，B設(shè)DF＝t，CE＝k，則D1F＝1－t，∴F(0，0，1－t)，E(k，1，1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，0，－t)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(k－1，0，1)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.14．證明：(1)如圖，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，且E，H，B，D四點(diǎn)不共線，∴EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.15．解：如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°角，∴∠PBA＝60°.取AB＝1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，eq\r(3))，D(0，2，0)．(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，0，eq\r(3))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－1＋1＋0＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.∴AC⊥CD，AP⊥CD，∴CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.(2)∵eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PD,\s\up6(→))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(2\r(3),3)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(2\r(3),3))).又eq