【二級(jí)結(jié)論】12類二級(jí)結(jié)論總結(jié)高效解題

12類二級(jí)結(jié)論高效解題TOC\o"1-1"\h\u1636結(jié)論1奇函數(shù)的最值性質(zhì) 219552結(jié)論2函數(shù)周期性問題 322530結(jié)論3函數(shù)的對(duì)稱性 55008結(jié)論4兩個(gè)經(jīng)典不等式 71916結(jié)論5三點(diǎn)共線的充要條件 920365結(jié)論6三角形“四心”向量形式的充要條件 1124784結(jié)論7與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論 1215847結(jié)論8與等比數(shù)列相關(guān)的結(jié)論 134636結(jié)論9多面體的外接球和內(nèi)切球 1516020結(jié)論10焦點(diǎn)三角形的面積公式 163266結(jié)論11圓錐曲線的切線問題 1815355結(jié)論12過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)的弦 19高中數(shù)學(xué)二級(jí)結(jié)論在解題中有其高明之處，不僅簡(jiǎn)化思維過程，而且可以提高解題速度和準(zhǔn)確度，記住這些常用二級(jí)結(jié)論，可以幫你理清數(shù)學(xué)套路，節(jié)約做題時(shí)間，從而輕松拿高分.結(jié)論1奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，設(shè)g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，則g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案2【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，則f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A.－1 B.0 C.1 D.2解析令g(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)，x∈R，則g(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)，因?yàn)間(x)＋g(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定義在R上的奇函數(shù).又lgeq\f(1,2)＝－lg2，所以g(lg2)＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝0，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝g(lg2)＋1＋geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＋1＝2.答案D結(jié)論2函數(shù)周期性問題已知定義在R上的函數(shù)f(x)，若對(duì)任意的x∈R，總存在非零常數(shù)T，使得f(x＋T)＝f(x)，則稱f(x)是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T＝2a.【例2】(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝()A.－2 B.－1 C.0 D.1(2)(多選題)(2020·濟(jì)南模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)，則()A.f(x)為奇函數(shù) B.f(x)為周期函數(shù)C.f(x＋3)為奇函數(shù) D.f(x＋4)為偶函數(shù)解析(1)因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，則f(x)的周期T＝3.則有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＝0＋f(1)＝－1.(2)法一由f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)，(2，0)對(duì)稱，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù).又f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均為奇函數(shù).故選ABC.法二由f(x＋1)與f(x＋2)都為奇函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)，(2，0)對(duì)稱，所以f(x)的周期為2|2－1|＝2，所以f(x)與f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)與f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均為奇函數(shù).故選ABC.答案(1)B(2)ABC【訓(xùn)練2】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若f(x＋2)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(8)＋f(9)＝()A.－2 B.－1 C.0 D.1解析由f(x＋2)是偶函數(shù)可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函數(shù)得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).故f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.答案D結(jié)論3函數(shù)的對(duì)稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱，特別地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱.(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.【例3】(1)函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)＝4，則f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值為________.(2)(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，下列說法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱B.f(x)是周期為4的函數(shù)C.若f(x)滿足對(duì)任意的x∈[0，1]，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0，則f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞增D.若f(x)在[1，2]上的解析式為f(x)＝lnx＋1，則f(x)在[2，3]上的解析式為f(x)＝1－ln(x－2)解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.(2)根據(jù)題意，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，A正確；又f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(x)＝f(－x)，則2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，從而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正確；由eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)<0可知f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱，所以f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)的周期為4，所以f(x)在[－3，－2]上單調(diào)遞增，C正確；因?yàn)閒(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]時(shí)，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因?yàn)閒(x)的周期為4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]時(shí)，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D錯(cuò)誤.綜上，正確的是ABC.答案(1)4(2)ABC【訓(xùn)練3】(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(1－x)的圖象大致為()(2)若偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且f(3)＝3，則f(－1)＝________.解析(1)作出y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，將y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的圖象.因此圖象A滿足.(2)因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋4)，則f(－1)＝f(3)＝3.答案(1)A(2)3結(jié)論4兩個(gè)經(jīng)典不等式(1)對(duì)數(shù)形式：x≥1＋lnx(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立.(2)指數(shù)形式：ex≥x＋1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1).【例4】已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))<e.解析(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，①若a≤0，因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋aln2<0，所以不滿足題意.②若a>0，由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)知，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值點(diǎn).因?yàn)閒(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)≥0，故a＝1.(2)證明由(1)知當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，x－1－lnx>0.令x＝1＋eq\f(1,2n)，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))<eq\f(1,2n).從而lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))＋…＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))<eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,2n)<1.故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))<e.【訓(xùn)練4】(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ln（x＋1）－x)，則y＝f(x)的圖象大致為()解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,ln（x＋1）－x≠0，))得{x|x>－1，且x≠0}，所以排除選項(xiàng)D.當(dāng)x>0時(shí)，由經(jīng)典不等式x>1＋lnx(x>0)，以x＋1代替x，得x>ln(x＋1)(x>－1，且x≠0)，所以ln(x＋1)－x<0(x>－1，且x≠0)，排除A，C，易知B正確.答案B(2)已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝eq\f(1,2)x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn).證明令g(x)＝f(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋x＋1))＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1，x∈R，則g′(x)＝ex－x－1，由經(jīng)典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上為增函數(shù)，且g(0)＝0.所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).結(jié)論5三點(diǎn)共線的充要條件設(shè)平面上三點(diǎn)O，A，B不共線，則平面上任意一點(diǎn)P與A，B共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ與μ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.特別地，當(dāng)P為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→)).【例5】在△ABC中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FC,\s\up6(→))，連接BF，CE，且BF與CE交于點(diǎn)M，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，則x－y等于()A.－eq\f(1,12) B.eq\f(1,12) C.－eq\f(1,6) D.eq\f(1,6)解析因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→)).由B，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線得eq\f(2,3)x＋y＝1.①因?yàn)閑q\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)yeq\o(AC,\s\up6(→)).由C，M，E三點(diǎn)共線得x＋eq\f(3,4)y＝1.②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(2,3)，))所以x－y＝eq\f(1,2)－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,6).答案C【訓(xùn)練5】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.解析如圖，連接MN并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于T.由已知易得AB＝eq\f(4,5)AT，∴eq\f(4,5)eq\o(AT,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(AT,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)λeq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(5,4)μeq\o(AN,\s\up6(→))，∵T，M，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(5,4)λ＋eq\f(5,4)μ＝1，∴λ＋μ＝eq\f(4,5).答案eq\f(4,5)結(jié)論6三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.【例6】P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心解析由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，可得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理可證eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.答案D【訓(xùn)練6】O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心解析設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→)).∴P的軌跡一定通過△ABC的重心.答案C結(jié)論7與等差數(shù)列相關(guān)的結(jié)論已知等差數(shù)列{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)、前2m項(xiàng)、前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列.(2)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(am＋1,am).(3)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(m,m－1).【例7】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()A.3 B.4 C.5 D.6(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m＝________.解析(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.∴eq\f(Sm－1,m－1)＋eq\f(Sm＋1,m＋1)＝eq\f(2Sm,m)，即eq\f(－2,m－1)＋eq\f(3,m＋1)＝0，解得m＝5.經(jīng)檢驗(yàn)，m＝5符合題意.(2)由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0得2am－aeq\o\al(2,m)＝0，解得am＝0或2.又S2m－1＝eq\f(（2m－1）（a1＋a2m－1）,2)＝(2m－1)am＝38，顯然可得am≠0，所以am＝2.代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.答案(1)C(2)10【訓(xùn)練7】(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝20，S20＝50，則S30＝________.(2)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，則數(shù)列的公差d＝________.解析(1)(S20－S10)－S10＝(S30－S20)－(S20－S10)，S30＝3S20－3S10＝3×50－3×20＝90.(2)設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))又S偶－S奇＝6d，所以d＝eq\f(192－162,6)＝5.答案(1)90(2)5結(jié)論8與等比數(shù)列相關(guān)的結(jié)論已知等比數(shù)列{an}，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也為等比數(shù)列，其公比為eq\f(1,q).(2)公比q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列(n∈N*).(3)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則S偶＝qS奇.(4)已知等比數(shù)列{an}，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.則Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*).【例8】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)＝()A.2B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3)D.3解析由已知eq\f(S6,S3)＝3，得S6＝3S3且q≠－1，因?yàn)镾3，S6－S3，S9－S6也為等比數(shù)列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，則(2S3)2＝S3(S9－3S3).化簡(jiǎn)得S9＝7S3，從而eq\f(S9,S6)＝eq\f(7S3,3S3)＝eq\f(7,3).答案B(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2).①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②求log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25的值.解①由S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，得S6＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3，∴q＝2.又S3＝a1(1＋q＋q2)，得a1＝eq\f(1,2).故通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,2)×2n－1＝2n－2.②由①及題意可得log2an＝n－2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝eq\f(25×（－1＋23）,2)＝275.【訓(xùn)練8】已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項(xiàng)和為()A.eq\f(15,8)或5 B.eq\f(31,16)或5 C.eq\f(31,16) D.eq\f(15,8)解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知S3≠0.則S6＝S3＋S3q3＝9S3，所以q3＝8，q＝2.所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，其前5項(xiàng)和為eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(5),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).答案C結(jié)論9多面體的外接球和內(nèi)切球(1)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)d與共點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)a，b，c之間的關(guān)系為d2＝a2＋b2＋c2；若長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b2＋c2.(2)棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(\r(6),4)a.【例9】已知一個(gè)平放的各棱長(zhǎng)為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時(shí)，小球與該三棱錐的各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于()A.eq\f(7π,6) B.eq\f(4π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,2)解析當(dāng)注入水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時(shí)，設(shè)水面上方的小三棱錐的棱長(zhǎng)為x(各棱長(zhǎng)都相等).依題意，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，得x＝2，易得小三棱錐的高為eq\f(2\r(6),3).設(shè)小球半徑為r，則eq\f(1,3)S底面·eq\f(2\r(6),3)＝4×eq\f(1,3)S底面·r(S底面為小三棱錐的底面積)，得r＝eq\f(\r(6),6).故小球的表面積S＝4πr2＝eq\f(2π,3).答案C【訓(xùn)練9】(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)是1，且其外接球的表面積是16π，則該三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為()A.eq\r(14) B.2eq\r(3) C.4eq\r(6) D.3(2)已知球O的直徑PA＝2r，B，C是該球面上的兩點(diǎn)，且BC＝PB＝PC＝r，三棱錐P－ABC的體積為eq\f(32\r(2),3)，則球O的表面積為()A.64π B.32π C.16π D.8π解析(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形.把直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)成正四棱柱，則正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e是16π，所以外接球半徑為2，因?yàn)橹比庵牡酌媸堑妊苯侨切?，斜邊長(zhǎng)eq\r(2)，所以該三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(16－2)＝eq\r(14).(2)如圖，取PA的中點(diǎn)O，則O為球心，連接OB，OC，則幾何體O－BCP是棱長(zhǎng)為r的正四面體，所以VO－BCP＝eq\f(\r(2),12)r3，于是VP－ABC＝2VO－BCP＝eq\f(\r(2),6)r3，令eq\f(\r(2),6)r3＝eq\f(32\r(2),3)，得r＝4.從而S球＝4π×42＝64π.答案(1)A(2)A結(jié)論10焦點(diǎn)三角形的面積公式(1)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2的面積S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2)，其中θ＝∠F1PF2.(2)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，則△PF1F2的面積S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ＝∠F1PF2.【例10】如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)解析設(shè)雙曲線C2的方程為eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1，則有aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,1)＝4－1＝3.又四邊形AF1BF2為矩形，所以△AF1F2的面積為beq\o\al(2,1)tan45°＝eq\f(beq\o\al(2,2),tan45°)，即beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＝1.所以aeq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝3－1＝2.故雙曲線的離心率e＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).答案D【訓(xùn)練10】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝________.解析在焦點(diǎn)三角形PF1F2中，eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，所以∠F1PF2＝90°，故S△PF1F2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝b2tan45°＝9，則b＝3.答案3結(jié)論11圓錐曲線的切線問題(1)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝R2.(2)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.(3)已知點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線C：y2＝2px(p≠0)和直線l：y0y＝p(x＋x0).①當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C上時(shí)，直線l與拋物線C相切，其中M為切點(diǎn)，l為切線.②當(dāng)點(diǎn)M在拋物線C外時(shí)，直線l與拋物線C相交，其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)M的連線分別是拋物線的切線，即直線l為切點(diǎn)弦所在的直線.【例11】已知拋物線C：x2＝4y，直線l：x－y－2＝0，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程.解聯(lián)立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x－y－2＝0，))消去y，整理得x2－4x＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直線l與拋物線C相離.由結(jié)論知，P在拋物線外，故切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為x0x＝2(y＋y0)，即y＝eq\f(1,2)x0x－y0.【訓(xùn)練11】(1