01 模塊一　三角函數(shù)與解三角形、平面向量 【正文】聽(tīng)課手冊(cè)

微專題1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)微點(diǎn)1由解析式探性質(zhì)例1(多選題)[2023·湖南雅禮中學(xué)一模]已知函數(shù)f(x)=sin(3x+φ)-π2<φ<π2的圖象關(guān)于直線x=π8對(duì)稱,那么 (A.函數(shù)y=fx-B.函數(shù)f(x)在-πC.若|f(x1)-f(x2)|=2,則|x1-x2|的最小值為πD.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3π8個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)y=-cos3x[聽(tīng)課筆記](méi)

【規(guī)律提煉】對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)性質(zhì)的考查關(guān)鍵在于單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性與函數(shù)的值域.自測(cè)題1.(多選題)[2023·嘉興二模]已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0),下列說(shuō)法正確的是 (A.若f(x)的最小正周期為π,則ω=2B.若ω=4,則f(x)在0,πC.若f(x)在0,π2上單調(diào)遞增,則0D.若將f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則ω的最小值為2.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1,則f(x)的最小正周期是,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

微點(diǎn)2由圖象定量求解析式例2(1)(多選題)已知f(x)是定義在閉區(qū)間[-b,b](b>0)上的偶函數(shù),且f(x)在[0,b]上的圖象是函數(shù)g(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)圖象的一部分(如圖所示),則 ()A.f(x)的定義域?yàn)?B.當(dāng)x=π6時(shí),f(x)C.當(dāng)-b≤x<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-D.當(dāng)-b≤x<0時(shí),f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)-5π12和-(2)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),如圖,A,B是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個(gè)交點(diǎn),若|AB|=π6,則f(π)=[聽(tīng)課筆記](méi)

【規(guī)律提煉】由三角函數(shù)的圖象求解析式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的關(guān)鍵在于三利用:利用最值定A,B,利用最小正周期T定ω;利用特殊點(diǎn)定φ.自測(cè)題1.已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0),當(dāng)|f(x1)-f(x2)|=2時(shí),|x1-x2|的最小值為π2.若將函數(shù)f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,然后再將得到的圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則不等式g(x)≥1A.π6+kπB.π3+2kπC.π12+kπD.π6+2kπ2.(多選題)[2023·遼寧教研聯(lián)盟二調(diào)]函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|A.φ=πB.A=2C.將f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度,D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π12+2微點(diǎn)3復(fù)合型三角函數(shù)圖象與性質(zhì)例3(多選題)[2023·湖南郴州質(zhì)檢]將函數(shù)g(x)=sinωx(ω>0)的圖象向左平移π5ω個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f(x)的圖象,已知f(x)在[0,2π]上有且只有5個(gè)零點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 (A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)π2B.f(x)在(0,2π)上有且只有5個(gè)極值點(diǎn)C.f(x)在0,D.ω的取值范圍是12自測(cè)題1.[2023·廣東佛山二模]已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2,若存在x1,x2,x3∈0,3π2,且x3-x2=2(x2-x1)=4x1,使f(x1)=f(x2)=f(x3)>A.-π6 B.C.-π3 D.2.[2023·山東菏澤二模]已知函數(shù)f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)在區(qū)間-2π5,3π4上單調(diào)遞增,且在區(qū)間[0,π]上只有一個(gè)最大值,則ωA.23,83 C.23,89 1.[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=7sinx-π6單調(diào)遞增的區(qū)間是 ()A.0,π2 C.π,3π2 2.[2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷]記函數(shù)f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期為T,若2π3<T<π,且y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)3π2,2中心對(duì)稱,則A.1 B.32 C.52 D3.[2022·全國(guó)甲卷]設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+π3在區(qū)間(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是 (A.53,136 C.136,83 4.(多選題)[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖象,則sin(ωx+φ)= ()A.sinx+π3 BC.cos2x+π6 5.(多選題)[2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷]已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象關(guān)于點(diǎn)2π3,0對(duì)稱,則 (A.f(x)在0,B.f(x)在-πC.直線x=7π6是曲線y=f(x)D.直線y=32-x是曲線y=f(x)6.[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是.

7.[2021·全國(guó)甲卷]已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則滿足條件f(x)-f-7π4·f

交匯一三角函數(shù)與基本函數(shù)1(多選題)若函數(shù)f(x)=|sinx|+e|sinx|,則 ()A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為πC.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增D.函數(shù)f(x)的最大值為e+1,無(wú)最小值自測(cè)題(多選題)[2023·安徽皖江名校聯(lián)考]若函數(shù)f(x)=2sin2x·log2sinx+2cos2x·log2cosx,則 ()A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4C.f(x)的最小值為-1D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ,π交匯二三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)2(1)[2023·石家莊聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)任意的x∈R,有f(x)-f(-x)=2sinx,且f'(x)>cosx在[0,+∞)上恒成立.若fπ2-t-f(t)>cost-sint,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 (A.-∞,π4 B.π4,+∞ C.π(2)[2023·武漢模擬]已知函數(shù)f(x)=1+sinx2cosx+sinx,x∈0,π2,自測(cè)題(多選題)[2023·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研]已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則 ()A.f(x)是偶函數(shù),也是周期函數(shù) B.f(x)的最大值為3C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π3D.f(x)在0,π微專題2三角恒等變換微點(diǎn)1給值求值例1(1)已知θ∈π4,π2,且sin2θ=53,則tanθ= ()A.55 B.C.10 D.55或(2)[2023·安徽淮北二模]若cosα+π12=23,則sin[聽(tīng)課筆記](méi)

自測(cè)題1.已知sin2α+2sinαcosα-2sinα-4cosα=0,則cos2α-sinαcosα= ()A.-45 B.C.-35 D.2.[2023·江蘇七市調(diào)研]已知cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0,則tanθ= ()A.-3 B.-3C.33 D.微點(diǎn)2給值求角例2[2023·江蘇無(wú)錫三模]已知tanβ=cosα1-sinα,tan(α+β)=1+sinαcosα,若β∈A.π12 B.C.π4 D.[聽(tīng)課筆記](méi)

自測(cè)題1.已知α∈(0,π),tan2α=sinα1+cosα,則α= (A.π3 B.C.3π4 D.2.已知0<α<β<π2,cos2α+cos2β+1=2cos(α-β)+cos(α+β),則 (A.α+β=π6 B.α+β=C.β-α=π6 D.β-α=微點(diǎn)3綜合應(yīng)用例3(1)[2023·浙江金麗衢十二校二聯(lián)]數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫作Proofwithoutwords,也被稱為無(wú)字證明,是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題,由于這種證明方法的特殊性,無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如圖,點(diǎn)C為半圓O上一點(diǎn),CH⊥AB,垂足為H,記∠COB=θ,則由tan∠BCH=BHCH可以直接證明的三角函數(shù)公式是 ()A.tanθ2=B.tanθ2=C.tanθ2=D.tanθ2=(2)[2023·三明三模]在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),A(sinα,cosα),Bcosα+π6,sinα+π6,當(dāng)∠[聽(tīng)課筆記](méi)

自測(cè)題1.[2023·江蘇無(wú)錫聯(lián)考]已知α∈0,π2,sin4α1+cos4α=sinαcosα-2,則tanαA.155 B.53 C.1515 2.[2023·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A35,45,將線段OA繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3得到線段OB,【規(guī)律提煉】1.三角化簡(jiǎn)問(wèn)題總的方向是變角與變式,達(dá)到“角、名和次”以及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一;2.常見(jiàn)技巧涉及換元法、切化弦、整體代換等方法;3.求角問(wèn)題要考慮對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值與特殊角之間的關(guān)系,考慮是單一值或者多個(gè)值.1.[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2= ()A.3-58 C.3-54 2.[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)= (A.79 B.19 C.-19 3.[2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷]若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,則 (A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=14.[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]若tanθ=-2,則sinθ(1+sin2θ)A.-65 B.-25 C.25 5.[2021·全國(guó)甲卷]若α∈0,π2,tan2α=cosα2-sinα,A.1515 B.55 C.53

微專題3解三角形微點(diǎn)1結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題例1在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinAcosB=2sinA-cosAsinB.(1)求sinCsin(2)若b=3,從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知,使得△ABC存在且唯一確定,并求△ABC的面積.①cosB=1116;②sinC=154;③△ABC的周長(zhǎng)為自測(cè)題[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]在①ac=3,②csinA=3,③c=3b這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,若問(wèn)題中的三角形存在,求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由.問(wèn)題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.微點(diǎn)2最值范圍問(wèn)題例2[2023·嘉興二模]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)若B=π12,求A(2)求(b+【規(guī)律提煉】1.當(dāng)限制角的取值范圍時(shí),函數(shù)方法比不等式方法更具有操作性和普適性.2.在對(duì)邊對(duì)角模型下,若已知a,A,則形如mb±nc(m,n∈R)等結(jié)構(gòu)的取值范圍均可利用函數(shù)關(guān)系等求出.自測(cè)題[2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosA1+sinA(1)若C=2π3,求B(2)求a2+微點(diǎn)3平面向量在解三角形中的應(yīng)用例3[2023·長(zhǎng)沙一模]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足ab=1(1)求C的大小;(2)若△ABC的面積為103,且CD=2DA,求線段BD的長(zhǎng)度的最小值.【規(guī)律提煉】平面向量在解三角形中的應(yīng)用側(cè)重于將平面向量的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算,再結(jié)合正、余弦定理求解即可.自測(cè)題[2023·山東濟(jì)南二模]已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如圖,點(diǎn)G是△ABC的重心,且AG·BG=0.(1)若∠GAB=π6,求tan∠GAC的值(2)求cos∠ACB的取值范圍.1.[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.2.[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.3.[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為3,D為BC的中點(diǎn),且AD=1.(1)若∠ADC=π3,求tanB(2)若b2+c2=8,求b,c.

類型一三角形中線例1[2023·安徽安慶一模]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=4,cosB+cosA(1)若c=23,求sinA;(2)若AB邊上的中線長(zhǎng)為372,求邊AB的長(zhǎng)自測(cè)題[2023·濰坊模擬]設(shè)鈍角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a2+b2-c2)R=ab2,其中R是△ABC外接圓的半徑.(1)若B=7π12,求C的大小(2)若CD=2DA,∠CBD=π2,證明:△ABC為等腰三角形類型二三角形角平分線例2[2023·山東泰安模擬]在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足sinAsinC-1=sin2(1)求證:B=2C;(2)已知BD在∠ABC的平分線上,D在AC邊上,若a=6,求線段BD長(zhǎng)度的取值范圍.自測(cè)題[2023·蘇州三模]在△ABC中,∠ABC=π2,點(diǎn)D,E在邊BC上,∠BAD=∠DAE=∠EAC,且BD=3,DE=5(1)求邊AB的長(zhǎng);(2)求△AEC的面積.類型三四邊形問(wèn)題例3[2023·福建漳州質(zhì)檢]在平面四邊形ABCD中,∠ABC=π2,∠BCD=3π4,BD=5,CD=(1)求cos∠CBD;(2)若△ABD為銳角三角形,求△ABD的面積的取值范圍.自測(cè)題[2023·泰安二模]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2,b=3,cosB=-13(1)求sinC;(2)若點(diǎn)D在△ABC的外接圓上,且∠ABD=∠CBD,求線段AD的長(zhǎng).【規(guī)律提煉】1.解三角形實(shí)際就是利用正余弦定理及三角恒等變換等三角知識(shí)解決邊角關(guān)系問(wèn)題;2.在解決多三角形問(wèn)題時(shí),要關(guān)注題目中幾何性質(zhì)的應(yīng)用,如求中線長(zhǎng)時(shí)可結(jié)合平面向量知識(shí),注意角平分線定理的運(yùn)用,當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)注意對(duì)角互補(bǔ)等.

微專題4平面向量微點(diǎn)1基底法應(yīng)用例1(1)[2023·山東濰坊二模]在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD=13BC,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),記AB=a,AC=b,則BE= ()A.-13a+13b B.-23aC.-13a-13b D.23a(2)[2023·石家莊模擬]在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中,若點(diǎn)D滿足BD=2DC,則AD·BC=.

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自測(cè)題1.[2023·福建泉州模擬]在正方形ABCD中,E在邊CD上,且CE=2ED,AE與對(duì)角線BD交于F,則AF= ()A.13AB+B.34ABC.14AB+D.13AD2.[2023·安徽淮南二模]在△ABC中,已知∠ACB=2π3,BC=4,AC=3,D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E滿足AE=34AB+14AC,則CD·DEA.-58 B.-C.12 D.微點(diǎn)2坐標(biāo)法應(yīng)用例2[2023·江蘇無(wú)錫四校聯(lián)考]勒洛三角形是一種典型的定寬曲線,以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖所示,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,P為勒洛三角形的弧AC上的點(diǎn),且∠PBC=45°,則BP·CP的值為 ()A.4-2 B.4+2C.4-22 D.4+22[聽(tīng)課筆記](méi)

自測(cè)題1.[2023·湖南懷化二模]如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則EA·EB的最小值為 ()A.2116 B.C.34 D.2.[2023·全國(guó)甲卷]已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,則cos<a-c,b-c>= ()A.-45 B.-C.25 D.微點(diǎn)3投影法應(yīng)用例3(1)[2023·浙江Z20名校聯(lián)考]已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正十二邊形A1A2…A12的邊上任意一點(diǎn),則A1P·A1A2A.-3-12 C.-3 D.-2(2)[2023·廣東佛山一模]如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為P,且AP=1,則AP·AC=.

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自測(cè)題1.若向量a=(-1,2),b=(3,-4),則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為 ()A.-3325,4425 C.(33,44) D.(-