第9講【圓錐曲線】計算技巧系列10講-圓錐曲線系方程如何巧用

【圓錐曲線】計算技巧系列10講——圓錐曲線系方程如何巧用？應用曲線系方程解題，即引入適當?shù)膮?shù)先設出符合部分條件的曲線系方程，然后根據(jù)題中的其他條件，通過推理，運算求出曲線系方程中的參數(shù)值，從而實現(xiàn)問題的解決.運用曲線系方程往往可以回避聯(lián)立解方程組、求交點坐標等帶來的麻煩，既減少了計算量，又體現(xiàn)了參數(shù)變化、整體處理、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學思想方法。當然，由于曲線系方程的多樣化、所給問題條件的隱蔽性，應用曲線系方程解題雖然減少了運算量，但對技巧的要求頗高，在高中數(shù)學競賽中運用較為廣泛，本文對各類圓雉曲線系方程進行歸納總結.【知識精講】曲線系方法是優(yōu)化圓錐曲線運算的一種重要方法，它本質上是對圓錐曲線的一種更深層的認識.一．基本原理【定理1】【定理1】給定五個點，其中任何三個點都不共線，則過這五個點有且僅有一條圓錐曲線.進一步可得：由組成的曲線：.【定理2】【定理2】圓錐曲線上的四點共圓問題：設圓錐曲線方程為，則存在四點共圓的情況必為，由于沒有的項，必有.【定理2】即是四點共圓的充要條件：設兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是.【證明】由組成的曲線即所以經(jīng)過它與的四個交點的二次曲線一定能表示成以下形式不同時為0)：③必要性.若四個交點共圓，則存在使方程③表示圓，所以式③左邊的展開式中含項的系數(shù).而(否則③表示曲線，不表示圓)，所以.充分性.當時，式③左邊的展開式中不含的項，選時，再令式③左邊的展開式中含項的系數(shù)相等，即，得.此時曲線③即④的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡.而題中的四個交點都在曲線④上，所以曲線④表示圓.這就證得了四個交點共圓.二．結論歸納圓錐曲線系方程:(1)共頂點圓錐曲線系方程(1)共頂點圓錐曲線系方程為參數(shù)).(2)共漸近線雙曲線系方程為參數(shù),.(3)共焦點圓錐曲線系方程:(3)共焦點圓錐曲線系方程:為焦半徑,為參數(shù)).當時,表示共焦點橢圓系;當一時,表示共焦點雙曲線系;當時,無軌跡.(4)共離心率圓錐曲線系方程為參數(shù),).(5)過兩圓錐曲線4個交點的圓錐曲線系:若是有4個交點的二次曲線,則是過的交點的圓雉曲線系,其中不包括為參數(shù)).(6)過兩條直線與圓錐曲線4個交點的圓錐曲線系:(6)過兩條直線與圓錐曲線4個交點的圓錐曲線系:若與圓錐曲線有4個交點,則方程為過4個交點的圓錐曲線系方程.【真題精講】例1.例1.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．【解析】（1）（曲線系）點處的切線方程為，設直線的方程為，的方程為，的方程，則過這四條直線交點的二次曲線方程為.又因為雙曲線過這些交點，比較的系數(shù)得.又由，所以.（2）不妨設直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因為kAP+因為tan∠PAQ=22，所以tanβ?α=2即2tan2α?tanα?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因為方程有一個根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0，PQ=163，點故△PAQ的面積為12例2例2．（2021新高考1卷）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【解析】因為，由圓冪定理知A，B，P，Q四點共圓．設,直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點共圓，則xy項的系數(shù)為0，即.例3.例3.（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【解析】（2）設，則，將寫成雙直線二次曲線:，因為是雙直線二次曲線與橢圓的交點,聯(lián)立方程:，考慮到是已知的，且縱坐標均為，則聯(lián)立后的方程必有因式于是將①式按整理得:由①:，代入得:，由于交點滿足聯(lián)立后的方程，且縱坐標不為，（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）于是滿足方程，即直線的方程為:，按整理得，令得定點.例4例4．（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【解析】（2）A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得，將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．【典例精講】(1)求漸近線方程為,焦點為橢圓的一對頂點的雙曲線的方程；(2)求與雙曲線有共同的漸近線,且與直線相切的標準雙曲線方程.【分析】當已知雙曲線的漸近線方程為或)時,可設雙曲線的方程為或(其中為不等于零的待定常數(shù),以簡化運算過程,這里方程且)稱之為與雙曲線共漸近線的雙曲線系,為解題帶來方便.【解析】依題意,可設雙曲線的方程為是正實數(shù)),當雙曲線的焦點為橢圓的長軸的頂點,即與時,由,可得,雙曲線的方程為;當雙曲線的焦點為橢圓的短軸的頂點,即與時,雙曲線的方程為是正實數(shù)),即.雙曲線的方程為（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）(2)【解法1】(利用共漸近線雙曲線系方程結合判別式法)設所求雙曲線的方程為,此雙曲線與直線相切,且顯然其漸近線都不平行于直線∴由方程組消去,得,其判別式,解得.故所求雙曲線的標準方程為,即.【解法2】(利用共漸近線雙曲線系方程結合待定系數(shù)法)設所有雙曲線的方程為,即,設其與直線相切的切點為,則切線方程為有.代人雙曲線方程中并化簡得,故所求雙曲線的標準方程為.【解法3】(利用共漸近線雙曲線系方程結合雙曲線參數(shù)方程解)設所求雙曲線方程為,雙曲線上一點的坐標為,,以此點為切點的雙曲線的切線方程為化簡得.它和直線重合,,即,由等比定理得,即,代人原雙曲線方程得,此即為所求.討論方程所表示的曲線.【分析】觀察方程可以發(fā)現(xiàn)其中心在原點,是有心曲線,對稱軸為坐標軸,若,則方程表示橢圓系,若方程表示則曲線系,.所有的曲線焦點相同,因此,原方程表示中心在原點,對稱軸為坐標軸,有相同焦點的圓錐曲線系.【解析】由所給方程知且,原方程可化為它表示中心在原點,對稱軸為兩坐標軸的有心圓錐曲線系.(1)當時,它的曲線是橢圓.焦點為和(2)當時,它的曲線是雙曲線.焦點為和(3)當時,,方程無實數(shù)解,故方程無軌跡.因此,原方程表示的是具有同一中心,相同對稱軸、相同焦點的有心圓錐曲線系.已知圓和雙曲線,求通過它們的4個交點和點的二次曲線方程.【分析】構造過圓與雙曲線4個交點的圓錐曲線系,而圓錐曲線系過點,2),可待定參數(shù)的值,從而大大減少運算量.【解析】圓方程和雙曲線方程可分別寫成,將其中第二個方程乘以任意實數(shù),然后與第一個方程相加,得圓和雙曲線的任一交點的坐標同時滿足圓方程和雙曲線的方程,因而使式左邊兩個括號里面代數(shù)式的值同時為0,所以這些交點都在①式表示的二次曲線上.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）將點的坐標代入(1)式,得將所得值代入(1)式,得化簡得,即所得的曲線是一個橢圓,它的中心是點,焦點在軸上,長半軸和短半軸分別是和(如圖所示)．一條圓錐曲線過點,切直線于點,切直線于點,求它的方程.【分析】由于圓錐曲線的形態(tài)不清楚,無法直接求解,只能通過圓錐曲線系來解,如何列出符合條件的圓錐曲線系是關鍵.【解析】過點的直線方甶為,①由于都是切點,直線(1)可以看作是兩條重合的直線(退化了的曲線),于是所求方程可寫成.②再由曲線過點,代人(2)式,解得.故所求方程為.(1)(蝴蝶定理)過圓弦的中點,任意作兩弦和和交弦于,求證:;(2)是圓的一條定弦,為上的定點,過點作圓的兩條弦和,弦和交于點,弦與交于點求證: 【分析】運用曲線系方程證明蝴蝶定理及其推廣比用平面幾何知識證明要簡便許多.【證明】(1)如圖所示,以為原點,所在直線為軸建立直角坐標系,設圓方程為設直線的方程分別為.將它們合并為,于是過點的曲線系方程為令,得,即過點的曲線系與交于點的橫坐標是方程的兩個根.由韋達定理得,即是的中點,故(2)如圖所示,以為原點,直線為軸建立平面直角坐標系,設圓的方程為則直線合成的二次曲線方程為從而,經(jīng)過這4點的曲線系方程為（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）0存在,使得(1)為直線合成的二次曲線.在①中,令,則是方程的兩個根.由韋達定理得.在(1)中,令,則是方侱的兩個根.由韋達定理得,【提升訓練】1.已知任意二次曲線是曲線的弦,是的中點,過點任意作弦、,過點另作一條任意二次曲線,如果曲線與直線交于點、,求證:【分析】上例5.介紹了平面幾何蝴蝶定理的證明和應用,本例是平面幾何蝴蝶定理的推廣,從圓一步飛躍到任意的二次曲線,聯(lián)結圓上4點的兩直線和也直接換成一般的二次曲線,從蝴蝶定理的特殊圖形里看到一般的二次曲線系,升級換代、一次到位,不是拾級而上,而是直上高樓,美景無限.觀察如圖所示圖形,里面是否隱藏著一只飛舞的蝴蝶?【證明】如圖所示,取直線為軸,為原點,方向為軸的正方向建立直角坐標系.設,則點的坐標為,點的坐標為.二次曲線通過點,在曲線的方程中,當時,應有.因而二次曲線的方程形如：又：弦者通過原點,且與直線相交(因而都不是軸).可設它們的方程分別為這一對直線和合在一起,可以看成一條退化二次曲線.其方程為.(2)曲線(1)和(2)相交于點,利用曲線系知識,通過的二次曲線系的方程為,(3)若曲線(3)中的一條二次曲線交軸于點和點,則在(3)式中以代人,得,(4)和應該是所得二次方程(4)的兩個實數(shù)根,由二次方程根與系數(shù)的關系,得,即.2.(1)4條直線圍成一個四邊形,問取何值時,該四邊形有一個外接圓,并求出外接圓的方程;（2)已知橢圓與雙曲線有4個交點,求證:此4個交點共圓,并求出此圓的中心坐標.【分析】第(1)問,用直線方程交,點構成的二次其線系方程求解;第(2)問,用過兩圓錐曲線交點的二次曲線系方程求解或證明.【解析】（1）設過該四邊形4個頂點的二次曲線系方程為(2)【證明】設過和交點的曲線系方程為(不包括,即（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）顯然,當,即時,曲線系方程表示一個過和交點的圓.將代人曲線系方程化簡得:,即橢圓與雙曲線的4個交點共圓。不難得到此圓的中心坐標即圓心坐標為.3.求過這5點的二次曲線方程.【分析】寫出過其中4點的二次曲線系,用第5點的坐標代入確定參數(shù)的值.【解析】過的直線方程為,過的直線方程為,兩者合并為.直線的方程為,直線的方程為,兩者合并為因此,過這4點的二次曲線系方程為.所求二次曲線必須經(jīng)過點.代人解得,從而所求二次曲線方程為.即.4.已知點為橢圓上異于點的任意兩點,且若點在線段上的射影為,求點的軌跡方程.【分析】在運用曲線手方程解題時,曲線系方程中包含著一些特殊情況,如本題中設出經(jīng)過三,點的曲線系,其中包含橢圓在點處的切線和直線,這點務必請注意到.【解析】易知直線的斜率均存在且不為0,設則經(jīng)過點的曲線系方程為(1)即,其中包含過點的橢圓的切線.方程左邊多項式中必含有因子,把代人(1)式得,而不恒等于0,故,即此時直線的方程為,即恒過定點如圖所示,由知,點的軌跡是以線段為直徑的圓(除去點).,即,其方程為,即.5.求與拋物線相切于點兩點,且過點的圓錐曲線方程.【解析】【解法一】設過兩點的切線方程為,則,化簡得.則過兩切點的圓錐曲線系為,又曲線過點.代人圓錐曲線系方程可得所求圓錐曲線方程為【