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文檔簡介
2023年江西鷹潭高三二模理科數(shù)學(xué)試卷一、單選題1、如圖,兩個區(qū)域分別對應(yīng)集合,其中.則陰影部分表示的集合為(
)A.B.C.D.2、復(fù)數(shù)滿足(i是虛數(shù)單位),的共軛復(fù)數(shù)是,則的模是(
)A. B.4044 C.2 D.03、下列命題中錯誤的是(
)A.命題“”的否定是“”B.命題“若,則”的否命題為“若,則”C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件D.若“p或q”為假命題,則p,q均為假命題4、已知,,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的值為(
)A.2 B. C. D.15、若,則(
).A.B.C.D.6、已知等差數(shù)列滿足,則可能取的值是(
)A. B. C.4 D.67、“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠距離測量的估算方法,其具體方法是在同一天(如夏至)的正午,于兩地分別豎起同高的標桿,然后測量標桿的影長,并根據(jù)“日影差一寸,實地相距千里”的原則推算兩地距離.如圖,某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A,B兩地豎起高度均為a寸的標桿與,與分別為標桿與在地面的影長,再按影長與的差結(jié)合“寸影千里”來推算A,B兩地的距離.記,按照“寸影千里”原則,A,B兩地距離大約為(
)A.里B.里C.里D.里8、已知直線和圓滿足對直線上任意一點,在圓上存在點,使得,則實數(shù)的取值范圍是(
)A.B.C.D.9、已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點,且直線與軸交于點,與橢圓在第一象限內(nèi)交于點.若,則橢圓的離心率是A. B. C. D.10、已知函數(shù)的圖象如圖所示,圖象與x軸的交點為,與y軸的交點為N,最高點,且滿足.若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為,則(
)A. B.0 C. D.11、如圖,在棱長為2的正四面體ABCD中,點N,M分別為和的重心,P為線段CM上一點.(
)A.的最小為2B.若DP⊥平面ABC,則C.若DP⊥平面ABC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為D.若F為線段EN的中點,且,則12、已知二進制和十進制可以相互轉(zhuǎn)化,例如,則十進制85轉(zhuǎn)化二進制位.若將正整數(shù)n對應(yīng)的二進制中0的個數(shù)記為,例如.則,則下列結(jié)論正確的為(
)A. B. C. D.二、填空題13、在二項式的展開式中,常數(shù)項為
.14、冬奧會設(shè)有冬季兩項、雪車、冰壺、雪橇,滑冰,滑雪、冰球7個大項,現(xiàn)有甲、乙、丙三名志愿者,設(shè)A表示事件為“甲不是雪車項目的志愿者,乙不是雪橇項目的志愿者”,B表示事件為“甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者”,則
.15、已知直線,定點,是直線上的動點,若經(jīng)過點,的圓與直線相切,則這個圓的面積的最小值為
.16、在中,,D為BC的中點,則的最大值為
.三、解答題17、記Sn為數(shù)列的前n項的和,已知,是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,記數(shù)列的前n項和為Tn,試求除以3的余數(shù).某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性,進行小組投籃游戲;每個小組由兩名隊員組成,隊員甲與隊員乙組成一個小組.游戲規(guī)則如下:每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次,每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”,已知甲乙兩名隊員投進籃球的概率分別為p1,p2.若,,求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率;已知,則:①取何值時能使得甲、乙兩名隊員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大?并求出此時的最大概率;②在第①問的前提下,若甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號,則他們平均要進行多少輪游戲?如圖,在三棱柱中,△ABC是邊長為2的正三角形,頂點在底面ABC的投影為AB的中點O,已知與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為,M為棱上一點.求三棱錐的體積;若,求二面角的正弦值.已知雙曲線C:過點,且漸近線方程為.求雙曲線C的方程;如圖,過點的直線l交雙曲線C于點M、N.直線MA、NA分別交直線于點P、Q,求的值.已知函數(shù),,.判斷的單調(diào)性;若有唯一零點,求的取值范圍.在平面直角坐標系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.寫出曲線的參數(shù)方程;設(shè)是曲線上的動點,是曲線上的動點,求之間距離的最大值.已知,,.證明:;證明:.1、【答案】D;【解析】【分析】根據(jù)題意表示出集合,將集合中元素還原到圖形中,即可得到結(jié)果.【詳解】解:由題意知,,陰影部分表示的集合為,因為,所以.故選:D2、【答案】B;【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到,再求的模長即可.【詳解】因為,所以.所以,,所以.故選:B3、【答案】C;【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定、否命題的概念、兩直線平行的充要條件以及的真假進行判斷.【詳解】對于A,命題“”的否定是“”,故A正確;對于B,命題“若,則”的否命題為“若,則”,故B正確;對于C,若兩直線斜率相等,則兩直線平行或重合;但若兩直線平行,斜率可能不存在,故C錯誤;對于D,若“p或q”為假命題,則p,q均為假命題,故D正確.故選:C.4、【答案】B;【解析】【分析】根據(jù)程序框圖比較的大小,輸出三個數(shù)中的最小值.【詳解】根據(jù)程序框圖可知,執(zhí)行程序輸出的結(jié)果是三個數(shù)中的最小值.因為,,,所以,所以輸出的值為.故選:B.5、【答案】D;【解析】由已知得,即,即,所以,故選:.6、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)題意,令,,由等差數(shù)列的下標和性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè),,則,所以,故選:A.7、【答案】C;【解析】【分析】在直角三角形中利用正切表示出,再由同角三角函數(shù)及兩角和的余弦公式化簡,最后根據(jù)“寸影千里”的原則得解.【詳解】由題意可知,所以,所以可以估計A,B兩地的距離大約為里,故選:C.8、【答案】B;【解析】【分析】分析可知直線與圓相切或相離,可知圓心到直線的距離不小于圓的半徑,可得出關(guān)于實數(shù)的不等式,解之即可.【詳解】圓的標準方程為,圓心為,半徑為,因為對直線上任意一點,在圓上存在點,使得,所以直線與圓相切或相離,則,解得.故選:B.9、【答案】C;【解析】如圖,設(shè)橢圓的右焦點為.因為直線的斜率是,所以,所以.因為,所以.在中,由余弦定理可得,則.由橢圓的定義可得,則橢圓的離心率.故選:.10、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)圖象,利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)、向量垂直的充要條件以及誘導(dǎo)公式進行求解.【詳解】由圖象可知,,所以,又,所以,所以,又,所以,又,所以,所以,所以點的坐標為,因為,所以,即,又,解得,所以,將的圖象向左平移1個單位,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為,所以,故B,C,D錯誤.故選:A.11、【答案】D;【解析】【分析】A選項由線面垂直證得CM⊥BM,CM⊥AM,進而由點P與點M重合時即可判斷;B選項利用內(nèi)切球求得即可判斷;C選項找到球心,由勾股定理求得半徑,即可判斷;D選項由空間向量的線性運算即可判斷.【詳解】易得,又,則面,又面,則,同理可得,,則CM⊥平面ABD,又平面,所以CM⊥BM,CM⊥AM.則當點P與點M重合時,取得最小值,又,則最小值為,A錯誤.在正四面體ABCD中,因為DP⊥平面ABC,易得在上,所以,又點N,M也是和的內(nèi)心,則點P為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心.,.設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r,因為,所以,解得,即,故,B錯誤.設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O,半徑為R,易得球心在直線上,且,則,解得,故三棱錐P-ABC外接球的表面積為,C錯誤.若F為線段EN的中點,則,.設(shè),則.因為,所以設(shè),則解得故,D正確.故選:D.12、【答案】C;【解析】【分析】根據(jù)題意,設(shè)正整數(shù),得到正整數(shù)的二進制系數(shù)和,及正整數(shù)的二進制系數(shù)中0的個數(shù)為,進而逐項判定,即可求解.【詳解】設(shè)正整數(shù)(其中個系數(shù),其中)則正整數(shù)的二進制系數(shù)和(也是正整數(shù)的二進制系數(shù)中1的個數(shù)),所以正整數(shù)的二進制系數(shù)中0的個數(shù)為,因為,所以,所以,所以B錯誤;因為,所以的二進制系數(shù)中1的個數(shù)為,所以0的個數(shù),所以A錯誤;因為,所以的二進制系數(shù)中1的個數(shù)為,而,所以的二進制系數(shù)中1的個數(shù)為,所以,故的二進制的系數(shù)中0的個數(shù)為,所以C正確;因為,所以系數(shù)和,所以的二進制中0的個數(shù)為,所以D錯誤.故選:C.13、【答案】240;【解析】【分析】根據(jù)二項式定理,展開式中要出現(xiàn)常數(shù)項即需要消掉,不難發(fā)現(xiàn),當?shù)拇畏綖?次方時即可為常數(shù)項.【詳解】常數(shù)項為:.故答案為:240.14、【答案】;【解析】【分析】通過條件概率的公式與求法分析求解即可.【詳解】,表示A事件與B事件同時發(fā)生的概率,冬奧會設(shè)有7個大項,有甲、乙、丙三名志愿者,則每人可有7種選擇,共有種選擇,對B事件:若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者,則,對于AB事件:若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者,甲不是雪車項目的志愿者,乙不是雪橇項目的志愿者,甲不能選雪車,則甲有6種選法,乙有6種選法,丙有5種選法,共種,但甲不選雪橇,則乙就有可能選雪橇,則要減去乙選雪橇,甲從剩下的5種選,丙依然有5種選擇,共種,則,則.15、【答案】;【解析】【分析】確定的軌跡為拋物線,拋物線方程為,當點與原點重合時,半徑最小為,計算得到面積.【詳解】根據(jù)題意,設(shè)圓的圓心為,則圓心到的距離等于到直線的距離,故的軌跡為拋物線,拋物線方程為,當點與原點重合時,半徑最小為,此時,圓心到直線的距離為,直線與圓有交點,滿足,圓的面積的最小值為.故答案為:16、【答案】;【解析】【分析】先設(shè),由三角形三邊關(guān)系得到,再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到,從而利用換元與基本不等式求得的最小值,結(jié)合與在上的單調(diào)性即可求得的最大值.【詳解】設(shè),則,因為為的中點,,所以,由三角形三邊關(guān)系,可知且,解得,在中,由余弦定理,得,在中,由余弦定理,得,因為,所以,所以,解得,則,,令,則,,,則,當且僅當,即時,等號成立,此時,解得,因為,所以.因為在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當取得最小值時,取得最大值,此時,則,所以的最大值為.故答案為:..【點睛】關(guān)鍵點睛:本題中突破口為,由此得到,再結(jié)合余弦定理得到,最后利用基本不等式即可得解.17、【答案】(1)(2)2;【解析】(1)由是公差為的等差數(shù)列,且,則,即,當時,,兩式相減可得:,即,因為滿足上式,所以數(shù)列的通項公式為(2)由(1)可得,所以,又,因為均為正整數(shù),所以存在正整數(shù)使得,故,所以除以3的余數(shù)為2.18、【答案】(1)(2)①當時,最大概率為;②625;【解析】(1)每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”,則可能的情況有①甲投中一次,乙投中兩次;②甲投中兩次,乙投中一次;③甲投中兩次,乙投中兩次,,他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為(2)①通過題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率,又,則,令,則,在上單調(diào)遞增,則,此時.②他們小組在輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)滿足,,則,平均要進行625輪游戲.19、【答案】(1)(2);【解析】【分析】(1)通過選擇不同的底面和高,將求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積;(2)建立合適的空間直角坐標系,即可求解.【詳解】(1)因為在三棱柱中,O為在底面投影,所以面ABC,面.又因為O為AB中點,所以,AC=2,所以.因為與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為,且面ABC,所以,,所以.(2)以O(shè)為原點,OB,OC,為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,可得,,,,,又因為,所以,所以,,.設(shè)為平面ABM的一個法向量,則即,令,則;設(shè)為平面CBM的一個法向量,則
即,令,則.所以.所以二面角的正弦值為.20、【答案】(1)(2)1;【解析】【分析】(1)根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線C的方程為,代入點,運算求解即可得結(jié)果;(2)設(shè),根據(jù)題意求點的坐標,結(jié)合韋達定理證明,即可得結(jié)果,注意分類討論直線是否與軸垂直.【詳解】(1)∵雙曲線C的漸近線方程為,則可設(shè)雙曲線C的方程為,代入點,即,故雙曲線C的方程為.(2)由雙曲線C的方程為的方程可得,由題意可得點,則有:當直線l與軸垂直時,則,可得直線,令,則,即點,同理可得:點,故,即;當直線l不與軸垂直時,設(shè)直線,聯(lián)立方程,消去x得,則,可得直線,令,則,即點,同理可得:點,∵,即點關(guān)于x軸對稱,故,即;綜上所述:的值為1.【點睛】方法定睛:求解定值問題的三個步驟(1)由特例得出一個值,此值一般就是定值;(2)證明定值,有時可直接證明定值,有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān);也可令系數(shù)等于零,得出定值;(3)得出結(jié)論.21、【答案】(1)在上單調(diào)遞增.(2).;【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷其正負,即可確定函數(shù)單調(diào)性.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對a分類討論,判斷函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)最值以及零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù),綜合即可求得答案.【詳解】(1)定義域為,記,當時,;當時,,∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,∴在上單調(diào)遞增.(2
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