棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積 同步練習(xí) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.已知正三棱柱的體積為62A.1 B.3 C.2 D.62.如圖,等邊三角形△ABC的邊長(zhǎng)為4,D,E,F分別為AB,BC和AC的中點(diǎn),將△BDE、△CEF、△ADF分別沿DE、EF和DF折起,使A,B,C三點(diǎn)重合,求折疊后得到的四面體的體積.3.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為()A.56 B.282C.563 D.4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m35.《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)(棱臺(tái)的上下底面均為正方形)稱為方亭.如圖,現(xiàn)有一方亭ABCD-EFHG,其中上底面與下底面的面積之比為1∶4,方亭的高h(yuǎn)=EF,BF=62EF,方亭的四個(gè)側(cè)面均為全等的等腰梯形,已知方亭四個(gè)側(cè)面的面積之和為125,則方亭的體積為()A.24 B.643 C.563 6.已知長(zhǎng)方體的表面積是24cm2,過同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和是6cm,則它的體對(duì)角線長(zhǎng)是()A.14cm B.4cmC.32cm D.23cm7.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,∠A1C1B1=90°,A1C1=1,AA1=3,D是線段A1B1的中點(diǎn).棱柱ABC-A1B1C1被平面AC1D分成的兩部分的體積比為()A.1∶3 B.1∶4 C.2∶3 D.1∶58.如圖1所示,已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為2a,沿陰影面將它切割成兩部分,拼成如圖2所示的幾何體,那么此幾何體的表面積為()圖1圖2A.(1+22)a2 B.(2+2)a2C.(3+22)a2 D.(4+22)a29.2022年北京冬奧會(huì)的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”.其中2008年北京奧運(yùn)會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館之一的“水立方”搖身一變成為了“冰立方”.“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來自威爾—弗蘭泡沫,威爾—弗蘭泡沫是對(duì)開爾文胞體的改進(jìn),開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)正方形和兩個(gè)正六邊形),已知該多面體共有24個(gè)頂點(diǎn),且棱長(zhǎng)為2,則該多面體的表面積是()A.24(3+1) B.243+6C.483+24 D.163+810.如圖,用鋼澆鑄一個(gè)厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器,設(shè)容器的高為h米,蓋子的邊長(zhǎng)為a米.(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)h為何值時(shí),容器的容積V最大?并求出V的最大值.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.12.一個(gè)相對(duì)棱長(zhǎng)都相等的四面體,其三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為5,10,13,求此四面體的體積.13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn),則三棱錐A-NMD1的體積為.

14.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)注》中記載:“斜解立方(即長(zhǎng)方體)得二塹堵,斜解塹堵,其一為陽(yáng)馬,其一為鱉臑”.如圖所示,自左向右依次為立方、塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑,若AB=BC=1,AA1=2,則鱉臑的表面積為()A.2+5 B.2+3 C.1+52 D.1+15.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為()A.5-14 B.5-1216.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為()A.34 B.32 C.3317.有一個(gè)封閉的正三棱柱容器,高為12,內(nèi)裝水若干(如圖1,底面處于水平狀態(tài)),將容器放倒(如圖2,一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài)),這時(shí)水面與各棱的交點(diǎn)E、F、E1、F1分別為所在棱的中點(diǎn),則圖1中水面的高度為.

圖1圖218.如圖甲,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器一邊AB于地面上,再將容器慢慢傾斜.給出下面幾個(gè)結(jié)論:圖甲圖乙圖丙①圖甲中水面EFGH所在四邊形的面積為定值;②圖乙中四邊形ADHE的面積為定值;③圖丙中AE·AH為定值;④若AA1=8,AB=6,記h1、h2分別是將四邊形ABCD和ADD1A1水平放在地面上時(shí)的水面高度,則h1h2其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

19.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn),截下一個(gè)四棱錐E-ABCD.(1)求四棱錐E-ABCD的表面積;(2)求四棱錐E-ABCD的體積與剩余部分的體積之比;(3)若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),求三棱錐C-DEF的體積.20.如圖,兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體,可放入一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體內(nèi),且長(zhǎng)方體的正方形底面邊長(zhǎng)為2,高為4,已知兩個(gè)正四棱錐重合的底面與長(zhǎng)方體的正方形底面平行,八面體的各頂點(diǎn)均在長(zhǎng)方體的表面上.(1)若點(diǎn)A,B,C,D恰為長(zhǎng)方體各側(cè)面對(duì)角線的交點(diǎn),求該八面體的體積;(2)求該八面體表面積S的取值范圍.

參考答案8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.答案：C2.解析：如圖所示.設(shè)A,B,C三點(diǎn)重合于S,折疊后得到的四面體為正四面體S-DEF,設(shè)O為S在底面的投影,則正四面體的棱長(zhǎng)為2,且SO⊥OD.OD=23×32×2=233,則SO=所以折疊后得到的四面體的體積V=13×12×2×2×32×23.答案：D4.答案：C5.答案：C6.答案：D7.答案：D8.答案：D9.答案：C10.解析：(1)連接AC,BD,交點(diǎn)為O,連接PO,則PO即為正四棱錐的高,取CD的中點(diǎn)E,連接OE,EP,則OE=12由勾股定理得,PE=h2由題意得,a2+4×12ah整理得,a=1+h(2)V=13a2h=h3(因?yàn)閔+1h≥2h·1h=2,當(dāng)且僅當(dāng)h=故當(dāng)h=1時(shí),容器的容積V最大,Vmax=16解析：如圖,連接EB,EC,AC,則V四棱錐E-ABCD=13×42×3=16.因?yàn)锳B=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.所以V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB=12V三棱錐C-ABE=12V三棱錐E-ABC=12×1(將三棱錐F-EBC的體積進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化,最終轉(zhuǎn)化為四棱錐E-ABCD體積的四分之一).所以該多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC=20.解析：如圖,將四面體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體,設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=x,AD=y,AB=z,不妨設(shè)BD=13,A1D=5,A1B=10,則有x2+是,V四面體BDA1C1=V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1-V三棱錐A1-ABD-V三棱錐13.答案：114.答案：A15.答案：C16.答案：B17.答案：918.答案：②③④19.解析：(1)易知△ABE≌△ADE,△BCE≌△DCE,所以S△ABE=S△ADE,S△BCE=S△DCE.S正方形ABCD=22=4,S△BCE=12BC·CE=1BE=BC2+CE2=5,則S△ABE=12AB·BE=所以四棱錐E-ABCD的表面積S=S正方形ABCD+S△BCE+S△DCE+S△ABE+S△ADE=4+2×1+2×5=6+25.(2)因?yàn)镋C為四棱錐E-ABCD的高,且EC=1,所以V四棱錐E-ABCD=13S正方形ABCD·EC=13×4×1=又正方體體積V1=23=8,所以V四棱錐E-ABCD∶V1=43∶8=1∶設(shè)剩余部分的體積為V2,則V四棱錐E-ABCD∶V2=1∶5.(3)S△CDF=12S正方形ABCD易知EC為三棱錐E-CDF的高,故V三棱錐C-DEF=V三棱錐E-CDF=13S△CDF·EC=13×2×1=20.解析：(1)∵點(diǎn)A,B,C,D恰為長(zhǎng)方體各側(cè)面對(duì)角線的交點(diǎn),∴AB=BC=CD=AD=2,∴V八面體=2V四棱錐E-ABCD=2×13×2×2×2=8(2)如圖1,設(shè)平面ABCD截長(zhǎng)方體所得截面為A'B'C'D',且A'B'C'D'的中心為O,過點(diǎn)O作OG⊥A'B',垂足為G,連接OA.圖1圖2由對(duì)稱性,不妨設(shè)AA'=x(0≤x≤1),則AG=1-x,AO2=AG2+GO2=(1-x)2+1,AD2=(2-x)2+x2=2(x2-2x