2020年甘肅省天水市中考數(shù)學試卷（含解析版）

2020年甘肅省天水市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來）1．（4分）下列四個實數(shù)中，是負數(shù)的是（）A．﹣（﹣3） B．（﹣2）2 C．|﹣4| D．﹣2．（4分）天水市某網(wǎng)店2020年父親節(jié)這天的營業(yè)額為341000元，將數(shù)341000用科學記數(shù)法表示為（）A．3.41×105 B．3.41×106 C．341×103 D．0.341×1063．（4分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對面上的漢字是（）A．文 B．羲 C．弘 D．化4．（4分）某小組8名學生的中考體育分數(shù)如下：39，42，44，40，42，43，40，42．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，415．（4分）如圖所示，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上一點，連接AC、BC，若∠P＝70°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°6．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．（4分）若函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax+b和y＝在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．8．（4分）如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m9．（4分）若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣410．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．只要求填寫最后結(jié)果）11．（4分）分解因式：m3n﹣mn＝．12．（4分）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為．13．（4分）已知函數(shù)y＝，則自變量x的取值范圍是．14．（4分）已知a+2b＝，3a+4b＝，則a+b的值為．15．（4分）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是．16．（4分）如圖所示，若用半徑為8，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的底面半徑是．17．（4分）如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為（2，3），則點F的坐標為．18．（4分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．若DF＝3，則BE的長為．三、解答題（本大題共3小題，共28分．解答時寫出必要的文字說明及演算過程）19．（8分）（1）計算：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1．（2）先化簡，再求值：﹣÷，其中a＝．20．（10分）為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在某個小區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計．將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中的信息，解決下列問題：（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為人；（2）請你補全條形統(tǒng)計圖；（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為度；（4）該興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性．請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率．21．（10分）如圖所示，一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于第二、四象限的點A（﹣2，a）和點B（b，﹣1），過A點作x軸的垂線，垂足為點C，△AOC的面積為4．（1）分別求出a和b的值；（2）結(jié)合圖象直接寫出mx+n＞中x的取值范圍；（3）在y軸上取點P，使PB﹣PA取得最大值時，求出點P的坐標．四、解答題（本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）22．（7分）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達B處，此時測得燈塔P在北偏東45°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD＝2，AB＝6，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．24．（10分）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為．（用含α的式子表示）25．（10分）天水市某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數(shù)量相同．商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元．（1）A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？（2）商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進貨方案？（3）“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優(yōu)惠m（10＜m＜20）元，B種商品售價不變，在（2）的條件下，請設(shè)計出m的不同取值范圍內(nèi)，銷售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案．26．（13分）如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A（﹣2，0），點C的坐標為C（0，6），對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值；（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

2020年甘肅省天水市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來）1．（4分）下列四個實數(shù)中，是負數(shù)的是（）A．﹣（﹣3） B．（﹣2）2 C．|﹣4| D．﹣【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義、乘方的定義、絕對值的性質(zhì)及負數(shù)和正數(shù)的概念判斷可得．【解答】解：A．﹣（﹣3）＝3，是正數(shù)，不符合題意；B．（﹣2）2＝4，是正數(shù)，不符合題意；C．|﹣4|＝4，是正數(shù)，不符合題意；D．﹣是負數(shù)，符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查實數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義、乘方的定義、絕對值的性質(zhì)及負數(shù)和正數(shù)的概念．2．（4分）天水市某網(wǎng)店2020年父親節(jié)這天的營業(yè)額為341000元，將數(shù)341000用科學記數(shù)法表示為（）A．3.41×105 B．3.41×106 C．341×103 D．0.341×106【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：341000＝3.41×105，故選：A．【點評】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（4分）某正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對面上的漢字是（）A．文 B．羲 C．弘 D．化【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特點，得出相對的面，進而得出答案．【解答】解：根據(jù)正方體表面展開圖可知，“相間、Z端是對面”，因此“伏與化”相對，“弘與文”相對，“揚與羲”相對，故選：D．【點評】本題考查正方體的表面展開圖的特征，掌握正方體展開圖的對面的判定方法是正確選擇的前提．4．（4分）某小組8名學生的中考體育分數(shù)如下：39，42，44，40，42，43，40，42．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41【分析】先將數(shù)據(jù)按照從小到大重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解可得．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為39，40，40，42，42，42，43，44，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為42，中位數(shù)為＝42，故選：C．【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．5．（4分）如圖所示，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上一點，連接AC、BC，若∠P＝70°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】連接OA、OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA，OB⊥PB，則利用四邊形內(nèi)角和計算出∠AOB＝110°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)．【解答】解：連接OA、OB，如圖，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°．故選：B．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓心角定理．6．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．7．（4分）若函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax+b和y＝在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知a＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)可知b＜0，再由函數(shù)圖象交y軸的正坐標可知c＞0，利用排除法即可得出正確答案．【解答】解：∵由函數(shù)圖象交y軸的正坐標可知c＞0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象必在一、三象限，故C、D錯誤；∵據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知a＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，b＜0，∴函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過一三四象限，故A錯誤，B正確．故選：B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出CD的長，從而可以解答本題．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故選：A．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（4分）若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4【分析】先解不等式得出x≤，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出2≤＜3，解之可得答案．【解答】解：∵3x+a≤2，∴3x≤2﹣a，則x≤，∵不等式只有2個正整數(shù)解，∴不等式的正整數(shù)解為1、2，則2≤＜3，解得：﹣7＜a≤﹣4，故選：D．【點評】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的基本步驟和依據(jù)，并根據(jù)不等式的整數(shù)解的情況得出某一字母的不等式組．10．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根據(jù)已知條件和2100＝S，將按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和．【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故選：A．【點評】本題考查了規(guī)律型﹣數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．只要求填寫最后結(jié)果）11．（4分）分解因式：m3n﹣mn＝mn（m﹣1）（m+1）．【分析】先提出公因式mn，再利用平方差公式即可解答．【解答】解：m3n﹣mn＝mn（m2﹣1）＝mn（m﹣1）（m+1），故答案為：mn（m﹣1）（m+1）．【點評】本題考查了提公因式法和公式法進行分解因式，解決本題的關(guān)鍵是熟記提公因式法和公式法．12．（4分）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為13．【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6，∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6＝13．故答案為：13．【點評】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．13．（4分）已知函數(shù)y＝，則自變量x的取值范圍是x≥﹣2且x≠3．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：x+2≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣2且x≠3．故答案為：x≥﹣2且x≠3．【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當函數(shù)表達式是二次根式時，考慮被開方數(shù)為非負數(shù)．14．（4分）已知a+2b＝，3a+4b＝，則a+b的值為1．【分析】用方程3a+4b＝減去a+2b＝，即可得出2a+2b＝2，進而得出a+b＝1．【解答】解：a+2b＝①，3a+4b＝②，②﹣①得，2a+2b＝2，解得，a+b＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵．15．（4分）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是．【分析】如圖，連接AB．證明△OAB是等腰直角三角形即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．（4分）如圖所示，若用半徑為8，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），則這個圓錐的底面半徑是．【分析】根據(jù)半徑為8，圓心角為120°的扇形弧長，等于圓錐的底面周長，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意得，＝2πr，解得，r＝，故答案為：．【點評】本題考查弧長的計算方法，明確扇形的弧長與圓錐底面周長的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為（2，3），則點F的坐標為（﹣1，5）．【分析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點G的坐標，再由正方形的中心對稱的性質(zhì)求得點F的坐標．【解答】解：如圖，過點E作x軸的垂線EH，垂足為H．過點G作x軸的垂線GM，垂足為M，連接GE、FO交于點O′．∵四邊形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM與△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵點F與點O關(guān)于點O′對稱，∴點F的坐標為（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．【點評】考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意求得點G的坐標是解題的難點．18．（4分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．若DF＝3，則BE的長為2．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根據(jù)題目中的條件，可以得到△EAG≌△EAF，再根據(jù)DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以求出BE的長，本題得以解決．【解答】解：法一：由題意可得，△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，設(shè)BE＝x，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，法二：設(shè)BE＝x，連接GF，如下圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABE＝∠GCF＝90°，∵△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴∠CAF＝90°，GA＝FA，∴△GAF為等腰直角三角形，∵∠EAF＝45°，∴AE垂直平分GF，∴∠AEB+∠CGF＝90°，∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CGF，∴△BAE∽△CGF，∴，∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，∴，∴x＝2，即BE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題（本大題共3小題，共28分．解答時寫出必要的文字說明及演算過程）19．（8分）（1）計算：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1．（2）先化簡，再求值：﹣÷，其中a＝．【分析】（1）先代入三角函數(shù)值、去絕對值符號、計算零指數(shù)冪、化簡二次根式、計算負整數(shù)指數(shù)冪，再計算乘法、去括號，最后計算加減可得；（2）先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將a的值代入計算可得．【解答】解：（1）原式＝4×﹣（2﹣）+1﹣2+4＝2﹣2++1﹣2+4＝3+；（2）原式＝﹣?＝﹣＝﹣＝＝，當a＝時，原式＝＝＝＝1．【點評】本題主要考查實數(shù)的混合運算與分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．20．（10分）為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學數(shù)學興趣小組在某個小區(qū)內(nèi)進行了調(diào)查統(tǒng)計．將調(diào)查結(jié)果分為不滿意，一般，滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到下列不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中的信息，解決下列問題：（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為50人；（2）請你補全條形統(tǒng)計圖；（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為144度；（4）該興趣小組準備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性．請用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率．【分析】（1）由非常滿意的有18人，占36%，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)；（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出滿意的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；（3）用360°乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案；（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1））∵非常滿意的有18人，占36%，∴此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)：18÷36%＝50（人）；故答案為：50；（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為：50﹣4﹣8﹣18＝20（人）；（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為：360°×＝144°；故答案為：144°；（4）畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，∴選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為：＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及條形與扇形統(tǒng)計圖的知識．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（10分）如圖所示，一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于第二、四象限的點A（﹣2，a）和點B（b，﹣1），過A點作x軸的垂線，垂足為點C，△AOC的面積為4．（1）分別求出a和b的值；（2）結(jié)合圖象直接寫出mx+n＞中x的取值范圍；（3）在y軸上取點P，使PB﹣PA取得最大值時，求出點P的坐標．【分析】（1）根據(jù)△AOC的面積為4和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定k的值，進而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，代入可求出點A、B的坐標，求出a、b的值；（2）根據(jù)圖象直接寫出mx+n＞的解集；（3）求出點A（﹣2，4）關(guān)于y軸的對稱點A′（2，4），根據(jù)題意直線A′B與y軸的交點即為所求的點P，求出直線A′B的關(guān)系式，進而求出與y軸的交點坐標即可．【解答】解：（1）∵△AOC的面積為4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合題意舍去），∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣，把點A（﹣2，a）和點B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；答：a＝4，b＝8；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可知，不等式mx+n＞的解集為x＜﹣2或0＜x＜8；（3）∵點A（﹣2，4）關(guān)于y軸的對稱點A′（2，4），又B（8，﹣1），則直線A′B與y軸的交點即為所求的點P，設(shè)直線A′B的關(guān)系式為y＝cx+d，則有，解得，，∴直線A′B的關(guān)系式為y＝﹣x+，∴直線y＝﹣x+與y軸的交點坐標為（0，），即點P的坐標為（0，）．【點評】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和應(yīng)用，把點的坐標代入是求函數(shù)關(guān)系式常用方法，作對稱點是求線段和或差最小值的常用方法．四、解答題（本大題共50分，解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）22．（7分）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達B處，此時測得燈塔P在北偏東45°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）由題意得，∠PAB＝30°，∠APB＝135°由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）作PH⊥AB于H，則△PBH是等腰直角三角形，BH＝PH，設(shè)BH＝PH＝x海里，求出AB＝20海里，在Rt△APH中，由三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）由題意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°；（2）作PH⊥AB于H，如圖：則△PBH是等腰直角三角形，∴BH＝PH，設(shè)BH＝PH＝x海里，由題意得：AB＝40×＝20（海里），在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，即＝，解得：x＝10+10≈27.32＞25，且符合題意，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行安全．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BD＝2，AB＝6，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）連接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分別求出△ODB和扇形DOF的面積即可．【解答】（1）證明：連接OD，如圖：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD為⊙O的半徑，∴直線BC是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OA＝OD＝r，則OB＝6﹣r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，∴r2+（2）2＝（6﹣r）2，解得：r＝2，∴OB＝4，∴OD＝＝＝2，∴OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，∴陰影部分的面積S＝S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．【點評】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，扇形的面積計算、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．24．（10分）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為：1．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+2，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為2sinα：1．（用含α的式子表示）【分析】性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解決問題．理解運用：①利用性質(zhì)探究中的結(jié)論，設(shè)CA＝CB＝m，則AB＝m，構(gòu)建方程求出m即可解決問題．②如圖2中，連接FH．求出FH，利用三角形中位線定理解決問題即可．類比拓展：利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB與AC的關(guān)系即可．【解答】解：性質(zhì)探究：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC?cos30°＝AC，∴AB：AC＝：1．故答案為：：1．理解運用：（1）設(shè)CA＝CB＝m，則AB＝m，由題意2m+m＝4+2，∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝2，∴AD＝DB＝，CD＝AC?sin30°＝1，∴S△ABC＝?AB?CD＝．故答案為：．（2）如圖2中，連接FH．∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是頂角為120°的等腰三角形，∴FH＝EF＝20，∵FM＝MG．GN＝GH，∴MN＝FH＝10．類比拓展：如圖1中，過點C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC?sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案為：2sinα：1．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題，學會構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（10分）天水市某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數(shù)量相同．商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元．（1）A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？（2）商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，該商店有幾種進貨方案？（3）“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優(yōu)惠m（10＜m＜20）元，B種商品售價不變，在（2）的條件下，請設(shè)計出m的不同取值范圍內(nèi)，銷售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案．【分析】（1）設(shè)A種商品每件的進價是x元，根據(jù)用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數(shù)量相同，列分式方程，解出可得結(jié)論；（2）設(shè)購買A種商品a件，根據(jù)用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，A種商品的數(shù)量不低于B種商品數(shù)量的一半，列不等式組，解出取正整數(shù)可得結(jié)論；（3）設(shè)銷售A、B兩種商品共獲利y元，根據(jù)y＝A商品的利潤+B商品的利潤，根據(jù)m的值及一次函數(shù)的增減性可得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A種商品每件的進價是x元，則B種商品每件的進價是（x﹣20）元，由題意得：，解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，50﹣20＝30，答：A種商品每件的進價是50元，B種商品每件的進價是30元；（2）設(shè)購買A種商品a件，則購買B商品（40﹣a）件，由題意得：，解得，∵a為正整數(shù)，∴a＝14、15、16、17、18，∴商店共有5種進貨方案；（3）設(shè)銷售A、B兩種商品共獲利y元，由題意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600，①當10＜m＜15時，15﹣m＞0，y隨a的增大而增大，∴當a＝18時，獲利最大，即買18件A商品，22件B商品，②當m＝15時，15﹣m＝0，y與a的值無關(guān)，即（2）問中所有進貨方案獲利相同，③當15＜m＜20時，15﹣m＜0，y隨a的增大而減小，∴當a＝14時，獲利最大，即買14件A商品，26件B商品．【點評】本題考查了分式方程和一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程可不等式組求解，分式方程要注意檢驗．26．（13分）如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A（﹣2，0），點C的坐標為C（0，6），對稱軸為直線x＝1．點D是拋物線上一個動點，設(shè)點D的橫坐標為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DC，DB．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）當△BCD的面積等于△A