2020年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學試卷（含解析版）

2020年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．（3分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B．﹣ C．5 D．﹣13．（3分）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，已知直線a∥b，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．140° B．130° C．50° D．40°5．（3分）小明參加學校舉行的“保護環(huán)境”主題演講比賽，五位評委給出的評分分別為：90，85，80，90，95，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．80，90 B．90，90 C．90，85 D．90，956．（3分）將直線y＝﹣2x﹣1向上平移兩個單位，平移后的直線所對應的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+37．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，S四邊形BCED＝15，則S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．208．（3分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，則k的值為（）A． B． C．3 D．410．（3分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺．則符合題意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+511．（3分）如圖，矩形ABCD中，BD為對角線，將矩形ABCD沿BE、BF所在直線折疊，使點A落在BD上的點M處，點C落在BD上的點N處，連結(jié)EF．已知AB＝3，BC＝4，則EF的長為（）A．3 B．5 C． D．12．（3分）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，已知直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則t的取值范圍是（）A．≤t＜2 B．＜t≤1 C．1＜t≤2 D．≤t≤2且t≠1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．14．（5分）2020年6月23日9時43分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第五十五顆導航衛(wèi)星，標志著北斗三號衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)正式建成．根據(jù)最新數(shù)據(jù)，目前兼容北斗的終端產(chǎn)品至少有7億臺，其中7億用科學記數(shù)法表示為．15．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一實數(shù)根為﹣1，則該方程的另一個實數(shù)根為．16．（5分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（7分）計算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．18．（9分）如圖，點C、E、F、B在同一直線上，點A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．19．（9分）我市某中學舉行“法制進校園”知識競賽，賽后將學生的成績分為A、B、C、D四個等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題．（1）成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有名；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)為，圖中m的值為；（3）學校決定從本次比賽獲得“A等級”的學生中間選出2名去參加市中學生知識競賽．已知“A等級”中有1名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率．20．（9分）為了維護我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？21．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設OE交⊙O于點F，若DF＝2，BC＝4，求線段EF的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝．23．（6分）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程+＝3的解為非負數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為y≤0，則符合條件的所有整數(shù)a的積為．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），直線l：y＝x+與x軸交于點B，以AB為邊作等邊△ABA1，過點A1作A1B1∥x軸，交直線l于點B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過點A2作A2B2∥x軸，交直線l于點B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類推……，則點A2020的縱坐標是．25．（6分）已知拋物線y1＝﹣x2+4x（如圖）和直線y2＝2x+b．我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應的函數(shù)值分別為y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中較大者為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．①當x＝2時，M的最大值為4；②當b＝﹣3時，使M＞y2的x的取值范圍是﹣1＜x＜3；③當b＝﹣5時，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④當b≥1時，M隨x的增大而增大．上述結(jié)論正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）26．（12分）我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進行這樣的分解：x＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在x的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱m×n是x的最佳分解．并規(guī)定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因為18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一個兩位正整數(shù)t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b為正整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54，求出所有的兩位正整數(shù)；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．27．（12分）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求證：PF＝EQ．28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，點D（x，y）為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點．（1）求拋物線所對應的函數(shù)表達式；（2）當△BCD的面積為3時，求點D的坐標；（3）過點D作DE⊥BC，垂足為點E，是否存在點D，使得△CDE中的某個角等于∠ABC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

2020年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【分析】根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)是互為倒數(shù)，進行求解即可．【解答】解：∵×2＝1，∴的倒數(shù)是2，故選：A．【點評】本題考查倒數(shù)的意義，理解和掌握乘積為1的兩個數(shù)是互為倒數(shù)是正確解答的前提．2．（3分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B．﹣ C．5 D．﹣1【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小得出答案．【解答】解：∵|﹣|＜|﹣1|，∴﹣＞﹣1，∴5＞0＞﹣＞﹣1，因此最小的是﹣1，故選：D．【點評】本題考查有理數(shù)的大小比較，掌握兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小，是正確判斷的前提．3．（3分）下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．4．（3分）如圖，已知直線a∥b，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．140° B．130° C．50° D．40°【分析】由直線a∥b，利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠3的度數(shù)，再結(jié)合∠2和∠3互補，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵直線a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)以及鄰補角，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．5．（3分）小明參加學校舉行的“保護環(huán)境”主題演講比賽，五位評委給出的評分分別為：90，85，80，90，95，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．80，90 B．90，90 C．90，85 D．90，95【分析】先將數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解可得．【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為80，85，90，90，95，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是90，眾數(shù)為90，故選：B．【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．6．（3分）將直線y＝﹣2x﹣1向上平移兩個單位，平移后的直線所對應的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，向下平移減，可得答案．【解答】解：直線y＝﹣2x﹣1向上平移兩個單位，所得的直線是y＝﹣2x+1，故選：C．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，圖象平移的規(guī)律是：上加下減，左加右減．7．（3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，S四邊形BCED＝15，則S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，證得：DE∥BC，DE＝BC，進而得出△ADE∽△ABC，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案．【解答】解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四邊形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故選：D．【點評】此題考查了三角形中位線定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意相似三角形的面積的比等于相似比的平方．8．（3分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】連接OB，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠D的度數(shù)．【解答】解：連接OB，如圖，∵點B是的中點，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×120°＝60°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．9．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝圖象上的一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，則k的值為（）A． B． C．3 D．4【分析】根據(jù)題意可知△AOC的面積為2，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．【解答】解：∵AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，∴△AOC的面積為2，∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函數(shù)y＝圖象在第一象限，∴k＝4，故選：D．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．10．（3分）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設繩索長x尺．則符合題意的方程是（）A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5【分析】設繩索長x尺，則竿長（x﹣5）尺，根據(jù)“將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設繩索長x尺，則竿長（x﹣5）尺，依題意，得：x＝（x﹣5）﹣5．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，矩形ABCD中，BD為對角線，將矩形ABCD沿BE、BF所在直線折疊，使點A落在BD上的點M處，點C落在BD上的點N處，連結(jié)EF．已知AB＝3，BC＝4，則EF的長為（）A．3 B．5 C． D．【分析】求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，證明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性質(zhì)得出，設DE＝x，則AE＝EM＝4﹣x，得出，解得x＝，同理△DNF∽△DCB，得出，設DF＝y(tǒng)，則CF＝NF＝3﹣y，則，解得y＝．由勾股定理即可求出EF的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，∴BD＝＝＝5，∵將矩形ABCD沿BE所在直線折疊，使點A落在BD上的點M處，∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，∴∠EMD＝90°，∵∠EDM＝∠ADB，∴△EDM∽△BDA，∴，設DE＝x，則AE＝EM＝4﹣x，∴，解得x＝，∴DE＝，同理△DNF∽△DCB，∴，設DF＝y(tǒng)，則CF＝NF＝3﹣y，∴，解得y＝．∴DF＝．∴EF＝＝＝．故選：C．【點評】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．12．（3分）在平面直角坐標系中，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，已知直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則t的取值范圍是（）A．≤t＜2 B．＜t≤1 C．1＜t≤2 D．≤t≤2且t≠1【分析】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直線y＝tx+2t+2（t＞0）經(jīng)過點（﹣2，2），如圖，當直線經(jīng)過（0，3）或（0，6）時，直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，當直線經(jīng)過（0，4）時，直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有三個整點，分別求得這三種情況下的t的值，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直線y＝tx+2t+2（t＞0）經(jīng)過點（﹣2，2），如圖，當直線經(jīng)過（0，3）時，直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則3＝2t+2，解得t＝；當直線經(jīng)過（0，6）時，直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則6＝2t+2，解得t＝2；當直線經(jīng)過（0，4）時，直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有三個整點，則4＝2t+2，解得t＝1；∴直線y＝tx+2t+2（t＞0）與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個整點，則t的取值范圍是≤t≤2且t≠1，故選：D．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，區(qū)域整數(shù)點；能夠根據(jù)函數(shù)解析式求得經(jīng)過的點，并能畫出圖象，結(jié)合圖象解題是關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≠2．【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，分式有意義的條件是：分母不等于0；【解答】解：根據(jù)題意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自變量x的取值范圍是x≠2．【點評】當函數(shù)表達式是分式時，分式要有意義，則考慮分式的分母不能為0．14．（5分）2020年6月23日9時43分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第五十五顆導航衛(wèi)星，標志著北斗三號衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)正式建成．根據(jù)最新數(shù)據(jù)，目前兼容北斗的終端產(chǎn)品至少有7億臺，其中7億用科學記數(shù)法表示為7×108．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：7億＝700000000＝7×108，故答案為：7×108．【點評】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．15．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一實數(shù)根為﹣1，則該方程的另一個實數(shù)根為﹣．【分析】把x＝﹣1代入原方程求出m的值，進而確定關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求出方程的另一個根．【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合題意舍去），當m＝4時，原方程變?yōu)椋?x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1?x2＝，又x1＝﹣1，∴x2＝﹣故答案為：﹣．【點評】本題考查一元二次方程根的意義和解法，求解一元二次方程是得出正確答案的關(guān)鍵．16．（5分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為15．【分析】作點A關(guān)于BD的對稱點A′，連接MA′，BA′，過點A′H⊥AB于H．首先證明△ABA′是等邊三角形，求出A′H，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．【解答】解：作點A關(guān)于BD的對稱點A′，連接MA′，BA′，過點A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等邊三角形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值為15．故答案為15．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（7分）計算：（﹣）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°﹣+（π﹣3）0．【分析】先計算負整數(shù)指數(shù)冪、去絕對值符號、代入三角函數(shù)值、化簡二次根式、計算零指數(shù)冪，再計算乘法，最后計算加減可得．【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣2+1＝﹣2﹣2+2﹣2+1＝﹣3．【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的規(guī)定、熟記三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)．18．（9分）如圖，點C、E、F、B在同一直線上，點A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．19．（9分）我市某中學舉行“法制進校園”知識競賽，賽后將學生的成績分為A、B、C、D四個等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題．（1）成績?yōu)椤癇等級”的學生人數(shù)有5名；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，表示“D等級”的扇形的圓心角度數(shù)為72°，圖中m的值為40；（3）學校決定從本次比賽獲得“A等級”的學生中間選出2名去參加市中學生知識競賽．已知“A等級”中有1名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率．【分析】（1）A等的有3人，占調(diào)查人數(shù)的15%，可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出B等的人數(shù)；（2）D等級占調(diào)查人數(shù)的，因此相應的圓心角為360°的即可，計算C等級所占的百分比，即可求出m的值；（3）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而求出相應的概率．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案為：5；（2）360°×＝72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案為：72°，40；（3）“A等級”2男1女，從中選取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中女生被選中的有4種，∴P（女生被選中）＝＝．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，列表法求隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是求概率的前提．20．（9分）為了維護我國海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB?sin60°＝60×＝30，∵30＞50，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連結(jié)BE．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）設OE交⊙O于點F，若DF＝2，BC＝4，求線段EF的長；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OD⊥BC得到CD＝BD，則OE為BC的垂直平分線，所以EB＝EC，證明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根據(jù)切線的判定定理得BE與⊙O相切；（2）設⊙O的半徑為x，則OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，求出OE的長，則可求出EF的長；（3）由扇形的面積公式可得出答案．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵CE為切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE與⊙O相切；（2）解：設⊙O的半徑為x，則OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，∵OD2+BD2＝OB2，∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，∴OD＝2，OB＝4，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OE＝2OB＝8，∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，∴S陰影＝S四邊形OBEC﹣S扇形OBC＝2××4×4﹣，＝16﹣．【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計算等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．（6分）分解因式：b4﹣b2﹣12＝（b+2）（b﹣2）（b2+3）．【分析】先利用十字相乘法，再利用平方差公式進行因式分解即可．【解答】解：b4﹣b2﹣12＝（b2﹣4）（b2+3）＝（b+2）（b﹣2）（b2+3），故答案為：（b+2）（b﹣2）（b2+3）．【點評】本題考查十字相乘法、公式法分解因式，掌握十字相乘法、公式法的結(jié)構(gòu)特征是正確應用的前提．23．（6分）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程+＝3的解為非負數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為y≤0，則符合條件的所有整數(shù)a的積為40．【分析】解分式方程的得出x＝，根據(jù)解為非負數(shù)得出≥0，且≠1，據(jù)此求出a≤5且a≠3；解不等式組兩個不等式得出y≤0且y＜a，根據(jù)解集為y≤0得出a＞0；綜合以上兩點得出整數(shù)a的值，從而得出答案．【解答】解：去分母，得：x+2﹣a＝3（x﹣1），解得：x＝，∵分式方程的解為非負數(shù)，∴≥0，且≠1，解得a≤5且a≠3，解不等式﹣≥﹣，得：y≤0，解不等式2（y﹣a）＜0，得：y＜a，∵不等式組的解集為y≤0，∴a＞0，∴0＜a≤5，則整數(shù)a的值為1、2、4、5，∴符合條件的所有整數(shù)a的積為1×2×4×5＝40，故答案為：40．【點評】本題主要考查分式方程的解和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式方程的解的情況及不等式組解集的情況得出a的取值范圍．24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），直線l：y＝x+與x軸交于點B，以AB為邊作等邊△ABA1，過點A1作A1B1∥x軸，交直線l于點B1，以A1B1為邊作等邊△A1B1A2，過點A2作A2B2∥x軸，交直線l于點B2，以A2B2為邊作等邊△A2B2A3，以此類推……，則點A2020的縱坐標是．【分析】先根據(jù)解析式求得B的坐標，即可求得AB＝1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分別求得A1的縱坐標為，A2的縱坐標為，A3的縱坐標為，進而得到An的縱坐標為，據(jù)此可得點A2020的縱坐標．【解答】解：∵直線l：y＝x+與x軸交于點B，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∴AB＝1，∵△ABA1是等邊三角形，∴A1（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B1（，），∴A1B1＝2，∴A2（﹣，+×2），即A2（﹣，），把y＝代入y＝x+，求得x＝，∴B2（，），∴A2B2＝4，∴A3（3，+×4），即A3（3，），……，An的縱坐標為，∴點A2020的縱坐標是，故答案為．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等邊三角形的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律，求得An的縱坐標為，25．（6分）已知拋物線y1＝﹣x2+4x（如圖）和直線y2＝2x+b．我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應的函數(shù)值分別為y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中較大者為M；若y1＝y(tǒng)2，記M＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2．①當x＝2時，M的最大值為4；②當b＝﹣3時，使M＞y2的x的取值范圍是﹣1＜x＜3；③當b＝﹣5時，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④當b≥1時，M隨x的增大而增大．上述結(jié)論正確的是②④．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【分析】①求出y1，y2，求出m的值即可．②求出直線與拋物線的交點坐標，利用圖象法解決問題即可．③畫出圖象，推出M＝3時，y1＝3，y2＝3轉(zhuǎn)化為方程求出x的值即可．④當b＝1時，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，因為△＝0，推出此時直線y＝2x+1與拋物線只有一個交點，推出b＞1時，直線y＝2x+b與拋物線沒有交點，由此即可判斷．【解答】解：①當x＝2時，y1＝4，y2＝4+b，無法判斷4與4+b的大小，故①錯誤．②如圖1中，b＝﹣3時，由，解得或，∴兩個函數(shù)圖象的交點坐標為（﹣1，﹣5）和（3，3），觀察圖象可知，使M＞y2的x的取值范圍是﹣1＜x＜3，故②正確，③如圖2中，b＝﹣5時，圖象如圖所示，M＝3時，y1＝3，∴﹣x2+4x＝3，解得x＝1或3，y2＝3時，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合條件，故③錯誤，④當b＝1時，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，∵△＝0，∴此時直線y＝2x+1與拋物線只有一個交點，∴b＞1時，直線y＝2x+b與拋物線沒有交點，∴M隨x的增大而增大，故④正確．故答案為②④．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）26．（12分）我們知道，任意一個正整數(shù)x都可以進行這樣的分解：x＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在x的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱m×n是x的最佳分解．并規(guī)定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因為18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝1；（2）一個兩位正整數(shù)t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b為正整數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54，求出所有的兩位正整數(shù)；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．【分析】（1）仿照樣例進行計算便可；（2）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′＝10b+a，根據(jù)“交換其個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到的新數(shù)減去原數(shù)所得的差為54”的確定出x與y的關(guān)系式，進而求出所有的兩位數(shù)，進而確定出F（t）的最大值即可；（3）根據(jù)樣例計算便可．【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6）＝，9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）＝＝1，故答案為：；1；（2）設交換t的個位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′＝10b+a，根據(jù)題意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b為正整數(shù)，∴滿足條件的t為：17，28，39；∵F（17）＝，F(xiàn)（28）＝，F(xiàn)（39）＝，∵，∴F（t）的最大值為；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解為20×21，∴f（22×3×5×7）＝，故答案為：；②∵23×3×5×7的最佳分解為28×30，∴f（23×3×5×7）＝，故答案為；③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，∴f（24×3×5×7）＝＝，故答案為：；④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，∴f（25×3×5×7）＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，理解最佳分解的定義，并將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．27．（12分）如圖，正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結(jié)BP，將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ，連結(jié)QP交BC于點E，QP延長線與邊AD交于點F．（1）連結(jié)CQ，求證：AP＝CQ；（2）若AP＝AC，求CE：BC的值；（3）求證：PF＝EQ．【分析】（1）證明△BAP≌△BCQ（SAS）可得結(jié)論．（2）過點C作CH⊥PQ于H，過點B作BT⊥PQ于T．由AP＝AC，可以假設AP＝CQ＝a，則PC＝3a，解直角三角形求出CH．BT，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．（3）證明△PGB≌△QEB，推出EQ＝PG，再證明△PFG是等腰直角三角形即可．【解答】（1）證明：如圖1，∵線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：過點C作CH⊥PQ于H，過點B作BT⊥PQ于T．∵AP＝AC，∴可以假設AP＝CQ＝a，則PC＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ＝＝＝a，∵CH⊥PQ，∴CH＝＝a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT＝PQ＝a，∵CH∥BT，∴＝＝＝，∴＝．（3）解：結(jié)論：PF＝EQ，理由是：如圖2，當F在邊AD上時，過P作PG⊥FQ，交AB于G，則∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四點共圓，連接FG，∴∠FGP＝∠FAP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．28．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點，點D（x，y）為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點．（1）求拋物線所對應的函數(shù)表達式；（2）當△BCD的面積為3時，求點D的坐標；（3）過點D作