2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．π B． C．|﹣2| D．32．（3分）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個省（區(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.510858×109 B．51.0858×107 C．5.10858×104 D．5.10858×1083．（3分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）A． B． C． D．4．（3分）已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（）A．1 B．6 C．7 D．125．（3分）若|a﹣|+＝0，則ab＝（）A． B． C．4 D．96．（3分）下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A． B．2 C．1 D．28．（3分）設(shè)6﹣的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（2a+）b的值是（）A．6 B．2 C．12 D．99．（3分）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C．2 D．510．（3分）設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.11．（4分）二元一次方程組的解為．12．（4分）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為．13．（4分）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為．14．（4分）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為．15．（4分）若x+＝且0＜x＜1，則x2﹣＝．16．（4分）如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝．17．（4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.18．（6分）解不等式組．19．（6分）某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：（1）求這20名學(xué)生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)．20．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周長；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。21．（8分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y＝圖象的一個交點為P（1，m）．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．22．（8分）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．23．（8分）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分。24．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求證：CF⊥FB；（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．25．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點（﹣1，0），且對任意實數(shù)x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C；點M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由．

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．π B． C．|﹣2| D．3【分析】C選項，﹣2的絕對值是2，所以這4個數(shù)都是正數(shù)，B選項，＜2，即可得到最大的的數(shù)是π．【解答】解：|﹣2|＝2，∵2＜4，∴＜2，∴＜2＜3＜π，∴最大的數(shù)是π，故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)的比較大小，知道＜2是解題的關(guān)鍵．2．（3分）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.510858×109 B．51.0858×107 C．5.10858×104 D．5.10858×108【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【解答】解：51085.8萬＝510858000＝5.10858×108，故選：D．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，關(guān)鍵是確定a的值以及n的值．3．（3分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖為：共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果有6種，∴兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率為＝，故選：B．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法求隨機事件的概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（3分）已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（）A．1 B．6 C．7 D．12【分析】分別根據(jù)冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘法法則解答即可．【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．故選：D．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）若|a﹣|+＝0，則ab＝（）A． B． C．4 D．9【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，a﹣＝0，9a2﹣12ab+4b2＝0，解得a＝，b＝，所以，ab＝×＝．故選：B．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．6．（3分）下列圖形是正方體展開圖的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖的特征解答即可．【解答】解：由正方體的展開圖的特征可知，可以拼成正方體是下列三個圖形：故這些圖形是正方體展開圖的個數(shù)為3個．故選：C．【點評】本題考查了幾何體的展開圖．解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A． B．2 C．1 D．2【分析】如圖，過點D作DT⊥AB于T．證明DT＝DC＝1，推出AD＝2DT，推出∠A＝30°，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點D作DT⊥AB于T．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此處開始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂徑定理可得AB＝2AT得解．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．8．（3分）設(shè)6﹣的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則（2a+）b的值是（）A．6 B．2 C．12 D．9【分析】根據(jù)算術(shù)平方根得到3＜＜4，所以2＜6﹣＜3，于是可得到a＝2，b＝4﹣，然后把a與b的值代入（2a+）b中計算即可．【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜6﹣＜3，∵6﹣的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，∴a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，∴（2a+）b＝（2×2+）×（4﹣）＝（4+）（4﹣）＝6，故選：A．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進行估算．9．（3分）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C．2 D．5【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，當b＝3時，S有最大值為＝2．故選：C．【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．10．（3分）設(shè)O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1【分析】分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設(shè)點D（0，m），易證△ADG～△ABH，所以，即．可得m＝ab．再證明△AEO～△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得點D為定點，坐標為（0，1），得DO＝1．進而可推出點C是在以DO為直徑的圓上運動，則當點C到y(tǒng)軸距離為此圓的直徑的一半，即時最大．【解答】解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝x2，則AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設(shè)點D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG～△ABH，∴，即．化簡得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO～△OFB．∴，即，化簡得ab＝1．則m＝ab＝1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴點C是在以DO為直徑的圓上運動，∴當點C到y(tǒng)軸距離為＝時，點C到y(tǒng)軸距離的最大．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)結(jié)合動點問題背景下的最值求法，涉及相似三角形，圓周角定理，此題難度較大，關(guān)鍵是要找出點D為定點，確定出點C的軌跡為一段優(yōu)弧，再求最值．二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.11．（4分）二元一次方程組的解為．【分析】直接利用加減消元法求解可得問題的答案．【解答】解：，①×2﹣②，得：3y＝﹣6，即y＝﹣2，將y＝﹣2代入②，得：2x+（﹣2）＝2，解得：x＝2，所以方程組的解為．故答案為．【點評】本題考查的是解二元一次方程組，利用加減消元法把方程組化為一元方程是解答此題的關(guān)鍵．12．（4分）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為y＝2x2+4x．【分析】可根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答．【解答】解：把拋物線y＝2x2+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x故答案為y＝2x2+4x．【點評】本題考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．13．（4分）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為4﹣π．【分析】陰影部分的面積等于△ABC的面積減去空白處的面積即可得出答案．【解答】解：等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝BC＝2∵BE＝CE＝BC＝2，∴陰影部分的面積S＝S△ABC﹣S扇形BDE﹣S扇形CEF＝2﹣×2＝4﹣π，故答案為4﹣π．【點評】本題考查了扇形的面積公式，正確熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．14．（4分）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為x2﹣2＝0（答案不唯一）．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解決問題即可，注意答案不唯一．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴滿足條件的方程可以為：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案為：x2﹣2＝0（答案不唯一）．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．15．（4分）若x+＝且0＜x＜1，則x2﹣＝﹣．【分析】根據(jù)題意得到x﹣＜0，根據(jù)完全平方公式求出x﹣，根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計算即可．【解答】解：∵0＜x＜1，∴x＜，∴x﹣＜0，∵x+＝，∴（x+）2＝，即x2+2+＝，∴x2﹣2+＝﹣4，∴（x﹣）2＝，∴x﹣＝﹣，∴x2﹣＝（x+）（x﹣）＝×（﹣）＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在?ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．過點D作DE⊥AB，垂足為E，則sin∠BCE＝．【分析】過點B作BF⊥EC于點F，根據(jù)DE⊥AB，AD＝5，sinA＝＝，可得DE＝4，根據(jù)勾股定理可得AE＝3，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根據(jù)tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根據(jù)勾股定理可得BF的長，進而可得結(jié)果．【解答】解：如圖，過點B作BF⊥EC于點F，∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝＝，∴DE＝4，∴AE＝＝3，在?ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，∴tan∠CEB＝tan∠DCE，∴＝＝＝，∴EF＝3BF，在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，得EF2+BF2＝BE2，∴（3BF）2+BF2＝92，解得，BF＝，∴sin∠BCE＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，得出EF＝3BF是解決本題的關(guān)鍵．17．（4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．點D為平面上一個動點，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為．【分析】根據(jù)∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O，連接OC，當O、D、C三點共線時，CD的值最小．將問題轉(zhuǎn)化為點圓最值．可證得△AOB為等腰直角三角形，OB＝OA＝，同樣可證△OBE也為等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的長為，最后CD最小值為OC﹣OD＝．【解答】解：如圖所示．∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圓O（因求CD最小值，故圓心O在AB的右側(cè)），連接OC，當O、D、C三點共線時，CD的值最?。摺螦DB＝45°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AO＝BO＝sin45°×AB＝．∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于點E，∴△OBE為等腰直角三角形．∴OE＝BE＝sin45°?OB＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△OEC中，OC＝＝＝．當O、D、C三點共線時，CD最小為CD＝OC﹣OD＝．故答案為：．【點評】本題考查了動點與隱圓條件下的點圓最值，涉及到點與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等基礎(chǔ)知識點，難度較大，需要根據(jù)條件進行發(fā)散思維．解題關(guān)鍵在于確定出點D的運動軌跡為一段優(yōu)?。⒔獯痤}（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.18．（6分）解不等式組．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式2x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜2，解不等式4x＞，得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x＜2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19．（6分）某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機抽樣的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：（1）求這20名學(xué)生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)．【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；（2）利用樣本估計總體思想求解可得．【解答】解：（1）由列表中90分對應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90，由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90，平均數(shù)是：＝90.5；（2）根據(jù)題意得：600×＝450（人），答：估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)是450人．【點評】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、條形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．20．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周長；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．【分析】（1）連接BD，設(shè)BC垂直平分線交BC于點F，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)AD＝x，則BD＝CD＝3x，AC＝4x，由勾股定理可表示出AB＝2，從而可計算出tan∠ABC＝＝＝．【解答】解：（1）如圖，連接BD，設(shè)BC垂直平分線交BC于點F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，故△ABD的周長為1．（2）設(shè)AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．∴tan∠ABC＝＝＝．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理等知識，抓住正切的定義是解題關(guān)鍵．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。21．（8分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y＝圖象的一個交點為P（1，m）．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函數(shù)解析式即可求得；（2）分兩種情況，通過證得三角形相似，求得BO的長度，進而即可求得k的值．【解答】解：（1）∵P（1，m）為反比例函數(shù)y＝圖象上一點，∴代入得m＝＝4，∴m＝4；（2）令y＝0，即kx+b＝0，∴x＝﹣，A（﹣，0），令x＝0，y＝b，∴B（0，b），∵PA＝2AB，由圖象得，可分為以下兩種情況：①B在y軸正半軸時，b＞0，∵PA＝2AB，過P作PH⊥x軸交x軸于點H，又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，∴△A1OB1∽△A1HP，∴，∴B1O＝PH＝4×＝2，∴b＝2，∴A1O＝OH＝1，∴|﹣|＝1，∴k＝2；②B在y軸負半軸時，b＜0，過P作PQ⊥y軸，∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，∴△A2OB2∽△PQB2，∴，∴AO＝|﹣|＝PQ＝，B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2，∴b＝﹣2，∴k＝6，綜上，k＝2或k＝6．【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得AO的長度的解題的關(guān)鍵．22．（8分）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價；（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣10）元，根據(jù)商家用8000元購進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；（2）由題意得，當x＝50時，每天可售出100盒，當豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值．【解答】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣10）元，則，解得：a＝40，經(jīng)檢驗a＝40是方程的解，∴豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，答：豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；（2）由題意得，當x＝50時，每天可售出100盒，當豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70時，y隨x的增大而增大，∴當x＝65時，y取最大值，最大值為：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式．23．（8分）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．【分析】延長BF交CD于H，連接EH．證明△EDH∽△BAE，推出＝＝，推出DH＝，CH＝，由CH∥AB，推出＝＝，可得結(jié)論．【解答】解：延長BF交CD于H，連接EH．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，∴AC＝＝＝，由翻折的性質(zhì)可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE＝EF，∵∠D＝∠EFH＝90°，在Rt△EHD和Rt△EHF中，，∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），∴∠DEH＝∠FEH，∴∠HEB＝90°，∵∠DEF+∠AEF＝180°，∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，∴∠DEH+∠AEB＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，∴△EDH∽△BAE，∴＝＝，∴DH＝，CH＝，∵CH∥AB，∴＝＝，∴CG＝AC＝．【點評】本題考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出DH，CH，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分。24．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點E、F分別在線段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求證：CF⊥FB；（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積．【分析】（1）先判斷出∠DFE＝2∠EFC，同理判斷出∠AFE＝2∠BFE，進而判斷出2∠BFE+2∠EFC＝180°，即可得出結(jié)論；（2）取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，先判斷出OH＝（AB+CD），進而判斷出OH＝AD，即可得出結(jié)論；（3）先求出∠CFE＝60°，CE＝2，再判斷出四邊形CEMD是矩形，得出DM＝2，過點A作AN⊥EF于N，同理求出AN＝，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠AFB，∴∠AFE＝2∠BFE，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，∴∠BFE+∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；（2）證明：如圖1，取AD的中點O，過點O作OH⊥BC于H，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵AB∥CD，AB≠CD，∴四邊形ABCD是梯形，∴點H是BC的中點，即OH是梯形ABCD的中位線，∴OH＝（AB+CD），∵AB＝AF，CD＝DF，∴OH＝（AF+DF）＝AD，∵OH⊥BC，∴以AD為直徑的圓與BC相切；（3）如圖2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∵∠DFE＝120°，∴∠CFE＝60°，在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，∴CE＝＝2，∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ECD＝∠CEF＝90°，過點D作DM⊥EF，交EF的延長線于M，∴∠M＝90°，∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，∴四邊形CEMD是矩形，∴DM＝CE＝2，過點A作AN⊥EF于N，∴四邊形ABEN是矩形，∴AN＝BE，由