《平面向量的基本概念》

平面向量的基本概念CATALOGUE目錄平面向量簡介平面向量的表示方法平面向量的基本運(yùn)算平面向量的數(shù)量積與性質(zhì)平面向量線性運(yùn)算與線性組合平面向量位置關(guān)系及判定方法01平面向量簡介向量是有大小和方向的量，用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。定義向量具有加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算，滿足交換律、結(jié)合律和分配律等基本性質(zhì)。性質(zhì)向量的定義與性質(zhì)相等向量大小相等且方向相同的向量。零向量長度為0的向量，方向任意。單位向量長度為1的向量，方向任意。相反向量大小相等但方向相反的向量。向量的夾角兩個(gè)非零向量之間的夾角是唯一的，夾角范圍為[0,π]。平面向量基本概念向量加法滿足交換律和結(jié)合律，幾何上表現(xiàn)為平行四邊形法則或三角形法則。加法運(yùn)算向量減法可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，即A-B=A+(-B)。減法運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，滿足結(jié)合律和分配律，幾何上表現(xiàn)為向量的伸縮。數(shù)乘運(yùn)算兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足交換律、分配律和結(jié)合律，幾何上表現(xiàn)為向量的投影與模長的乘積。數(shù)量積運(yùn)算向量運(yùn)算及其性質(zhì)02平面向量的表示方法平面向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭方向表示向量的方向。有向線段兩個(gè)向量相加時(shí)，可以將它們的幾何表示首尾相接，然后畫出以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形，其對角線就表示這兩個(gè)向量的和。向量加法的平行四邊形法則向量減法可以通過將減數(shù)向量的終點(diǎn)連接到被減數(shù)向量的起點(diǎn)，然后畫出指向被減數(shù)向量終點(diǎn)的有向線段來表示。向量減法的三角形法則幾何表示法

坐標(biāo)表示法向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量可以用它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)來表示，即$vec{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$。向量的模長與方向向量的模長等于坐標(biāo)原點(diǎn)到該向量終點(diǎn)的距離，方向則由坐標(biāo)原點(diǎn)到該向量終點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角來確定。向量的運(yùn)算向量的加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算都可以通過坐標(biāo)來進(jìn)行，例如兩個(gè)向量的和可以通過將它們的對應(yīng)坐標(biāo)相加來得到。兩個(gè)非零向量的夾角是指它們之間的夾角，可以通過它們的數(shù)量積和模長來計(jì)算，即$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}|times|vec|}$。向量夾角一個(gè)非零向量的方向角是指它與x軸正方向的夾角，可以通過它的坐標(biāo)來計(jì)算，即$tanalpha=frac{y}{x}$，其中$alpha$為方向角，$x$和$y$分別為該向量的橫縱坐標(biāo)。需要注意的是，當(dāng)$x=0$時(shí)，方向角為$frac{pi}{2}$或$-frac{pi}{2}$，具體取決于$y$的符號。方向角向量夾角與方向角03平面向量的基本運(yùn)算將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，從該起點(diǎn)出發(fā)的對角線向量即為這兩個(gè)向量的和。平行四邊形法則將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，首尾相接，從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的和。三角形法則若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。坐標(biāo)運(yùn)算加法運(yùn)算將兩個(gè)向量平移至同一起點(diǎn)，從被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)的向量即為這兩個(gè)向量的差。若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。減法運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算三角形法則定義實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：|λa|=|λ||a|；當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0。坐標(biāo)運(yùn)算若向量a=(x,y)，則λa=(λx,λy)。數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律、結(jié)合律等性質(zhì)。數(shù)乘運(yùn)算04平面向量的數(shù)量積與性質(zhì)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)標(biāo)量，等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。數(shù)量積定義對于向量a和向量b，它們的數(shù)量積記作a·b，計(jì)算公式為a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和b的模長，θ是向量a和b的夾角。計(jì)算公式數(shù)量積定義及計(jì)算公式03與模長和夾角的關(guān)系數(shù)量積可以用來計(jì)算向量的模長和夾角，如a·a=|a|^2，以及cosθ=a·b/(|a|*|b|)。01交換律數(shù)量積滿足交換律，即a·b=b·a。02分配律數(shù)量積滿足分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。數(shù)量積性質(zhì)探討求角度求長度判斷垂直計(jì)算投影應(yīng)用舉例：點(diǎn)積求角度、長度等01020304通過計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積和它們的模長，可以利用反余弦函數(shù)求出它們之間的夾角。向量的模長可以通過計(jì)算它與自身的數(shù)量積并開方得到。如果兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，則它們垂直。一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長度可以通過數(shù)量積和模長計(jì)算得到。05平面向量線性運(yùn)算與線性組合線性組合若干個(gè)向量與一組標(biāo)量的數(shù)乘之和稱為這些向量的一個(gè)線性組合。線性組合的幾何意義線性組合可以表示向量空間中的一個(gè)點(diǎn)、一條直線或一個(gè)平面等幾何對象。線性表示一個(gè)向量可由其他向量的線性組合來表示，即存在一組標(biāo)量，使得該向量等于這組標(biāo)量與對應(yīng)向量的數(shù)乘之和。線性表示與線性組合概念線性無關(guān)如果只有當(dāng)所有標(biāo)量都為零時(shí)，這組標(biāo)量與對應(yīng)向量的數(shù)乘之和才為零向量，則稱這組向量線性無關(guān)。線性相關(guān)如果存在一組不全為零的標(biāo)量，使得這組標(biāo)量與對應(yīng)向量的數(shù)乘之和為零向量，則稱這組向量線性相關(guān)。判斷方法通過求解向量組對應(yīng)的齊次線性方程組，判斷方程組是否有非零解，從而確定向量組的線性相關(guān)性。線性相關(guān)與線性無關(guān)判斷方法力合成問題01在力學(xué)中，多個(gè)力作用于同一物體時(shí)，可以用向量的線性組合來表示合力的方向和大小。通過求解對應(yīng)的線性方程組，可以得到合力的大小和方向。速度合成問題02在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，當(dāng)觀察同一個(gè)物體在不同參考系中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以用向量的線性組合來表示物體在不同參考系中的速度。通過求解對應(yīng)的線性方程組，可以得到物體在絕對參考系中的速度。其他應(yīng)用03平面向量的線性運(yùn)算和線性組合還可以應(yīng)用于電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等物理量的合成問題，以及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的向量運(yùn)算等問題。應(yīng)用舉例：力合成問題、速度合成問題等06平面向量位置關(guān)系及判定方法平行向量的定義方向相同或相反的非零向量。判定方法兩向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例，即若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則a//b的充要條件是x1*y2=x2*y1。平行向量的性質(zhì)平行向量也稱為共線向量，它們所在的直線平行或重合。平行關(guān)系及判定方法123兩向量點(diǎn)積為零。垂直向量的定義若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則a⊥b的充要條件是x1*x2+y1*y2=0。判定方法垂直向量所在的直線互相垂直，它們的方向不同且不相反。垂直向量的性質(zhì)垂直關(guān)系及判定方法夾角公式