八年級數(shù)學上冊章節(jié)重點復(fù)習考點講義(北師大版)專題01勾股定理的證明綜合題(原卷版+解析)

專題01勾股定理的證明（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，在四邊形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，點C是邊BD上一點，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列結(jié)論：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四邊形ABDE的面積是（a+b）2；④（a+b）2﹣c2＝2×ab；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級月考）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．3．（2022春?威縣期末）課堂上，王老師要求學生設(shè)計圖形來證明勾股定理，同學們經(jīng)過討論，給出兩種圖形，能證明勾股定理的是（）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行4．（2022?大觀區(qū)校級開學）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．49 C．64 D．255．（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A． B． C． D．6．（2022春?邕寧區(qū)期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．（2022?邯鄲三模）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學分別設(shè)計了方案：甲：如圖，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFGH均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進行證明；乙：兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C、D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進行證明．對于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（）A．甲、乙均對 B．甲對、乙不對 C．甲不對，乙對 D．甲、乙均不對8．（2023秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，則S2的值是（）A． B．6 C．5 D．9．（2020春?海陵區(qū)期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3二．填空題10．（2023秋?漳州期末）如圖所示的四邊形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知四邊形ABCD的面積為64，四邊形EFGH的面積為9，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y）；下列四個結(jié)論：①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝；④2xy+9＝64．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）11．（2023秋?皇姑區(qū)期末）把圖1中長和寬分別6和4的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為．12．（2023秋?迎澤區(qū)校級月考）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼接而成．如圖，若直角三角形的短直角邊長為2，小正方形的面積為4，則大正方形邊長為．13．曾任美國總統(tǒng)的加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個勾股定理的證明．如圖，這就是他用兩個全等的直角三角形拼出的圖形．上面的圖形整體上拼成一個直角梯形．所以它的面積有兩種表示方法．既可以表示為，又可以表示為．對比兩種表示方法可得．化簡，可得a2+b2＝c2．他的這個證明也就成了數(shù)學史上的一段佳話．三．解答題14．（2023秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．15．（2023春?利辛縣期中）如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．16．（2023春?滑縣期末）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c．請你開動腦筋，用它們拼出正方形圖案，要求拼圖時直角三角形紙片不能互相重疊．（1）請你畫出拼成的這個圖形的示意圖；（2）利用（1）中畫出的圖形證明勾股定理．17．（2023秋?汝州市期中）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形．它是美麗的弦圖．其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為24，OH＝3，求該圖形的面積；（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，則S2＝．18．（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形BAC，繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．19．（2023秋?武漢月考）2000多年來，人們對直角三角形三邊之間的關(guān)系的探究頗感興趣，古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探究它，研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)．下面給出幾種探究方法（由若干個全等的直角三角形拼成如圖圖形），試用面積法選擇其中一種推導(dǎo)直角三角形的三邊a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系（1）三邊a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）理由：．20．（2018?保定二模）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．專題01勾股定理的證明（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022春?龍鳳區(qū)期中）如圖，在四邊形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，點C是邊BD上一點，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列結(jié)論：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四邊形ABDE的面積是（a+b）2；④（a+b）2﹣c2＝2×ab；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2解：∵AB∥DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°，故①②正確；∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四邊形ABDE的面積是；故③錯誤；∵梯形ABDE的面積﹣直角三角形ACE的面積＝兩個直角三角形的面積，∴，∴a2+b2＝c2，（a+b）2≠c2，∵梯形ABDE的面積?直角三角形ACE的面積＝兩個直角三角形的面積，∴12（a+b）2?12c2＝2×12ab，∴a2+b2＝c2，所以勾股定理成立，④正確故①②④⑤都正確，③錯誤．故選：B．2．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級月考）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．解：選項A中：（a+b）（a+b）×＝ab×2+c2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項A不符合題意；選項B中：（a+b）2＝ab×4+c2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項B不符合題意；選項C中：c＝ab×4+（b﹣a）2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項C不符合題意；選項D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項D符合題意；故選：D．3．（2022春?威縣期末）課堂上，王老師要求學生設(shè)計圖形來證明勾股定理，同學們經(jīng)過討論，給出兩種圖形，能證明勾股定理的是（）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行解：由圖①可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化簡，得：a2+b2＝c2，故圖①可以證明勾股定理；根據(jù)圖②中的條件，無法證明勾股定理；故選：A．4．（2022?大觀區(qū)校級開學）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形．若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是（）A．144 B．49 C．64 D．25解：由題意可得：小正方形的邊長＝﹣5＝7，∴小正方形的面積為7×7＝49，故選：B．5．（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）A． B． C． D．解：A．根據(jù)圖形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A選項不符合題意；B．不能用于證明勾股定理，故B選項符合題意；C．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4×ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C選項不符合題意；D．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D選項不符合題意，故選：B．6．（2022春?邕寧區(qū)期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個解：第一個圖形：中間小正方形的面積c2＝（a+b）2﹣4×ab；化簡得c2＝a2+b2，可以證明勾股定理．第二個圖形：中間小正方形的面積（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化簡得a2+b2＝c2，可以證明勾股定理．第三個圖形：梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化簡得a2+b2＝c2；可以證明勾股定理．第四個圖形：由圖形可知割補前后的兩個小直角三角形全等，則正方形的面積＝兩個直角三角形的面積的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化簡得a2+b2＝c2；可以證明勾股定理，∴能夠驗證勾股定理的有4個．故選：A．7．（2022?邯鄲三模）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學分別設(shè)計了方案：甲：如圖，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFGH均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進行證明；乙：兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點F在BC邊上，頂點C、D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進行證明．對于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（）A．甲、乙均對 B．甲對、乙不對 C．甲不對，乙對 D．甲、乙均不對甲：證明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，設(shè)AC＝b，BC＝a，AB＝c．由圖可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG∵S正方形ABDE＝c2，S△ABC＝ab，正方形FCHG邊長為a﹣b，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．故甲對；乙：證明：∵四邊形ACBE的面積＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，四邊形ACBE的面積＝S四邊形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）?CF+BF?EF＝（b+a）b+（a﹣b）?a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．故乙對，故選：A．8．（2023秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，則S2的值是（）A． B．6 C．5 D．解：設(shè)每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，∵S1+S2+S3＝18，∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，∴3（a2+b2）＝18，∴a2+b2＝6，∴S2＝a2+b2＝6，故選：B．9．（2020春?海陵區(qū)期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab＝6，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為（）A．8 B．6 C．4 D．3解：由題意可得，，∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故選：C．二．填空題10．（2023秋?漳州期末）如圖所示的四邊形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知四邊形ABCD的面積為64，四邊形EFGH的面積為9，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y）；下列四個結(jié)論：①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝；④2xy+9＝64．其中正確的是①②③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）解：∵△ABC為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，故①正確；由圖可知，x﹣y＝CE＝＝3，故本②正確；由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，列出等式為4××xy+9＝64，即2xy+9＝64；故本④正確；由2xy+9＝64可得2xy＝55①，又∵x2+y2＝64②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝64+55，整理得，（x+y）2＝119，x+y＝，故③正確．∴正確結(jié)論有①②③④．故答案為：①②③④．11．（2023秋?皇姑區(qū)期末）把圖1中長和寬分別6和4的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為4．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故圖2中小正方形ABCD的面積為4．故答案為：4．12．（2023秋?迎澤區(qū)校級月考）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼接而成．如圖，若直角三角形的短直角邊長為2，小正方形的面積為4，則大正方形邊長為2．解：∵小正方形的面積為4，∴小正方形的邊長為2，∴直角三角形的長直角邊為：2+2＝4，∴斜邊＝＝，即大正方形的邊長為，故答案為：．13．曾任美國總統(tǒng)的加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個勾股定理的證明．如圖，這就是他用兩個全等的直角三角形拼出的圖形．上面的圖形整體上拼成一個直角梯形．所以它的面積有兩種表示方法．既可以表示為（a+b）?（a+b），又可以表示為（ab×2+c2）．對比兩種表示方法可得（a+b）?（a+b）＝ab×2+c2．化簡，可得a2+b2＝c2．他的這個證明也就成了數(shù)學史上的一段佳話．解：由題可知梯形面積為（a+b）（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）＝（ab×2+c2）即a2+b2＝c2．三．解答題14．（2023秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．證明：∵兩個全等的直角三角形如圖擺放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用兩種方法求梯形的面積：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化簡得a2+b2＝c2．15．（2023春?利辛縣期中）如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2，其中四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，證明：a2+b2＝c2．證明：∵四邊形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．16．（2023春?滑縣期末）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c．請你開動腦筋，用它們拼出正方形圖案，要求拼圖時直角三角形紙片不能互相重疊．（1）請你畫出拼成的這個圖形的示意圖；（2）利用（1）中畫出的圖形證明勾股定理．解：（1）（答案不唯一）如圖；（2）證明：∵大正方形的面積可表示為（a+b）2，大正方形的面積也可表示為：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．17．（2023秋?汝州市期中）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個正方形．它是美麗的弦圖．其中四個直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為24，OH＝3，求該圖形的面積；（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，則S2＝6．證明：（1），，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝6﹣x，在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，解得：x＝1，∴；（3）設(shè)正方形EFGH面積為x，設(shè)其他八個全等的三角形面積為y，∵S1+S2+S3＝18，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18，∴x+4y＝6，∴S2＝6．故答案為：6．18．（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形BAC，繞其銳角頂點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，