北師大版七年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練專題15全等模型專題：全等三角形中的常見解題模型(原卷版+解析)(4大模型)

專題15全等模型專題：全等三角形中的常見解題模型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一四邊形中構造全等三角形解題】 1【模型二一線三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍長中線模型】 19【典型例題】【模型一四邊形中構造全等三角形解題】例題：（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【變式訓練】1．（2022·福建·漳州實驗中學七年級階段練習）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022秋·貴州遵義·八年級校考階段練習）已知是經(jīng)過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結論再給予證明．3．（2023秋·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期末）問題背景：(1)如圖1，已知中，，，直線m經(jīng)過點A，⊥直線m，⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：．

拓展延伸：(2)如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有．請寫出、、三條線段的數(shù)量關系，并證明．實際應用：(3)如圖3，在中，，，點C的坐標為，點A的坐標為，請直接寫出B點的坐標．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【模型三三垂直模型】例題：（2023秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點P在上，已知．(1)求證：；(2)求的長．【變式訓練】1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．2．（2023春·七年級單元測試）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．3．（2021·北京·東北師范大學附屬中學朝陽學校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當直線l不與底邊AB相交時，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關系并證明．（2）將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關系．（直接寫出）【模型四倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．2．（2023秋·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點D．(1)如圖①，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)如圖②，若∠BAC＝90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關系，并說明理由．3．（2022秋·湖南邵陽·八年級?？计谥校┘鸭淹瑢W遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長到，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)為什么？寫出推理過程；(2)求出的取值范圍；(3)如圖，是的中線，在上取一點，連結并延長交于點，若，求證：．4．（2023秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）閱讀理解在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關系，請直接寫出你的結論．專題15全等模型專題：全等三角形中的常見解題模型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【模型一四邊形中構造全等三角形解題】 1【模型二一線三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍長中線模型】 19【典型例題】【模型一四邊形中構造全等三角形解題】例題：（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關系，以及三角形的外角性質可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補，∠BEC與∠AEC互補，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形的外角的性質，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·福建·漳州實驗中學七年級階段練習）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當∠EDG=90°-α時，（2）中結論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當時，仍然成立．【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關鍵．【模型二一線三等角模型】例題：（2023春·七年級課時練習）【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內(nèi)部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【答案】探究：見解析；應用：6【分析】探究：根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)證明即可；應用：根據(jù)全等三角形的性質得出：，進而得出，根據(jù)，的面積為9，得出，即可得出答案．【詳解】探究證明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；應用解：∵，∴，∴，∵，的面積為9，∴，∴與的面積之和為6，故答案為：6．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)見解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性質可得∠B=∠C，由三角形的外角性質和角平分線的性質可求解．(1)證明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明確角度的數(shù)量關系是解題的關鍵．2．（2022秋·貴州遵義·八年級?？茧A段練習）已知是經(jīng)過頂點C的一條直線，．E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線上，請解決下面問題：①如圖1，若，，求證：；②如圖2，若，探索三條線段的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，題（1）②中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確的結論再給予證明．【答案】(1)①見解析；②，見解析(2)不成立，，見解析【分析】（1）①利用垂直及互余的關系得到，證明≌即可；②利用三等角模型及互補證明，得到≌即可；（2）利用互補的性質得到，證明≌即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．證明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質，能夠熟練運用三等角模型快速證明三角形全等是解題關鍵．3．（2023秋·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期末）問題背景：(1)如圖1，已知中，，，直線m經(jīng)過點A，⊥直線m，⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：．

拓展延伸：(2)如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有．請寫出、、三條線段的數(shù)量關系，并證明．實際應用：(3)如圖3，在中，，，點C的坐標為，點A的坐標為，請直接寫出B點的坐標．【答案】(1)見解析(2)數(shù)量關系DE=BD＋CE，理由見解析(3)點B的坐標為【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質可以得到，，再用角度等量代換，可以證得，從而證得≌，得到，，用等量代換證得結論．（2）同問題1，也可以證明≌，得到，，用等量代換證得結論DE=BD＋CE；（3）如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，≌，然后根據(jù)上述結論可以直接寫出B點坐標為．【詳解】（1）證明：∵⊥直線m，直線m，∴．∵，∴，∵，∴．∵在和中，，∴≌，∴，，∴，即：．（2）解：數(shù)量關系．理由如下：在中，，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴；（3）如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，≌，，∴，，∴，∴點B的坐標為．【點睛】本題考查了三角形全等的運用，利用三角形的全等來解決幾何問題，找到對應邊，合理利用等量代換是解題的關鍵．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進而得到∠DBA＝∠EAC，然后結合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進而得到∠DBA＝∠EAC，然后結合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質，三角形的面積，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．【模型三三垂直模型】例題：（2023秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點P在上，已知．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為【分析】（1）根據(jù)垂直及各角之間的等量代換得出，再由全等三角形的判定即可證明；（2）由題意得：，再由全等三角形的性質結合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴．∴．∵，∴．∴在和中，∴；（2）解：由題意得：，由（1）得，∴．∴，答：的長為．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角，也考查了三角形全等的判定與性質．2．（2023春·七年級單元測試）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）①由垂直關系可得，則由即可證明；②由的性質及線段和的關系即可證得結論；（2）由垂直可得，則由可證明，由全等三角形的性質及線段差的關系即可證得結論；（3）由垂直可得，則由可證得，由全等三角形的性質及線段的和差關系即可得到三線段間的關系．【詳解】（1）如圖①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）當旋轉到圖3的位置時，所滿足的等量關系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，互余的性質等知識，證明兩個三角形全等是問題的關鍵．3．（2021·北京·東北師范大學附屬中學朝陽學校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當直線l不與底邊AB相交時，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關系并證明．（2）將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D（D不與AB點重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關系．（直接寫出）【答案】（1）①證明見解析，②EF＝AE+BF；證明見解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根據(jù)∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等證明∠EAC＝∠FCB即可；②根據(jù)AAS證△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）類比（1）證得對應的兩個三角形全等，求出線段之間的關系即可．【詳解】（1）證明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；證明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①當AD＞BD時，如圖①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直線，同理可證∠BCF＝∠CAE（同為∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直線即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②當AD＜BD時，如圖②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直線，同理可證∠CBF＝∠ACE（同為∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直線，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【點睛】本題考查了三角形綜合題，主要涉及到了全等三角形的判定與性質，解題關鍵是證明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性質得出線段之間的關系．【模型四倍長中線模型】例題：（2023秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，，，求中線的取值范圍．【答案】【分析】延長到，使,證明兩邊之和大于，兩邊之差小于，證明三角形全等，得到線段相等，等量代換得．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，∵為中點，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形三邊之間的關系，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，整式乘法和二元一次方程組的應用，三角形的三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定和性質，整式乘法法則，三角形的三邊關系是解題的關鍵．2．（2023秋·遼寧鞍山·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，交BC于點D．(1)如圖①，延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE．求證：△ACD≌△EBD；(2)如圖②，若∠BAC＝90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AD＝BC，理由見解析【分析】（1）運用“”即可證明△ACD≌△EBD；（2）根據(jù)（1）方式作出輔助線，根據(jù)全等三角形的性質證明ACBE，然后再證明△BAC≌△ABE即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）AD與BC的數(shù)量關系為：AD＝BC，理由如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE，如圖2所示：同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB