角平分線的性質(zhì)-公開課

角平分線的性質(zhì)公開課REPORTING目錄角平分線基本概念與性質(zhì)角平分線與三角形內(nèi)外角關(guān)系角平分線與三角形面積關(guān)系角平分線與全等三角形判定條件關(guān)系角平分線在幾何變換中應(yīng)用角平分線在解決實(shí)際問題中應(yīng)用PART01角平分線基本概念與性質(zhì)REPORTINGWENKUDESIGN作圖方法1.以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，交角的兩邊于兩點(diǎn)。3.連接角的頂點(diǎn)和所交的點(diǎn)，即為角的平分線。2.分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間距離的一半為半徑，在角的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點(diǎn)。定義：角平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角。角平分線定義及作圖方法性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。證明過程可以通過全等三角形來證明。在角的兩邊上分別截取兩段相等的線段，再連接角平分線上的點(diǎn)和這兩段線段的端點(diǎn)，可以證明這兩個(gè)三角形全等，從而證明角平分線的性質(zhì)定理。角平分線性質(zhì)定理在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。逆定理假設(shè)存在一點(diǎn)在角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等，但不在角的平分線上。那么可以通過反證法證明這樣的點(diǎn)不存在，從而證明逆定理成立。具體步驟包括構(gòu)造全等三角形、利用三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)等。證明過程逆定理及其證明過程PART02角平分線與三角形內(nèi)外角關(guān)系REPORTINGWENKUDESIGN三角形內(nèi)角和定理三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180度。推論直角三角形的兩個(gè)銳角互余。三角形內(nèi)角和定理回顧角平分線與三角形內(nèi)外角關(guān)系探討角平分線將相鄰的兩個(gè)內(nèi)角分為四個(gè)角，其中有兩個(gè)相等的角。角平分線與三角形內(nèi)外角的關(guān)系角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，角的兩邊關(guān)于這條直線對(duì)稱。角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。解析根據(jù)角平分線的性質(zhì)，我們知道角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，因此可以通過作高線或平行線來證明此結(jié)論。解析此題可以通過在AB和AC上截取相等的線段，然后利用三角形的全等和線段的大小關(guān)系來證明。解析此題可以通過證明三角形BDF與三角形EAF相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)來證明結(jié)論。例題1已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，求證：AB/AC=BD/DC。例題2在三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，且AB>AC，求證：AB-AC>BD-CD。例題3在三角形ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的中線，且AD、BE交于點(diǎn)F，求證：AF/FD=BF/FE=2。010203040506典型例題解析PART03角平分線與三角形面積關(guān)系REPORTINGWENKUDESIGN$S=frac{1}{2}timestext{底}timestext{高}$，其中底和高是三角形的一組對(duì)應(yīng)邊和高。如等邊三角形、直角三角形等，其面積可以通過特定的公式進(jìn)行計(jì)算。三角形面積公式回顧特殊三角形的面積公式三角形面積的一般公式角平分線將三角形分為兩個(gè)小三角形，其面積之比等于對(duì)應(yīng)邊長之比的平方。角平分線定理首先找到角平分線，然后根據(jù)定理求出兩個(gè)小三角形的面積，最后相加得到原三角形的面積。利用角平分線定理求三角形面積利用角平分線求三角形面積方法講解典型例題解析例題1：已知三角形ABC中，角A的平分線AD將三角形ABC分為兩個(gè)小三角形ABD和ACD，且AB=4，AC=3，BD=2，求三角形ABC的面積。解析：根據(jù)角平分線定理，我們有$\frac{S{\triangleABD}}{S{\triangleACD}}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$。又因?yàn)?S{\triangleABD}=\frac{1}{2}\timesBD\timesAD$，$S{\triangleACD}=\frac{1}{2}\timesCD\timesAD$，我們可以求出$CD=\frac{9}{4}\timesBD=\frac{9}{2}$。最后，根據(jù)三角形面積的一般公式，我們可以求出$S{\triangleABC}=S{\triangleABD}+S_{\triangleACD}=\frac{1}{2}\times(BD+CD)\timesAD=\frac{1}{2}\times\left(2+\frac{9}{2}\right)\timesAD=\frac{13}{4}\timesAD$。由于AD是角A的平分線，我們可以通過三角函數(shù)等方法求出AD的長度，進(jìn)而求出三角形ABC的面積。VS已知等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=2CD，AD是角BAC的平分線，求三角形ABC的面積。解析由于ABC是等邊三角形，所以角BAC的平分線AD同時(shí)也是BC邊上的中線和高。根據(jù)題意，我們有$BD=2CD$，所以$BC=BD+CD=3CD$。又因?yàn)锳D是等邊三角形的高，所以$AD=sqrt{AB^2-BD^2}=sqrt{AB^2-(2CD)^2}$。最后，根據(jù)三角形面積的一般公式，我們可以求出$S_{triangleABC}=frac{1}{2}timesBCtimesAD=frac{1}{2}times3CDtimessqrt{AB^2-(2CD)^2}$。由于AB和CD的長度已知，我們可以直接代入計(jì)算得到三角形ABC的面積。例題2典型例題解析PART04角平分線與全等三角形判定條件關(guān)系REPORTINGWENKUDESIGN全等三角形判定條件回顧兩邊和它們之間的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。SAS判定條件ASA判定條件SSS判定條件AAS判定條件

利用角平分線構(gòu)造全等三角形策略分享構(gòu)造輔助線在角平分線上截取一段等于已知線段，通過連接相關(guān)點(diǎn)構(gòu)造全等三角形。利用角平分線性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可以利用這一性質(zhì)來證明或構(gòu)造全等三角形。結(jié)合其他判定條件在利用角平分線構(gòu)造全等三角形時(shí)，可以結(jié)合其他全等三角形的判定條件，如SAS、ASA等，來簡化證明過程。已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BD=CD。求證：BE+CF>EF。在FD的延長線上取點(diǎn)G，使得FD＝GD，連接CG、EG。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF，∠EGD＝∠CFD＝90°。又因?yàn)镚D＝FD，所以△EGD≌△CFD（SAS），所以CF＝EG。因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠EDF＝90°。因?yàn)椤螮DF＋∠EGD＝180°，所以DE∥CG。因?yàn)镈E∥CG，BD＝CD，所以BE＝EG。所以CF＝BE。在△EFG中，EF＜EG＋GF，即EF＜BE＋CF（當(dāng)且僅當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）。所以BE+CF>EF。例1證明典型例題解析例2已知△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分線。求證：AB=AC+CD。證明在AB上截取AE=AC，連接DE。因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，所以∠CAD=∠EAD。又因?yàn)锳E=AC，AD=AD，所以△ACD≌△AED（SAS）。所以CD=ED，∠C=∠AED。因?yàn)椤螩=2∠B，∠AED=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB。所以EB=ED=CD。所以AB=AE+EB=AC+CD。典型例題解析PART05角平分線在幾何變換中應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN在平面幾何中，保持圖形形狀和大小不變，通過移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等操作使圖形位置發(fā)生變化的過程。幾何變換定義平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱（反射）、相似變換等。幾種基本幾何變換保持圖形的形狀和大小不變，只改變圖形的位置和方向。幾何變換的性質(zhì)幾何變換基本概念回顧利用角平分線進(jìn)行對(duì)稱01若一條直線是一個(gè)角的平分線，則這個(gè)角關(guān)于這條直線對(duì)稱?？梢酝ㄟ^作角平分線的垂線，找到對(duì)稱點(diǎn)，從而構(gòu)造出對(duì)稱圖形。利用角平分線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)02若一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，與另一條射線重合，則這兩條射線所夾的角叫做旋轉(zhuǎn)角?？梢酝ㄟ^作角平分線，找到旋轉(zhuǎn)中心，從而構(gòu)造出旋轉(zhuǎn)后的圖形。綜合應(yīng)用03結(jié)合對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)等幾何變換，可以構(gòu)造出更加復(fù)雜的圖形，并探究其性質(zhì)。利用角平分線進(jìn)行對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等操作示例例題2在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC=32，且BD:CD=9:7，求點(diǎn)D到AB的距離。解析根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可知DE=DF。再通過直角三角形的全等判定，可證明△BDE≌△CDF，從而得出BE=CF。解析根據(jù)角平分線的性質(zhì)及已知條件，可設(shè)BD=9x，CD=7x。通過勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，可求出AB的長度及AD的長度。最后利用面積法或三角函數(shù)法求出點(diǎn)D到AB的距離。典型例題解析PART06角平分線在解決實(shí)際問題中應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN在建筑設(shè)計(jì)中，角平分線常被用于確定建筑物的對(duì)稱軸，以確保建筑物的平衡和美觀。建筑設(shè)計(jì)在航海中，角平分線原理被應(yīng)用于確定航向和位置。例如，通過測量兩個(gè)已知點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的夾角，可以計(jì)算出目標(biāo)點(diǎn)的位置。航海導(dǎo)航在軍事領(lǐng)域，角平分線可用于確定最佳攻擊或防御位置，以最大化戰(zhàn)略優(yōu)勢。軍事策略實(shí)際生活中涉及角平分線問題舉例理解問題背景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型應(yīng)用角平分線性質(zhì)驗(yàn)證和反思利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題方法指導(dǎo)01020304首先，要仔細(xì)閱讀問題，理解問題的背景和所給條件。根據(jù)問題背景，嘗試構(gòu)建一個(gè)與角平分線相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。利用角平分線的性質(zhì)，如角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，來解決問題。在解決問題后，要驗(yàn)證答案的合理性，并反思解題過程中是否有可以改進(jìn)的地方。已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D。求證：AB/AC=BD/DC。例題1根據(jù)角平分線的性質(zhì)，我們知道角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。因此，我們可以通過作兩條垂線分別垂直