高等材料力學(xué)課件第六章平面問題

高等材料力學(xué)課件第六章平面問題CATALOGUE目錄平面問題基本概念與分類彈性力學(xué)平面問題基本方程平面問題解法概述與分類典型平面問題解析解示例復(fù)雜平面問題數(shù)值求解方法介紹高等材料力學(xué)中平面問題擴(kuò)展內(nèi)容01平面問題基本概念與分類在某一特定平面內(nèi)，物體各點(diǎn)處只存在兩個(gè)相互垂直的應(yīng)力分量，而該平面外的應(yīng)力分量可以忽略不計(jì)的狀態(tài)。平面應(yīng)力狀態(tài)在某一特定平面內(nèi)，物體各點(diǎn)處只存在兩個(gè)相互垂直的應(yīng)變分量，而該平面外的應(yīng)變分量可以忽略不計(jì)的狀態(tài)。平面應(yīng)變狀態(tài)在彈性力學(xué)中，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即廣義胡克定律。在平面應(yīng)力或平面應(yīng)變狀態(tài)下，該定律可簡(jiǎn)化為二維形式。應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系平面應(yīng)力狀態(tài)與平面應(yīng)變狀態(tài)薄板彎曲問題對(duì)于厚度遠(yuǎn)小于其他尺寸的薄板，在受到垂直于板面的載荷作用時(shí)，可以近似地將其視為平面應(yīng)力問題進(jìn)行處理。長(zhǎng)柱壓縮問題對(duì)于長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其橫截面尺寸的長(zhǎng)柱，在受到軸向壓縮載荷作用時(shí)，其橫截面上的應(yīng)力分布可以近似地視為平面應(yīng)變問題。軸對(duì)稱問題對(duì)于具有軸對(duì)稱性的物體，在受到對(duì)稱載荷作用時(shí)，其內(nèi)部應(yīng)力分布和變形情況也可以簡(jiǎn)化為平面問題進(jìn)行分析。平面問題在工程實(shí)際中應(yīng)用解析法：通過求解偏微分方程或積分方程來得到問題的精確解。這種方法適用于簡(jiǎn)單幾何形狀和邊界條件的問題。數(shù)值法：利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬，通過離散化方法將連續(xù)體劃分為有限個(gè)單元，并對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行力學(xué)分析，最終得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布和變形情況。這種方法適用于復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題。實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)手段對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)或模型進(jìn)行加載和測(cè)試，得到其應(yīng)力分布和變形情況。這種方法可以用于驗(yàn)證理論分析和數(shù)值模擬的正確性。平面問題的研究意義：平面問題是彈性力學(xué)中最基本、最簡(jiǎn)單的問題之一，但其研究方法、思路和結(jié)論對(duì)于更復(fù)雜的空間問題具有重要的指導(dǎo)意義。同時(shí)，平面問題在工程實(shí)際中具有廣泛的應(yīng)用背景，對(duì)于解決實(shí)際工程問題具有重要的實(shí)用價(jià)值。平面問題研究方法及意義02彈性力學(xué)平面問題基本方程表示物體內(nèi)部各點(diǎn)處應(yīng)力與外力之間平衡的微分方程組。描述物體邊界上應(yīng)力、位移等物理量所滿足的條件，分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。平衡微分方程及邊界條件邊界條件平衡微分方程幾何方程表示物體內(nèi)部各點(diǎn)處應(yīng)變與位移之間關(guān)系的方程，也稱為應(yīng)變-位移關(guān)系或協(xié)調(diào)方程。應(yīng)變分量包括正應(yīng)變和剪應(yīng)變，分別表示物體在各個(gè)方向上的伸縮變形和剪切變形。幾何方程（應(yīng)變-位移關(guān)系）物理方程表示物體內(nèi)部各點(diǎn)處應(yīng)力與應(yīng)變之間關(guān)系的方程，也稱為本構(gòu)方程或應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。彈性模量和泊松比描述材料彈性性質(zhì)的兩個(gè)重要參數(shù)，彈性模量表示材料抵抗彈性變形的能力，泊松比表示材料在單向拉伸或壓縮時(shí)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比。廣義胡克定律適用于各向同性材料的物理方程，表示應(yīng)力與應(yīng)變之間呈線性關(guān)系。對(duì)于各向異性材料，需要采用更復(fù)雜的物理方程來描述其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。物理方程（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）03平面問題解法概述與分類通過數(shù)學(xué)物理方程等理論工具，求得精確解或近似解的方法。對(duì)于簡(jiǎn)單邊界條件和幾何形狀的問題，解析解法通?？梢缘玫骄_解。解析解法基于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的原理，通過數(shù)值逼近的方式求解問題。適用于復(fù)雜邊界條件和幾何形狀的問題，可以得到足夠精確的近似解。數(shù)值解法解析解法與數(shù)值解法簡(jiǎn)介分離變量法將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，通過求解常微分方程得到問題的解。適用于具有規(guī)則幾何形狀和齊次邊界條件的問題。復(fù)變函數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)理論，將平面問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的問題，通過求解復(fù)變函數(shù)方程得到問題的解。適用于具有復(fù)雜幾何形狀和邊界條件的問題。分離變量法、復(fù)變函數(shù)法等解析技巧將連續(xù)的問題離散化，用差分方程近似微分方程，通過求解差分方程得到問題的近似解。適用于具有簡(jiǎn)單幾何形狀和規(guī)則網(wǎng)格的問題。有限差分法將連續(xù)體離散化為有限個(gè)單元，每個(gè)單元用簡(jiǎn)單的函數(shù)近似表示，通過求解有限元方程得到問題的近似解。適用于具有復(fù)雜幾何形狀和不規(guī)則網(wǎng)格的問題，是工程上最常用的數(shù)值方法之一。有限元法有限差分法、有限元法等數(shù)值方法04典型平面問題解析解示例問題描述01矩形區(qū)域在邊界上受到均勻分布的拉伸載荷作用，需求解其應(yīng)力分布和變形情況。解析方法02通過彈性力學(xué)中的平衡方程、幾何方程和物理方程聯(lián)立求解，可得到矩形區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和位移解析解。結(jié)果分析03解析解表明，在均勻拉伸載荷作用下，矩形區(qū)域內(nèi)部各點(diǎn)應(yīng)力分布均勻，且最大應(yīng)力出現(xiàn)在邊界上。同時(shí)，矩形區(qū)域發(fā)生整體均勻變形，無局部屈曲或失穩(wěn)現(xiàn)象。矩形區(qū)域受均布拉伸載荷作用問題描述圓形區(qū)域在邊界上受到均勻分布的壓力作用，需求解其應(yīng)力分布和變形情況。解析方法采用極坐標(biāo)下的彈性力學(xué)方程進(jìn)行求解，通過聯(lián)立平衡方程、幾何方程和物理方程，可得到圓形區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力和位移解析解。結(jié)果分析解析解表明，在均勻壓力作用下，圓形區(qū)域內(nèi)部應(yīng)力分布呈現(xiàn)出明顯的非均勻性，最大應(yīng)力出現(xiàn)在圓心附近。同時(shí)，圓形區(qū)域發(fā)生整體壓縮變形，且變形量隨著半徑的增大而逐漸減小。圓形區(qū)域受均布?jí)毫ψ饔脝栴}描述含有孔洞或裂紋的結(jié)構(gòu)在受到外部載荷作用時(shí)，其應(yīng)力分布和變形情況會(huì)發(fā)生變化，需進(jìn)行專門的分析。解析方法針對(duì)孔洞或裂紋附近的應(yīng)力集中現(xiàn)象，可采用復(fù)變函數(shù)方法、積分方程方法或有限元方法進(jìn)行求解。這些方法能夠較為準(zhǔn)確地描述孔洞或裂紋附近的應(yīng)力分布和變形情況。結(jié)果分析解析解表明，孔洞或裂紋的存在會(huì)導(dǎo)致應(yīng)力集中現(xiàn)象的發(fā)生，使得局部應(yīng)力顯著增大。同時(shí)，結(jié)構(gòu)的整體變形也會(huì)受到影響，可能會(huì)出現(xiàn)局部屈曲或失穩(wěn)現(xiàn)象。因此，在設(shè)計(jì)含有孔洞或裂紋的結(jié)構(gòu)時(shí)，需要特別注意其應(yīng)力和變形情況的分析和計(jì)算。含有孔洞或裂紋結(jié)構(gòu)受載分析05復(fù)雜平面問題數(shù)值求解方法介紹有限差分法原理及步驟原理有限差分法是基于差分原理的數(shù)值計(jì)算方法，通過離散化連續(xù)問題為差分方程進(jìn)行求解。步驟首先將求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上用差分方程近似代替微分方程，最后通過求解差分方程組得到近似解。原理有限元法是基于變分原理和加權(quán)余量法的數(shù)值計(jì)算方法，通過構(gòu)造插值函數(shù)來近似表示求解域上的未知場(chǎng)函數(shù)。操作流程首先進(jìn)行區(qū)域離散化，即劃分網(wǎng)格；然后選擇合適的插值函數(shù)構(gòu)造單元；接著進(jìn)行單元分析，形成單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量；最后進(jìn)行整體分析，組裝各單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量，并引入邊界條件，求解線性方程組得到近似解。有限元法基本原理和操作流程邊界元法在平面問題中應(yīng)用邊界元法適用于求解具有規(guī)則邊界的平面問題，如彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)等問題。優(yōu)點(diǎn)相比于有限元法，邊界元法只需在邊界上劃分單元，降低了問題的維度和計(jì)算量；同時(shí)，邊界元法在處理無限域和半無限域問題時(shí)具有天然優(yōu)勢(shì)。實(shí)施步驟首先確定問題的邊界條件和載荷；然后選擇合適的基本解和權(quán)函數(shù)；接著將邊界條件離散化，形成邊界積分方程；最后通過求解邊界積分方程得到近似解。應(yīng)用范圍06高等材料力學(xué)中平面問題擴(kuò)展內(nèi)容123描述材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的非線性彈性行為，涉及應(yīng)變能函數(shù)、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系等。非線性彈性本構(gòu)關(guān)系考慮材料在屈服后的塑性變形行為，包括屈服準(zhǔn)則、流動(dòng)法則、硬化規(guī)律等。塑性本構(gòu)關(guān)系描述材料的時(shí)間相關(guān)變形行為，涉及蠕變、松弛等現(xiàn)象。粘彈性與粘塑性本構(gòu)關(guān)系非線性材料本構(gòu)關(guān)系在平面問題中應(yīng)用基于線彈性理論，研究裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)和能量釋放率等，判斷裂紋的擴(kuò)展方向和穩(wěn)定性。線彈性斷裂力學(xué)考慮材料塑性變形對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，涉及裂紋尖端塑性區(qū)、J積分等概念。彈塑性斷裂力學(xué)研究交變載荷作用下裂紋的擴(kuò)展規(guī)律，涉及疲勞裂紋擴(kuò)展速率、門檻值等參數(shù)。疲勞裂紋擴(kuò)展斷裂力學(xué)中裂紋擴(kuò)展規(guī)律研究03復(fù)合材料層合板的優(yōu)化設(shè)計(jì)針對(duì)特定載荷和邊界條件，對(duì)復(fù)合材料層合板進(jìn)行鋪層優(yōu)化和結(jié)構(gòu)設(shè)