高等數(shù)學(xué)課件D82多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

高等數(shù)學(xué)課件D82多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)目錄contents多元函數(shù)基本概念偏導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)與混合偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在幾何與物理中應(yīng)用隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)求解方法約束條件下極值問(wèn)題求解方法01多元函數(shù)基本概念設(shè)$D$是一個(gè)非空的數(shù)集，如果對(duì)于數(shù)集$D$中的任一有序數(shù)組$(x_1,x_2,cdots,x_n)$，總有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對(duì)應(yīng)，那么就稱$y$是$x_1,x_2,cdots,x_n$的多元函數(shù)。多元函數(shù)定義多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、有界性等，但也有一些特殊的性質(zhì)，如方向?qū)?shù)、偏導(dǎo)數(shù)等。多元函數(shù)性質(zhì)多元函數(shù)定義及性質(zhì)平面區(qū)域是指在平面直角坐標(biāo)系中，由不等式或方程所確定的點(diǎn)的集合。常見(jiàn)的平面區(qū)域有矩形區(qū)域、圓形區(qū)域、多邊形區(qū)域等?？臻g區(qū)域是指在空間直角坐標(biāo)系中，由不等式或方程所確定的點(diǎn)的集合。常見(jiàn)的空間區(qū)域有長(zhǎng)方體區(qū)域、球體區(qū)域、柱體區(qū)域等。平面區(qū)域與空間區(qū)域空間區(qū)域平面區(qū)域多元函數(shù)極限與連續(xù)性設(shè)函數(shù)$f(P)$在點(diǎn)$P_0(x_0,y_0,cdots,z_0)$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)點(diǎn)$P(x,y,cdots,z)$滿足$0<|PP_0|<delta$時(shí)，都有$|f(P)-A|<epsilon$成立，那么就稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(P)$當(dāng)$(x,y,cdots,z)to(x_0,y_0,cdots,z_0)$時(shí)的極限。多元函數(shù)極限如果函數(shù)$f(P)$在點(diǎn)$P_0$的極限存在且等于$f(P_0)$，即$lim_{(x,y,cdots,z)to(x_0,y_0,cdots,z_0)}f(P)=f(P_0)$，那么就稱函數(shù)$f(P)$在點(diǎn)$P_0$連續(xù)。多元函數(shù)連續(xù)性02偏導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，如果Δz與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記作f'x(x0,y0)。幾何意義偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)表示曲面z=f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0,f(x0,y0))處關(guān)于x軸的切線斜率。同理，偏導(dǎo)數(shù)f'y(x0,y0)表示曲面z=f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0,f(x0,y0))處關(guān)于y軸的切線斜率。偏導(dǎo)數(shù)定義與幾何意義偏導(dǎo)數(shù)存在條件與性質(zhì)存在條件若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則f'x(x0,y0)和f'y(x0,y0)都存在。反之，若f'x(x0,y0)和f'y(x0,y0)都存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處可微。性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)具有線性性、可加性、乘積法則等類(lèi)似于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。此外，偏導(dǎo)數(shù)還具有鏈?zhǔn)椒▌t、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等特性。直接法01根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義直接求解，即求函數(shù)在某一點(diǎn)處關(guān)于某一變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，將其他變量視為常數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。間接法02利用偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)或公式進(jìn)行計(jì)算，如鏈?zhǔn)椒▌t、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等。隱函數(shù)求導(dǎo)法03對(duì)于給定的隱函數(shù)方程，可以通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于某一變量求偏導(dǎo)數(shù)來(lái)求解隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。需要注意的是，在求解過(guò)程中需要利用隱函數(shù)存在定理來(lái)判斷所求偏導(dǎo)數(shù)是否存在。偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法03高階偏導(dǎo)數(shù)與混合偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)定義對(duì)多元函數(shù)的某一變量連續(xù)求偏導(dǎo)數(shù)，所得的新函數(shù)稱為原函數(shù)對(duì)該變量的高階偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)性質(zhì)高階偏導(dǎo)數(shù)具有線性性、可加性、乘積法則等基本性質(zhì)，同時(shí)滿足偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。高階偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系高階偏導(dǎo)數(shù)在全微分中占有重要地位，是描述函數(shù)局部性質(zhì)的重要工具。高階偏導(dǎo)數(shù)概念及性質(zhì)030201123對(duì)多元函數(shù)先對(duì)某一變量求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)另一變量求偏導(dǎo)數(shù)，所得的新函數(shù)稱為原函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)。混合偏導(dǎo)數(shù)定義混合偏導(dǎo)數(shù)同樣具有線性性、可加性、乘積法則等基本性質(zhì)，但需要注意混合偏導(dǎo)數(shù)的順序可能影響結(jié)果。混合偏導(dǎo)數(shù)性質(zhì)混合偏導(dǎo)數(shù)在全微分中也扮演著重要角色，特別是在描述函數(shù)對(duì)多個(gè)變量的依賴關(guān)系時(shí)。混合偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系混合偏導(dǎo)數(shù)概念及性質(zhì)高階偏導(dǎo)數(shù)求法按照偏導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，對(duì)多元函數(shù)連續(xù)求偏導(dǎo)數(shù)即可得到高階偏導(dǎo)數(shù)。混合偏導(dǎo)數(shù)求法先對(duì)多元函數(shù)的一個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)，再對(duì)另一個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)，注意求導(dǎo)順序。簡(jiǎn)化計(jì)算技巧在計(jì)算高階與混合偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以利用已知的一階偏導(dǎo)數(shù)結(jié)果，通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t等方法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。同時(shí)，注意觀察函數(shù)的對(duì)稱性和周期性等性質(zhì)，以便更好地求解高階與混合偏導(dǎo)數(shù)。高階與混合偏導(dǎo)數(shù)求法04偏導(dǎo)數(shù)在幾何與物理中應(yīng)用空間曲線的切線給定空間曲線的一般方程，可以通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)求得曲線上某一點(diǎn)的切線方向向量，進(jìn)而確定切線方程。法平面與切線垂直的平面稱為法平面，法平面的法向量與切線方向向量垂直，也可以通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)求得?？臻g曲線切線與法平面在空間曲面上的某一點(diǎn)處，可以通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)求得切平面的法向量，進(jìn)而確定切平面方程?？臻g曲面的切平面與切平面垂直的直線稱為法線，法線的方向向量與切平面的法向量相同。法線空間曲面切平面與法線梯度梯度是一個(gè)向量，表示函數(shù)在某一點(diǎn)處沿著各個(gè)方向的變化率，梯度的方向是函數(shù)值增長(zhǎng)最快的方向，梯度的模表示變化率的大小。方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處沿著給定方向的變化率，可以通過(guò)梯度與方向向量的點(diǎn)積求得。最大值原理對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)等，可以通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，進(jìn)而確定最大值或最小值的位置和條件。在多元函數(shù)中，最大值原理可以幫助我們找到函數(shù)的最優(yōu)解或極值點(diǎn)。梯度、方向?qū)?shù)與最大值原理05隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)求解方法01由多個(gè)方程組成的方程組，其中每個(gè)方程都含有多個(gè)未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)組定義02隱函數(shù)組中的未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間存在一定的關(guān)系，這種關(guān)系可以通過(guò)對(duì)方程組進(jìn)行微分來(lái)得到。隱函數(shù)組性質(zhì)03在一定條件下，隱函數(shù)組可以唯一確定一組未知函數(shù)。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)組及其性質(zhì)直接求導(dǎo)法通過(guò)對(duì)方程組中的每一個(gè)方程關(guān)于某個(gè)自變量求偏導(dǎo)，解出未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。公式法利用隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)求解公式，直接代入方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。雅可比行列式法通過(guò)計(jì)算雅可比行列式，可以求解出隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)求解公式經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)可以用于求解消費(fèi)者效用最大化、生產(chǎn)者利潤(rùn)最大化等問(wèn)題。工程學(xué)中的應(yīng)用在工程學(xué)中，隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)可以用于求解復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)題。物理學(xué)中的應(yīng)用在物理學(xué)中，隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)可以用于描述多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、電磁場(chǎng)分布等問(wèn)題。實(shí)際應(yīng)用舉例06約束條件下極值問(wèn)題求解方法在多元函數(shù)中存在某些變量的取值受到一定條件限制，求函數(shù)在這些條件下的極值問(wèn)題。約束條件極值問(wèn)題的定義等式約束和不等式約束，其中等式約束是較為常見(jiàn)的情況。約束條件的形式在一定條件下，約束條件下的極值問(wèn)題是存在解的，可以通過(guò)相應(yīng)的方法求解。極值的存在性約束條件極值問(wèn)題概述Lagrange乘數(shù)法原理及步驟為了解決約束條件下的極值問(wèn)題，引入Lagrange乘數(shù)，構(gòu)造Lagrange函數(shù)。Lagrange乘數(shù)法的原理將約束條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件極值問(wèn)題，通過(guò)求解Lagrange函數(shù)的無(wú)約束極值點(diǎn)，得到原問(wèn)題的解。Lagrange乘數(shù)法的步驟首先構(gòu)造Lagrange函數(shù)，然后對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為零，解得可能的極值點(diǎn)，最后根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況確定極值點(diǎn)的取值。Lagrange乘數(shù)法的引入實(shí)際應(yīng)用舉例在經(jīng)典力學(xué)中，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡使得作用量取最小值，這也可以通過(guò)L