湖北省2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升模擬試題（含解析）

湖北省2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

（含解析）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知全集U=ZU8{I},{，},若，CB—,則B—（

)

A.{0,3,4}B.{0,l}C,{-l,0}D.

{2,3,4}

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意求全集。，再結(jié)合集合的交集和并集分析求解.

【詳解】由題意可得：t∕={x∈N∣0<x+l<6}={0,l,2,3,4},

因?yàn)椤?ZUB,AI8=0,4={1,2},所以B={θ,3,4}.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z=2上?（其中i是虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是（）

l+2i

A.-1B.2C.3D.4

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于。的等式，解之即可.

2+ai_(2+ai)(l-2i)_2a+2a-4

【詳解】因?yàn)閆=l+2i-(l-2i)(l+2i)-5+~Γ~i是實(shí)數(shù),

則色二±=0,解得α=4.

5

故選：D.

3.ABC中內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別是α,b,c,(α+?+c)(α+c-?)=3tzc,

sin8=2sin∕cosC,那么ANBC是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直

角三角形

【正確答案】A

1Ti

【分析】根據(jù)余弦定理求得cos8=—,得到8=?,再由sin6=2sin/CoSC結(jié)合正、余

23

弦定理，求得/=/,即可求解.

【詳解】?(α+6+c)(α+c-h)=3αc,整理得Y+/一/=四，

所以CoSB=土土巴亙=L因?yàn)?e(0,兀)，所以8=三，

Iac23

又因?yàn)閟in8=2SinNCoSC,即1=24.0,

2ah

TT

可得∕=c2,解得“=c,又8=1,

所以三角形ZBC是等邊三角形.

故選：A.

4,函數(shù)/(x)=2Sin(OX+e)[0>0,∣e∣<5)的最小正周期為π,將/(x)的圖象向右平

Tr

移一個(gè)單位長度后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則()

6

π兀

A.φ=—B.(p=-C.

36

【正確答案】D

【分析】根據(jù)最小正周期求出。=2,寫出平移后的解析式，根據(jù)其為偶函數(shù)得到

JTTT

一一+φ=kπ+~,keLr,根據(jù)夕的范圍即可得到答案.

32

【詳解】由題得最小正周期7=靜=π,可得0=2,所以/(x)=2sin(2x+g).

/(χ)的圖象向右平移二個(gè)單位長度后為偶函數(shù)y=2sin(2x-?+0]的圖象，

6\3√

兀,兀，r,5兀，r

故----?-(p—kτιH—，k￡Z,：,(P=kτιH-----,k￡Z、

326

,,ππ

'??φ?<->?-<p=-->

ZO

故選：D.

π

5.的斜二測(cè)畫法的直觀圖為A∕'5'C',AB'=4,B'C'=3,N4'B'C'=—,則

6

△Z8C的面積為()

A.3B.6√2C.6√6D.12√6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解.

【詳解】由已知可知，S"wc?,=Lχ4χ3χL=3,

“B’22

由*=4=乎，解得S~SC=6√L

^AABC^ABC4

故選：B.

6.C中內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別是α,"c,若A∕8C的面積為Q十°一。，則

4

tanC=()

A.—B.叵C.1D.√3

23

【正確答案】C

【分析】利用余弦定理及三角形面積公式，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果.

【詳解】在A∕3C中，由余弦定理得c2=∕+b2-2"cosC,又

S=LbSinC=礦+"一廠

?∕a4obCc2

所以JabSinC=2'"casC,即SinC=COSC,所以tanC=l.

24

故選：C.

7.在ABC中，AB=AC=2,，。為8C的中點(diǎn),將A/CD繞4。旋轉(zhuǎn)至/P0,

使得BP=&，則三棱錐P-/6。的外接球表面積為()

、8√2π5√5π

C.7πD.8π

36

【正確答案】C

【分析】推導(dǎo)出NDL平面f8。，計(jì)算出△尸8。的外接圓的直徑2尸，可得出三棱錐

22

P-ABD的外接球直徑為2R=λ∕(2r)+AD，再利用球表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

圓柱ɑɑ的底面圓直徑為2尸，母線長為/7,則ɑɑ的中點(diǎn)。到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離

都相等，則O為圓柱的外接球球心.

翻折前，在A/BC中，AB=AC=2,jβc=2√3.。為BC的中點(diǎn)，則

旦AD=YAB2-BD?=122-3=1，

翻折后，則有80，ADLPD,

又因?yàn)?￡>nP。=。，BD、尸DU平面尸80,所以，ZZ)J.平面P8。，

由已知3。=Pz)=6，BP=娓,滿足BD'PD'BP?，

則APBD是斜邊長為痛的等腰直角三角形，

將三棱錐A-尸80置于圓柱OQ2上，使得APBD的外接圓為圓O1,

所以，三棱錐P-ABD的外接球直徑為2R=^AD2+(2r)2=#+(府=布,

則及管

因此，三棱錐。-45。的外接球表面積為47以2=4兀乂7π.

故選：C.

8.在ABC中，ZO為BC上的中線，G為-3C的重心，NW分別為線段28〃C上的

動(dòng)點(diǎn)，且N,MG三點(diǎn)共線，若訴=義丁卻AN=μAC,貝"+4〃的最小值為()

39

A.-B.3C.2D.-

24

【正確答案】B

一11——1—.

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出NG=:;(:力A/+—4N),利用",N,G三點(diǎn)共線可

3λμ

得上+；=1，繼而將2+4〃化為(X+44)(」+」)，結(jié)合基本不等式即可求得答案.

343μ3%3〃

【詳解】由題意在A4BC中，4。為8C上的中線，G為。的重心，

且加=41耳，~AN=μACfO≤Λ,∕∕≤1,

11——1—

3λμ

由于Λ1,N,G三點(diǎn)共線，故+；=1，

3Z3μ

故九+4〃=(/1+4〃)(-^+-^)=3+色+工22+21犯.2=3,

3Λ3〃3343〃3?3Λ3〃

當(dāng)且僅當(dāng)"=g-時(shí)，結(jié)合5+；=1,即九=1,〃=L時(shí)等號(hào)成立，

343μ323〃2

故4+4//的最小值為3,

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)

的得O分.

9.如下圖，點(diǎn)48,C,P,。是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則滿足「。//平面ZBC的有

()

PB

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)線面平行判定定理逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】對(duì)于A,如下圖，連接8。，則BD//PQ,

又平面/8CCM=8,則平面/8C,所以「。不平行平面/8C,故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)椤浮?/ZC,尸。仁平面Z8C,ZCU平面Z8C,所以尸0//平面ZBC,

故B正確；

對(duì)于C,如下圖，取用V中點(diǎn)D,連接EF,MN,CD,BD,

由正方體得AB//EF,PQHMN,EFHMN//CD,又ACMDQ,CPHBD,

所以4,8,C,O,P,0六點(diǎn)共面，故C不正確；

對(duì)于D,如下圖，連接尸。交Z6于。，連接OC,

Q

在正方體中，由于四邊形4P6。為正方形，所以。為PQ中點(diǎn)，又C為。。中點(diǎn)，所以

OCIIPQ,

平面ZBC,OCU平面Z8C,所以尸。//平面/8C,故D正確.

故選：BD.

10.下列各式中，值是g的是()

A.CoSXCOS(X+?∣?1+sinxsin(x+1)B.tanIO0+tan350+tan10otan35°

ctan22.5。D2-cos?20°

l-tan222.5o-3—sin50°

【正確答案】ACD

【分析】利用兩角差的余弦公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.

【詳解】COSXCoS[X+三]+sinxsin[x+?∣?)

ππ1

=COSx—x—=CoS—=一,A正確；

、?J32

tanl00+tan350+tanIO0tan350

=tan(100+35o)(l-tan1Ootan35o)+tan10otan35o

=tan45o=l,B不對(duì)；

tan22.5o12tan22.5o11

---------z---------=-------------z---------=-tan45°=-,C正確;

l-tan222.5o21-tan222.5o22

311

2-cos220°=萬一萬儂叱=2」sin50。)=`,D正確

3-sin50°3-si∏50o3-sin50o2

故選：ACD

11.已知方=(*-g),將無繞坐標(biāo)原點(diǎn)O分別旋轉(zhuǎn)一60°,60。，120。到0々，OP2,OPi

的位置，則()

(3√3-44+3G)

A.點(diǎn)6的坐標(biāo)為［f—,一^-B?I尸耳I=IPEl

C.OPxOP2=OPOP.D.OP、?OPi<OP?OP,

【正確答案】BCD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)兩角和差公式運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)幾何性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C、

D：根據(jù)數(shù)量積的定義分析判斷.

UUr

【詳解】因?yàn)镺尸

對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)尸,6所對(duì)應(yīng)的任意角為分別為α,,,則

π.43

'355

F?C∣>J'.(兀、1V34+3-^3

所以Slnal=SInla——=—sma--------CoStZ=-----------------，

'L?j2210

C1√3.3+4√3

CoSaI=CoSla——=一COSa--------Sma=-----------------，

I3)2210

即點(diǎn)片的坐標(biāo)為（-土左回

故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可知：NPQP=NPlOP=60。,OP=OP、=OP°,

即A6OP,Z?J%9尸為正三角形，可得「第=IRI,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可得：/片?！?/乙。0=120。,OP=Oq=Og=OK=1,

UUirUUirUUlrUurι

所以O(shè)n?OQ=OPR=1X1XCOS1200=-Q,故C正確；

oo

對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得：Z.PxOP3=180,AP1OP=60,OP=OP}=OP2=OP3=1,

uι∏rUUirUIlrUUlr?

所以O(shè)R?O6=1×1×cosπ=-1,OP?OP2=IXlXCOS600=萬，

OP,-OP3<OPOP2,故D正確；

故選：BCD.

12.歐拉公式d'0=cos6+iSine其中(e=2.718???，i為虛數(shù)單位)由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐

拉發(fā)現(xiàn)，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位,

被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是()

b

A.e伊')=1?Li/

C?e—e=ev,0.i(ot+θ)?θ,,V+ι,

e'f=ecosα+esina

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題中歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)，誘導(dǎo)公式，三角恒等變換化簡(jiǎn)整理可判斷.

【詳解】A選項(xiàng)：

卜Q]=卜OS(^■+e)+isin(?^+8)=,in6-icos6∣=Iin2°+卜CoSe)?=1,

故A正確；

B選項(xiàng)：可得)=cos(]-d)+isin(?∣?-6)=sin6+icos6，

因?yàn)橐?CoS6+zsin，則e冶=cos^—isinθ，

可得i.eJicos6-i2sine=sine+icos6，所以［期二＞3，B正確；

C選項(xiàng)：因?yàn)?/p>

e"-e,α=COsθ+isin。一(COSa+isin1)=(CoS。-COSa)+i(sin。-Sina),

幻=Cos(8-1)+isin(8-α),故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：因?yàn)閑""+S=cos(α+9)+isin(α+e),

+π

V2)f/?^l??(n?n?n

ev7=cosl^+^l+ιsml^+-^-l=一sm9+ιcos夕，

則ei,cosa+e'?)sina

=(cos。+isin6)cosα+(-sin0+icose)sina

=cosθcosa-sin。Sina+i(sin。cosa+cosOsina)

=COS(e+a)+isin(6+a),

所以i(a+0)?θ,'∣∕+l]?,D正確

故選：ABD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(2-i)z=i2°23&為虛數(shù)單位),則Z=.

12

【正確答案】?一一i

55

【分析】先求得i2023=i505*4+3=-j,結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】由F的計(jì)算規(guī)律，可得[2023=1505x4+3=-,

-i-i(2+i)l-2i12.

所以Z=----=-----------=-----=-----1.

2-i(2-i)(2+i)555

2.

故-----i

55

14.已知正四棱臺(tái)的上底邊長為2,下底邊長為4,側(cè)棱長為3.則四棱臺(tái)的高為.

【正確答案】√7

【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱臺(tái)的對(duì)角面等腰梯形的高即可作答.

【詳解】正四棱臺(tái)對(duì)角面等腰梯形的高即為該正四棱臺(tái)的高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底邊長為2,下底邊長為4,側(cè)棱長為3,

則該四棱臺(tái)對(duì)角面等腰梯形的上下底邊長分別為2&,40，腰長為3,

因此等腰梯形的高為J32_(生叵科2)2=幣,

所以四棱臺(tái)的高為J7.

故77

15.在A4SC中，內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別是a,h,c,若4=亍，a=7,6=3,則

角/的角平分線4D=.

【正確答案】—

8

【分析】運(yùn)用正弦定理和兩角和差公式求解.

3sin型=孑叵，NZ=空,.?.N8,NC都是銳角,

73143

COSB=-，SinC=Sin——8∣=Sin—CoS8—CoS—sin8=-----,

14<3J3314

sinNADC=Sin（8+ZDAB）=sin

ΛΓιΔΓic15

在AZOC中，由正弦定理得：士■=———AD=AC?—?n―=—；

SinCsinZADCsinZADC8

故答案為.—

8

16.已知/'(X)=JJcos%x+sin(yxcos(yx((y〉0),如果存在實(shí)數(shù)%,使得對(duì)任意的實(shí)

數(shù)X,都有/(xo)≤∕(x)≤∕(x°+2O23兀)成立，則3的最小值為.

1

【正確答案】

4046

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)/(χ)的解析式，分析可知/(%)是函數(shù)/(χ)的最小

值，/"o+2023兀)是函數(shù)/(x)的最大值，求出函數(shù)/(x)最小正周期的最大值，可求得

?sin2^+-cos26υx+

222

如果存在實(shí)數(shù)%,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)看,都有/伍卜/。卜/60+2023兀)成立,

則/國)是函數(shù)/.(X)的最小值，/(x0+2023兀)是函數(shù)/(x)的最大值，

因?yàn)椤＃?,若使得。最小，則函數(shù)/(x)的最小正周期取最大值,

且函數(shù)/(x)最小正周期的最大值為2×2023π=4046π,

2兀?

故2。的最小值為———,則①的最小值為

4046π2023220234046

1

故答案為.

4046

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知復(fù)數(shù)Z=加一1+（〃尸+加一2）i（〃zeR）,且z?i為純虛數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)叫

（2）若|同=目，ω-ω=2i,求復(fù)數(shù)。.

【正確答案】（1）m=-2

（2）co=±2Λ∕2+i

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于心的等式與不等式,

解之即可；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式以及共輯復(fù)數(shù)求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閦?i=-（加？+加-2）+（τn-l）i為純虛數(shù)

m+m-2=0

所以《故/n=-2

777-1≠0

【小問2詳解】

由（1）有Z=-3,所以同=3,

令(υ=α+bi(α,beR),ω=a-b?,則5=2bi=2i,

a2+?2=9a—+2V2

所以《，解得

2b=2b=l

故<υ=±2√∑+i?

18.已知向量很滿足H=I,A=(1,JJ)

(1)若h+2@=3,求∣2α-3q的值;

(2)若“?（￡—3）=0,求Z在否上的投影向量的坐標(biāo).

?√3^

【正確答案】（1）8；（2）

【分析】(1)由己知求出彳了=-2,再利用向量模的公式求解;

(2)由已知求出￡/=1，再利用投影向量的公式求解.

【小問1詳解】

由題得W=2,

|萬+2可2=12+4之.3+432=4萬?B+17=9,：.a-b=-2.

：.∣25-3可=>]4a2-na?b+9b2=,4+24+36=8

【小問2詳解】

一/一一\一2——―_

aΛa-h?=a-a?h=l-a?h=O?λ?a?b=??

19.如圖所示,8。為平面四邊形/8CO的對(duì)角線,設(shè)ZB=2,sinZABD=√3sinZADB.

△BCD為等邊三角形,記NA4D=e(0<e<π).

(1)當(dāng)BZ)=2j7時(shí)，求的面積：

(2)設(shè)S為四邊形CZ)的面積，用含有6的關(guān)系式表示S,并求S的最大值.

【正確答案】(1)百；

(2)S=4百Sin0--1+4-^3,Smax=8-73.

【分析】(1)利用正弦定理求出力。=2√J,再利用余弦定理求出CoS。即得解;

(2)利用余弦定理求出302=16一8jicos。，再求出S=4√isin[e-mj+4√i,再利

用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.

【小問1詳解】

ADSinNNBD

在AZBZ）中,=GAD=6AB=2也,

~ABSinNXDB

12+4-28√3

.β.COSθ=

2×2×2√3-^T

又?.?0<8<π.?.sin6=L.

2

?^?S△?=5X2X2Λ∕3X5=?/??

所以a∕8θ的面積為√L

【小問2詳解】

12+4-5

在AABD中,COSe=

2×2×2Λ∕3

???5Z>2=16-8√3cos6>

???S=Lχ2χ2√Jsin6+Lχ8θ2χ2^

222

=2Λ∕3Sine-6cosθ+4??∕3

=4>∕3sin[e-+45/3

八八八兀（兀2兀、

?;0<e<兀,.".θ—∈—,—

3I3?j

...當(dāng)e蘭三即"看時(shí),Smax=8技

20.已知函數(shù)/(x)=CoS(20X+°)[0>O,M<1),最小正周期為兀，/(x)圖像的一條

對(duì)稱軸為X=W.

(1)求/(x)的解析式;

π71π\(zhòng)

(2)存在X∈-y,y使得不等式了+COS0]一二<〃?成立，求實(shí)數(shù)〃7的取值

I6)

范圍.

【正確答案】(1)/(x)=C0S^2x+y

(2)陽>-1

【分析】根據(jù)條件求出口和8；

令y=∕(χj+COS。》一弓并作恒等變換，用換元法求解.

【小問1詳解】

T2π

<T=—=π,0=1(X)=CoS(2x+s),又：X=T為對(duì)稱軸，；.3+φ=kπ,

2①

而例吟e=?∣,/(X)=cos{2x+—

【小問2詳解】

令=小一三π

y+COSωx—1,

6

兀兀ππ

?,?X∈,.,.X—∈

62

令，=costx-?^0≤∕≤l),.?.y=2∕+r-1在［0,1］上單增,

?'?當(dāng)/=O時(shí)，J7min=-1?m>—1;

綜上，/(X)=CoS∣2x+］J,m>—1.

21.如圖，在正四棱錐尸一/BC。中Z8=2,P4=4,^PM=2MB?N、E、廠分別

為尸￡＞、BC、CO中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面PMN；

(2)三棱錐N-AlCD的體積.

【正確答案】(1)證明見解析

2√14

⑵LMCD

9

【分析】（1）通過證明EFHBD得至IJEFH平面PMN；

（2）先求得通過體積轉(zhuǎn)化得匕V-MCD=YB8,求得PNfCD

6

【小問1詳解】

證明：連接80，

Y四邊形ZBCO為正方形，E、尸分別為8C、CZ）中點(diǎn)，

.?.EFHBD,

又3,D,N,P,M五點(diǎn)共面，EFU平面PMN,8。U平面2MN,

.?.EFH平面PMN,

【小問2詳解】

在正四棱錐尸―ZBC。中，連接8。,/。交于點(diǎn)。，連接尸。，

則P。工平面/8CZ),又8。U平面ZBeD,所以POJ.B0,

所以尸O=y]PB2-BO2=^16-(√2)2=√L4，

Vpg=%°3?P0=Jx2x2x√i^=M^,

r-AD?-Lf3O?∕iZJl-〃33

因?yàn)橥?=2礪，N為PD中點(diǎn)、.

-、112

所以VN-MCD=-M-CDN=?VM-PCD二萬XlX"B-PCD

_1_1_1_2√14

-?/B-PCD-§VP-BCD-eIp-ABCD~~ɑ-，

故yN-MCD-.

22.已知A4SC中，AB=2,AC=3,BP=^BC,。是邊/8(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn).

A

QlO

BPC

__2__

⑴若AQ=TB,。點(diǎn)為/P與C。的交點(diǎn)，請(qǐng)用在，X表示言；

（2）若點(diǎn)0使得萬，的，求CoSN8NC的取值范圍及S“°C的最大值.

【正確答案】（1）A0^-AB+-AC

36

（2）CoSN8/C的取值范圍為「一］,—，］,S“°C的最大值為叵.

L46J2

UUr2Uur1UUDT

【分析】（1）由已知可得=+再由/、。、P三點(diǎn)共線，令亞=4萬，而

—2-----5λλ—

ZQ=MZB可得力。=3-工。+§4。，然后由C、。、。三點(diǎn)共線，可求