2023年初升高數(shù)學(xué)暑假銜接-冪函數(shù)（教師版）

第2.5章根本初等函數(shù)

2.5.1幕函數(shù)

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解某函數(shù)的概念;

后J中要求2結(jié)合函數(shù))/=%,y=x2,y=X3,y=x~1,y=X2的圖象，了解它們的變化情

況

口△基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)基?，?立完賽知識(shí)體聚

1塞函數(shù)的定義

一般地，形如y=x"的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中％是自變量，a為常數(shù).

注注意嘉函數(shù)中xa的系數(shù)是1,底數(shù)是變量居指數(shù)a是常數(shù)；

2正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義

(1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：aT=y?(a>o,m,neN)Eln>l)

巧記"子內(nèi)母外"(根號(hào)內(nèi)的m作分子，根號(hào)外的n作為分母)

(2)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義：a>O,m,nG/V*，且ri>1)

Egy/x=x2,x-2=?x-2=—=^.

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.

3零函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1

(1)幕函數(shù)y=X,y=x2,y=x3,y-x2,y=%一1的圖象.

(2)幕函數(shù)y-x,y-x2,y-x3,y-x2,y=的性質(zhì)

1

3_1

y=xy=x2y=xy=%'y=x

w

廠

圖象U

TT、

定義域RRR[0,+00)%。0

值域R[0,+00)R[0,+oo)x=^=0

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)

在(-8,0］上遞減在［0,+oo)在(-8,0)上遞減

單調(diào)性在R上遞增在R上遞增

在(0,+8)上遞增上遞增在(0,+8)上遞減

定點(diǎn)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(L1)

⑶性質(zhì)

①全部的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；

②a>0時(shí)，嘉函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在［0,+8)上是增函數(shù).

特別地，當(dāng)a>l時(shí)，幕函數(shù)變化快，圖象下凹：當(dāng)0<a<l時(shí)，累函數(shù)變化慢，圖象上凸.

1

Egy=%2圖象上凸，y=/圖象下凹，在［0,+8)上是增函數(shù).

③a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象在(0,+8)上是減函數(shù).在第—象限內(nèi)，當(dāng)無從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右

方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

.11

Ecgy=x1=",

卷經(jīng)典例題

從典例中見n■能力

（題型1）幕函數(shù)的概念

（典題1）已知函數(shù)/（乃=（m2+2^1-2）%病-*1是塞函數(shù)，則m=

解析由題意知，假設(shè)/'（x）為嘉函數(shù)，則？n?+2m-2=1.

即7712+2m-3=0,解得m=1或zn=-3.

變式練習(xí)

1.已知fQ）=a/。+1-b+1是基函數(shù)，則a+b=.

答案2

解析函數(shù)f（x）=ax2a+i-b+l是幕函數(shù)，

依據(jù)基函數(shù)的定義知，解得a=l,b=l；

所以Q+6=2.

2.基函數(shù)fQ）的圖象過點(diǎn)卜,；），則-3）=.

答案!

解析設(shè)"乃=/，則2"J所以a=-2.

所以/（%）=12.所以/⑶=3-2=：

（題型2）幕函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

（典題1）基函數(shù)y=xa,y=/,y=x，,y=/在第一象限的圖象如下圖，則a,b,c,d的大小關(guān)系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

解析由圖象得：b>c>d>a,應(yīng)選：D.

(典題2)已知事函數(shù)/(%)=%/-2皿-3(相€2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在(0,+8)上是減函數(shù)，則租=

解析累函數(shù)/(%)=尤川-2血-3(根WZ)在(0,+8)上是減函數(shù)，

則/-2m-3<0,解得-1VmV3；

又znEZ,Am=0,1,2；

Q1

當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=x-3=/,是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

當(dāng)m=l時(shí)，/(%)=%-4=^,是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于曠軸對(duì)稱；

Q1

當(dāng)m=2時(shí)，==)，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

綜上，m的值是0或2.

(典題3)己知點(diǎn)(退,2)在幕函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)(-2,J在基函數(shù)g(x)的圖象上.

(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式；

(2)推斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性并用定義證明；

(3)問無為何值時(shí)有/'(X)Sg(x).

解析⑴由題易得/'(X)=%2,g(x)=廠2

(2)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，在(一8,0)上為增函數(shù)

(必+X2)(X2-Xi)

證明：任取打〈冷<0，有g(shù)Oi)-g(%2)=----麗----

%1+%2<0，%2-xl>0,尤超>0,

???g(M)-g(X2)<0,

???g(X)在(0,+8)上為增函數(shù).

(x+^1)(X2-Xi)

任取0cxi<%2，有g(shù)Oi)-g(%2)=--2---------

VX2+Xi>0,%2-%1>O,X1%2>0，

g(xj>5(x2),

■t?g(x)在(0,4-8)上是減函數(shù).

(3)當(dāng)x>l或x<l時(shí),f(x)Wg(x),證明如下

由(1),兩函數(shù)都是偶函數(shù)，先研究x>0時(shí)滿足“X)Wg(x)的x的取值范圍.

令/=乂-2,解得％=1,

又/'0)=/在(0,+8)上是增函數(shù)，g(x)=%-2在(0,+8)上是減函數(shù)，

故可得f(x)<g(x)的x的取值范圍是x<1,

由兩函數(shù)的解析式知，此兩函數(shù)都是偶函數(shù)，

故當(dāng)X<0時(shí)，/(x)<g(x)的X的取值范圍是X>—1,

綜上當(dāng)一lWxWl時(shí)，/(x)<5W

變式練習(xí)

1.任意兩個(gè)幕函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.最少一個(gè)，最多三個(gè)B.最少一個(gè)，最多二個(gè)

C.最少。個(gè)，最多三個(gè)D.最少0個(gè)，最多二個(gè)

答案A

解析全部暴函數(shù)的圖象都過(1,1)故最少1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)為y=/和y=X時(shí)，它們有3個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)選4.

2.函數(shù)y=x2,y=xT,y=x3,y=x-3在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線()

A.C2,。1，C3,C4B.C,4?CJ,C3，。2C.C3,。2，。1，。4D..C1,C4,。2，。3

解析由于在第一象限內(nèi)直線X=1的右側(cè)時(shí)，

事函數(shù)y=%。的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)a由大變小(令％=8可知)，

11

故指數(shù)a由大變小排列，鎏函數(shù)？=/,丫=必,丫=刀-3,丫=“-1在第一象限內(nèi)的圖象為分別為(；1，。2，C3,

C41

應(yīng)選D.

3.幕函數(shù)y=/(x)經(jīng)過點(diǎn)(3,8),則/(乃是()

A.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)，且在(0,+co)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，且在(0,+8)是減函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

答案D

解析設(shè)嘉函數(shù)的解析式為：y=x3

L(—11

將(3,也)代入解析式得：3a=小，解得a=中???'=/,

應(yīng)選：D.

m

4.如下圖是函數(shù)y=%"(m、/WN*且互質(zhì))的圖象，貝)

B.m是偶數(shù)，九是奇數(shù)，且￡>1

mm

C.他是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且坂<1D.m,ri是偶數(shù)，且五>1

答案C

m

解析???函數(shù)y=/的圖象的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故n為奇數(shù)，m為偶數(shù),

在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故￡<1，應(yīng)選：C.

5.已知事函數(shù)f(x)=(m-l)2%m2-3m+2在(0,+8)上單調(diào)遞增，則“X)的解析式是.

答案/(X)=X2

解析無)是基函數(shù)，???(nr-1)2=1,解得m=2或m=0,

假設(shè)m=2,則/(x)=x°,在(0,+9)匕不單調(diào)遞減，不滿足條件：

假設(shè)m=0,則/"(x)=/,在(0,+8)上單調(diào)遞增，滿足條件；

即/(%)=/.

6.已知{-2,-假設(shè)幕函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+8)上遞減，則。=

答案-1

解析vaGf-2,-1,-111,2,3),

基函數(shù)/(x)=/為奇函數(shù)，且在(0,+8)上遞減，

???Q是奇數(shù)，且QV0,

-a=-1.

7.已知幕函數(shù)/(x)=久-gZ)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，求函數(shù)/(x)的解析式.

答案/W=x-2

解析???/0)=”2-*2(小€2)是偶函數(shù)，二?712_?1-2為偶數(shù).

又1?"fM=xmi~m~2(meZ)在(0,+8)上是減函數(shù)，

/.m2-m-2<0,HP-1<m<2.?:meZ,?,.??1=0或771=1.

當(dāng)?n=0時(shí)，m2一7n-2=-2為偶數(shù)，當(dāng)m=l時(shí)，m2一加一2=-2為偶數(shù).

???/(%)的解析式為/(%)=%-2.

312

8.已知幕函數(shù)f(x)=%2+k2k

(1)假設(shè)/(x)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，求f(x)的解析式：

(2)假設(shè)f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，求k的取值范圍.

答案(1)/(%)=，(2){kCZ[k<-l或k>3}

解析⑴析函數(shù)/(%)=七+**(kez),

又；/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，.?.|+k-)2>0,解得-i<k<3,

又kEZ,:.k=0,1,2,

?."(%)為偶函數(shù)，

313

①當(dāng)k=0時(shí)，5+0-5x02=2,〃尤)為奇函數(shù)，不符合題意；

31

②當(dāng)k=l時(shí)，2+1-爐12=2,/'(x)為偶函數(shù)，符合題意；

313

③當(dāng)k=2時(shí)，2+2-2x22=5,/(%)為奇函數(shù)，不符合題意.

：?k=1,/(%)=x2；

三十k一切

(2),??來函數(shù)/(%)=Y2K(kEZ),

又???/(X)在(0,+8)上是減函數(shù),

31

+kk2<O

2--2-解得k<-lHk/c>3(/ceZ),

■-.k的取值范圍為伏Gz\k<-1或k>3).

(題型3)幕函數(shù)的應(yīng)用

(典題1)比擬以下各組數(shù)的大小.

(1)3-2和3.1?(2)-8-和-(T；

5

解析(1)二函數(shù)'=%2在(0,+8)上為減函數(shù)，

S5

又3V3.1,?,?3—>3.「.

7Z7

(2)???-8_8=_Qy,函數(shù)y=%8在(0,+8)上為增函數(shù),

變式練習(xí)

/25\25

1.已知a=(三),1=1.025。,c=lolioo1則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析??,a=^25,f)=1.0250=(1.022)25,C=1,O11OO=(1.O14)25,

25,

正21.041,1.022=1.0404,1.01A4?1.0406,

函數(shù)y=，5在(0,+8)上是增函數(shù)，：.b<c<a.

應(yīng)選：B.

2.已知八支)=(兀2-3"+3)/+1為幕函數(shù)，且/'(X)為奇函數(shù).

(1)求函數(shù)/(乃的解析式；(2)解不等式/(x+1)+/(3-2%)>0.

答案(l)f(x)=/(2){x|x<4]

解析⑴/(x)=52-3TI+3優(yōu)+1為幕函數(shù)，

???n2—3n+3=1,解得n=l或n=2：

又/(久)為奇函數(shù)，-???=2,

???函數(shù)/'(x)=，；

(2)由f(x)=/是定義域R上的增函數(shù)，且不等式f(x+1)+/(3-2x)>0

化為/(x+1)>-/(3-2%)=/(2%—3),

x4-1>2%-3,解得x<4,

???不等式+1)+f(3-2x)>0的解集是。氏<4}.

輕松訓(xùn)練通也習(xí)，manti

1.圖中曲線是基函數(shù)y=在第一象限的圖象，已知九取±2,四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線的，。2，小，。4的

11111111

A.-2,-2,5,2B.2,2；-2,-2。?-5,-2,2,?D.2,2，-],-2

答案D

11

2_

解析依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，X>1時(shí)，X>X2>X2>X-2(

11

???相應(yīng)于曲線，。的出衣次為，了-，

ClC2,C3,422-2.

應(yīng)選：D.

2.假設(shè)三個(gè)塞函數(shù)丫=%，丫=/）=好在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖，則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.

a>b>cD.a>c>b

答案c

解析①y=x",單調(diào)遞增，且當(dāng)％>1時(shí)，在直線、=%的上方，

②丫二，,單調(diào)遞增，且當(dāng)X>1時(shí)，在直線y=%的下方，???0vbv1,

③y=%c,單調(diào)遞減，且當(dāng)％>1時(shí)，在直線y=x的下方，.??c<0：

■■a>b>c.

應(yīng)選：C.

3.以下命題中：

①基函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；

②嘉函數(shù)的圖象不可能在第四象限；

③當(dāng)n=0時(shí)，基函數(shù)y=x”的圖象是一條直線；

④當(dāng)n>0時(shí)，累函數(shù)丫=肝是增函數(shù)；

⑤當(dāng)n<0時(shí)，基函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x的值增大而減小.

其中正確的選項(xiàng)是()

A.①和④B.④和⑤C.②和③D.②和⑤

答案D

解析①基函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，但不肯定經(jīng)過點(diǎn)(0,0),比方y(tǒng)=g故錯(cuò)誤；

②募函數(shù)的圖象不可能在第四象限，故正確；

③當(dāng)n=0時(shí)，黑函數(shù)y的圖象是一條直線去除(o,i)點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

④當(dāng)n>0時(shí)，如y=x2,暴函數(shù)y=/在(0,+8)上是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域?yàn)椴豢隙ㄊ窃龊瘮?shù)，

故錯(cuò)誤；

⑤當(dāng)n<0時(shí);事函數(shù)y=x”在(0,+8)上是減函數(shù)，即基函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x的值增大而

減小，故正確.

應(yīng)選：D.

3

4.函數(shù)y=好的圖象是()

答案C

3

解析?函數(shù)y="2的定義域是。+8),.?.排解選項(xiàng)4和B,

3

又???5>1,???曲線應(yīng)該是下凸型遞增拋物線.應(yīng)選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=(a-I)%》-1是幕函數(shù)，則/"(2)的值為

答案8

解析依題意得，a-1=1,-.a=2,則/(x)=/,/(2)=8.

6.已知基函數(shù)f(x)=X。的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,苧)，則/(4)的值為.

答案：

一3。一。C盤1

解析???帚函數(shù)/(x)=/過點(diǎn)(2厲)，二/(2)=2。=2，解得a=-],

11

Xj

7.己知黑函數(shù)f(x)過點(diǎn)(2，當(dāng)，則/(無)的解析式是,定義域是,在(0,+8)上的單調(diào)性

是.

答案〃為出，(0,+00),單調(diào)遞減

解析y=/(%)是哥函數(shù)，???設(shè)/(%)=

又過點(diǎn)(2,孝)，2a=y=2-2,即Q=-；,

???/(%)=%2=耳，??-X>0,即定義域是(0,+8),

?.?、=7夕在(0,+8)上單調(diào)遞增，.?.丫=+在(0,+8)上單調(diào)遞減，

其函數(shù)圖象如下，

8.已知幕函數(shù)y=4-22-30**)的圖象關(guān)于>；軸對(duì)稱，且在(0,+8)上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)a滿足(公一1成

p

<(3a+3尸，則a的取值范圍是.

答案l<a<4

解析"累函數(shù)y=%P'-2p-3(peN*)在(0,+8)上是減函數(shù)，

p2-2p-3<0,解得-l<p<3