2014-2023年高考數(shù)學(xué)真題分享匯編：數(shù)列小題（理科）（解析版）（全國通用）

十年（2014—2023）年高考真題分項(xiàng)匯編一數(shù)列小題

目錄

題型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式........................................1

題型二：等差數(shù)列...................................................8

題型三：等比數(shù)列..................................................12

題型四：等差與等比數(shù)列綜合.........................................17

題型五：數(shù)列的求和................................................19

題型六：數(shù)列與數(shù)學(xué)文化.............................................22

題型七：數(shù)列的綜合應(yīng)用.............................................26

題型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

一、選擇題

1.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第6題）如圖，點(diǎn)列｛4｝,｛耳,｝分別在某銳角的兩邊上，且

|4,九|=&/￡，4戶4.2，〃wN*，|紇紇J=瓦瓦』瓦產(chǎn)紇,2，〃€N*（爪。表示點(diǎn)尸與。不重

合）.若4=|4紇I，s“為&4“紇紇M的面積，則（）

A.｛S,,｝是等差數(shù)列B.優(yōu)｝是等差數(shù)列C.也｝是等差數(shù)列D.｛4｝是等差數(shù)列

【答案】A

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念、平行線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題和解決問

題的能力.

解析：不妨設(shè)|44+||=|4+|41=3,|8也/=跳18M=4,過點(diǎn)4,4,4,…,4,4+1，…*分別作直線瓦紇

的垂線，高線分別記為力也,生…也也M，…，根據(jù)平行線的性質(zhì)，所以4也,用,…也也M，…成等差數(shù)列，

又S.=；XBEMX/?“=；X4X4=24,所以｛S“｝是等差數(shù)列.故選A.

2.（2019?浙江?第10題）已知。，beR,數(shù)列｛4｝滿足％=?！?1=°〃eN*，則

()

A.當(dāng)6=g時(shí)，?|0>10

B.當(dāng)6時(shí)，aI0>10

C.當(dāng)b=-2時(shí)，al0>10D.當(dāng)b=-4ET寸,a10>10

【答案】A

【解析】解法一：對(duì)于B,由f-x+；=0,得x=；.取則氏=；<10,所以6。<10,不合

題意;

對(duì)于C,由/7-2=0,得x=2或x=—l.取q=2,則a“=2<10,所以與<10,不合題意；

對(duì)于D,由--》一4=0,得x=l^興.取4=上手，則為=2<10,所以％<10,不合題意.

,,,11L13/423、21、9117,

對(duì)于A,a=a2a=(za2+-)2+-S-,4=(a+a+-)+->—+-=—>1,a-a>0A,

22232244216216n+in

｛凡｝遞增，當(dāng)”24時(shí)，￡2±L_a+2_>1+1_3,迭乘法得包>(5)",

na42a$2a92a42

.-.6r>—>10,A正確.故選A.

1064

解法二:借助圖形

其中選項(xiàng)5,C,。中均含有不動(dòng)點(diǎn)，由于a的不確定性，故都不能說明《0>10.故選A.

3.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為

激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面

數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,

再接下來的三項(xiàng)是2°,2]，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N〉100且該數(shù)列的前N

項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解法一:本題考查了等比數(shù)列的求和,不等式以及邏輯推理能力.

不妨設(shè)1+（1+2）+（1+2+4）+-+（1+2+3+2"-|）+（1+2+—+2'）=2/"（其中04/4〃）

n（n+l）

則有N——^+￡+1,因?yàn)椋ァ?00,所以〃213

2

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得2田一〃—2+2,+|-1=T'

因?yàn)椤?13,所以2">〃+2

所以2川>2"+〃+2即—2>2”,因?yàn)?川一1>0

所以2"'〉2"T—〃—2>2”,故〃？》〃+1

所以加=〃+1,從而有〃=2'+-3,因?yàn)?3,所以/N3,當(dāng)f=3時(shí)，N=95,不合題意

當(dāng)，=4時(shí)，〃=440,故滿足題意的N的最小值為440.

解題關(guān)鍵:本題關(guān)鍵在于利用不等式的知識(shí)得出加=〃+1.

解法二:將數(shù)列的前N項(xiàng)按照2°,2°,212°,2122,…分組，不妨設(shè)這樣的分組共有〃組不滿足此特點(diǎn)的

單獨(dú)為一組，則〃（〃+」VNW（〃+1）（〃+2），從而數(shù)列的前N項(xiàng)的和為：

22

/（N〃（"+】）NMM

2

（2'-1）+（2-1）+---+（2W-1）+2°+2'+---+2，2=2n+]-n-3+22

所以若使數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕,則必存在正整數(shù)九使得2'=〃+3,即〃=2'-3

又N>100,所以（〃+1乂〃+2），100所以〃213,所以〃=2'-3213,所以d4

2

當(dāng)/=4時(shí)，〃=13,此時(shí)100<NW105,所以N的可能值為101,102,103,104,105,經(jīng)驗(yàn)證均不符合題

意，當(dāng)負(fù)結(jié)合選項(xiàng)也可知道￡=4不合題意，直接排除掉101,102,103,104,105的可能性

當(dāng)f=5時(shí)，H=29,此時(shí)435<7V<465,結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)可知：N=440,故選A.

〃二29九二29n=29〃二29〃=29n-29

事實(shí)上驗(yàn)證：《或<或〈或,或,

N=435N=436-N=437N=438N=439N=440

n-29

只有4成立.

TV=440

點(diǎn)評(píng):此題就是分組和以及和與結(jié)論中隱藏的整除性問題，通過構(gòu)建f的不等式限定”的可能值,進(jìn)而求

出N最小值,還好選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)減少,很好驗(yàn)證操作.

解法三:檢驗(yàn)法

由于這是選擇題,為求最小值,從最小的開始檢驗(yàn)

選項(xiàng)D:若N=110,由13*（13+1）=91<110,知第110項(xiàng)排在第14行,第19個(gè)

2

141914195

SN=（2-13-2）+（2-1）=2+2-16=16x（2'°+2'-1）

由2港+2,5-1是奇數(shù)知不能寫成2整數(shù)舞;

20x（20+1）

選項(xiàng)C：若N=220,由——i------L=210<220知1,第220項(xiàng)排在第21行,第10個(gè)

2

S*=（22|-20-2）+（2'°-1）=221+210-23是大于1的奇數(shù),不能寫成2整數(shù)曷;

25x（25+1）

選項(xiàng)B,若N=330,由——-----=325<330知第330項(xiàng)排在笫26行，笫5個(gè)

2

SN=（226-25-2）+（25-1）=226+4=4X（224+1）,同理.，不能寫成2整數(shù)累；

選項(xiàng)A時(shí)，當(dāng)N=440時(shí)，由」——!<440<——八----L,可解出〃=29

22

所以這前440和為：（2-1）+（2?—1）+…+（229-1）+（2°+21+22+23+2。=23°,符合題意,故選A.

解法四:直接法

,,+1An+,k

由SN=（2-n-2）+（2'-1）=2+2-n-3能寫成2的整數(shù)事可知，2*-〃-3=0,

左=log2（〃+3）eZ,且由N〉100知〃>13,故滿足條件的〃的最小值為29,得左=5,此時(shí)

29x(29+1)

N=——------^+5=440

2

解法五:二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法

按照上面形式重新排列后，第〃層：1,2,4,…，2"-'的和為2"-1=11…11⑵

把每一層的和的二時(shí)制數(shù)重新排列（低位對(duì)齊）

第1層：1

第2層：11

第3層：111

第〃層：1111

由于2的數(shù)基的:進(jìn)制數(shù)為：2"=100…00⑵，前〃層的和再加多少可以寫成2的整數(shù)'幕?

"個(gè)0

為方便相加,首先,每層都加1,則總共加了〃，得：

第1層：10

第2層：100

第3層:1000

第"層：1000

此時(shí)〃層總的和為：11…110,仍然不是2的整數(shù)幕,再加上2即可！

所以在前鞏層總和的基礎(chǔ)上,再加上〃+2可使和成為2的整數(shù)‘暴

設(shè)第〃+1層的前左個(gè)數(shù)的和為〃+2,即2"-〃一3=0

后面的方法同“解法四”.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.

【點(diǎn)評(píng)】本題非常巧妙的將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀

察所給定數(shù)列的特征,進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外,本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)

數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.

4.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷理科?第12題）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛%｝如下：｛4｝共有2〃?項(xiàng)，其中用項(xiàng)為

0,/77項(xiàng)為1,且對(duì)任意左w2m,a｛a2■■■,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若加=4,則不同的“規(guī)范01

數(shù)列”共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意,得必有q=0,6=1，則具體的排法列表如圖所示,共14個(gè),故選C.

0111

011

0

101

1

10

0011

001

1

110

01

01

10

10

011

001

1

1010

01

10

i0

5.（2021年高考浙江卷?第10題）已知數(shù)列｛叫滿足4=1，。用記數(shù)列｛%｝的前0項(xiàng)和

為S“，則()

A.；<E。0<399八

B.3vsi0n<4C.4<SIOO<—D.-<S100<5

【答案】A

解析:因?yàn)椋

1+瘋,Bo。>5.

1

由限1++—

4

-----<==<

，BPT""7?2

蟲”+i也

1n—1〃+1

根據(jù)累加法可得，下41+一廠=：一，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

A22

…、4_%/冊(cè)〃+1

a

-〃--+--3-n'

n+1

.%+i<〃+16

”(〃+1)(〃+2)，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

an〃+3

1111111<3,即：<凡。<3.

所以Soo6

3+3-4+4-5++TOT-TO22102

故選A.

二、填空題

1.(2022高考北京卷?第15題)己知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前”項(xiàng)和S”滿足

4=9(n=1,2,…).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛《,｝的第2項(xiàng)小于3；②｛為｝為等比數(shù)列；

③｛%｝為遞減數(shù)列；④｛?！埃写嬖谛∮谘傻捻?xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

解析:由題意可知，VM6N*.??>0,

當(dāng)”=1時(shí)，a：=9,可得q=3；

9999

當(dāng)〃之2時(shí)，山S,,=一可得S“_|=——，兩式作差可得/=--------,

an??-14%

999

所以，——=一一%,則一一%=3,整理可得片+3%-9=0,

%4%

因?yàn)榈?gt;0,解得/=*-3<3,①對(duì)；

假設(shè)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則蠟=。臼，即一=旦，

Zz）HS3

所以，S；=S禺，可得a；（l+q）2=a；（l+q+q2），解得4=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛/｝不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；

QO9（〃一Q）

當(dāng)〃“時(shí)，4=--------_">0,可得4<4,1，所以，數(shù)列｛4“｝為遞減數(shù)列，③對(duì)；

假設(shè)對(duì)任意的〃wN*，4N焉，則與颯2100000x卷=1000,

991

所以，囚00000=《—^―<—.與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

31000001UUU1UU

故答案為：①③④.

2.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第16題）設(shè)S,是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且q=-1,。,川=S,S,用，則

s〃=---------

【答案】」

n

解析：由已知得a“+I=S,,+1—S“=S”+「S〃，兩邊同時(shí)除以S,+「S“，得」——L=_i,故數(shù)列J」-｝是以

t

/i-rin-rin/J+in〃+1〃0C*C*

>+1I，，

—i為首項(xiàng)，—i為公差的等差數(shù)列，則」-=—i—（〃-1）=—”，所以s“=-L

s.〃

考點(diǎn)：等差數(shù)列和遞推關(guān)系.

3.（2017年高考數(shù)學(xué)上海（文理科）?第14題）已知數(shù)列｛/｝和也｝，其中a.=〃2,〃，N*,｛a｝的項(xiàng)是

互不相等的正整數(shù)，若對(duì)于任意〃GN*,也｝的第a,項(xiàng)等于｛4｝的第2項(xiàng),則幽幽她2=.

1g（她貼J

【答案】2

【解析】%="n.=b：n他她6=（她她>=默**=2.

lg（bQ2b3bJ

4.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第13題）設(shè)數(shù)列｛為｝的前八項(xiàng)和為S..若52=4,°向=25.+1,〃€^,則

%_,S5=.

【答案】1121

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，通項(xiàng)％與前〃項(xiàng)和S“之間的關(guān)系等知識(shí)，意在考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題的能力.

解析：由于解得q=1,由、=S”「S”=2S”+1得S用=3S“+1,所以“+；=3⑸+；）,

所以⑸+；｝是以，為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以S“+；=|X3"T,即S,=U，所以5=121.

題型二：等差數(shù)列

一、選擇題

1.(2020北京高考?第8題)在等差數(shù)列｛%｝中，a,=-9,%=T.記］=口,…)，則數(shù)列｛1｝

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】山題意可知，等差數(shù)列的公差4=與二三=:==2,

5—15—1

則其通項(xiàng)公式為：%=4+("l"=-9+(〃-l)x2=2〃-ll,

注意到％<電<%<4<。5<0<。6=1<。7<…，且由4<0可知z<0(iN6,isN),

由=4>1(i*7,ieN)可知數(shù)歹ij｛?；｝不存在最小項(xiàng)，

7/-1

由于=-9,。2=—7,。3=—5,“4=—3,〃5=—1，。6=1'

故數(shù)列｛1｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：4=63,7；=63x15=945.故數(shù)列｛1｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

小

故選：B.

2.(2019?全國I?理?第9題)記S”為等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和.已知S4=0,%=5，則

()

2

A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn-2n-8nD.Sn-2n

【答案】A

S=4a,+6d=0[a,=—3

解析：\d'n，，

%=q+4d=5[d=2

所以=q+(〃-l)d=-3+2(〃-1)=2〃—5,Sn=(%["")〃=/一4〃，故選A.

3.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I(理)?第4題)記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，3S3=S2+54,a,=2.則

%一()

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

解析：VS”為等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，3s3=82+64,%=2,.

(3x24x3\

3xI3a)+2d=q+q+d+4%H———c/卜把q=2,代入得d=-3:.a5=2+4x(-3)=—10,

故選B.

4.設(shè)｛叫是等差數(shù)列，6+%+牝=9，&=9，則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)和等于

()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

解：｛?！埃堑炔顢?shù)列，%+。3+。5=3%=9,。3=3,%,=9.d=2,a,=-1,則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)

和等于6(%+%)=24,選風(fēng)

2

5.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第3題)已知等差數(shù)列｛%｝前9項(xiàng)的和為27,〃=8,則qoo=

()

A100B99C98D97

【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：S9=9"“J=*^=9%=27，故％=3,而《0=8,

因此公差d==1Aa=a+90d=98.故選C.

10-5100100

6.(2014高考數(shù)學(xué)福建理科?第3題)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,，若q=2,63=12,則4等于

()

A.8B.10C.12D.14

【答案】解析:由題意可得邑=4+4+%=3々=12,解得々=4，二公差d=4—q=4-2=2,

:.ab-a｝+5d=2+5x2=12,故選：C.

7.(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題)在等差數(shù)列｛6｝中，若外=4,4=2，則4=

()

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得4=2%-。2=2*2-4=0,選B.

8.(2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第6題)設(shè)｛可｝是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是

()

A.若6+。2>0，則勺+叫〉。B.若4]+%<0，則4]+%<0

C.若0<%<4，則4>Jq%D.若q<0，貝!Ji%-%)(的一％)〉0

【答案】c

解析：先分析四個(gè)答案支，A舉一反例％=2,々=—1,%=-4,%+%>0而％+4<0,A錯(cuò)誤，B

舉同樣反例4]=2,g=-1,。3=T，4+%<0，而+。2>0，B錯(cuò)誤，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，｛%｝

是等差數(shù)列，若0<%<々，則％>0,設(shè)公差為d，則d>0，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于

2222222

a2-atas=(?,+d)-a[(a]+2d)=a,+2aid+J-a,-2axd=d>0,貝!Ia,>a(a3

=>a,>Jq/，故選C.

9.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題)記S,,為等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.若%+%=24,S6=48,

則｛4｝的公差為()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

[解析】設(shè)公差為d,%+%=+3d+q+4d=2q+7d=24,

6x5、261+7d=24f

56=6a,+——d=6q+15d=48,聯(lián)立《，解得d=4,故選C.

2[6q+15d=48

秒殺解析：因?yàn)?6=絲手^=3(4+%)=48,即%+%=16,則

(%+%)—(%+4)=24-16=8,即a5-a3=2d=8,解得d=4,故選C.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解

【點(diǎn)評(píng)】求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如｛與｝為等差數(shù)列，若

加+"=p+g,則a,“+an=ap+aq.

10.(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第8題)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,若數(shù)列｛2〃4｝為遞減數(shù)列，則

()

A.d<0B.d>0C.a^d<0D.ayd>0

【答案】C

解析：根據(jù)題意可得

■:數(shù)列｛2"4｝為遞減數(shù)列，...2ag>2T.?.4^7=2a'(ni)=2s>1=2°,<0.

解析2：由數(shù)列｛2“a｝為遞減數(shù)歹U,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=a"的性質(zhì)，知生4<0,得弓>0,%<0,或

a｝<0,an>0,當(dāng)q〉0,a“<0時(shí)，d<0,所以qd<0,,當(dāng)q<0,a“>0時(shí)，d>0,所以%d<0,

綜上：a[d<0.

二、填空題

1.(2019?全國IH?理?第14題)記S“為等差數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，％工0,%=3%,則親=

【答案】4.

S1Ot/jH------d]00

【解析】因。2=3%，所以％+d=3%,即2q=d,所以言=------—=a'=4.

S'5%+5x4]25a,

'2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

2.(2019?江蘇?第8題)己知數(shù)列｛&｝(〃€N*)是等差數(shù)列，5,是其前。項(xiàng)和.若生生+&=0,59=27,則

國的值是.

【答案】16

[解析]由S9=9a5=27，得%=3,從而3a2+4=0,即3(%—3d)+(a5+3d)=0,解得d=2,所以

Ss=S9—ag=S9—(a5+4d)=27—11=16.

3.(2019?北京?理?第10題)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃〃項(xiàng)和為S,,,若/=—3傲=-3,S5=-10,則

05=,Sz,的最小值為.

【答案】(1)0；(2)-10.

【解析】等差數(shù)列｛。,,｝中，$5=54=-10,得％=-2,々=-3,則公差1=4一%=1，

，%=%+2d=0,

由等差數(shù)列｛4｝的性質(zhì)得〃45時(shí)，q<0,當(dāng)“26時(shí)，/大于0,所以5“的最小值為或國,

值為-10.

4.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第6題）記等差數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和為S..若%=0，4+%=14,則

【答案】14

解析：4+%=2q+1Id=14,4=q+2d=0，「.d=2,a4=a3+d=2tS7=7a4=14.

5.（2018年高考數(shù)學(xué)北京（理）?第9題）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，且q=3,g+4=36,則｛%｝的通項(xiàng)

公式為.

【答案】alt=6n-3

解析：a2+牝=（q+d）+（q+4d）=2q+5d=6+5d=36,:?d=6,

/.an=%+（〃一l）d=3+6（〃-1）=6/7-3.

6.（2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題）若等差數(shù)列｛4｝滿足%+%+。9>。>%+%0<°，則當(dāng)”=

時(shí)，｛q,｝的前〃項(xiàng)和最大.

【答案】8

解析：；a7+48+。9=3。8>°，%+%0=%+。9<0，,>。，。9<0，

：.n-S時(shí)，數(shù)列｛?！ǎ那皀項(xiàng)和最大.

7.（2015高考數(shù)學(xué)陜西理科?第13題）中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的

首項(xiàng)為.

【答案】5

解析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為6,則q+2015=2x1010=2020,所以％=5,故該數(shù)列的首項(xiàng)為5,所以答案

應(yīng)填：5.

8.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第10題）在等差數(shù)列｛《,｝中，若%+4+%+4+%=25,則4+%

【答案】10

解析：因?yàn)椋?｝｛%｝是等差數(shù)列，所以小+。7=%+&=2牝，

a3+&+。5+“6+%=5a5=25,B|Ja5=5,%+■=2%=10，故應(yīng)填入10

9.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第8題）己知｛%｝是等差數(shù)列，S,是其前及項(xiàng)和.若4+城=-3,=10,

則處的值是___________」

【答案】20.

解析：設(shè)公差為"，則由題意可得4+（q+d）2=-3,5%+104=10，解得q=—4,d=3,則

%=—4+8x3=20.

10.（2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題）己知｛可｝為等差數(shù)列，S〃為其前〃項(xiàng)和，若q=6,/+牝=0,

則$6二.

【答案】6

6＞（6-l）d

解析：%+牝=24**-。4=0，〈q=6,包=4+3d??d=-2,??S&—6%+=6.

2

題型三：等比數(shù)列

一、選擇題

1.（2023年天津卷?第6題）已知｛4｝為等比數(shù)列，s“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，勺+1=25.+2,則&的

值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)〃=1時(shí)，4=2%+2,即qq=2q+2,①

當(dāng)〃=2時(shí)，q=2（q+%）+2，即a”？=2（q+qq）+2,②

聯(lián)立①②可得4=2,q=3,則%==54.

故選：C.

2.（2023年新課標(biāo)全國H卷?第8題）記國為等比數(shù)列｛&,｝的前n項(xiàng)和，若8,=—5,S6^21S2,則S.=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為夕，首項(xiàng)為6,

若0=1,則S6=6q=3x26=3S2，與題意不符，所以4力1；

由邑=-5,S6=2電可得，企QL.5,"力=21x1—/）①,

\-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：/=4,

所以、8=）=ajl_q）X（］+,）=_5X（1+16）=_85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹橄?，

因?yàn)镾4=—5,$6=2152,所以qw—l,否則$4=0,

從而,s?,'—S2，S6-SQA-S6成等比數(shù)列，

75

所以有，（―5-5）~=$2（2電+5）,解得：Sz=-1或52=屋

當(dāng)S2=—1時(shí)，52,S4—52,S6—54,S8—S6,即為一1,—4,—16,5+21,

易知，Sg+21=—64,即5,8——85：

當(dāng)S2=*時(shí)，=%+。2+%+4=(q+。2)(1+/)=(1+42)52>0，

與s4=一5矛盾,舍去.

故選：c.

3.(2023年全國甲卷理科?第5題)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和S”，若4=1,!=5邑-4,

則S4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

解析：由題知1+4+/+/+/=50+q+/)―4,

即/+q4=4q+4g2，即/+如_44_4=0,即(g-2)(g+l)(q+2)=0.

由題知4>0,所以q=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故選:C.

4.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)?第8題)已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a542,貝IJ&=

()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

解析：設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的公比為g,qw0,

右?q=1,則%—%=0，與題意矛盾，

所以4聲1,

%。-力“°Q]=96

“*2+%一I768,解得

則?1

q=一

42

a2-a5=a、q-a}q=42

所以。6=夕5=3.故選：D.

5.(2019?全國HI?理?第5題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和為15,且由=3%+4q,

則/=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

,、a1+。國+。0~+0。=15,la,=1,

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列“的公比為4,貝"?4；，解得.，

2

axq=3^/7+4a,[7=

二.%=a\Q'—4，故選C.

另解：數(shù)感好的話由S4=15,立即會(huì)想到數(shù)列：1,2,4,8,16,…，檢驗(yàn)是否滿足%=3%+4%,可以迅

速得出%=4.

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)列相關(guān)問題中，用基本量的通性通法是最重要的，當(dāng)然適當(dāng)積累一些常見數(shù)列，對(duì)解題

大有裨益.

6.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第10題）已知成等比數(shù)列，且％+a2+a3+a4=ln（%+a2+%），

若q〉1,則（）

A.tZ1<a3,a2<a4B.a,>a3,a2<a4

C.a｝<a3,a2>a4D.ax>a｝,a2>a4

【答案】B

解析：由卬+%+%+%=山（％+生+%）的結(jié)構(gòu)，想到對(duì)數(shù)放縮最常用公式InxWx-l,

所以q+%+%+%=M（q+%+%）&%+。2+。3一1，得到％忘一1，于是公比q<0.

若gW-1,則q+/+/+4=（1+4）（1+7）W0，

而q+生+%=。1（1+4+/）2%>1，SP+a2+a3）>O.矛盾，

所以-l<q<0,『是q-%>0,%=qq（l-q2）<0,故選B.

7.（2014高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題）對(duì)任意等比數(shù)列｛%｝，下列說法一定正確的是

（）

A.%,%，a9成等比數(shù)列B.。2，。3，。6成等比數(shù)列

C."2，。4，48成等比數(shù)列D."3，。6，。9成等比數(shù)列

【答案】D

解析：根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，如果數(shù)列為等比數(shù)列，即若2"=/+左則有出“=4/4

8.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題）已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=3,q+%+%=21，則

+。5+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【答案】B

解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q,則q+//+《/=21,又因?yàn)椋?3,所以14+g2-6=o,解得g2=2,

所以/+%+。7=（。1+。3+。5）"2=42，故選B.

9.（2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第5題）設(shè)…,a“eR,"5若2：成等比數(shù)列；q：

（a；+a；+...+a；T）（W+a；+...+a；）=（q4+a2a3+…+勺_必“）2,則（）

A.p是q的充分條樣，但不是q的必要奈件

B."是夕的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是夕的充分條件，也不是夕的必要條件

【答案】A

解析：對(duì)命題p：q,…成等比數(shù)列，則公比4=烏-（〃23）且H0;

an-i

對(duì)命題q,①當(dāng)/=0時(shí)，+蜷+…+a：T）（W+?+…+硝=（4%+。2%+…+成立；

123

②當(dāng)%H0時(shí)，根據(jù)柯西不等式，等式（a；+@+…+屋）（a；+a；+…+a：）=（ata2+a2a｝+…+an_tan）成

立，

則幺="=…=續(xù)，所以《嗎,…當(dāng)成等比數(shù)列，

?2?3%

所以0是q的充分條件，但不是q的必要條件.

二、填空題

1.（2023年全國乙卷理科?第15題）已知｛%｝為等比數(shù)列，a2a4牝=%。6,%％0=-8,則%=.

【答案】-2

解析：設(shè)｛%｝的公比為q(q*O)，則a2a4%=%4，顯然可分°，

貝！I“4=q2,即a]/=q2,則qg=i,因?yàn)閍9aH)=-8,則％q"a“9=-8,

則q"=(g5)3=—8=(—2)3,則4,=一2,則%=-2,

故答案為：-2.

2.（2019?全國I?理?第14題）記S,,為等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和.若6=；，4=4，則

￡=----------

121

【答案】—

3

1A"-"）⑵

解析：由a：=&，得a；q，=&/,所以%q=l,又因?yàn)閝=一，所以q=3,S=-----------