第五章 三角函數(shù)（單元重點綜合測試）（解析版）

第5章三角函數(shù)（單元重點綜合測試）一、單項選擇題：每題5分，共8題，共計40分。1．下列各角中，與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊相同角的形式依次驗證各個選項即可.【詳解】與終邊相同的角為；當時，，A正確；其余三個選項中，不合題意.故選：A.2．如圖是杭州年第屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展．如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)扇形的弧長公式得出，表示出，可得答案.【詳解】設(shè)（弧度），則，；因為，所以，，，所以.故選：C.3．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由得，則，因為，所以，所以.故選：A4．已知，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先對化簡可得，再結(jié)合，可得，再給分子分母同除以，結(jié)合化簡可求出答案【詳解】解：由，得，所以，，，所以，，解得或，因為，所以，所以，故選：A5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，切化弦，再結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，即可求得答案.【詳解】由，，得，即，即，所以，即，所以，故選：C6．已知，若定義表示不超過的最大整數(shù)，如，，，.若，，則函數(shù)值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，利用正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得值域，根據(jù)的定義，分段討論得到的值域.【詳解】，當時，，，，當時，；當時，；當時，；的值域為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的新定義運算問題，解題關(guān)鍵是能夠通過三角恒等變換和整體對應(yīng)的方式準確求得正弦型函數(shù)的值域.7．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即時的位置）時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m）.若以筒車的軸心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】首先先求以為終邊的角為，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點的縱坐標，以及根據(jù)圖形表示.【詳解】，所以對應(yīng)的角是，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點的縱坐標為，所以點距水面的高度表示為的函數(shù)是.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵讀懂題意，并能抽象出函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是求以在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，再求以為終邊的角為.8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，.若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點問題轉(zhuǎn)換為和的交點問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點規(guī)律即可找出第10個零點坐標，而m的取值范圍就在第10個零點和第11個零點之間.【詳解】由得是一個周期為2的奇函數(shù)，當時，，因此，因為是奇函數(shù)，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點，即是與的交點，如圖：為與在區(qū)間的交點圖形，因為與均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點周期為，若在區(qū)間上有10個零點，則第10個零點坐標為，第11個零點坐標為，因此.故選：A【點睛】思路點睛：函數(shù)的零點問題，往往可以轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的交點的個數(shù)問題，而圖象的刻畫需結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等來處理.二、多項選擇題：每題5分，共4題，共計20分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的不得分。9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法正確的是（

）

A． B．C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，即可判斷A、B，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D．【詳解】函數(shù)的部分圖象，可得，，，則．又，所以，，所以，，又，，，故A錯誤．由，，，故B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則為奇函數(shù)，故C錯誤；當則，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確，故選：BD．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞增 D．在內(nèi)僅有1個解【答案】ABD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡和可判斷A，B；利用正、余弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；由，可得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，因為，定義域為，，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B，，所以是的一個周期，又，所以不是的周期，故的最小正周期為，故B正確；對于C，當時，，又在上是偶函數(shù)，先增后減，不是單調(diào)函數(shù)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為，所以，由，可得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在內(nèi)僅有1個解，故D正確.故選：ABD11．已知函數(shù)的所有非負零點從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點問題，故作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷交點個數(shù)，再由正弦型函數(shù)的對稱性判斷CD選項.【詳解】由，可得，即與的圖象在第一象限交點橫坐標即為，因為，時，，如圖，由圖可知，共有9個符合要求的交點，所以，令，解得，，即，故由圖象可知，，，，所以，因為，若，則需，由圖知，，故不成立，綜上可知，BC正確，AD錯誤.故選：BC12．已知函數(shù)，則（

）A．當時，的最小正周期是 B．當時，的值域是C．當時，為奇函數(shù) D．對的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【分析】先把n值代入函數(shù)的解析式，化簡整理成正弦型三角函數(shù)，再去求最小正周期、值域；依據(jù)定義去判斷奇偶性、對稱軸即可解決.【詳解】選項A：當時，最小正周期是.判斷正確；選項B：當時，的值域是.判斷正確；選項C：當時，則故，即不是奇函數(shù).判斷錯誤；選項D：則的圖象關(guān)于直線對稱.判斷正確.故選：ABD三、填空題：每題5分，共4題，共計20分。13．若，，、，則.【答案】【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】且，，，，，因此，.故答案為：.14．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則．【答案】【分析】由函數(shù)的圖像可得出，，，由此即可求出一個周期內(nèi)，再利用周期性得出答案.【詳解】由圖可知（同理），,解得：,此時，又函數(shù)過點，即，解得，取，所以，，，，，，，，，即，所以.故答案為：15．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，平移后的圖象關(guān)于點對稱，則．【答案】【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡，并求出平移變換后的函數(shù)解析式，由變換后的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，可得出的表達式，結(jié)合的范圍可求出的值.【詳解】,將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，得，，，.故答案為：.16．已知函數(shù)，其中，，恒成立，且在區(qū)間上恰有個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】確定函數(shù)的，由此可得，再利用在區(qū)間上恰有個零點得到，求得答案.【詳解】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區(qū)間上恰有3個零點，故，則，，則,只有當時，不等式組有解，此時，故，故答案為：綜合題：共6題，共計70分。17．在平面直角坐標系中，銳角的頂點是坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點．將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到角．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，計算求得結(jié)果．（2）法一：由題意，利用誘導(dǎo)公式，計算求得結(jié)果；法二：根據(jù)，將已知等式化成含角的式子，再利用（1）中結(jié)果計算即可.【詳解】（1）由得，又，所以，由題可知，所以，，則．（2）（法一）原式由（1）得，，，所以原式．（法二）18．已知函數(shù)（，）在上單調(diào)遞增，且直線和為圖象的兩條對稱軸．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)(2)（）【分析】（1）由題意可得可求出的值，再由時函數(shù)取得最大值可求出的值，從而可求出的解析式；（2）由三角函數(shù)恒等變換公式可得，由（），可求出函數(shù)的遞增區(qū)間.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，得．由題意得（），得（），因為，所以．故．（2）由題意得，由（），得（），所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．19．高郵某公司欲生產(chǎn)一款迎春工藝品回饋消費者，工藝品的平面設(shè)計如圖所示，該工藝品由直角三角形和以為直徑的半圓拼接而成，點為半圓上一點（異于），點在線段上，且滿足.已知，，設(shè)，

(1)為了使工藝禮品達到最佳觀賞效果，需滿足，達到最大.當為何值時，工藝禮品達到最佳觀賞效果；(2)為了工藝禮品達到最佳穩(wěn)定性便于收藏，需滿足，且達到最大.當為何值時，取得最大值，并求該最大值.【答案】(1)時，達最大值(2)當時，達到最大值【分析】（1）由三角形為直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由點為半圓上一點，得到，，從而得到然后求解；（2）在直角中，利用等面積法得到，再在直角中，得到，從而求解.【詳解】（1）因為三角形為直角三角形，，所以，在直角中，因為，所以.因為點為半圓上一點，所以，又因為，所以，所以，因為，所以當，即時，達最大值；（2）在直角中，因為，所以，因為，所以，又因為所以，在直角中，，所以，

，，所以當即時，達到最大值，答：當時，達到最大值.20．已知函數(shù)，．(1)當時，求的值域；(2)若滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，求：①的最小正周期；②方程的所有根之和．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再由的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）①依題意可得過點，即可得到，，再根據(jù)單調(diào)性得到，，最后由，即可求出的值，從而求出函數(shù)的最小正周期；②依題意可得或，由的范圍求出的范圍，令，則，分別求出、時方程的根，即可得解.【詳解】（1）由題意，當，，當時，，所以，則，即的值域為；（2）①因為，因為且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以過點，即，，所以，，又，，解得，，又，所以且，解得，綜上所述可得，所以函數(shù)的最小正周期為；②由①可得，由，解得或，由于，所以，令，即，令，則，當時方程在上有兩個根，記作，，且兩根關(guān)于對稱，所以，設(shè)方程的兩根為，，則，所以，令，即，則當時，方程在上有三個根，，，則，，，設(shè)方程的三根為，，，則，所以，所以的所有根之和為．21．已知函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求的取值范圍和的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的圖像關(guān)于點對稱得出，即得函數(shù)解析式;（2）在區(qū)間上恰有3個零點轉(zhuǎn)化為與在的圖像上恰有3個交點求參數(shù)即可，再數(shù)形結(jié)合根據(jù)函數(shù)的對稱軸即可計算求值【詳解】（1）．由知，的圖像關(guān)于點對稱，所以，得．因為，所以，即函數(shù)．（2），當時，．函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，令，則在上有3個不相等的根．即與在的圖像上恰有3個交點，作出與的圖像，如圖所示，

由圖可知，，且，所以．故的取值范圍為的值為．22．已知．(1)當時，求的值；(2)若的最小值為，求實數(shù)的值；(3)是否存在這樣的實數(shù)，使不等式對所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，