期末考前必刷卷02（范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

期末考前必刷卷02（范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若表示圓的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．按照小方的閱讀速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分鐘.2023年10月26日，他開始閱讀《巴黎圣母院》，當(dāng)天他讀了1個小時(shí)，從第二天開始，他每天閱讀此書的時(shí)間比前一天減少2分鐘，則他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為（

）A．2023年11月12日 B．2023年11月13日C．2023年11月14日 D．2023年11月15日【答案】C【解析】根據(jù)題意，從2023年10月26日開始到讀完的前一天，他每天閱讀《巴黎圣母院》的時(shí)間（單位：分鐘）依次構(gòu)成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為60，公差為，則由，且，得，所以小方讀此書20天恰好可以讀完，故他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為2023年11月14日.故選：C3．直線過點(diǎn)，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】設(shè)直線：，，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，則直線與軸、軸的正半軸圍城的三角形面積.故選：B.4．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，則，所以，解得.故選：B.5．已知，，（，），為其前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由（，）可得，已知，，所以，即是一個以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，故選B.6．已知圓的半徑為2，圓心在直線上.點(diǎn).若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意設(shè)圓心，則圓：，設(shè)，則，，由，則，即，依題意即圓與圓有交點(diǎn)，則，解得，即圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故選：D.7．已知拋物線C：，點(diǎn)M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若面積的最小值為，則（

）A．44 B．4 C．4或44 D．1或4【答案】B【解析】不妨設(shè)，，由，，知．設(shè)，則，故，故.故選：B．8．恰有一個實(shí)數(shù)滿足成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，不成立，所以，不是方程的根，故原方程轉(zhuǎn)化為，令，由題意知直線與曲線僅有一個交點(diǎn).∵由，可得，∴當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以為函數(shù)的極小值.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的大致圖象如下圖∴由直線與曲線僅有一個交點(diǎn)知，即的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的取值范圍是C．當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29 D．公差的取值范圍是【答案】ABC【解析】當(dāng),時(shí)，公差，，故A正確；因?yàn)槭钦?xiàng)等差數(shù)列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，故D錯誤；因?yàn)?，所以的取值范圍是，故B正確；，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29，故C正確；故選：ABC.10．下列說法中，正確的有（

）A．過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．拋物線的準(zhǔn)線方程是【答案】BC【解析】對A，過點(diǎn)并且傾斜角為0°的直線方程為，故錯誤；對B，雙曲線的漸近線方程為，故正確；對C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則由解得，故正確；對D，拋物線，，準(zhǔn)線方程為，故錯誤.故選：BC11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿足的斜率之積為，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡記為.下列結(jié)論正確的（）A．軌跡的方程（）B．存在點(diǎn)使得C．點(diǎn)，則的最小值為D．斜率為的直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則直線的斜率為【答案】AD【解析】對于A，由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，故A正確；對于B，由橢圓方程知，，，，若，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，以線段為直徑的圓的方程為的圓在橢圓外，所以橢圓上不存在滿足，B錯誤；對于C，由設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號成立.故C正確.對于D，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減得，，即，所以，所以，則直線的斜率為，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，若時(shí)，有，是圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為B．C．若，則D．若，，，，，，則最大【答案】ACD【解析】的定義域?yàn)?，且，?dāng)，解得；當(dāng)，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，A選項(xiàng)正確；由于的單調(diào)性，可得，∴，所以B選項(xiàng)不正確；時(shí)，；時(shí)，，由的單調(diào)區(qū)間，可畫出函數(shù)的簡圖．由，，可知，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，可知，故有．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．綜上，有，所以C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，，；由冪函數(shù)單調(diào)性可知，，，即有，，故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中．由及的單調(diào)性，有，即．由，可得，即，所以；綜上可得，6個數(shù)中最大數(shù)是，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100，則它的前項(xiàng)和為.【答案】【解析】為等差數(shù)列，，，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，，解得，又，，成等差數(shù)列，即，，成等差數(shù)列，所以，解得.故答案為：．14．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為．【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：15．如圖，過雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長交雙曲線右支于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為.

【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，連接，.則中，，，則，由直線與圓相切，可得.又雙曲線中，，則，又，則，整理得，兩邊平方整理得，則雙曲線的離心率，故答案為：.16．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，從第二層開始，每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個籃球，把它們堆放成一個三角垛，那么剩余籃球的個數(shù)最少為.

【答案】【解析】設(shè)第層有和球，則，，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，故，所以這層三角垛的球數(shù)之和為，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，剩余球數(shù)為個，當(dāng)時(shí)，，所以剩余球數(shù)的最小值為個.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且.(1)求，的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【解析】（1）由，得，由題意可得，，解得；（2）由（1）得，，，∴，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.取，得，取，得.∴曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線與軌跡C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.【解析】（1）設(shè)，點(diǎn)，則由，得，∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（2）軌跡C是以為圓心，2為半徑的圓，圓心到直線的距離為，則弦長，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，則有，解得，即，求直線的方程為或.19．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）法一:當(dāng)時(shí)，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項(xiàng)公式是．法二：因?yàn)?，所以，同理可得，故，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，①、②兩式相減得：，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.20．（12分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程．(2)若，為上的兩個動點(diǎn)，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，，，且．證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）依題意可得則，故的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，則，且，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，因?yàn)?，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，所以，所以則，則即，所以所以，化簡可得則直線的方程為，故直線過定點(diǎn)21．（12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）由可得：，即，記，，若，即，，則在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，不合題意；若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：，令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故整數(shù)的最大值為.22．（12分）已知雙曲線C：的焦距為6，其中一條漸近線的斜率為，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的