高中物理競賽 話題10：運動模型-平拋和斜拋運動

話題10：運動模型一一平拋和斜拋運動

將質(zhì)點以和水平方向成某一角度。的初速度V。投射出去，在不考慮空氣阻力的情況下,

質(zhì)點的運動就是拋體運動。當(dāng)。=90°時，質(zhì)點在豎直線上做直線運動，可利用勻變速直線

運動規(guī)律來求解；當(dāng)夕=0°時，質(zhì)點做平拋運動，當(dāng)0°<6<90°時，質(zhì)點做斜拋運動。其

中平拋運動與斜拋運動的軌跡均為拋物線。這里我們討論的拋體運動就是指平拋和斜拋運

動。

—>平拋運動

平拋運動可看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體兩個分運動的合成，

落地時間由豎直方向分運動決定。

二、斜拋運動

斜拋運動分斜上拋和斜下拋（由初速度方向確定）兩種，下面以斜上拋運動為例討論。

1.特點：

加速度cz=g,方向豎直向下，初速度方向與水平方向成一夾角。斜向上，8=90°為

豎直上拋或豎直下拋，，=0°為平拋運動。

2.常見的處理方法：

（1）分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的勻變速運動。

以拋出點為坐標(biāo)原點，初速度％的水平投影方向為x軸正方向，豎直向上為y軸正方

向，則有

x=(%cos

vx=%cos0

位移方程:速度方程:

匕,=%sin6>_gf

分析斜拋運動時還常用到下列結(jié)論:

A.斜向上運動時間與斜向下運動時間（從最高點回到與拋出點等高位置的時間）相等，均

為，=%sin’,斜上拋運動回到與拋出點等高位置總時間為，=2%sm'。

gg

B.斜上拋運動的水平射程為丫=生吧"，故當(dāng)拋射角為45°時水平射程最遠(yuǎn)。

g

C.斜上拋運動的軌跡方程為y=Xtane=T~,由此方程可知，其軌跡為拋物線，

2VQCOS'0

2

..G.,,ZVAsin20v：sin6、

該拋物線頂點為（-2----------，也------）o

2g2g

（2）將斜拋運動分解為沿初速度方向的勻速運動和豎直方向的自由落體兩個分運動，再用矢

量合成的方法求解。

（3）將斜拋運動分解為沿某一斜面（傾斜直線，與運動軌跡在同一平面內(nèi)）方向和垂直于該斜

面方向的兩個勻變速運動，此時須將初速度和加速度都進(jìn)行正交分解，再分別用運動學(xué)公

式求解。

以上處理斜上拋運動的方法，也同樣適用于平拋和斜下拋運動，還可進(jìn)一步推廣到其

它恒力作用下（加速度恒定）質(zhì)點做曲線運動的情形。不難看出，任何質(zhì)點在恒力作用下的

運動可分為兩種情形：

A.若加速度與初速度方向在同一直線上，則質(zhì)點做勻變速直線運動，

B.若加速度與初速度方向不在同一直線上，則質(zhì)點做類似拋體運動，其軌跡一定是拋物線。

這種運動的求解通常是分解為兩個直線運動，即與斜拋處理方法類似。

三、拋體運動中的對稱性

例1：從高〃處的一點。先后平拋兩個小球1和2,球1恰好直接過豎直擋板落到水平

地面上的8點，球2則與地面碰撞一次后也恰好越過豎直擋板，然后也落8點.如圖所示.

設(shè)球2與地面的碰撞類似光的反射,且反

彈前后的速度大小相同.求豎直擋板的高

度〃.若球2與地碰?次后恰好越過檔板

也落于8點，則。的高度又如何？

解析：這是一個典型的拋體問題.在拋體

中恰當(dāng)?shù)剡\用對稱性，可得巧解.

球1的落地時間A而球2應(yīng)為34，故球1的初速度應(yīng)為球2的3倍.若球1達(dá)。點

的時間為乙則球2達(dá)C點的時間應(yīng)為3九當(dāng)球1達(dá)C點時，球2達(dá)與C點等高的￡點，而

2

G點至4與/至。點由對稱性可知應(yīng)相等.設(shè)所需時間為貝h+f'+f'=3z,得f'=f.

于是可以看出C；應(yīng)為球1在第一次落地前的中點時刻，故豎直高度應(yīng)被G分成1:3兩部分，

所以擋板高〃=工”.

4

若球2與地碰〃次后越過檔板，落于8點，則球1落的地時間仍為"，球2的落地時間

應(yīng)為(2〃+1兌.故若球1達(dá)C點的時間為7,則球2達(dá)C點的時間應(yīng)為(2〃+1)，.球1達(dá)C

時，球2到達(dá)與之等高的G點?設(shè)由G至地的時間為「，則由對稱性可畫出圖.

2nt'+(2〃-1)/=(2/J+1)/->r=L

n

對球2在豎直方向的分運動列式，有

H-h=gg/

H二g?+與

2n

H-h_n2

H-(/?+l)2

2〃+1

hH

(〃+l)2

例2.如圖所示，一小球以初速%=5m/s從高H=5m的墻上

端水平射出在距墻為d娓?一長L=4m的豎直板與墻面平行，

板的下端地高/?=1根使為球能擊中地面上的4點，則“為多大?

已知：/點與墻角。點的距離，=1〃?，且小球在與墻和板的碰

撞中能量均不損失(g=10〃?/s2)

解小球與墻和板的碰撞能量不損失，故可根據(jù)鏡像原理將小

球在墻與板之間的運動軌跡拓展成圖所示的拋物線.設(shè)小球落地前共發(fā)生N次碰撞.圖中

虛線表示各次碰撞時墻與板的拓展位置。小球落地所需時間與水平位移分別為

3

①)若小球最后一次是與墻發(fā)生碰撞,

則N為偶數(shù)，取

N=2心=1,2,…)

￡_c2

有L-2Hd=s,故1=----=—wo(1)

2nn

「~|2

小球在第(2〃一1)次能與板相碰的條件：，-g*"T)”</

2L%」

即424-而，自然滿足。為使小球以后不會與板再次發(fā)生碰撞，則必須

1(2〃-1)行，…病

------—>1,即d〉———⑵

voJ2/24-1

n/on2

由式⑴、(2)可得一一,即〃—=4.24。故〃可取1,2,3,4,即d

n2〃+1V20-4

21

可取值：2加，1加，一加，一加。

32

(6)若小球最后一次是與板發(fā)生碰撞，則N為奇數(shù)，取乂=2〃-1(〃=1,2/-)，有

3

L-Qn-l)d=d—s,即d=—m°(3)

n

r-|2I

為使小球最后一次能與板發(fā)生碰撞，則必須(2jT)d<z>即［4J"。(4)

2|_v0J2n-l

由式(3)、(4)可得小包，即“41.96,故〃可取1,即d只能取3加一個值。綜合情

772〃-1

21

況(a)、(/?),可知d共可取以下5個值：3m,2m9\m9—m9—mo

四、勻加速直線運動+斜拋運動

例3：有5條邊長為1〃?的正方形薄板做成一個小屋，如圖(a)

所示.已知水滴沿屋頂從A點流到B點所需的時間為從B點流

C⑷

4

到C點所需的時間的2倍.假定水滴從A點以初速為零開始流下，試求水滴從A點流到C點

所需的時間.

解析：水滴從Zf8做勻加速直線運動，8fC做斜下拋運動,

豎直方向的分運動是豎直下拋運動.由圖（6）中的陰影三角形

BDE可得x=BE=ED=

2

人:/-AU

2

設(shè)水滴從8到C的時間為/,水滴沿48的加速度為a,則水滴經(jīng)過距離的時間為

"=總

1,.

h-vt+—gt~上式u為B點末速度,丫=以cos450-4al

經(jīng)整理，可求得水滴經(jīng)力所需時間/=加在一起，水滴經(jīng)ZC距離所需時間

為3f.

五、拋體運動中的極值問題

例4：在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為力，若出手時的速度為%,求以何角度擲球

時，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？

解析：本題既可通過建立直角從標(biāo)系，列出軌跡方程后求得極值，也可用位移矢量關(guān)系或

速度矢量關(guān)系求，這里選擇位移矢量圖解法，其它方法可自行處理。

將鉛球的運動分解為沿初速％方向的勻速直線運動和豎直向下的自由落體運動，其位移分

1,,

別為%/和5g廠，由圖可得：

5

/=(卬)2一(洌一〃)2

t4+(vl+gh)t2-h

2=b=2片+2gh

x?有極值，即x有極值:

(卬cosa)max=3-----------------

g

再將，的數(shù)值代入，

,212

-h-v()tsma--gt,

a=arcsm.u=

J2f+2g/zc

注：上式表示，最佳投擲角不僅與%有關(guān)，還與〃有關(guān)，且總是小于45°,一般

a=38°~42°o同學(xué)們還可想一想，在什么條件下，當(dāng)a=45°時，斜上拋運動的水平射

程最大。而若人=0時，則當(dāng)a=45°,物體的水平射程最大。

例5：一倉庫高20m、寬40m,在倉庫前某處A點拋一石塊過屋頂，試問A距倉庫前多遠(yuǎn)

時，所需初速度%最??？為多少？(g=10〃?/s2)

解析：此題是初速與射程問題，但要求過一

平頂障礙物，如圖所示建立坐標(biāo)系.要使%;二8,

最小，則要求石塊擦8,C兩點而過；而過“用i'\

8C段，可用通常的有關(guān)射程問題的方法

解決.

如圖，以8C兩點之間作射程，有5叱=、sin2a.所以嶗=上空當(dāng)_

gsin2a

可見當(dāng)a=45°時，也有最小值，為=v^min=yjs^g=A/40X10W/s=20m/5

設(shè)此斜下拋的時間為t,由位移公式〃=為J+Lg/有2O=io"+_lxlOx『，整理得

22

6

r+2萬—4=0

求得有效根為t=(V6-V2)5

由此得到I值為/=v'Bxt=I0V2x(^6-mV2)/w=14.6m

再求為：

voy=vBy+St^^^>n/s

%=J喙+臉，-28.2m/5

tan0———=Vs,

6=60°,即％與水平線夾角.

例6：一個噴水池的噴頭以相同的速率噴出大量水射流，這些水射流以與地面成0~90°的

所有角噴出，如圖所示.豎直射流可高達(dá)2.0加，取g=10m/s2,計算射流在水池中落點所

覆蓋的圓的半徑.

解析：題中所求實際上是水射流在0?90°范圍內(nèi)噴出中，

以多大角度噴出的水射流的射程最遠(yuǎn).

先求射流的出口速率〃.考慮豎直射流，它在加速度為-g

的情況下升高2.0沈.則

u2=v2+2gs=2gs.

若一射流的初速度為（%,%.）,則所經(jīng)過的豎直位移的大小為0=〃Z-Lg/2.

2

2u

射流飛行時間為1v.

g

r—,丁”+2〃/2/sin8cos。

飛仃的水平距離為r==-----=-------------------

gS

上式可知，與45°角對應(yīng)的射流落地處，噴流最遠(yuǎn)，其最大半徑為

7

0211

2".友.&

—=4.0m.

gS

即射流落點所覆蓋的圓的半徑是4.0m.

TT

例7：在仰角。=二的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽（如圖）.

運動員從坡上方/點開始下滑.到起跳點。時借助設(shè)備

和技巧，保持在該點的速率而以與水平成。角的方向

起跳，最后落在坡上3點，坡上03兩點距離L為此項

運動的記錄.已知/點高于。點人=50加.忽略各種阻

力和摩擦，求最遠(yuǎn)可跳多少米？此時起跳角為多少？

解柝運動員起跳后落到坡上前做拋體運動，據(jù)此找到坡上兩點虎離L與起跳角。的函

數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出其極值來.

建立坐標(biāo)系如圖.運動員在，=0時，從。點以速度u起跳，v的大

小可由機械能守恒定律求得

~mv2=mgh.

起跳后做斜返回運動，設(shè)r時刻落到坡面8處，則此時坐標(biāo)為

x-vtcos0

.1

y-v/sinbn1——gt2.

它們須滿足坡面方程

y--tana-x.

,一一.……1「2v(tana-cos0+sinO'),

由以上三萬程解得一gft-----------------------------=0.

2Lg.

/=o不合題意故知落地時刻為

2v(tana-cos3+sinO')2vsin(a+，)

t=---------------------------=----------------.

ggcosa

2,cos8sin(a+。)

而著地點8的x坐標(biāo)為x=

geosa

坡面08距離與起跳角。的關(guān)系為

8

x_2v2cos6>sin(a+6))_v2[sin(2^+a)+sina]

~=2

cosagcos**ageosa

71

------Ct

由上可知，當(dāng)26+a=工，即。=2-----二工時,

226

￡有最大值,

2嗎=W+sirM=2x5加=200〃7

max。

geos'acos'a3

4

TT

即最佳起跳角為。=—,最高記錄可達(dá)200加.

6

六、多次碰撞的拋體運動

例8：彈性小球從高〃處自由落下，落到與水平面成。角的長斜面上，碰撞后以同樣大的速

度反彈回來.

(1)求每個彈回點［第一點和第二點，第二點和第三點，…，第〃點和第〃+1點］間的距離

X］,X,9Xyf***9?

(2)求當(dāng)斜面以勻速度n沿豎直方向向上運動時的玉的數(shù)值.

解(1)坐標(biāo)系選擇如圖所示，小球第一次碰斜面時速度大小%=J亞，反彈后初速大小

不變，其方向與y軸為對稱的夾。角方向，在x、y方向有

vx=vOx+axt=%sin0+gtsin0

vy=vOv+avt=v0cos0-gtcos0

12

x=vOxt+~axt

12

2'

令y=0,得第一、第二次相碰時間間隔為

2v02^^

/]--=-------

gg

代人后可求得

9

X]=--?sin，=8〃sin0

g

第二次碰撞瞬間

v2x=%sin6+gsin0-=3v0sin0

g

v2r=%cos6-gcos0-=-v0cos0

g

碰后嶺工不變化，丫2)，=%,，，可見每相鄰兩次碰撞的時間間隔均為，=4，則有

x2=3v0sin0-+gsin夕?(?^?)2=2x8〃sin3

gg

第“次碰后反彈時vnx=(2M-l)v0sin0

=%cos6

由此得xn=”?8〃sin0

(2)當(dāng)斜面以勻速度〃沿豎直方向向上運動時，則球相對斜面速度大小為u+〃，用U+M代

替%代入X1

4Q+J2g6)sin。

F=

g

例9.傾角為a的一個光滑斜面，由斜面上一點。通過斜面最大斜率的豎直平面內(nèi)斜上拋

TT

一個小球，初速為v,拋出方向與斜面交角a+/?<5，。

(1)若小球與斜面的每次碰撞不消耗機械能，并且小球在第n次與斜面相碰時正好回到拋射

點。。試求a、。、〃滿足的關(guān)系式。

(2)若小球與斜面每次碰撞后，與斜面垂直的速度分量滿足：碰后的值是碰前值的e倍，

0<e<l。并且小球在第〃次與斜面相碰時正好回到拋射點O。試求a、/3、n和e滿足

的關(guān)系式。

(3)由(2),若其中第尸次與斜面相碰時，小球正好與斜面垂直相碰，試證明此時滿足關(guān)系

式：e"-2er+l=0

10

解(1)畫出圖，并在圖中取定x、y軸。斜上拋小球，小球在斜面上多次碰撞，形成多條拋

物線。小球在歹方向作多次來回運

動，而在X方向只有一次：X由近到

遠(yuǎn)，再回到原點O。因此，y方向可

逐條拋物線討論，而x方向可以統(tǒng)一

討論。

設(shè)4為小球第攵次與斜面相碰

的點，以、匕.是小球第左次與斜面

相碰后速度的x、y分量。加速度的X、歹分量為4=-gsina,叫=-gcosa。所以由

4到4+1所經(jīng)歷的時間tk+｝滿足

12

C0S

°=VA+I--(S?X+I

取合理