2020-2023年高考數(shù)學(xué)真題 概率統(tǒng)計(jì)【含答案解析】

9統(tǒng)計(jì)圖表折線圖中的數(shù)據(jù)分析

2020新高考2卷

19古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)古典概型的概率計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)

[2023年真題】

1.（2023?新課標(biāo)II卷第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法

作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果共有

A-種B.C：〉C乳種C.=?儡種D.C黑?編種

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法的應(yīng)用，考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，為基礎(chǔ)題.

【解答】

解：結(jié)合題意初中部和高中部所占的比例為2:1,抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽樣結(jié)果為

北種，故選D

2.（2023?新課標(biāo)I卷第9題）（多選）一組樣本數(shù)據(jù)王,6，…，/，其中占是最小值，%是最大值，則（）

A.9出,%毛的平均數(shù)等于百，程…，*6的平均數(shù)

B.9,毛,七,馬的中位數(shù)等于毛,9,…，%的中位數(shù)

C.々戶3，七,三的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占，占，…,毛的標(biāo)準(zhǔn)差

D.孫馬,項(xiàng),馬的極差不大于不,土,…,天的極差

【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查樣本的數(shù)字特征，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

A,C選項(xiàng)，通過取一組特殊值，即可判斷；B選項(xiàng)，設(shè)當(dāng)?shù)[X4?X5,即可明確兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；。選項(xiàng),

設(shè)入2，號(hào),七,天中最小值為82，最大值為*5，即可得到天-芻”彳6-/

【解答】

解：對(duì)于4：不妨令％2=七=七=%=5,%=1,犬6=6,

貝I」必+工，+工|+ga+n+A+勺+-+值_2，+—+方+4-2（圖+ZB）_1

1fi12-2/

故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B:不妨令/魏匕？毛，則J?，匕，%的中位數(shù)是后土：

因?yàn)轫毷亲钚≈担?是最大值，

故4,々,如匕,孫天的中位數(shù)依然是后土；故B正確；

對(duì)于C：不妨令毛=七=匹=工5=3,X|=1,4=5

則W，0與毛的標(biāo)準(zhǔn)差$1=。，

西,X2，*3，%，三，%的標(biāo)準(zhǔn)差.、“卜：13i1.I*,3，］.“，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：設(shè)程七,*"5中最小值為4，最大值為X5,則與系必此工6，

則x5-x2?x6-xt,故力正確；

故選80.

3.（2023?新課標(biāo)H卷第12題）（多選）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到

1的概率為a（o<a<l）,收到。的概率為1一a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為￡（0<分<D,收到1的概率

為1-尸.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次;三次傳輸是指每個(gè)信

號(hào)重復(fù)發(fā)送3次?收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，

收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到I,0,1,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（l—a）（l—/?）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為￡（1-尸）2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為4（1-/）2+（1-/I

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法原理，屬于綜合題.

根據(jù)題設(shè)的信號(hào)傳遞的概率值利用相互獨(dú)立事件的概率乘法原理分別計(jì)算每種情況的概率即可求解.

【解答】

解：A.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法原理知：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,

1的概率為(1一Z7)(l-a)(l-/?)=(1-a)(l-￡)2,故A對(duì).

B.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法原理知三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為為

(1一萬)》(1一夕)=夕(1一]故B對(duì).

C采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,譯碼為1,則收到1的情況有2種，

①2個(gè)1和1個(gè)0:概率為-￡)2

②3個(gè)1:概率為(1-萬

故概率為3￡(1-尸產(chǎn)+(1一1)3,故C錯(cuò).

D三次傳輸方案譯碼為0的概率：P,=C^(l-a)2a+(l-a)3;

單次傳輸方案譯碼為。的概率：P2=\-a,作差

r.6-￡=(1一?)[3cr(l-?)+(l-a)2-1]=(1-2a),

當(dāng)0<a<0.5時(shí)，片-P2>0,即6>片,故。對(duì).

故選：ABD.

4.(2023?新課標(biāo)I卷第21題)甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投

籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中

率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率.

(2)求第i次投籃的人是甲的概率.

(3)已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且尸(％=1)=1-P(X=0)=%,i=l,2,…，小則E(￡x,)=X％.

Z=1/=1

記前“次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求

研).

【答案】解：(1)第二次是乙投籃的概率為0.5X(1-0.6)+0.5X0.8=06

(2)第i次是乙投籃的概率為(1-pJ,P1=g,

且Pi+i=Pix0.6+(1-pjx0.2=0.2+0.4〃j

121121

則nIp<-'~2=5Pi+5~3=5(ZPi~3)

12.112■.

故(P「？=%X(J,

112?

則+，心*?

365

(3)當(dāng)〃?.1時(shí),

2

(>

1"1-52

鹿

〃

s5〃*

-+-=-X+-=--N

636235-3G

118

<=l-5

52H

綜上Tn*

=2-lz-1+-nGN

￡(2\53

【解析】本題主要考查了全概率公式，構(gòu)造等比數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及求兩點(diǎn)分布的期望，屬

于較難題.

⑴根據(jù)題意直接運(yùn)用全概率公式即可得出結(jié)論；

(2)由題意可得甲第i次投籃的概率為P>,則第i次是乙投籃的概率為(1-2),再根據(jù)題意列出關(guān)于PM的遞

121121

推關(guān)系，運(yùn)用配湊法可得出加-3=”,+y，§3-?,通過化簡即可求出Pr

⑶由隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，則E(￡x,)=f%.根據(jù)公式即可求出E(Y).

?=|1=1

5.(2023?新課標(biāo)H卷第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)

有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率P(c)=05%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c€[95,105]時(shí),求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

【答案】解：(1)因?yàn)閜(c)=0.5%=0.005<0.002x5=0.01.

依據(jù)“患病者”的頻率分布直方圖得c=95+照|=97.5,

0.002

依據(jù)“未患病者”的頻率分布直方圖得q(c)=0.002x5+0.01x(100-975)=0.035.

(2)當(dāng)cG[95,100)時(shí),f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+0.002x5=-0.008c+0.82.

當(dāng)ce[100,1051時(shí)，/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=O.Olc-O.98.

-O.OIWr4-O.W2,rG[IK.1(M))

f0.0lc-0.98,re|100,105]'

所以/(c)在區(qū)間[95,105]的最小值為：/(100)=1-0.98=0.02.

【解析】

本題⑴問考察了頻率分布直方圖頻率的簡單計(jì)算，(2)問需結(jié)合分段函數(shù)解決概率統(tǒng)計(jì)的問題.

(1)依據(jù)題意理解漏診率即“患病者''的頻率分布直方圖中小于c的各小矩形部分面積，觀察到

p(c)=05%=0.005<0.002x5，故ce[95,1001，即可求c=95+5石=975.同理誤診率q(c)即“未

患病者”的頻率分布直方圖中大于c的各小矩形部分面積，即可求q(c).

(2)要求/(c)=p(c)+q(c),觀察到在區(qū)間[95,100),和區(qū)間[100,105]小矩形高度不同，故分段考慮分別

列式.得CG[95,100)0寸，/(c)=-0.008c+0.82,ce[100,105]/(c)=0.01c—0.98.再利用函數(shù)的單調(diào)

性得至/(c)在區(qū)間195,105]的最小值.

[2022年真題】

6.(2022?新高考I卷第5題)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()

1?I八2

A.-B.-C.—D.一

6323

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型及其計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

利用列舉法求出總的取法與滿足條件的取法，再由古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

【解答】

解：由題可知，總的取法有

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),

(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),

(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),

(6,7),(6,8),(7,8),共6+5+4+3+2+1=21種,

互質(zhì)的數(shù)對(duì)情況有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),

(5,8),(6,7),(7,8)共14個(gè),

142

所以兩個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為「=-=-.

213

7.(2022?新高考n卷第13題)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Ng,/),若P(2<%,2.5)=0.36,則

P(X>2.5)=.

【答案】0.14

【解析】

【分析】

本題考查了正態(tài)分布的意義，正態(tài)曲線的對(duì)稱性及其應(yīng)用.

【解答】

解：由題意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)—P(2<X,,2.5)=0.14.

8.(2022?新高考I卷第20題)一支醫(yī)療團(tuán)隊(duì)研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)

慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未

患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

⑴能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該

疾病”’即p(B\A)與P聶(B\VA]的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)

為R.

P(A|B)P(A|B)

⑴證明:

P(A|B)'P(A|B)5

3)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(A\B)的估計(jì)值，并利用(/)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-he)2

附：=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】

解：（1）得至42x2歹IJ聯(lián)表如下:

不夠良好良好總計(jì)

病例組4060100

對(duì)照組1090100

總計(jì)50150200

“=200x(40x9。-6。*1。)[4>6.635

100x100x50x150

,有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;

(2)⑺證明：尸(3|4)=普?，P(耳|A)=P田A)

P(A)P(A)'

P(3|Z)=迺，P⑻用=0，

P(A)「⑷

P(BA)P(BA)

_P(B\A)P(B\A)_P(A)P(Z)_P(BA)P(BA)

：.R

P(B|A)-P(B|A)P(月A),P(BA)P(BA)P(BA)

P(A)P(A)

尸⑷B）=2鑿）-X'P(XB)

又一P(X舊)=

P曲’

P(Afi)P(Afi)

P(A\B)P(硒)P(B)P(耳)P(AB)P(AB)P(BA)P(BA)

"P(A\B)P(A|B)=P(AB)P(AB)-P(而)P(A加=P(BA)P(BA)'

P(B)P(B)

P(AP(A|月)

：.R=B)

P(A|B)P(A|B)

402-P(而)60_3P(AB)90_9

(〃)P(A|B)=P(A|B)=P(A|B)=-

P(B)100P(B)W0-5P?Tooio

101

loo。

9

2

,P(AIB)P(AIB)_J106

一

一

??—=---,-------~~~x1一

P(A|B)P(A|B)3

510

.nP(A|B)P(A\B)

P(A|B)P(A\B)

2_1

即P(A|3)==,P(A|B)=L，R的估計(jì)值為6.

【解析】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和條件概率的計(jì)算，屬中檔題.

⑴列出2x2列聯(lián)表，計(jì)算片求解即可;

(2)(/)利用條件概率的計(jì)算公式即可證明;

(〃)將數(shù)據(jù)代入公式即可求解.

9.(2022?新高考H卷第19題)在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,

得到如下樣

本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.023

0.020

0.017

0.012--------

oo6

oo2

oo1

o

102030405060708090年齡(歲)

⑴估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)估計(jì)該地區(qū)以為這種疾病患者年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)

的16%,從該地區(qū)選出1人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).

【答案】

解：⑴平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x0.017

+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲)

(2)設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,則

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89

(3)設(shè)3=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?

八…>P(BC)0.1%x0.023xl00.001x0.23…、―八…“

則由條件概率公式，得P(C\B)=——=----------------=——-----=0.0014375?0.0014.

ryD)10%().16

【解析】本題考查了平均數(shù)，概率的求法，考查頻率分布直方圖、條件概率等知識(shí).

［2021年真題】

10.(2021?新高考I卷第8題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取

兩次，每次取1個(gè)球、甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是

2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，貝1|()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件的概念，屬于中檔題.

若P(AB)=P(A)P(8),則A與8相互獨(dú)立，即可得答案.

【解答】

解：由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和為8的所有可能為：

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),

兩次取出的球的數(shù)字之和為7的所有可能為：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

可得甲、乙、丙、丁事件發(fā)生的概率為：

p(甲)=Lp(乙)=Lp(丙)=2,尸(丁W，

6636366

又尸(甲丙)=o,p(甲丁)=」，p(乙丙)=」，p(丙丁)=o

3636

所以P(甲丁)=p(甲)P(丁)，

故選：B.

11.(2021?新高考II卷第6題)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布下列結(jié)論中不正確的是()

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.b越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.a越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.

【解答】

解：對(duì)于A,人為數(shù)據(jù)的方差，所以b越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在(9910.1)內(nèi)

的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故8正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,

故C正確；

對(duì)于。，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在mr1，山的概率與落在J21(71的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)

果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故。錯(cuò)誤.

故選D.

12.（2021?新高考I卷第9題）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，%，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)

%，%，?，%，其中％=%+c（i=l,2,,n）,c為非零常數(shù)，則

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查集中趨勢(shì)參數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)及離散程度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、極差.

利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差定義即可求解.

【解答】

解：假設(shè)玉<工2<???</，

對(duì)于A:由樣本平均數(shù)定義y=?>+"+-+%=a+c）+%2+c）+…+（瑞+c）=5+c,A錯(cuò)誤；

nn

對(duì)于3:由中位數(shù)定義，兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)不相同，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C:由樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義s=-元）2,可得兩組樣本數(shù)據(jù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，C正確；

對(duì)于O:由樣本極差定義，第一組數(shù)據(jù)樣本極差=乙-芯，第二組樣本數(shù)據(jù)極差

=（x.+C）-（X|+C）=X,-X],。正確；

故答案為：CD.

13.（2021?新高考II卷第9題）（多選）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本%,/，?，天的離散程度的是（）

A.樣本西,%2，，玉的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本西,工2，，%的中位數(shù)

C.樣本和乙，，%的極差D.樣本玉,馬，，Z的平均數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查了離散程度與集中趨勢(shì)的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

判斷所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【解答】

解：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

故選AC.

14.(2021?新高考I卷第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,8兩類問題.每位參加比賽的

同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確

則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.4類問題中的每個(gè)問題

回答正確得20分，否則得0分；8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分。

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的

概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】

解：(1)根據(jù)條件可知：若小明先回答A類問題，則小明的累計(jì)得分X的可能值為0,20,100,

小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,

P(X=0)=1—0.8=02；P(X=20)=0.8X(1—0.6)=0.32；P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

則X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)若小明先回答B(yǎng)類問題，則小明的累計(jì)得分y的可能值為0,80,100,

同理可求尸(F=0)=1—0.6=0.4；P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12；尸(丫=100)=0.6x0.8=0.48

則此時(shí)累計(jì)得分的期望值E(r)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6

又由⑴可求得，當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，累計(jì)得分的期望值

F(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,

E(X)<E(Y),故為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答8類問題.

【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率和求解辦法,

考查用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題.

⑴根據(jù)題意，列舉小明先回答A類問題累計(jì)得分X的可能值，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)相互獨(dú)立

事件和互斥事件的概率公式得到X取不同值的概率.

(2)同(1)的方法可求出小明先回答8類問題，小明的累計(jì)得分y取的不同值以及對(duì)應(yīng)概率值，再根據(jù)期望

公式分別求出小明先回答A類問題和小明先回答B(yǎng)類問題的期望值，即可判斷出小明應(yīng)先回答哪類問題.

15.(2021?新高考II卷第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為

第。代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立

的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=Pj(i=0,l,2,3).

(1)已知Po=0.4,pi=0.3,=0.2,=。-1，求E(X)；

2

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程：%+p,x+p2x+03丁=x的

一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)￡(X),,1時(shí)，〃=1,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

【答案】

(1)￡：(X)=0x0.4+1x0.34-2x0.2+3x0.1=1.

(2)設(shè)；??,1'..'■PI,?/*,

因?yàn)?。2+Pl+=1，故：?'''1>"，；>?

若EQX),,1,則P]+2P2+3Pa，1,故p2+2P*pn.

f'1>

因?yàn)?'小Li'.?/A'pi'->>,f'\i-'JpiII,

故/in有兩個(gè)不同零點(diǎn)％,w,且玉<O<L,%>

且」；x.IC-XIH't?>°;I時(shí)，!"'.1)-(I；

故f(x)在xrj,.：.!j?I)上為增函數(shù)，在心上為減函數(shù)，

若4=1，因?yàn)?(?在上.x)為增函數(shù)且/(I)0,

而當(dāng)，U時(shí)，因?yàn)?(X)在」「「I上為減函數(shù)，故/：<1/'1III,

故1為Po+PlX++P3Y=X的J個(gè)最小正實(shí)根,

若々>1,因?yàn)榱薎H且在彳H，"上為減函數(shù)，故1為Po++PS》'=X的一個(gè)最小正實(shí)根，

綜上，若E(X),,1,則p=l.

若E(X)>1,貝+2P2+3科>1，故P2+2P3>P().

此時(shí)/'(>I,P,?/A?/'U'I',1"<1P；-2；>,濁-II,

故門門有兩個(gè)不同零點(diǎn)七,乙，且毛<0<》4<1，

且」xjU，?,x；時(shí)，/'(X)>。；，./110^,'''<>；

故f(x)在，X.rJ上為增函數(shù)，在」上為減函數(shù)，

而/{Ij0,故。，3<n,

又“))M，>0,故/(X)在，/存在一個(gè)零點(diǎn)P，且p<1.

23

所以P為Po+P1X+p2x+p3x=X的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)P<1,

故當(dāng)￡(X)>1時(shí)，p<\.

(3)意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代后必然臨近滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)

超過1,則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.

【解析】本題是對(duì)離散型隨機(jī)變量和導(dǎo)數(shù)的綜合考查，屬于拔高題.

⑴利用公式計(jì)算可得E(X).

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/(打。及極值點(diǎn)的范圍可得/(x)的最小正零點(diǎn).

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.

【2020年真題】

16.(2020?新高考I卷第5題、II卷第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡

足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該

校學(xué)生總數(shù)的比例為()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查韋恩圖的應(yīng)用，熟練掌握韋恩圖中各集合的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可.

【解答】

故答案為：46%.

故答案為：C.

17.（2020?新高考II卷第9題）（多選）我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

【答案】C。

【解析】

【分析】

本題考查折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知和理解，屬于基礎(chǔ)題.

通過復(fù)工和折線圖中都有遞減的部分來判斷A；根據(jù)第一天