幾類非線性振動(dòng)系統(tǒng)同倫分析

摘要振動(dòng)是自然界和工程技術(shù)中普遍存在的現(xiàn)象，且往往是非線性的，因此對(duì)非線性問題的探索和研究越摘要振動(dòng)是自然界和工程技術(shù)中普遍存在的現(xiàn)象，且往往是非線性的，因此對(duì)非線性問題的探索和研究越來越成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。隨著科學(xué)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，非線性方程的求解漸漸成為廣大科學(xué)工作者必須面對(duì)的問題，尋找一種一般的有效的求解非線性微分方程的方法就顯得尤為重要。同倫分析方法是今年來發(fā)展迅速的一種求解非線性方程級(jí)數(shù)解的近似解析方法，并已成功應(yīng)用于求解許多復(fù)雜的非線性微分問題，獲得了不錯(cuò)的成果。作者在前人的基礎(chǔ)上求解了非線性振動(dòng)系統(tǒng)中的一些典型問題，并分析了其在實(shí)際應(yīng)用過程中出現(xiàn)的新特點(diǎn)和新結(jié)論，不斷發(fā)揮該方法的巨大潛力。首先，本文簡(jiǎn)要回顧了非線性問題的幾個(gè)近似解析方法，分析了他們的優(yōu)劣點(diǎn)，同時(shí)介紹了同倫分析方法的基本思想，與傳統(tǒng)攝動(dòng)法相比，同倫分析法不依賴方程中存在小參數(shù)，通過構(gòu)造零階形變方程和高階形變方程將原非線性問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)線性子問題，不僅適用于弱非線性問題的求解，對(duì)強(qiáng)非線性問題依然有效其次，應(yīng)用同倫分析方法研究了DuffingHarmonic振子，邏輯推導(dǎo)了輔助線性算子L的選取，分析了輔助參數(shù)h對(duì)控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)解收斂區(qū)域和收斂速度的影響，在有效區(qū)域內(nèi)選取合適的h值后，求得一族時(shí)間響應(yīng)和頻率的近似周期解，與精確解的比較表明該級(jí)數(shù)解有很好的逼近效果。再次，對(duì)非線性Jerk方程進(jìn)行了同倫分析，給出了輔助線性算子￡取和R川的理論推導(dǎo)，在兩組不同參數(shù)條件下，通過繪*1]co～h曲線得出了級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域，該解與四階龍哥庫塔法計(jì)算所得的數(shù)值解的比較顯示在強(qiáng)非線性條件下同倫分析法依然有效最后，對(duì)本文所做的工作和得到的結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)，并且進(jìn)一步展望了未來需要研究的工作關(guān)鍵詞：同倫分析法；非線性；Duffing．Harmonic方程；Jerk方程；近似級(jí)數(shù)VVibrationwhichisalwaysnon—linearisanaturalandcommonphenomenoninengineeringtechnology．Theresearchonnon-linearbecomesaintheofphysics．a(chǎn)ndthesolutionofnon-hasMathemaicsgreatvalueengineering．TheandeffectiveaparticularlyHomotopyanalysisapproximateVibrationwhichisalwaysnon—linearisanaturalandcommonphenomenoninengineeringtechnology．Theresearchonnon-linearbecomesaintheofphysics．a(chǎn)ndthesolutionofnon-hasMathemaicsgreatvalueengineering．TheandeffectiveaparticularlyHomotopyanalysisapproximateanalyticalmethodforhasequations，whichdevelopedsolvemanycomplexnon-linearappliedauthorsappliedtheHAMtosolvesomegoodresults．InthisofandinnonlinearvibrationsystemonmethodsforFirst，athebasicidea tomethod．Differentthehomotopyperturbationisindependentofparametersata11．Byazero—orderhigher-theintoseverallinearsub-onlyweaklynon-linearproblemsolving，forstronglynonlinearproblemsisstilltheDuffing-Harmonic hplaysanimportantin adjustingthemeansthesolutionvalueofhofandDuffing-obtained上海大學(xué)碩十學(xué)位論文appliedsolutionsofanonlinearjerkthird—ordertime-Call上海大學(xué)碩十學(xué)位論文appliedsolutionsofanonlinearjerkthird—ordertime-Callapproximatedviaananalyticalseries．Anauxiliaryparameterisintroducedofthesolutionseries．TwoconvergencearetodemonstratetheeffectivenessofHAM．Theexamplesindicatethat，bychoosingvalueofh，thefirstfewtermsinthesolutionseriesyieldexcellentFinally,theresultsofthethesisaresummarizedandthefurtherworkisKeywords：Homotopyanalysismethod；Non-linear；Duffing-equation緒1．1課題來源及研究背1．1．1課題來本文得緒1．1課題來源及研究背1．1．1課題來本文得到國(guó)家杰出青年科學(xué)基金(10725209)、國(guó)家自然科學(xué)基金(1047206010672092)、上海市自然科學(xué)基金(04ZRl4058)、上海市教委科研項(xiàng)目(07ZZ07上海是重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(YOL03)1．1．2研究背振動(dòng)是自然界、工程技術(shù)、日常生活和社會(huì)生活中普遍存在的現(xiàn)象，例如大海的波濤欺負(fù)、花的同開夜閉、鐘擺的擺動(dòng)、心臟的跳動(dòng)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展的高漲和蕭條等形形色色的現(xiàn)象都具有明顯的振動(dòng)特性。工程技術(shù)所涉及的機(jī)械和結(jié)構(gòu)的振動(dòng)稱作機(jī)械振動(dòng)，許多情況下，它被認(rèn)為是消極因素，例如，振動(dòng)會(huì)影響精密儀器的性能，加劇構(gòu)建疲勞和磨損，縮短機(jī)器和結(jié)構(gòu)物的使用壽命，甚至引起結(jié)構(gòu)的破壞。典型的例子是1940年美國(guó)塔可馬(Tacomar橋因風(fēng)載引起振動(dòng)而坍塌的事故(圖1．1)的噪聲振動(dòng)，影響乘客的乘坐舒適度。然而，振動(dòng)也有積極的一面，例如將振動(dòng)應(yīng)用與生產(chǎn)工藝如振動(dòng)傳輸、振動(dòng)篩選、振動(dòng)拋光、振動(dòng)沉樁、振動(dòng)消除內(nèi)應(yīng)力等。振動(dòng)理論的主要任務(wù)是研究和表征系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律性，從而有效地利用或抑制振動(dòng)，并由此帶來巨大的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益。圖1．1塔口J馬(Tacoma)吊橋坍塌18世紀(jì)，早期的科學(xué)家歐拉、拉格朗同、達(dá)朗伯、伯努利等對(duì)線性振動(dòng)理論的發(fā)展做出了巨大18世紀(jì)，早期的科學(xué)家歐拉、拉格朗同、達(dá)朗伯、伯努利等對(duì)線性振動(dòng)理論的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，形成了目前比較成熟的線性振動(dòng)理論。在一些工程問題中運(yùn)用線性振動(dòng)理論，我們的確能得到滿意的結(jié)果，然而自然界的本質(zhì)是非線性的，它存在各種各樣的非線性因素，包括幾何非線性、材料非線性、結(jié)構(gòu)非線性以及邊界條件非線性等。因此，從現(xiàn)實(shí)工程問題中建立起來的以常微分方程、偏微分方程、積分方程、差分方程或其組合等描述的動(dòng)力學(xué)模型一般是非線性的，并且是參數(shù)依賴的。盡管個(gè)別非線性振動(dòng)問題能通過線性化進(jìn)行求解，大部分非線性問題是不能線性化的，因此對(duì)非線性振動(dòng)問題的分析和計(jì)算方法的研究，對(duì)世紀(jì)工程問題的解決顯得尤為重要。對(duì)非線性振動(dòng)的研究方法大致有數(shù)值方法和解析方法兩大類。數(shù)值方法將非線性問題離散化并轉(zhuǎn)化為求解線性代數(shù)方程(組)問題或特征值問題，在現(xiàn)實(shí)工程中該法得到了廣泛的應(yīng)用。然而數(shù)值解不能幫助我們清楚得認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，人們就期望得到解析解，一方面它提供了原問題解的現(xiàn)實(shí)表示，我們可以直接討論初始條件以及參數(shù)對(duì)解的影響；另一方面也可以借此判斷數(shù)值結(jié)果的正確合理性。由于非線性微分方程目前尚無有效的精確求解方法，因而一般只能尋求解析逼近解。目前常用的解析逼近方法是攝動(dòng)法[1．3】，包括林滋泰德．龐加萊法(L—P法)[4-51，多尺度法[6—7】，平均法[1．3】，KBM方法[8—9】。另外，諧波平衡法【1．4]、迭加法[10．141最近也得到了廣泛的應(yīng)用。1．2國(guó)內(nèi)外研究進(jìn)展1．2．1非線性振動(dòng)研究方法進(jìn)展非線性振動(dòng)的研究開始于19世紀(jì)后期。1881年至1886年期間，龐加萊討論了二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類，引入了極限環(huán)概念并建立了極限環(huán)的存在判據(jù)，定義了奇點(diǎn)和極限環(huán)的指數(shù)；此外還研究了分岔問題，奠定了非線性振動(dòng)論基礎(chǔ)。1879年開爾文(LKelvin和泰特(EGTait考察了陀螺力和耗散力對(duì)保守系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，其結(jié)論后來由切塔耶夫給出嚴(yán)格證明。1892年李雅普諾夫給出了穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義，并給出了研究穩(wěn)定性問題的直接方法。在定量求解非線性振動(dòng)的近似解析方法方面，1830年泊松(SDPoisson研究單擺振動(dòng)時(shí)提2上海人學(xué)碩t學(xué)位論文出攝動(dòng)法的基本思想。1883年林滋泰德(ALindstedt攝動(dòng)法的上海人學(xué)碩t學(xué)位論文出攝動(dòng)法的基本思想。1883年林滋泰德(ALindstedt攝動(dòng)法的長(zhǎng)期項(xiàng)問題。1918年達(dá)芬(GDuffing)在研究硬彈簧受迫振動(dòng)時(shí)采用了諧波平衡和逐次P01)研究電子管非線性振蕩時(shí)提出了慢變系代的方法。1920年范德波爾(Va數(shù)法的基本思想，1934年克雷洛夫和博戈留博夫?qū)⑵浒l(fā)展為適用于一般弱非線性系統(tǒng)的平均法；1947年他們又提出一種可求任意階近似解的漸近法，1955米特羅波爾斯基推廣這種方法到非定常系統(tǒng)最終形成KBM法。1957年斯特克在研究電等離子體非線性效應(yīng)時(shí)用兩個(gè)不同尺度描述系統(tǒng)的解而提出多尺度對(duì)Duffing．harmonic振子進(jìn)行的研究是從2001年開始的，R．E．Mickens[15首先運(yùn)用諧波平衡法給出了它頻率的解析估計(jì)；2003年，LiraWu[16]結(jié)合線性化和諧波平衡法得到了頻率和周期響應(yīng)的近似表達(dá)式；2005年Rao，Swamy[17]等也求得了同樣的頻率解，并且基于諧波平衡法和Ritz方法計(jì)算了該振子的響應(yīng)；2006HuTang[18階諧波平衡法的首項(xiàng)系數(shù)得到同樣的頻率解，LimWuSun[19用牛頓諧波法構(gòu)造了其高階近似解，Hu[20運(yùn)用迭代法確定了其頻率和周期響應(yīng)的近似解析解。Schot最早對(duì)Jerk方程進(jìn)行了研究，并解釋了他反常的幾何意義，Gottlieb[21．241應(yīng)用低階諧波平衡法求解了初始速度振幅下Jerk方程的近似解析周期解，遺憾的是該周期解不夠精確，之后Wu[25]改進(jìn)了諧波平衡法，并在大初始速度振幅條件下給出了二階、三階的近似解，Hu[26]應(yīng)用LP動(dòng)法成功的獲得了Jerk方程的近似周期解，與精確解符合良好。1．2．2同倫分析方法研究進(jìn)展1992年，基于數(shù)學(xué)拓?fù)淅碚撝械耐瑐愃枷?，廖世俊在博士論文[27】中首次提出了同倫分析方法的初步框架，提出了零階形變方程和高階形變方程的基本形式，1996年，廖世俊28】在此基礎(chǔ)上對(duì)零階形變方程進(jìn)一步一般化，從而提供了直接選擇初始猜測(cè)解的自由，避免了之前計(jì)算初始猜測(cè)解的復(fù)雜運(yùn)算。此時(shí)的同倫分析方法本質(zhì)上是將一個(gè)非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮多個(gè)線性問題，與傳統(tǒng)攝動(dòng)方法不同，這種轉(zhuǎn)化不需要任何小參數(shù)，也就是說，無論非線性問題是否含有小參數(shù)，同倫分析方法都適用。但將其運(yùn)用到求解實(shí)際非線性問題時(shí)發(fā)上海大學(xué)碩十學(xué)位現(xiàn)，一旦輔助線性算子選定，泰勒級(jí)數(shù)的收斂性就完全確定，因此不存上海大學(xué)碩十學(xué)位現(xiàn)，一旦輔助線性算子選定，泰勒級(jí)數(shù)的收斂性就完全確定，因此不存在有效簡(jiǎn)便的途徑去控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)的收斂性，因此，早期的同倫分析方法依然只適1997年，廖世俊[29]為了保證級(jí)數(shù)的收斂性，在原零階形變方程中引入零輔助參數(shù)h，構(gòu)造了雙參數(shù)微分方程組，并稱其為廣義同倫，輔助參數(shù)的對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂有決定性意義，通過調(diào)節(jié)該輔助參數(shù)的值，可以有效地控制級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度，從而提供了一條確保級(jí)數(shù)解收斂的簡(jiǎn)便途徑。自此，同倫分析法徹底擺脫了小參數(shù)的束縛，不僅適用于弱非線性問題，同時(shí)也能求解強(qiáng)非線性問題。2003年，廖世30】在原有基礎(chǔ)上又引入非零輔助函月糾，進(jìn)一步完善了同倫分析法，使其為更多的強(qiáng)非線性問題所用。之后，廖世俊系統(tǒng)地回顧并總結(jié)了同倫分析法，提出了解表達(dá)原則、解存在原則、完備性(系數(shù)遍歷性)原則【30】，以指導(dǎo)初始猜測(cè)解、輔助線性算子和輔助函數(shù)的選取。2003世俊[30研究了同倫分析法與傳統(tǒng)非攝動(dòng)法的關(guān)系，指出同倫分析法在邏輯上包含了Lyapunov人工小參數(shù)法，6展開法和Adomian分解法，并從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格證明了同倫分析方法所得級(jí)數(shù)解的收斂性定理，即若由同倫分析方法得到的級(jí)數(shù)解收斂，則其必為原始非線性方程的一個(gè)解。根據(jù)上述定理，僅需確保同倫分析方法得到的級(jí)數(shù)解收斂即可。并已被成功應(yīng)用于各種類型的常微分方程和偏微分方程。廖世俊在其著作[30中應(yīng)用同倫分析法討論了托馬斯一費(fèi)米(Thomas．Fermi)原子模型、布拉休(Blasius)黏性流、封閉系統(tǒng)內(nèi)種群數(shù)量變化的Volterra生態(tài)學(xué)模型、呈指數(shù)衰減的邊界層流動(dòng)問題、深水中的非線性fj{『進(jìn)波等問題；李水才等[32】應(yīng)用同倫分析方法求解了具有多解的Gelfand方程，成鈞33】求解了具有無限多個(gè)極限環(huán)的非線性振動(dòng)方程：徐偉等[34應(yīng)用同倫分析方法求解了一個(gè)強(qiáng)非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)；王驥等[351求解了集中載荷作用下懸臂梁的大變形問題；鄒麗等[36求解了離散的、微分一差分KdV方程；Liu等[37】求解了改進(jìn)的KdVSong等[38】求解了分?jǐn)?shù)維的KdV-BurgersKuramoto方程；Mustafa39]求解了Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件Laplace方程；Bataineh等求解了非4上海大學(xué)碩上學(xué)位論文性常微分方程組[40】和非定常EmdenFowler[41Fakhari[42Benjamin—Bona-Mahony-Burgers上海大學(xué)碩上學(xué)位論文性常微分方程組[40】和非定常EmdenFowler[41Fakhari[42Benjamin—Bona-Mahony-BurgersBouremel[43]求解了黏性射流問題；Abbasbandy[44]應(yīng)用同倫分析方法求解了可滲透催化劑擴(kuò)散和反應(yīng)的非線性模型方程；Abbasbandy451應(yīng)用同倫分析方法提出一個(gè)求解非線性代數(shù)方程的高階迭代公式，該公式包含著名的傳統(tǒng)Newton迭代公式，具有更好的收斂性．值得注意的是，我們可以應(yīng)用同倫分析方法求解一些流體力學(xué)中的經(jīng)典問題。廖世俊求解了FalknerSkan平板流動(dòng)問題[4647用同倫分析方法求解了描述均勻來流中圓球黏性流動(dòng)的NavierStokes方程，給出了lO階圓球黏性阻力公式，是近150以來與實(shí)驗(yàn)果最吻合的理論廖世俊[48】應(yīng)用同倫分析法發(fā)現(xiàn)無限伸展形可滲透平板導(dǎo)的邊界層流動(dòng)題的一類全新解，該解從未被其他解析近似方法甚至數(shù)值方法獲得；徐航等成功求解了非定常VonKarmon三維流動(dòng)問題【49】，微極性流體非定常前駐點(diǎn)流動(dòng)問題[501，及突然伸展變形的無限平板所導(dǎo)致的電磁流體之三維非定常流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問題[5l[52]；徐航等[53]流動(dòng)，非牛頓流體非定常前駐點(diǎn)流動(dòng)[54】，非牛頓電磁流體非定常前駐點(diǎn)流動(dòng)[55]，廖世俊、su和章梓雄求解了非定常的非線性熱傳導(dǎo)問題[561：Hayat等[57應(yīng)用同倫分析方法求解了伸展變形的無限平板導(dǎo)致的非牛頓流體流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問題、可滲透無限伸展平板導(dǎo)致的Maxwell流體之邊界層流動(dòng)問題[58】、求解了一個(gè)4階非牛頓流體流動(dòng)問題[59】，研究了2階非牛頓流體電磁流動(dòng)的熱射問題[60]，以及3階非牛頓流體在多孔介質(zhì)內(nèi)的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)問題[61】；Abbas等[62求解了電磁Maxwell流體在多孔介質(zhì)管道中的流動(dòng)，Sajid等[63]求解了4階牛頓流體在可滲透平板上的邊界層流動(dòng)問題，Tao等【64】求解了有限水深中的非線性行進(jìn)波問題；Song65】求解了多孔介質(zhì)中非定常地下水流動(dòng)的非線性模型；Cai[66]在博士論文中對(duì)壓力驅(qū)動(dòng)管道流動(dòng)問題進(jìn)行了同倫分析；近些年來，同倫分析方法也被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，并得到了很好的效果。zhu[67]求解了經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的美式期權(quán)方程Black．Kuznetsov方程，首次給出了顯式表達(dá)的級(jí)數(shù)解，并在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)有效，與數(shù)值解精確吻合。同時(shí)，zhu[68上海大學(xué)碩十學(xué)位論文還求解了恒定紅利收益條件下自由兌換債券問題，取得了不錯(cuò)的效果。上海大學(xué)碩十學(xué)位論文還求解了恒定紅利收益條件下自由兌換債券問題，取得了不錯(cuò)的效果。同倫分析方法再一次展示了其求解強(qiáng)非線性問題的巨大潛力。1．3研究意義隨著工程技術(shù)的發(fā)展，振動(dòng)問題已成為各個(gè)工程領(lǐng)域內(nèi)經(jīng)常提出的重要問題。例如在機(jī)械、電機(jī)工程中，振動(dòng)部件和整機(jī)的強(qiáng)度和剛度問題，聯(lián)軸節(jié)和回轉(zhuǎn)軸的扭振分析，大型機(jī)械的故障診斷，精密儀器設(shè)備的防噪和減振等。在交通運(yùn)輸、航空航天工程中，車輛舒適性、操控性和穩(wěn)定性問題，海浪作用下船舶的模態(tài)分析和強(qiáng)度分析，飛行器的結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲疲勞分析等。在電子電訊、輕工工程中，通訊器材的頻率特性，音響器件的振動(dòng)分析等。在土建、地質(zhì)工程中，建筑、橋梁等結(jié)構(gòu)物的模態(tài)分析，地震引起結(jié)構(gòu)物的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，礦床探查、爆破技術(shù)的研究等。在醫(yī)學(xué)、生物工程中，腦電波、心電波、脈搏波動(dòng)等信號(hào)的分析處理等?，F(xiàn)代工程技術(shù)對(duì)振動(dòng)問題的解決提出了更高、更嚴(yán)格的要求，電子計(jì)算機(jī)的廣泛使用和動(dòng)態(tài)測(cè)量技術(shù)的進(jìn)步也為復(fù)雜振動(dòng)問題的解決提自高性能超級(jí)計(jì)算機(jī)問世以來，線性問題的求解變得非常容易求解，然而，對(duì)于一些非線性問題尤其是強(qiáng)非線性問題仍然很難求得其精確解，而數(shù)值解通常給出的是解曲線上的一些不連續(xù)點(diǎn)，而想得到解餓一條完整曲線往往費(fèi)時(shí)費(fèi)力，因此求非線性問題的解析方法顯得尤為重要。傳統(tǒng)的攝動(dòng)方法本質(zhì)是依賴于小(大)參數(shù)或所謂的攝動(dòng)變量的存在，簡(jiǎn)而言之，攝動(dòng)方法是應(yīng)用攝動(dòng)變量將一個(gè)非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮多個(gè)線性子問題，并用前幾個(gè)線性子問題的解之和束逼近該非線性問題的解，顯然，攝動(dòng)變量的存在是攝動(dòng)方法的基礎(chǔ)，也正因?yàn)槿绱?，它給攝動(dòng)法帶來了一些嚴(yán)重的局限性，因?yàn)椴皇敲總€(gè)非線性問題都帶有這種攝動(dòng)變量的，另外當(dāng)方程的非線性增強(qiáng)時(shí)，攝動(dòng)法得到的近似解往往失效，也就是說攝動(dòng)法通常只能應(yīng)用于求解弱非線性問題。同倫分析方法出現(xiàn)近二十年，作為一種新的求解非線性問題的解析方法，從探索、起步、發(fā)展、成熟需要經(jīng)歷很長(zhǎng)的過程，也需要來自不同領(lǐng)域、不同背景的實(shí)例束加以驗(yàn)證，雖然之前的學(xué)者已經(jīng)在這條路上做出了許多工作，也6取得了很多喜人的成績(jī)，在實(shí)際科學(xué)和工程領(lǐng)域解決了很多非線性問題，但是這并不意味著同倫分析法已經(jīng)發(fā)展的非常取得了很多喜人的成績(jī)，在實(shí)際科學(xué)和工程領(lǐng)域解決了很多非線性問題，但是這并不意味著同倫分析法已經(jīng)發(fā)展的非常完美了，因此，為了進(jìn)一步研究和完善該方法，必須還要將其應(yīng)用與更復(fù)雜的非線性問題中去。例如，至今還缺乏一個(gè)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論來指導(dǎo)初始猜測(cè)解、輔助函數(shù)、輔助線性算子和輔助參數(shù)的選取，如何有效的選擇長(zhǎng)期項(xiàng)，能不能找出針對(duì)同一類非線性問題提出統(tǒng)一的解決方案等等。因此，探索和深入研究同倫分析方法在實(shí)際應(yīng)用中的新特點(diǎn)和新思路，進(jìn)一步發(fā)掘其在解決強(qiáng)非線性問題的潛力成為當(dāng)前非常重要的研究方向，同時(shí)，還要將非線性問題中的重要物理性質(zhì)和同倫分析方法結(jié)合起來，充分體現(xiàn)該方法的有效性和實(shí)用性，豐富求解非線性問題的途徑。1．4論文的主要內(nèi)容和組織本論文是以作者攻讀碩士學(xué)位期間承擔(dān)課題的工作為基礎(chǔ)，主要對(duì)同倫分析方法的理論分析和應(yīng)用進(jìn)行了研究，選取了非線性振動(dòng)系統(tǒng)中的幾個(gè)典型例子作為研究對(duì)象，進(jìn)行了同倫分析，論文的主要內(nèi)容和組織如下：緒論部分給出了本文的研究背景、研究現(xiàn)狀以及該課題的主要第一內(nèi)容和意義；第二闡述了同倫分析的一般過程，給出了級(jí)數(shù)解收斂定理的證明和三個(gè)指導(dǎo)原則，并討論了輔助參數(shù)h的選取，分析其對(duì)于控和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)解收斂區(qū)域和收斂速度的重要作用第三章研究了DuffingHarmonic振子，通過同倫分析求得一族時(shí)間應(yīng)和頻率的近似周期解，在有效區(qū)域內(nèi)選取合適的h值后，與精確解的比較表明該級(jí)數(shù)解有很好的逼近效果第四對(duì)非線性Jerk方程進(jìn)行了同倫分析，給出了輔助線性算子￡選取和勘的理論推導(dǎo)，對(duì)于兩組不同參數(shù)，通過繪制緲嘲曲線得出了級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域，與精確解的比較顯示在強(qiáng)非線性條件下同倫分析法依然有效第五總結(jié)和展7上海人學(xué)碩上學(xué)位論文第二章同倫分析方2．1同倫(Homotopy)是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)基本概念。設(shè)x和y是拓上海人學(xué)碩上學(xué)位論文第二章同倫分析方2．1同倫(Homotopy)是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)基本概念。設(shè)x和y是拓?fù)淇臻g，所謂兩個(gè)連續(xù)映射兀辦：x一】，是同倫的，是指可以在】，中將而連續(xù)地形變成力，更確切地講：定義：設(shè)尼五X一】是連續(xù)映射，仁[O1]。如果存在連續(xù)映射所XM一】，使得對(duì)于所有z∈xH(x,O)=foH(x,1)=fl似則稱^乃是同倫的，記作fo=石：X一】，，日稱為連接如和五的一個(gè)同倫。當(dāng)要指明這同倫時(shí)，也常記作H力。[70q(竹nyg∈丁)是依賴于實(shí)參數(shù)g的一族映射，當(dāng)g從0I對(duì)于到1時(shí)，目∞緲=fo連續(xù)地形變成瞰矽書。考慮一個(gè)一般形式的非線性方程其中，Ⅳ是非線性算子，“仉砂為未知函數(shù)，rt分別代表空間和時(shí)間變量。設(shè)qH[①(，，f；g)；甜。r，f)；g]=(1一g)·L[aP(r,t；q)-其中uo(r,O表示精確解“仉砂的初始猜測(cè)解，￡是線性算子，該算子具有如下性質(zhì)L[-S(r,f)]=o，若令同倫(22)為H[當(dāng)q=0上海人學(xué)碩士學(xué)位當(dāng)q=lH[①(啊；g)；‰(啊)；g]l口=l=Ⅳ[①(，．，',0]--由性質(zhì)(2．3)易上海人學(xué)碩士學(xué)位當(dāng)q=lH[①(?。籫)；‰(啊)；g]l口=l=Ⅳ[①(，．，',0]--由性質(zhì)(2．3)易H[①(州；g)；“。(州)；gn。H[①(彬；g)；材。(彬)；g弘之解。因此，根據(jù)(28210入變量q0增大到1時(shí)，方程H[2．2同倫分析方2．2．1零階形變以上述同倫理論為基礎(chǔ)，廖世俊[30】教授首次引入了輔助函數(shù)日化砂助參數(shù)h，構(gòu)造如下同倫，：劣箋薄1qhH(r力嘶朋)]億HEcb刊(r,tq；q)卟；Uo(，r--(1一g)·￡[①(，．，f；g)一H[①(，，t；q)；Uo(，，f)9上海人學(xué)碩上學(xué)位論文(1一q)·三[①(，-，f；g)--U0(，，f)]=g桕(，．，f)Ⅳ[中(廠，其中，函化0∥為上述方程的精確解，它不僅依賴于初始上海人學(xué)碩上學(xué)位論文(1一q)·三[①(，-，f；g)--U0(，，f)]=g桕(，．，f)Ⅳ[中(廠，其中，函化0∥為上述方程的精確解，它不僅依賴于初始猜測(cè)解uo(rO、輔助線性算子L、輔助函數(shù)職砂和輔助參數(shù)意，而且也依賴于嵌入變量q∈以口?，F(xiàn)在定義m階形變導(dǎo)數(shù)批∽=筆產(chǎn)將驢仉0砂泰勒展開成q的冪級(jí)咿；g)=咿；。)+善+ao掣刪r,t=掣=葫1掣令億①(，．，f；g)=‰(，，f)+∑“(2．1在這罩，同倫分析法給了我們很大自由去選擇初始猜測(cè)解uo(r,O、輔助線性算子￡、輔助函數(shù)眺0和輔助參數(shù)h。如果他們都選取合適，則1)對(duì)所有qJ修刀，零階形變方程的解函仍0砂都存在；2)對(duì)m=l，2，i··：+吧形變導(dǎo)數(shù)“∥州以砂都存函仉0∥的冪級(jí)數(shù)(219q=l時(shí)收斂。①(，．，f)=“。(，．，f)+∑“。(，．，t)2．2．2高階形變?yōu)楹?jiǎn)便，定義向量Un--{Uo(r，f)，“。(，．，f)，“：(，．，f)，?，材。(，．，將零階形變方程(215對(duì)嵌入變量qm次，隨后兩邊同除以聊，，最后令我們得到m階形變方程[30L[u。(，．，f)一Zu?！獻(xiàn)(，．，fhHrf)吃(“我們得到m階形變方程[30L[u。(，．，f)一Zu?！獻(xiàn)(，．，fhHrf)吃(“。．I，，．，舯也(Urn_1，P,t)將式(2．19)代入上式帆∥力=麗1礦am-1Ⅳ融叫矽由于所有高階形變方程具有相同的線性算子三，且如‰．^n砂對(duì)任何給定非線性算子Ⅳ都可以有定義(223因此，利用諸如MaPleMathematica運(yùn)算軟件，我們可以很容易求解線性的高階形變方程，并得到Ul仉砂，U2(r則“仉0m階近似為同倫分析方法給我們提供了極大的自由去選擇初始猜測(cè)解、輔助線性算子、非零輔助參數(shù)和輔助函數(shù)的形式，來確保最后的級(jí)數(shù)解收斂，同時(shí)也從根本上突破了攝動(dòng)法關(guān)于控制方程或邊界條件始條必須存在數(shù)2．2．3收斂定前一節(jié)我們討論了同倫分析方法的一般過程，并得到了方程的m階近似數(shù)解(2．20)，在這里，級(jí)數(shù)的收斂性非常重要，怎樣可以得到較大區(qū)域的收斂范圍就顯得尤為重要。眾所周知，一個(gè)級(jí)數(shù)即使收斂，也并非～定收斂到原始方為證明該收斂定理，設(shè)么例、B俐為在IgI≤，內(nèi)解析的嵌彳(0)=B(O)=0AO)=B(1)=1上海人學(xué)碩上學(xué)位論文令ⅧⅧ由于彳倒，B例在lgI≤J內(nèi)解析，且(2．26)h∑％=1，∑展上海人學(xué)碩上學(xué)位論文令ⅧⅧ由于彳倒，B例在lgI≤J內(nèi)解析，且(2．26)h∑％=1，∑展(1-B(g))·￡[①(廠，f；g)一‰(，．，f)]=么(g)殼日(r，f)Ⅳ[Q同時(shí)高階形變方程為啦。(，．，f)一∑屈‰一t(，．，f)】=td-／(r，t)Rm(URm(u。州廠，f)=∑％甌一。(，，且1可以看出，原零階形變方程和高階形變方程是彳俐=Bg時(shí)方程(2和(2．30)的特殊形式。定理2．1斂定理1301若級(jí)‰(彬)+∑“。(，．，t)其中砧塒仉滿足高形變方程(230231232必定是方程(2．1)之解證明：設(shè)s(r，，)=‰r，f)+∑‰(，．，J：海大學(xué)碩十學(xué)位論由高階形變方程(230hH(r，f)=∑伽。(，．，f)一∑展‰一。(，，f=￡l∑‰(∥)一∑∑展％。(∽=￡I∑材。(r，f)一∑∑flkU。一。(r，f)lJ：海大學(xué)碩十學(xué)位論由高階形變方程(230hH(r，f)=∑伽。(，．，f)一∑展‰一。(，，f=￡l∑‰(∥)一∑∑展％。(∽=￡I∑材。(r，f)一∑∑flkU。一。(r，f)l=三l∑‰(∥)一∑展∑‰(彬lI∽r)]／j=三[(·一善孱][s(r，r。．’殼知，圄何魂又’．。(2．28),11(2．23)，所以?！迫?‰．，，，．，根據(jù)(2．31)，(2．32)，我們有∑民(‰．．，，，f)=∑∑吼屯一。(廠，”乙”=∑∑吼皖一。(，．，f)=I∑％I∑甌(，．，f)萎+aO如c‰中彬，：萎+00吒c州，：薹去掣l=。c2瑚，又因?yàn)?2．28)、(2．32)和(2．36)成立，則有設(shè)方程(21殘存誤差：顯然，對(duì)于原方程的精確解占仉。砂關(guān)于嵌入變量qMaclaurin上海人學(xué)碩十學(xué)位論文聊!agm上海人學(xué)碩十學(xué)位論文聊!agmOq”掣根據(jù)(2．38)，當(dāng)q=l時(shí)，上式可以給出因此，當(dāng)q=l時(shí)，我們得到了原方程的精確解。即只要級(jí)數(shù)s砂收其中塒仉滿足高形變方程(230231232∑吃(“。中r，f)=∑晚(，．，證明：略，詳見【30】．定理2．3：收斂，其中，llm似砂滿足高階形變方程(222且定義G23成立，則它必定是方程(2．1)∑吃有了定理2．1和定理2．3，我們只要集中精力來選擇合適的初始猜測(cè)解“D億砂、輔助線性算子￡、嵌入函數(shù)彳俐和日緲、輔助函數(shù)日m砂和輔助參數(shù)來確保級(jí)數(shù)解的收斂，而定理22給我們提供了一條評(píng)估所得近似級(jí)數(shù)解的收斂性和精度的途徑。上海大學(xué)碩J：學(xué)位論2．2．4基本原通過前面幾小節(jié)的論述，我們可以看出，除了算子Ⅳ的形式是由原方程決定上海大學(xué)碩J：學(xué)位論2．2．4基本原通過前面幾小節(jié)的論述，我們可以看出，除了算子Ⅳ的形式是由原方程決定，同倫分析法提供了很大的自由選擇初始猜測(cè)解、輔助線性算子和輔助函數(shù)．本質(zhì)上，也正是這種自由度賦予了同倫分析方法優(yōu)勢(shì)和靈活性。然而，任何事物都有兩面性，選擇上太大的自由給同倫分析方法在具體應(yīng)用上增加了難度：這就勢(shì)必要求我們找尋一系列可靠的規(guī)則來指導(dǎo)同倫分析法的運(yùn)用。因此，2003年，廖世俊[303l】提出如下3個(gè)原則，以指導(dǎo)初始猜測(cè)解、輔助線性算子和輔助函數(shù)之選?。?)解表達(dá)原則我們知道，一個(gè)非線性問題的解通常可以用不同形式的基函數(shù)表達(dá)，而且多數(shù)情況下，根據(jù)問題本身的物理背景和邊界(初始)條件確定描述非線性問題的基函數(shù)也并非難事，例如，我們用和高階形變方程的解不能違背解表達(dá)。2)完備性(系數(shù)遍歷性)原則在許多情況下，輔助函數(shù)礬砂不能完全由解表達(dá)原則唯一確定，因此需要更多的規(guī)則來限制輔助函數(shù)H(r,O的選擇。廖提出的系數(shù)遍歷原則是當(dāng)近似階趨于無窮時(shí)基都應(yīng)在解表達(dá)中出現(xiàn)其系數(shù)都能被改善。由此能夠唯確定日仉03)解存在原則如果原始非線性問題有解，則初始猜測(cè)解uo(rO輔助線性算子￡和輔助函上述解表達(dá)原則、系數(shù)遍歷原則及解存在原則，對(duì)初始猜測(cè)解uor,O、輔上海Il線性算子三和輔助函數(shù)砒0的選取有重大指導(dǎo)意義，為同倫分析方法在工程中的實(shí)際應(yīng)用提供了有效的理論依據(jù)，在一定程度上增上海Il線性算子三和輔助函數(shù)砒0的選取有重大指導(dǎo)意義，為同倫分析方法在工程中的實(shí)際應(yīng)用提供了有效的理論依據(jù)，在一定程度上增加了該方法的可操作性。2．2．5解收斂區(qū)域和收斂速度的控制之前的討論我們已經(jīng)得到了一族級(jí)數(shù)解，確保～個(gè)級(jí)數(shù)在足夠大的區(qū)域內(nèi)收斂是非常重要的，通常情況下，一旦非線性問題解的基函數(shù)確定以后，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域和收斂速度也就相應(yīng)地確定了。解表達(dá)原則決定了初始猜測(cè)解uo(r,O、輔助線性算子￡和輔助函數(shù)Hr,O，但我們?nèi)杂泻艽蟮淖杂扇ミx擇輔助參數(shù)h的值。正因?yàn)檩o助參數(shù)h的存在，只要選取合適的h值，同倫分析方法給我們提供了一個(gè)控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)解收斂區(qū)域和收斂速度的簡(jiǎn)便途徑。下面我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來討論h曲線和h有效區(qū)域[30y(f)+V2(f)=1，礦我們使用基函數(shù){(1+力硼Im=O，1，2，3，?)表達(dá)其級(jí)數(shù)解，來探究h用。求解高階形變方程，我們可以依次得恃一擊+焉一72)擊+群炒吲l+西吲h≯南+器一i相應(yīng)地，俐的m階近似可表V(t)=K(f)+V2(t)+KO)+?+匕以口7，v—v·-且hH(t)=1／(1+t)時(shí)，級(jí)數(shù)解(2．47)之∥丫緲～疔和妙，丫緲～．1}以口7，v—v·-且hH(t)=1／(1+t)時(shí)，級(jí)數(shù)解(2．47)之∥丫緲～疔和妙，丫緲～．1}表2．1庸取不同值時(shí)，級(jí)數(shù)解給出的V，仰的值表2．2矗取不同值時(shí)，級(jí)數(shù)解給出的V，，丫彩的通過高性能計(jì)算機(jī)，我們?nèi)菀椎玫礁唠A級(jí)數(shù)解(2．47)給出的∥’仰和∥’’俐上海人學(xué)碩上學(xué)位的h曲線如圖2．1所示，顯然級(jí)數(shù)解(2．47)給出上海人學(xué)碩上學(xué)位的h曲線如圖2．1所示，顯然級(jí)數(shù)解(2．47)給出的∥俐和礦7’俐在．32≤殼≤．1／2時(shí)有效，即殼的有效區(qū)域。表2122分別給出了當(dāng)h取有效區(qū)域內(nèi)5同值時(shí)，V’仰和∥’仰級(jí)數(shù)解的收斂情況，可以看出級(jí)數(shù)在h=-．1時(shí)收斂最快，這就意味著我們可以通過選擇合適的殼值來控制級(jí)數(shù)的收斂速度。所以繪制似的h曲線使我們能很容易的知道相應(yīng)的h的有效區(qū)域，從而得到收斂的級(jí)數(shù)解2．3同倫一帕德逼同倫-帕德逼近[30】是將同倫分析方法和帕德近似approximation)結(jié)起來的一種方法。在原級(jí)數(shù)解在q=l收斂的假設(shè)下，對(duì)級(jí)數(shù)(2．19)關(guān)于g使用傳統(tǒng)帕德近似，得【聊，，z】階帕德近似解l+其中，Qk(r,O由前幾項(xiàng)近似J=O，1，2，3，?，m+“，(，．，f)確定。然后根據(jù)(2．10)，令q=l，即得[坍，刀]階同倫-帕德1+∑Q同倫帕德逼近較傳統(tǒng)的帕德逼近收斂速度更快，且不依賴于輔助參數(shù)h，因此，即使有時(shí)輔助參數(shù)選取不當(dāng)導(dǎo)致級(jí)數(shù)發(fā)散，同倫．帕德逼近通常也能得到收斂解。綜上所述，在同倫分析方法的框架內(nèi)，通過選取一組合適的基函數(shù)、合理的h值，或者使用同倫帕德逼近，我們能獲得足夠大區(qū)域內(nèi)收斂的級(jí)數(shù)解。第三章Duffing—Harmonic振子同倫分析3．1前保守的非線性振蕩系統(tǒng)通常情況下能由含有有理函數(shù)形式的勢(shì)能函數(shù)項(xiàng)的模型來表示，為了描述物第三章Duffing—Harmonic振子同倫分析3．1前保守的非線性振蕩系統(tǒng)通常情況下能由含有有理函數(shù)形式的勢(shì)能函數(shù)項(xiàng)的模型來表示，為了描述物理模型的相關(guān)動(dòng)力學(xué)特性，常常引出的微分方程中不包含小參數(shù)，所以傳統(tǒng)的攝動(dòng)方法不能應(yīng)用求解這類問題。其中一個(gè)典型的例子就是Duffing-Harmonic振子：打+ayX23此處僅，屆：，是非零參數(shù)，引入變換?=序，M料，我們就得到?jīng)]有參數(shù)的一般方程垂+乓：odt2。11U2值得注意的是，這里對(duì)于小的U，方程(33)即演變成Duffing形式的非線性振子，即舅+，蘭對(duì)于大的U，原運(yùn)動(dòng)方程(3．3)則近似演變成一線性諧波振子，即碧+x蘭因此我們把fl：t(3．3)定義的振子成為Duffing-Harmonic振子。相應(yīng)的初始條件本章將應(yīng)用同倫分析方法求解上述DuffingHarmonic振子，數(shù)值確定了變形方程中的輔助參數(shù)，并得到了一族時(shí)間響應(yīng)和頻率的近似周期解，最后將該周期解與精確數(shù)值解進(jìn)行了比較，符合很好。上海大學(xué)碩上學(xué)位論文3．2同倫分析對(duì)應(yīng)的初始條件為甜式中，引"表示對(duì)新上海大學(xué)碩上學(xué)位論文3．2同倫分析對(duì)應(yīng)的初始條件為甜式中，引"表示對(duì)新變量球?qū)?，新變量韻選取使得滿足初始條件的方程(3．的解是關(guān)于稍以27【周期的周期函數(shù)，相應(yīng)的非線性振子的周期由弘2尢／硝出，原非線性振動(dòng)的頻率緲(或周期r)及周期響應(yīng)“(z于振幅A顯然，滿足式(3．7)的振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)可由基函數(shù){cos(打)lk=l，2川3．·}表達(dá)，即“(f)：藝c。s(七其中，覦是待定系數(shù)。這就提供了該振動(dòng)的解表達(dá)。因此，我們選取猁∽訓(xùn)=瑤lldf—壩咖)Il作為輔助線性算子，具有性質(zhì)這里Cl，C2為常數(shù)，三的選擇在下節(jié)詳細(xì)描述。由方程(3．7)，定義如下非線性算子Ⅳ【矽(r；g)，．Q(g)】=．Q2(q)曼：筆筍[1+矽2(f；q)】+矽其中，吠互gqg別是關(guān)于uO緲的一個(gè)連續(xù)映射。構(gòu)造下列零階形變方程【69(1-q)L[ck(r；q)一‰(r)】=g殼日(f)Ⅳ【矽(f；g)，婦(g)】，滿足初始條件矽(o；g)：彳，望至!粵I：o．I口其中，g∈[0，1】表示一嵌入變量，殼≠0是一輔助參數(shù)，壩力≠0是輔助函數(shù)，三為輔助線性算uoO表示“(力的初猜測(cè)解根據(jù)始條件(38)和解表達(dá)(39輔助線性算uoO表示“(力的初猜測(cè)解根據(jù)始條件(38)和解表達(dá)(39我們選取uo(r)Acosr顯然，當(dāng)q=0和q=l時(shí)，有以下式子成矽(r；O)=Uo(f)矽(f；1)=”(f)，．Q(1)=國(guó)因此，當(dāng)g從0增大到l時(shí)，彤露∥從初始猜測(cè)解uo(r)=Acos破化到精確解同時(shí)，／-2(q)J，k初始猜測(cè)頻率幼變化到物理頻率緲，COo會(huì)在下文給出利用泰勒級(jí)數(shù)展開定理，烈‘g)和qg)可展開成如下g之冪級(jí)≯(f；g)=110(f)+∑“。(f)g“咖去掣L，‰=點(diǎn)掣l。；B假如輔助線性算子L始猜測(cè)解UOh輔助函數(shù)俄力選取合適，級(jí)數(shù)(3．18ql收斂，則我們有級(jí)數(shù)“(f)=‰(f)+∑‰(f)將零階形變方程(3．13)對(duì)q求導(dǎo)m次，再令q=O，最后除以垅!，則有高階形方程[69L[u。(rxufhHrRmI‰一這里舭=1(re>1)，2"1=0如(‰‰一-)=石而將式(312)代入(321再將式(317318入式(322且求高階導(dǎo)得上海人學(xué)碩上學(xué)位f、Rm(um-I％一。)=∑I∑哆噥一／p州一。+∑m--Urn-I-k(f)∑Uk-k=O＼j---／+蒸{[騫(妻攻五投l一，]””。上海人學(xué)碩上學(xué)位f、Rm(um-I％一。)=∑I∑哆噥一／p州一。+∑m--Urn-I-k(f)∑Uk-k=O＼j---／+蒸{[騫(妻攻五投l一，]””。一，jlVm丟-l-k“。一。一。一，cf根據(jù)式(3．9)和系統(tǒng)的奇非線性，R陰(“歷．1，緲肌一1)可表示成心(‰’l'‰一1)=∑吃(‰一緲肼I是一個(gè)賴于緲m1的系mm37的形由式(3．23)和式(3．24)，墨=籪‰～002U。Ri=島將初始猜測(cè)解u0(r)=Acosrf2325并且比較式(326我們有b。=-C002+三A2_三彳2如=石1(彳3—43為簡(jiǎn)便起見，我們選取壩力=l，為避免在Ul(力中出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)徹s易令由式(3．27)‰：該解與其他解法[1520得出的初始解是一致的。將式(3．10)和式(324代入方程(320我們可得m階形變方程之解啪心啪)+丟蓍捌∽H∽s根據(jù)解表達(dá)(39令CJ_O確保振動(dòng)振幅為彳，有U。(O)一U。(萬)=0，系數(shù)Q由式(3．30)因此，u(O和緲的m階近似級(jí)數(shù)解M上海人學(xué)碩上學(xué)位論文例如，物理頻率的一階近似解是2殼1f2A國(guó)≈％+—coo—(1—92—+j28—0A—2—+1上08一上海人學(xué)碩上學(xué)位論文例如，物理頻率的一階近似解是2殼1f2A國(guó)≈％+—coo—(1—92—+j28—0A—2—+1上08一3．3輔助線性算子上的選同倫分析法給我們提供了很大的自由選擇非線性算子￡的形式，對(duì)原二階非線性方程(3．7)，我們自然選取n+口l(f)“’+口這里4lazr別為待定的實(shí)函數(shù)。高階形變方程(320)的解可表示成如下形式rIffClfrQLr其中力俐，正何分別是三汐=D的非零解，‰∥為(320的特解，C^C2是常系數(shù)。為了尋找周期為2兀的周期解，石例，正俐必須是形式如sin(nOcos(nO的周期函數(shù)，顯然我們應(yīng)該選取彳(r)=sinf，L(r)COSz由于力∥，正俐分別是￡D的非零解，因此對(duì)于任意常系數(shù)oC2質(zhì)￡(Cl-c,sinr-C2cosr+al(r)(ClCOSr--C2sinr)+a2(r)(Clsinr+C2(一sinr+aI(r)cosr+a2(r)sinr)CI一COS—UI—sinr+al(r)COS+口【一COST—當(dāng)且僅當(dāng)口。(f)=O，a2(f)=l，時(shí)，上式成立，得￡似L海大學(xué)碩十學(xué)位論文此例為運(yùn)算簡(jiǎn)便，這星我們選取3．4數(shù)值L海大學(xué)碩十學(xué)位論文此例為運(yùn)算簡(jiǎn)便，這星我們選取3．4數(shù)值驗(yàn)證及結(jié)果分通過上節(jié)的推導(dǎo)，我們可以得到兩族含有輔助參數(shù)h的甜(力和緲的m階似解表達(dá)式，值得強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于由式(310)定義的線性算子三，我們?nèi)匀粨碛?．1顯示了當(dāng)A=00101，1時(shí)的國(guó)嘞曲線，該曲線表明，h的有效區(qū)間大約為-<辦<0似=O．01)，一1．7<h<0似=O．1)，一1．0<h<0似=1．O)，可以看出，在同階中，頻國(guó)的收斂區(qū)間隨振幅么的增大而而對(duì)于大幅的振動(dòng)可以通過求解更高階的近似解來擴(kuò)大收斂區(qū)間。他"¨¨¨眈∞ 對(duì)于在有效區(qū)間內(nèi)選定的h值，我們計(jì)算原振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的前三階近似周期解，圖32，3．3，34分別顯示了當(dāng)A=0．01，O．11．0時(shí)該解與精確數(shù)值解的比較果，表明同倫分析法給出的近似解析解非常接近原方程的精確解，并且振幅越小，該近似解與精確解的誤差越小。穹j_毫l傅Id∞10穹j_毫l傅Id∞10圖3．2．a(chǎn)A=0．01時(shí)，近似周期解與精確解的 圖3．3．a(chǎn)A=0．1時(shí)，近似周期解與精確解的圖3．4．a(chǎn)A--1．0時(shí)，近似周期解與精確解的比較上海大學(xué)碩上學(xué)位．0∞0_o．∞OA=0．Ol時(shí)，前三階近似解的誤差上海大學(xué)碩上學(xué)位．0∞0_o．∞OA=0．Ol時(shí)，前三階近似解的誤差A(yù)=0．1時(shí)，前三階近似解的誤差-A=I．O時(shí)，前三階近似解的誤差州艫蘭∽而震卡翻]-對(duì)于原初始條件，原非線性方程(33有精確解析解[16表3．1不同振幅下，頻率廁丘似周期解與精確解的4f絲!±絲2叢魚【竺!±塑2±絲2Z(絲!±竺2±絲2±壘州艫蘭∽而震卡翻]-對(duì)于原初始條件，原非線性方程(33有精確解析解[16表3．1不同振幅下，頻率廁丘似周期解與精確解的4f絲!±絲2叢魚【竺!±塑2±絲2Z(絲!±竺2±絲2±壘墊》絲竺!!竺111．0002547選取有效的h值，表3．1顯示了頻率講{f四階近似解在大小振幅下與精確的比較，結(jié)果表明，即使對(duì)于大的振幅，同倫分析法也能夠給出與fl得到的精確解符合得很好的近似解析解。1：海大第四章Jerk方程同倫分析4．1上一章中，我們應(yīng)用同倫分析法對(duì)二階Duffing—Harmonic1：海大第四章Jerk方程同倫分析4．1上一章中，我們應(yīng)用同倫分析法對(duì)二階Duffing—Harmonic振子進(jìn)行了分析，求得了其近似時(shí)間響應(yīng)和頻率解，并且討論了輔助參數(shù)h在控制和調(diào)節(jié)級(jí)數(shù)解收斂性中起的重要作用，為本章的討論打下了良好的基礎(chǔ)。在這一章中，我們將研究含有三階時(shí)間導(dǎo)數(shù)的Jerk∥=，(U0根據(jù)Gottlieb[21]，帶有時(shí)間空間不變性并且含有三次立方項(xiàng)的Jerk方程一般形∥=一7矽一a03一flu2汐+萬謝一占矽矽U(0)=0O)B(0)0這里”甌屈6和s都是常系數(shù)，為了避免可以通過變換y=矽將原Jerk方程降階為二階非線性方程，屆諺￡當(dāng)中至少有一個(gè)非零。我們并不關(guān)心簡(jiǎn)單的加速方程時(shí)間導(dǎo)數(shù)的Jerk方程，所以當(dāng)eO有辭一2僅，因?yàn)?3+2tr00=采叻4．2引入新的變換F'-O)t和u(r)=cou(t)，則方程(4．2)可寫為緲4訝+蜀∞4如西222362ufdi+flu2“(O)=o'矗上海大學(xué)碩上學(xué)位論文表示對(duì)的獨(dú)立f導(dǎo)數(shù)以看滿足方程(44邊界條件(上海大學(xué)碩上學(xué)位論文表示對(duì)的獨(dú)立f導(dǎo)數(shù)以看滿足方程(44邊界條件(45)的解是關(guān)于新變量f的以知為周期的周期函數(shù)，所以非線性方程的周期可以T=2n／a給出，在這里，原方程的時(shí)間響應(yīng)和頻率都取決與初始速度振幅B。在觀察式(4．445顯然，該Jerk方程的解u(O可以用下面的基函數(shù){sin(kr)lk=1，2，3，“(r)=∑這就為我們提供了該Jerk方程的解表達(dá)。ck是待確定的系數(shù)，后面的初始猜測(cè)解和輔助函數(shù)都必須按照這個(gè)解表達(dá)原則選取，以避免解中出現(xiàn)類似一sin(尼力的長(zhǎng)期根據(jù)方程(4．4和解表達(dá)原則(47們選取線性算ot三(Clsinr+C2其中a，巳白是常系數(shù)，根據(jù)方程(44我們接著選取非線性算子Ⅳ【如．g)內(nèi))】=蚴可c33qk(r；q)+ocJ'24(q)掣(挈+膽z(g)掣+af2z(g)f孳型 一6222(批；g)09kd(rf；q)020∥(r；q)+肭哪)挈．這里未知函數(shù)烈瓦g)、q是時(shí)間響應(yīng)“(力和頻率國(guó)的連續(xù)映射。令qe[O，1O-q)L[乎k(r；q)-u。(f)】-g殼日(f)Ⅳ【矽(f；g)，Q(g)】，其中是辦≠O非零輔助參數(shù)，用0-0表示輔助函數(shù)，￡是輔助線性算子，uo(Ou(O的初始猜測(cè)解。為初始猜測(cè)解，相應(yīng)零階形變方程(411)的初始條件是則劫=o，顯然，當(dāng)q=O和為初始猜測(cè)解，相應(yīng)零階形變方程(411)的初始條件是則劫=o，顯然，當(dāng)q=O和q=l時(shí)，下式成立Ll～—o．≯(f；0)=Uo(f)Q(1)=國(guó)根據(jù)式(4．13)、式(4．14gg)的定義，當(dāng)嵌入變量g∈[O10增大到時(shí)，政石g)、qg)從初始猜測(cè)解uo(O、COo變化到精確解u(O、緲。此處的納的達(dá)式會(huì)在下文推導(dǎo)中確定。定姒加芻掣L，‰2去挈L根據(jù)泰勒展開定理，將政瓦g)、qg)按嵌入變量q展開成如下冪級(jí)@≯(r；g)=‰(r)+∑‰(f)g”Q(g)=‰+∑‰g”假設(shè)輔助參數(shù)、輔助函數(shù)、初始猜測(cè)解和輔助線性算子選取合適，從而級(jí)數(shù)解(4．16)和(417q=l時(shí)收斂，那么，當(dāng)q=l時(shí)，上述級(jí)數(shù)變成“(f)=‰(f)+∑‰(f)，Ⅷ則(4。18)、(4．19)必是原方程的解(定理2．1)Un={“o(f)，甜I(f)，“2(f)，?，"。q={‰(f)，q(f)，哆上海人學(xué)碩士學(xué)位論文將方程(4．4)和(45對(duì)嵌入變量gm次，然后令q=O最后除以m，，到高階形變方程co．一L[u。(f)一Z上海人學(xué)碩士學(xué)位論文將方程(4．4)和(45對(duì)嵌入變量gm次，然后令q=O最后除以m，，到高階形變方程co．一L[u。(f)一Zuf)】產(chǎn)hHr)R。似m“。(0)=Um．(0)=U。弋其屁tol，聊將(4．1O)代入上c‰_I，％，=葫二I馴{籌卜c∥3磐塵+∥c∥絮鮑(等們+加：(g)a≯黔棚：㈤熙瑚2㈤如Ⅲ掣伊∥洲∽g，a掣川由式(4．15)，且法則R‘4(店)”=砉贏匆㈨k掣dq等虬2志1催齋k轟(，竹一)!I卅一一)!ag”1一 l|2{掣．o‘l_擊k掣dq][志1≮掣J1f1IL-【!兒(m一一=鼴竽]l口10導(dǎo)[1a川。痧aq”。(m一1一==芝[；l；(砉a，，c”，一，)(薹a，，a，。一，一，)]·““_。一．一。上海大學(xué)碩1——————————————————————————————————一而與{籌腳你㈣湫咖))2吼=F鄯業(yè)上海大學(xué)碩1——————————————————————————————————一而與{籌腳你㈣湫咖))2吼=F鄯業(yè)掣m高：少≯U巷州泛臚鏟U五與常g仉}=5能黔叫隴訓(xùn)隅kr=O‰J]}．叱。高：f【曠am-I．[∥(g)竹㈡]虬k{[』(m-l-k)，擎乩y稍貴筆鬯k∥≯U鐘殺氘-,-k剃cI,(暈=，∑l∑哆q一^“_i南敞毗肜協(xié)神，壩=口群靴kb號(hào)掣3]l：。==cr蒸[妻吐。n％一，][萵‘(騫“-，Ⅳ：一，)．“·。一。一。=巧如警乩∽1叫i7=0‘(蘭l=O“：“。叫·％一，-一，]=一J藝J妻吐q一，]JL藝LJ1卅：掣=砩伊鏟 上海大學(xué)碩十學(xué)位n-I)紅l。一。，=∑．,)-i=[1-∑kI∑I∑q哆一fJl∑qq+，I＼+占薹{糞[騫“上海大學(xué)碩十學(xué)位n-I)紅l。一。，=∑．,)-i=[1-∑kI∑I∑q哆一fJl∑qq+，I＼+占薹{糞[騫“?！啊＃?，][善(騫q劬。](善‘qq√一一，]])·“’。一k=OI∑y，]f-0‘(r=0“’，zz)·J＼／JL一一萬芝|-圭qq一，]f萬-篙。(壹礦“。一，∑]"Um_l_k_jk=OLI∑q％I|∑l∑“：“o一，]JL產(chǎn)＼m—、／根據(jù)解表達(dá)原則(47R肌(‰一1緲歷一1)又可以表示成如下形／L(u。中‰一。)=∑吃(‰一。脅一1)表示CO所一l系數(shù)數(shù)烈聊)依賴于m和方程(44的形式。當(dāng)m=l時(shí)，代入(425426置=籪‰m+占喀“?！疷?！?2+乃面+口瑤(‰’)3一＆菇足=包然后將uo(O=Acos扮別代入式(4．27)，比較式(4．28島=(三sB3一曰)嗣+1683+yB+三口曰3)籪+三∥包=三(一sB3籪+口B3籪一萬∥西一∥為運(yùn)算簡(jiǎn)便，根據(jù)解表達(dá)(47)，我們選取no=l。當(dāng)blO時(shí)，根據(jù)由高階形變方程解得的甜l(力會(huì)含有長(zhǎng)期項(xiàng)瑚s乃因此必須強(qiáng)迫bl=O(4sB3-B)02+1683+yB+三口B3)面+三∥口3上海大學(xué)‰刮型業(yè)逝磊此解的形式跟用其他迭代法如諧波平衡上海大學(xué)‰刮型業(yè)逝磊此解的形式跟用其他迭代法如諧波平衡法[22，26】求得的解析解是一樣的。按照定義(4．8)和式(4．25)，很易獲得方程(4．20)1¨加～∽+去誓捌。cos+qsinr+qCOSZ'+Co其中解表達(dá)(47c2=o初始條件(421CoCI因此，u(O和緲的m階近似為“(r)≈∑‰(f)，緲≈∑‰4．3輔助線性算子三的對(duì)于三階Jerk方程，我們選取輔助線性算子的一般形式￡(“)=U”+口l(f)“”+口2(f)“’+口這里al(O、a2(r)和a3(0分別為待定的實(shí)函數(shù)。高階形變方程(4．20)成如下形式：fIffcofClZfC2r其中而何，五似正俐分別是￡釤=D的非零解，‰倒為(4．20特解，％CC2是常系數(shù)。為了尋找周期為2兀的周期解，石俐，辦俐，五一必須是形式如sin(nO、的周期函數(shù)，顯然我們應(yīng)該選五(f)=1，彳(f)=sinf，Z(r)=COS由于石何，力俐，以何分別是￡∽=D的非零解，因此對(duì)于任意常系數(shù)C矗成立性質(zhì)￡(G+cl根據(jù)式(4．35)，由性質(zhì)(4．38)COST+c：sinr+aI(f)(一sinr+C2一sinr—+口COST--C2sina,(r)Co+(一COST—+(sinr一口l(r)cosr-a2(r)sinr+口3(f)cosf)(之UoI口{一COSr—【sinf—ai(T)COST—COST+c：sinr+aI(f)(一sinr+C2一sinr—+口COST--C2sina,(r)Co+(一COST—+(sinr一口l(r)cosr-a2(r)sinr+口3(f)cosf)(之UoI口{一COSr—【sinf—ai(T)COST—al(r)=a3(f)=0三4．4數(shù)值驗(yàn)證及結(jié)果分析基于之前的討論，同倫分析方法給出了兩族含有輔助參數(shù)h的解析級(jí)數(shù)u(O，h4．4．1含速度立方項(xiàng)和速度、位移平方項(xiàng)的Jerk方我們先考慮個(gè)簡(jiǎn)單例子alS106￡O44U=一【，3一由同倫分析可得兩族含有輔助參數(shù)h的級(jí)數(shù)解，圖414243顯示了當(dāng)B=O．1，0．5，10時(shí)升階近似解的h曲線，從圖中明顯可以看出h的有效區(qū)域f枷o<狄-100，肛o．1{一12<4Bo【一0．0002<72<--顯然h的有效區(qū)域隨著速度振幅B的增大而減小。在上述有效區(qū)域內(nèi)選取合適的h值，前四階的解析逼近周期Tl、T2、T3、T4與精確周期的相對(duì)誤差列于4．1，表41表明解析逼近周期在初速度的大小振幅下都有較高的逼近精度，卜海大學(xué)碩十學(xué)位差隨著階數(shù)的增加而降低。圖444546顯示了不同速度振幅下前三階周卜海大學(xué)碩十學(xué)位差隨著階數(shù)的增加而降低。圖444546顯示了不同速度振幅下前三階周期解Ul(力，u2(0，u3(t)與精確解Ue(t)I拘較，結(jié)果表明同倫分析法可以得到相確的解析逼近解。O．736774(-0．738409(·00．73928200651 0．723920(-2．1x}?———V／-0．泌-0．o。陀-0．C(1715-0．∞阻--0．嘶＼圖4．3．B=10時(shí)．級(jí)數(shù)解(4．34)嘯曲線圖4．1．B=0．14．a(chǎn)4圖4．2．B--0．5時(shí)，級(jí)數(shù)解(4．34)八／圜l。{＼j圖B=0．5近似周期解￡j確解的比較圖B=0．5八／圜l。{＼j圖B=0．5近似周期解￡j確解的比較圖B=0．5◆幽／l至l|／，．，，，，?一，o：1o名口 o-矗 圖4．6aB=10a't圖4．6． B=IO時(shí)，前三階近似解的誤4．4．2一般的Jerk方程這一節(jié)我們慮更一Jerkcp￡10yO544)痧：一O．5D一【73一U2矽+刪一村U(O)=0，U(0)=B，U(O)=0當(dāng)B=0．1，0．5，10時(shí)，圖4．7，4．8，4．9給出了h關(guān)于彩的有效區(qū)l-{一3<殼l一0．4<h<o，B=1選取合適的值后，同倫分析法得到的前四階近似周期與精確解的相對(duì)誤差很小，如表4．2所示，圖410，411，4．12分別顯示了不同速度振幅下前三階周期解UlU2(t)，u3(t)與精確解甜。(f)的比較，證明了同倫分析法在求解非線性方程時(shí)的有性上?；饘W(xué)碩上學(xué)位論文L《)也 圖4．7．B=O．14．34圖4．8．B=0．54．34m圖4．9．口=1．O時(shí)．級(jí)數(shù)解(4．34)上?；饘W(xué)碩上學(xué)位論文L《)也 圖4．7．B=O．14．34圖4．8．B=0．54．34m圖4．9．口=1．O時(shí)．級(jí)數(shù)解(4．34)◆耋o罟露圖B=O．I◆薯詈由I＼呈。圖4．11．B=0．5前二階近似解的誤差圖4．IIsB=0．5上海人上海人學(xué)碩士學(xué)位第五章結(jié)論與展5．1結(jié)振動(dòng)是自然界及工程領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)的重要問題，而且往往是非線性的，因此對(duì)非線性振動(dòng)問題的定量分析往往能解第五章結(jié)論與展5．1結(jié)振動(dòng)是自然界及工程領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)的重要問題，而且往往是非線性的，因此對(duì)非線性振動(dòng)問題的定量分析往往能解釋各種非線性現(xiàn)象的物理本質(zhì)，并解決工程中遇到的各種問題，為實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)。目前，求解非線性問題的最普遍的方法是攝動(dòng)法，將一個(gè)非線性問題轉(zhuǎn)化為無窮多個(gè)線性子問題，并用前幾個(gè)線性子問題的解之和來逼近該非線性問題的解，但應(yīng)用攝動(dòng)法的基礎(chǔ)是方程中要具有小參數(shù)，這就限制了它的應(yīng)用，且攝動(dòng)法主要適用于弱非線性問題，得到的近似解也僅有一個(gè)很小的有效范圍。非攝動(dòng)方法如Lyapunov法和6展開法通過引入一個(gè)所謂的人工小參數(shù)來避免攝動(dòng)方法對(duì)小(大)參數(shù)的依賴，并需要一些基本法則來指導(dǎo)何處放置人工參數(shù)；Adomian分解法是種有效的求解非線性問題的解析方法，但其得到冪級(jí)數(shù)解收斂半徑較小，需要加速收斂的方法來增大收斂區(qū)間，且不具有選擇基函數(shù)的自由。本文應(yīng)用的同供了一個(gè)調(diào)節(jié)和控制近似解收斂區(qū)間和收斂速度的簡(jiǎn)便途徑。本文選取非線性振動(dòng)中的幾個(gè)典型例子，給出了其顯式的同倫分析近似解析解，并對(duì)以下內(nèi)容做了分析和論證：1)闡述了同倫分析法的一般過程和指導(dǎo)解的三個(gè)基本原則，對(duì)級(jí)數(shù)解收斂定理進(jìn)行了證明，并通過一簡(jiǎn)單例子研究了輔助參數(shù)h的選??；21利用同倫分析法研究了DuffingHarmonic振子，得到了一族時(shí)間響應(yīng)和頻率的近似周期解，并繪制了co---h曲線，發(fā)現(xiàn)在同階近似中的有效區(qū)域隨著振幅的增大而減??；當(dāng)振幅增大時(shí)，則可以求解更階的近似解來擴(kuò)大收斂區(qū)間；與精確解的比較顯示了該解析解有很的逼近效果。3)在同倫分析法的框架內(nèi)求解了三階的非線性Jerk方程，理論推導(dǎo)了輔助線性算子￡的選取，通過緲嘞曲線得出了不同速度振幅下級(jí)數(shù)解的上海人學(xué)碩士學(xué)位論文收斂區(qū)域，與精確解的誤差比較顯示，對(duì)于最一般的Jerk方程，同分上海人學(xué)碩士學(xué)位論文收斂區(qū)域，與精確解的誤差比較顯示，對(duì)于最一般的Jerk方程，同分析法能給出很好的解析近似解?；谏鲜龅墓ぷ鳎覀兛梢缘贸鋈缦陆Y(jié)論：應(yīng)用同倫分析法可以得到解的顯示表達(dá)式，這就有助于我們探究具體問題中各物理參數(shù)的影響，為之后的分析提供可靠的數(shù)據(jù)支持；實(shí)踐證明同倫分析法是頗為一般的有效的求解強(qiáng)非線性問題的近似解析方法，它避免了非線性方程中小參數(shù)的依賴，輔助參數(shù)h的引入為同倫分析法的實(shí)際應(yīng)用鋪平了道路；同倫分析法可以用來求解更為復(fù)雜的非線性問題。根據(jù)問題本身的物理性質(zhì)或控制方程自身的特點(diǎn)選取合適的基函數(shù)表達(dá)，繼而選取合適輔助線性算子和初始猜測(cè)解，引入輔助函數(shù)和輔助參數(shù)，便可以構(gòu)其近似解析解；非線性問題提供了一條簡(jiǎn)便的求解途徑，雖然這些問題的物理本質(zhì)不同，但在同倫分析法框架內(nèi)求解過程十分類似，這就體現(xiàn)了其應(yīng)用的5．2展每一種新方法的誕生和成熟都要經(jīng)過一個(gè)很長(zhǎng)的成長(zhǎng)過程，都要經(jīng)歷被驗(yàn)證被質(zhì)疑、再被驗(yàn)證再被質(zhì)疑如此反復(fù)的過程，也就是在這種過程中新方法才能迅速成長(zhǎng)起來。同倫分析法的出現(xiàn)至今不過二十年，雖然它已經(jīng)被成功運(yùn)用與很多強(qiáng)非線性系統(tǒng)的分析求解，但實(shí)際工作中碰到的問題又是千差力．別的，這就要求我們進(jìn)行更加深入的理論研究和探索分析，為了更加充分地發(fā)揮該方法的靈活性、有效性和一般性，將其應(yīng)用到求解更多、更復(fù)雜的非線性領(lǐng)域內(nèi)1)同倫分析法有很大的自由選擇基函數(shù)、線性算子和輔助函數(shù)，但這種自由無不是以問題本身的物理性質(zhì)作為指導(dǎo)和參考的，因此如何將物理性質(zhì)和同倫分析的一般過程緊密結(jié)合起來，甚至給出嚴(yán)格證明的導(dǎo)方法，將是進(jìn)一步理論研究的一個(gè)方向；上海人學(xué)碩士學(xué)位論文2)現(xiàn)在同倫上海人學(xué)碩士學(xué)位論文2)現(xiàn)在同倫分析法求解的問題大都是經(jīng)過簡(jiǎn)化或近似的，且許多是常微分方程，但很多問題是不能通過變化得到的，所以求解原始的非線偏微分方程將是他的一個(gè)重要發(fā)展方向；3)同倫分析法的一大優(yōu)點(diǎn)是程式化的計(jì)算可以通過科學(xué)計(jì)算機(jī)來完成，這就大大提高了求解的效率，但是對(duì)于強(qiáng)非線性，往往需要求高階加速方法對(duì)該方法的完善是非常需要的；4)混沌現(xiàn)象通常是采用數(shù)值方法研究的，極少有解析方法的研究，因此，同倫分析法能否應(yīng)用于混沌性的非線性問題還有待探索。上海大學(xué)碩十學(xué)位論文參考文Techniques，WileyInter-【l】to[2】劉延柱，陳立群，非線性振動(dòng)，高等教育出版社，北【3】陳予恕，非線性振動(dòng)，高等教育出版社，北【4】李鵬松，求解大振幅1F上海大學(xué)碩十學(xué)位論文參考文Techniques，WileyInter-【l】to[2】劉延柱，陳立群，非線性振動(dòng)，高等教育出版社，北【3】陳予恕，非線性振動(dòng)，高等教育出版社，北【4】李鵬松，求解大振幅1F線性振動(dòng)問題的若干解析逼近方法，吉林人學(xué)博+學(xué)位論【5】陳樹輝，強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的定量分析方法，科學(xué)出版社，北ofnewmethodinprocesses，Journal[6E．A．Physics，1963，4，410-418A．H．，Aperturbationmethodforproblems，Journal【7】nonlinearMathematicsandPhysics，1modifiedformM．S．Krylov—Bogoliubov-methodnthorderequation，InternationNon·Linea343—1【9】YamgoueS．B．，Kofane 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