人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練專題：平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用(原卷版+解析)

七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題：平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用◆◆1、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．◆◆2、平行線的判定方法：（1）定義法：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行．（2）判定定理1：同位角相等，兩直線平行．（3）判定定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（4）判定定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（5）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（6）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．◆◆3、平行線的性質(zhì)性質(zhì)定理1：兩直線平行，同位角相等．性質(zhì)定理2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．性質(zhì)定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．◆◆4、平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別．區(qū)別：性質(zhì)是由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定是由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．題型一平行線的判定題型一平行線的判定【例題1】（2022?南京模擬）如圖，以下條件能判定EG∥CH的是（）A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH C．∠GEF+∠HCE＝180° D．∠HCE＝∠CEG解題技巧提煉本題考查了平行線的判定，在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時(shí)應(yīng)用．【變式1-1】（2022春?隆陽區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，以下5個(gè)條件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（2021秋?上蔡縣校級(jí)期末）如圖，下列條件能判斷直線l1∥l2的有（）①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022春?商城縣期末）學(xué)習(xí)過平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線m外一點(diǎn)P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小龍畫平行線的依據(jù)有（）①兩直線平行，同位角相等；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【變式1-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求證：EF∥BC．【變式1-5】（2022秋?秦州區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請(qǐng)說明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1=12（因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2=12得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【變式1-6】（2022秋?臨汾期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．求證：CE∥DF．題型二平行線的性質(zhì)題型二平行線的性質(zhì)【例題2】（2022秋?宣漢縣校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，則∠D＝（）A．145° B．150° C．120° D．165°解題技巧提煉1、兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù)．2、利用平行線的性質(zhì)可以角的度數(shù)，證明兩直線垂直等.【變式2-1】（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式2-2】（2022春?梁子湖區(qū)期中）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．105° D．110°【變式2-3】（2022春?麗水期末）如圖，平面反光鏡AC斜放在地面AB上，一束光線從地面上的P點(diǎn)射出，DE是反射光線．已知∠APD＝120°，若要使反射光線DE∥AB，則∠CAB應(yīng)調(diào)節(jié)為度．【變式2-4】（2022秋?明水縣校級(jí)期末）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度數(shù)．【變式2-5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AB∥CD，CE與AB交于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度數(shù)；（2）求證：OG平分∠AOC．題型三平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用題型三平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例題3】（2022秋?望花區(qū)校級(jí)期末）如圖，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝60°．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)解題技巧提煉1、平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．2、應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．3、平行線的判定與性質(zhì)常常綜合運(yùn)用，見到角相等或互補(bǔ)就應(yīng)該相等能否判定兩直線平行，見到兩直線平行就應(yīng)該想到能否證明相關(guān)的角相等或互補(bǔ).【變式3-1】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)E，∠B+∠BCD＝180°，求證：∠CFE＝∠E．【變式3-2】（2022春?鳳泉區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E在AB上，點(diǎn)F、G分別在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．（1）試判斷直線EF與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度數(shù)．【變式3-3】（2022秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．【變式3-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，點(diǎn)D、E分別在線段AC、BF上，DF、CE分別與AB交于點(diǎn)M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求證：AB⊥BF．【變式3-5】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度數(shù)．專題難點(diǎn)突破練專題難點(diǎn)突破練1、如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．2．（2022秋?封丘縣校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求證：EF∥AD．3．（2022春?興城市期末）如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正確的結(jié)論有4．（2023?臨川區(qū)校級(jí)一模）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．（1）AE與FC平行嗎？說明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）DA平分∠BDF嗎？為什么？5．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）【提出問題】若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請(qǐng)結(jié)合如圖探究這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少60°，求這兩個(gè)角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為．6．（2021?衢江區(qū)校級(jí)開學(xué)）將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度數(shù)；（3）若按住三角板ABC不動(dòng)，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角DCE，試探究∠BCD等于多少度時(shí)CE∥AB，并簡要說明理由．7．（2022秋?鄲城縣校級(jí)期末）一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行．如圖3：當(dāng)∠CAE＝15°時(shí)，BC∥DE．則∠CAE其余符合條件的度數(shù)為．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）已知，四邊形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．（1）如圖1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的鄰補(bǔ)角，判斷DF與BE的位置關(guān)系；（2）如圖2，若BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補(bǔ)角，判斷DF與BE的位置關(guān)系．七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題：平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用◆◆1、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．◆◆2、平行線的判定方法：（1）定義法：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行．（2）判定定理1：同位角相等，兩直線平行．（3）判定定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（4）判定定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（5）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（6）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．◆◆3、平行線的性質(zhì)性質(zhì)定理1：兩直線平行，同位角相等．性質(zhì)定理2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．性質(zhì)定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．◆◆4、平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別．區(qū)別：性質(zhì)是由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定是由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．題型一平行線的判定題型一平行線的判定【例題1】（2022?南京模擬）如圖，以下條件能判定EG∥CH的是（）A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH C．∠GEF+∠HCE＝180° D．∠HCE＝∠CEG【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判斷即可；【解答】解：A．∠FEB＝∠ECD，不能判斷EG∥CH，不符合題意；B．∠AEG＝∠DCH，沒有∠AEC＝∠DCE的條件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合題意；C．∠GEF+∠HCE＝180°，沒有點(diǎn)C、E、F共線的條件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合題意；D．∠HCE＝∠CEG，可判斷EG∥CH，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相交線和平行線，掌握內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了平行線的判定，在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時(shí)應(yīng)用．【變式1-1】（2022春?隆陽區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，以下5個(gè)條件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：①∠B＝∠3可判斷AD∥BC，而∠3≠∠4+∠5，故①錯(cuò)誤；②根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得∠2＝∠4可判定BC∥AD，故②正確；③∠1＝∠5判斷AB∥CD，故③錯(cuò)誤；④∠B＝∠3可判斷AD∥BC，故④正確；⑤∠D+∠4+∠5＝180°可判定BC∥AD，故⑤正確．故能判定AD∥BC的有三個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，熟練應(yīng)用判定定理是解題的關(guān)鍵，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．【變式1-2】（2021秋?上蔡縣校級(jí)期末）如圖，下列條件能判斷直線l1∥l2的有（）①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意；②∵∠2+∠4＝180°，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意；③∵∠4＝∠5，∴l(xiāng)1∥l2，故本條件符合題意；④∵∠2＝∠3，不能得到l1∥l2，故本條件不符合題意；⑤∵∠6＝∠3+∠2不能得到l1∥l2，故本條件符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?商城縣期末）學(xué)習(xí)過平行線后，小龍同學(xué)想出了“過已知直線m外一點(diǎn)P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點(diǎn)P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小龍畫平行線的依據(jù)有（）①兩直線平行，同位角相等；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【分析】根據(jù)折疊可直接得到折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；然后根據(jù)平行線的判定條件可得③∠3＝∠1可得AB∥CD；④∠4＝∠2，可得AB∥CD．【解答】解：第一次折疊后，得到的折痕AB與直線m之間的位置關(guān)系是垂直；將正方形紙展開，再進(jìn)行第二次折疊（如圖（4）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關(guān)系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∵∠3＝∠1，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故③正確．∵∠4＝∠2，∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，以及翻折變換，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．【變式1-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求證：EF∥BC．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，再由角平分線的定義可得∠CAF的度數(shù)，進(jìn)而可得∠CAF＝∠C，由平行線的判定即可得到EF∥BC．【解答】證明：∵∠B＝80°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∵AC平分∠BAF，∴∠BAC＝∠CAF＝50°，∴∠C＝∠CAF，∴EF∥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的各種判定方法．【變式1-5】（2022秋?秦州區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請(qǐng)說明AE∥GF的理由．解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1=12（因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2=12得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義及題意得出∠BAG＝∠AGC，再根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因?yàn)椤螧AG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補(bǔ)角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補(bǔ)角相等），因?yàn)镋A平分∠BAG，所以∠1=12∠因?yàn)镕G平分∠AGC，所以∠2=12∠得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；鄰補(bǔ)角的定義；同角的補(bǔ)角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?臨汾期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．求證：CE∥DF．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以在證明過程中寫入相應(yīng)的條件，本題得以解決．【解答】證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知）∴∠DBC=12∠ABC，∠ECB=1又∵∠ABC＝∠ACB，（已知）∴∠DBC＝∠ECB．（等量代換）又∵∠DBF＝∠F，（已知）∴∠ECB＝∠F．（等量代換）∴CE∥DF．（同位角相等，兩直線平行）【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．題型二平行線的性質(zhì)題型二平行線的性質(zhì)【例題2】（2022秋?宣漢縣校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，則∠D＝（）A．145° B．150° C．120° D．165°【分析】由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得出∠C的度數(shù)，由DE∥CB，再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，即可求出∠D的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝35°，又∵DE∥CB，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣35°＝145°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記平行線的各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù)．2、利用平行線的性質(zhì)可以角的度數(shù)，證明兩直線垂直等.【變式2-1】（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】將∠AEG，∠GEF的度數(shù)，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度數(shù)，由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可求出∠DFE的度數(shù)，再結(jié)合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春?梁子湖區(qū)期中）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．105° D．110°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：延長BC至G，如下圖所示，由題意得，AF∥BE，AD∥BC，∵AF∥BE，∴∠1＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∵AD∥BC，∴∠3＝∠4（兩直線平行，同位角相等），∴∠4＝∠1＝40°，∵CD∥BE，∴∠6＝∠4＝40°（兩直線平行，同位角相等），∵這條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，∴∠5＝∠6＝40°，∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．【變式2-3】（2022春?麗水期末）如圖，平面反光鏡AC斜放在地面AB上，一束光線從地面上的P點(diǎn)射出，DE是反射光線．已知∠APD＝120°，若要使反射光線DE∥AB，則∠CAB應(yīng)調(diào)節(jié)為30度．【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理可解此題．【解答】解：要使反射光線DE∥AB，則∠APD＝∠PDE，∵∠APD＝120°，∴∠PDE＝120°，∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，∴∠ADP＝∠CDE＝30°，∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)．【變式2-4】（2022秋?明水縣校級(jí)期末）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度數(shù)．【分析】由CD∥AB，∠CDO＝50°，∠DOB的度數(shù)，又由OE平分∠DOA，即可求得∠DOE的度數(shù)，然后由OE⊥OF，求得∠BOF的度數(shù)．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠CDO+∠DOB＝180°，∴∠DOB＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，∵OE平分∠DOA，∴∠DOE=12∠∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOD＝25°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式2-5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AB∥CD，CE與AB交于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度數(shù)；（2）求證：OG平分∠AOC．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)垂直的定義和角平分線的判定解答即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BOE＝∠C＝50°，∴∠AOE＝130°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOF＝65°，∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°；（2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°，∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°，∵∠AOF＝∠EOF，∴∠AOG＝∠COG，∴OG平分∠AOC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BOE＝∠C解答．題型三平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用題型三平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例題3】（2022秋?望花區(qū)校級(jí)期末）如圖，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝60°．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；再由平行線的性質(zhì)得∠D＝∠DBF，由角平分線定義得∠DBF＝∠DBE，則∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；接著由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根據(jù)平行線的判定即可得到AC∥BE，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；當(dāng)∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因?yàn)椤螪＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，當(dāng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正確；∵AF∥CD，∴∠D＝∠DBF，∵BD平分∠EBF，∴∠DBF＝∠DBE，∴∠CBE＝∠BCE，∵AB∥CE∴∠ABC＝∠BCE，∴∠ABC＝∠CBE，∴BC平分∠ABE，所以①正確；∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCE，∴∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BE，所以②正確；當(dāng)∠DBF＝2∠ABC時(shí)，3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠DBF＝60°，∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，而∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，∴∠DBF≠2∠ABC，∴∠DBF≠60°．故④錯(cuò)誤．故正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．解題技巧提煉1、平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．2、應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．3、平行線的判定與性質(zhì)常常綜合運(yùn)用，見到角相等或互補(bǔ)就應(yīng)該相等能否判定兩直線平行，見到兩直線平行就應(yīng)該想到能否證明相關(guān)的角相等或互補(bǔ).【變式3-1】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)E，∠B+∠BCD＝180°，求證：∠CFE＝∠E．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可解答．【解答】證明：∵AD∥BC（已知），∴∠2＝∠E，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2．（角平分線的定義）∴∠1＝∠E．（等量代換）∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴AB∥DC．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠1＝∠CFE．（兩直線平行，同位角相等）∴∠CFE＝∠E．（等量代換）【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)和判定、角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（2022春?鳳泉區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E在AB上，點(diǎn)F、G分別在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．（1）試判斷直線EF與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線想性質(zhì)可得∠1＝∠DCB，進(jìn)而可得∠2＝∠DCB，再根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ADC＝90°，再根據(jù)平角的定義可得答案．【解答】解：（1）EF∥DC，理由：∵DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DCB，∴EF∥CD；（2）∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，∵EF∥DC，∴∠ADC＝90°，∵∠1＝56°，∴∠ADG＝180°﹣90°﹣56°＝34°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c．【變式3-3】（2022秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．【分析】按照所給的證明思路，利用平行線的判定與性質(zhì)定理即可說明．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代換），∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行），∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠A；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB⊥AC，點(diǎn)D、E分別在線段AC、BF上，DF、CE分別與AB交于點(diǎn)M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求證：AB⊥BF．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（對(duì)頂角相等）∴∠1＝∠3．（等量代換）∴DF∥CE．（同位角相等，兩直線平行）∴∠C＝∠ADM．（兩直線平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代換）∴AC∥BF．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定義），故答案為：對(duì)頂角相等，3，等量代換，同位角相等，兩直線平行，ADM，ADM，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，垂直的定義．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）欲證明AB∥CD，只需推知∠A＝∠D即可；（2）利用平行線的判定定理推知CE∥FB，然后由平行線的性質(zhì)、等量代換推知∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．【解答】證明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，又∵∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD；（2）∵∠1+∠2＝180°，又∵∠CGD+∠2＝180°，∴∠CGD＝∠1，∴CE∥FB，∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．又∵∠BEC＝2∠B+30°，∴2∠B+30°+∠B＝180°，∴∠B＝50°．又∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．專題難點(diǎn)突破練專題難點(diǎn)突破練1、如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點(diǎn)F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分線的定義可得出∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF，結(jié)合∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出AD∥BC．【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF（角平分線的定義）．又∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠CAE+∠CAF）＝116°（等式性質(zhì)）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義、角的計(jì)算以及平行線的判定，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出∠BAD+∠B＝180°是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?封丘縣校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求證：EF∥AD．【分析】利用平行線的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【解答】證明：∵AD//BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性質(zhì)）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF//BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF//AD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?興城市期末）如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正確的結(jié)論有【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2＝180°，∴2∠1+∠2＝180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4＝90°（2），∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正確；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3＝180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAE，∴∠1+∠3＝180°，∴2∠1+2∠3＝360°（3），∵2∠1+∠2＝180°（1），（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正確；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4＝180°，∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，∵AC⊥CE，∴∠1+∠AEC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1，∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，∵2∠1﹣∠4＝90°，∴∠1＝45°+1∴∠3+12∠4＝135°，故故正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．4．（2023?臨川區(qū)校級(jí)一模）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．（1）AE與FC平行嗎？說明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）DA平分∠BDF嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可得∠BDC＝∠1，進(jìn)而得出AE∥FC；（2）根據(jù)AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根據(jù)∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，進(jìn)而得出AD∥BC；（3）根據(jù)BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，進(jìn)而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．【解答】解：（1）AE與FC平行．∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，∴∠BDC＝∠1，∴AE∥FC；（2）AD與BC平行．∵AE∥FC，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（3）DA平分∠BDF．如圖所示，∵BC平分∠EBD，∴∠3＝∠4，∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∴DA平分∠BDF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）【提出問題】若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請(qǐng)結(jié)合如圖探究這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少60°，求這兩個(gè)角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為．【分析】【提出問題】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；【得出結(jié)論】結(jié)合（1）（2）得出結(jié)論；【拓展應(yīng)用】（3）根據(jù)“若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)”求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖形，可直接得出結(jié)論．【解答】【提出問題】（1）證明：如圖1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）證明：如圖2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】解：由（1）（2）我們可以得到的結(jié)論是：若兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；【拓展應(yīng)用】（3）解：設(shè)其中一個(gè)角為x，則另一角為2x﹣60°，當(dāng)x＝2x﹣60°時(shí)，解得x＝60°，此時(shí)兩個(gè)角為60°，60°；當(dāng)x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，則2x﹣60＝100°，此時(shí)兩個(gè)角為80°，100°；∴這兩個(gè)角分別是60°，60°或80°，100°．（4）解：如圖，這兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是：相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021?衢江區(qū)校級(jí)開學(xué)）將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠