電路第七章一階電路和二階電路的時(shí)域分析

第七章一階電路和二階電路的時(shí)域分析7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件1.動態(tài)電路含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。當(dāng)動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。過渡過程產(chǎn)生的原因:電路內(nèi)部含有儲能元件L，C。電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時(shí)間來完成。五.電容的伏安關(guān)系1.電容中的電流

(微分關(guān)系)a.合上開關(guān)：電壓值漸漸增到Us充電充電完畢現(xiàn)象:充電AVVUsRs+-SCAVUsRs+-AVSCRb.把電壓源去掉，換上一個(gè)電阻：電壓值漸漸減小到零放電放電完畢放電以上現(xiàn)象的結(jié)論：(２)電容器支路有電流，不一定有電壓。(３)只有當(dāng)電容器兩端電壓變化時(shí)，才有電流。(１)電容器兩端有電壓，不一定有電流。AVVA六.電感的伏安關(guān)系1.電感中的電壓

(微分關(guān)系)a.開關(guān)合上：現(xiàn)象:b.開關(guān)打開：燈不會立刻亮,要過一會才亮。燈不會立刻熄滅,要過一會才熄滅。結(jié)論：電感上的電流不能突然變化+_usLSR+_usLSR2.電路的初始狀態(tài)（1）把某一時(shí)刻的電容電壓uc(t)或電感電流iL(t)稱該時(shí)刻的電路狀態(tài)。（2）初始時(shí)刻t0的iL(t0)和uc(t0)稱電路的初始狀態(tài)。

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)3.換路定律換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。4.電路初始值的確定10V+-R1LR0.1HiL(t)1

4

t=0已知開關(guān)閉合前電路已達(dá)到穩(wěn)定，求開關(guān)閉合后各電壓、電流的初始值。2.作t=0+時(shí)刻的等效電路。解：

1.

已知t=0-時(shí)，電路達(dá)到穩(wěn)定，iL恒定，uL=0,（L→2A的電流源）10V+-R1RiL(0+)1

4

2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+-例7.1:

(t=0-

為換路前的瞬間,t=0+為換路后的瞬間)L→短路。10V+-R1RiL(0+)1

4

2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+-3.根據(jù)t=0+時(shí)的等效電路，求各量的初始值。例7.2:已知開關(guān)打開前電路已達(dá)到穩(wěn)定，求開關(guān)打開后各電壓、電流的初始值。10V0.1μf20KΩ30KΩ解：

1.t=0-時(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)定，uC恒定，iC=0,由知2.作t=0+時(shí)刻的等效電路。（C→6V的電壓源）10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)t=0

C→開路。3.根據(jù)t=0+時(shí)的等效電路，求各量的初始值。10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)求初始值的步驟:1.在換路前電路中,求uC(0－)和iL(0－)；由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。２.畫0+等效電路。３.由0+等效電路，求所需的初始值。b.電容用電壓源代替，電感用電流源代替。a.換路后的電路例7.3:+-10ViiC+uC-S10k40k(1)由0-電路求uC(0-)uC(0-)=8V由換路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V(２)由0+等效電路求

iC(0+)+-10ViiC10k+-8V解：+-10V+uC(0-)-10k40k已知開關(guān)打開前電路已達(dá)到穩(wěn)定，求開關(guān)打開后的

iC(0+)

。例7.4:iL(0+)=iL(0-)=2At=0時(shí)開關(guān)閉合,求uL(0+)（１）求由換路定律:解：iL+uL-10VS1

4

L（２）0+等效電路2A+uL(0+)-10V1

4

10V1

4

iL(0-)例7.5:iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)解:（1）由0-等效電路（2）由0＋等效電路S(t=0)+–uLiLC+–uCRISiCL+uC(0-)-RISiL(0-)+–uL(0＋)

RIS+–RIS

iC

(0＋)

例7.7:求S閉合瞬間各支路電流和電感電壓。iL+uL-LS2

+-48V3

2

C解:由0-電路得：+－uCiL2

+-48V3

2

由0+電路可得：12A24V+-iiC+uL-+-48V3

2

7.2一階電路的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)：是指電路沒有外加激勵時(shí)的響應(yīng)。由初始時(shí)刻電容中電場的儲能，或電感中磁場的儲能引起的。us=u0+-CRS1S2i(t)t=01.t<0時(shí)，C被充電為u0。因C上的電壓不能突變，uc(0+)=u0，3.t0時(shí)，換路后……。

2.t=0時(shí)，換路的瞬間，充電i(t)=u0/R。uc(0)=u01.RC電路的零輸入響應(yīng)：(由uc(0+)產(chǎn)生的響應(yīng))由KVL:uR–uC=0uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-由元件的性質(zhì)：代入上式特征方程:特征方程根:一階齊次方程∴解得：得:初始條件結(jié)論:t(s)uc(t)04

3

2

u00.368u00.0184u0uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-t(s)ic(t)04

3

2

uc不能躍變，ic可以躍變。2.時(shí)間常數(shù)

RC電路的零輸入響應(yīng)uc(t),ic(t)都是按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢由

決定。

=RC（秒），

越小，uc(t),ic(t)衰減的越快。3.RC電路能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-3.RL電路的零輸入響應(yīng)：Is=I0

+uL(t)-LRS1S212iL(t)t<0時(shí)：t=0iL(0)=I0

+uL(t)-LRiL(t)+-uR由KVL:uL–uR=0由元件的性質(zhì)：代入上式得：初始條件特征方程：

特征方程根：

t(s)iL(t)04

3

2

I0t(s)uL(t)04

3

2

結(jié)論:iL不能躍變，uL可以躍變。-RI0時(shí)間常數(shù)

=L/R=LG（秒）5.RL電路能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：

+uL(t)-LRiL(t)+-uR4.總結(jié):A.零輸入響應(yīng)與uc(0),iL(0),

有關(guān)。B.零輸入響應(yīng)的一般形式:

=LG

=RCC.零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢由決定,越小，uc(t),iL(t)衰減的越快。t(s)f(t)0f(0)4

D.時(shí)間常數(shù)的求法:

在換路后(即)的電路中求。

R是從動態(tài)元件兩端看進(jìn)去的戴維寧等效電阻。例7.8:解:

時(shí)的電路為:uc(t)+-CR2R1時(shí),S打向b點(diǎn),求uc(t)。R已知:Uuc(t)+-CR2Sa

R3bR1例7.9:時(shí)，S打向b點(diǎn)，求iL(t)。解:

20

LiL(t)10

10

1H10VSa

b20

LiL(t)10

10

1HR

時(shí)的電路為:例7.10:電路中的電容初始電壓為24V，求S閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解:等效電路分流得：i3S3+uC2

6

5F－i2i14+uC5F－i1

7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一.RC電路零狀態(tài)響應(yīng)

動態(tài)元件本身沒有儲能uC(0)=0，或iL(0)=0。響應(yīng)僅與外加激勵有關(guān)。1.RC(并聯(lián)）電路的零狀態(tài)響應(yīng)+-CRic(t)uc(t)iR(t)Sis(t)=Ist=0時(shí),開關(guān)打開。+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is因電容上的電壓不能突變∴t=0+時(shí)，全部電流都流過C，使C充電，R上沒有電流?！鄑→∞時(shí),C上沒有電流，uC恒定，C相當(dāng)與開路，全部的電流都流過R。+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is由KCL:ic+iR=Is由元件的性質(zhì)：代入上式得初始條件一階非齊次方程

電容電壓的變化率：暫態(tài)響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

完全解:穩(wěn)態(tài)時(shí)，uc恒定，電容相當(dāng)于開路。解得:方程解有兩部分：齊次方程解非齊次方程特解固有響應(yīng)強(qiáng)制響應(yīng)電路中各輸出波形：+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Ist(s)04

t(s)04

IS.RISISt(s)04

2.RC(串聯(lián)）電路的零狀態(tài)響應(yīng)uc(t)+-CUSR+uR-+-由KVL:uR+uc=US初始條件暫態(tài)響應(yīng)：

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

完全解:穩(wěn)態(tài)時(shí)，uc恒定，電容相當(dāng)于開路。解得:t=0uc(t)+-CUSR+uR-+-u

C(∞)4

t(s)0uc(t)t(s)04

ic(t)US/R3.能量關(guān)系電容儲存：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。uc(t)+-CUSR+-二.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)t=0uL(t)+-USR+uR-+-LiL(t)由KVL:uL+

uR=US初始條件暫態(tài)響應(yīng)：

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)時(shí)，iL恒定，電感相當(dāng)于短路。

=L/R=LG解得:

完全解:2.RL(并聯(lián)）電路的零狀態(tài)響應(yīng)RiR(t)ISuL(t)+-LiL(t)解：暫態(tài)響應(yīng)：

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)時(shí)，iL恒定，電感相當(dāng)于短路。

=L/R=LG由KCL:iR+iL=IS初始條件t=0解得:

完全解:三.總結(jié):A.零狀態(tài)響應(yīng)的一般形式:

=LG

=RCB.零狀態(tài)響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律上升的，上升的快慢由

決定,

越小，uc(t),iL(t)上升的越快。t(s)04

f(t)例7.11:uc(t)+-2

u02F+-1

1VUs已知uC(0)=0，t=0時(shí)開關(guān)合上。求：t

0時(shí)的uC(t)，u0(t)。解法一：t=0穩(wěn)態(tài)時(shí),電容相當(dāng)于開路。解法二：uc(t)+-2

u02F+-1

1VUs時(shí)的戴維寧等效電路：uc(t)+-2/3

Req1/3VU0C求u0(t)要回到原電路穩(wěn)態(tài)時(shí),電容相當(dāng)于開路。+uoc

-

18VS1

1.2

5

iL(t)L10Hi(t)4

例7.12:已知t=0時(shí)開關(guān)合上。求：t

0時(shí)的iL(t),i(t)。解:

t

0時(shí),從L兩端看進(jìn)去的戴維寧等效電路：t=05

Req15VU0CiL(t)L10H穩(wěn)態(tài)時(shí)，電感相當(dāng)于短路?！痢?U0C

-求i(t)要回到原電路t(s)04

2.520.518VS1

1.2

5

iL(t)L10Hi(t)4

+u(t)-

7.4一階電路的全響應(yīng)已知：S(t=0)+-CRuc(t)+–uRiUS+-1.全響應(yīng)若US=0:零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)若

:USU0t(s)04

1+21212例7.13:uc(t)+-5FUSRiC

+-1

12V已知：uC(0)=4V,求：t0時(shí),uC(t)。解：零輸入響應(yīng):uc(0)=4V+-5FRiC

1

零狀態(tài)響應(yīng):uc(t)+-5FUSRiC

+-1

12Vuc(0)=0完全響應(yīng):例7.14:已知：uC(0)=1V,求：t

0時(shí),i(t)。解：1.零輸入響應(yīng):uc(t)+-1FRiC

+-1

10V1Ai(t)

uc1(t)1FR1

+-+-1FR1

1A2.零狀態(tài)響應(yīng):（兩個(gè)電源，用疊加定理）1A單獨(dú)作用：10V單獨(dú)作用：+-1FUSR+-1

10V完全響應(yīng):uc(t)+-1FRiC

+-1

10V1Ai(t)

2.三要素法三要素為：三要素法是一種很重要的分析方法。它適用于在直流電源作用下，有損耗的一階電路（既有電阻的電路，只有這樣的電路才能進(jìn)入穩(wěn)態(tài)）。

時(shí)間常數(shù)=RC,=L/R

f(0+)初始值f()穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)時(shí),電容相當(dāng)于開路。穩(wěn)態(tài)時(shí),電感相當(dāng)于短路。

（同一電路相同）1.f(t)增長的情況：

RC電路或RL電路在直流輸入的情況下,（包括零輸入）電路的電壓或電流無非是按兩種規(guī)律變化，一是指數(shù)衰減，二是指數(shù)上升。t(s)04

初始值為零時(shí)，f(0+)=0零狀態(tài)響應(yīng)t(s)04

初始值不為零時(shí)，完全響應(yīng)2.f(t)衰減的情況：t(s)04

穩(wěn)態(tài)值為零時(shí)，f()=0零輸入響應(yīng)t(s)04

穩(wěn)態(tài)值不為零時(shí)，f()0完全響應(yīng)

分析電路時(shí)，只需求出f(0+)﹑f()

﹑

這三個(gè)要素就能畫出波形，并能迅速寫出相應(yīng)的表達(dá)式?？偨Y(jié)：t=0+

﹑t=∞時(shí)的等效電路電壓、電流的初始值，穩(wěn)態(tài)值的計(jì)算：+-+-+-例7.15:+-3Fuc(t)IS1

2

1A已知開關(guān)閉合前電路已達(dá)到穩(wěn)定，用三要素法求uC(t)。t=0解：

1.求uC(0+)

:t=0-時(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)定，C→開路。+-uc(t)IS1

2

+-2.求：t→∞時(shí)，C→開路+-3Fuc(t)IS1

2

3.求τ：t(s)024682/3V2V或：例7.16:已知:t=0時(shí)S1合上，t=t1時(shí)S2合上。求iL(t)，并畫出波形。解：

1.

t=0時(shí)S1合上t=0-時(shí):t→∞時(shí)，L→短路VSS2R1R2LS1iL(t)t=0VSR1R2Li’

L(t)2.t=t1時(shí)S2合上t=t1t→∞時(shí)，L→短路VSS2R1R2LS1iL"(t)設(shè)S2合上前為：t=0-S2R2LiL"(t)t1

4τ14τ2t(s)0輸出波形：10tt￡￡()tiL'21RRVS+例7.17:10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)10V10

10

iL(0-)t=0求t0時(shí),uL(t)。(a).t=0-時(shí)，電路已達(dá)到穩(wěn)定，即t→∞時(shí)，L→短路。uL(0-)=0,∴受控源也為零。解：1.

先求uL(0+)（L→1A的電流源）10

+-+-0.5uL(0+)1AiL(0+)uL(0+)10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)3.

求τ(a).

先求RR+u(t)-10

+-0.5u(t)i(t)t10

+-uL(∞)2.

求uL(∞)t→∞時(shí)，L→短路?！嗍芸卦匆矠榱?。另解：先求iL(t),在求uL(t)。10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)t=010V10

10

iL(0-)

t=0-時(shí)，電路達(dá)穩(wěn)定，L→短路。uL(0-)=0,∴受控源也為零。1.

求iL(0+)2.

求iL(∞)t→∞時(shí)，L→短路?！嗍芸卦匆矠榱?。10

iL(∞)3.

求τ方法同上：用三要素法求響應(yīng)，不需先求動態(tài)變量uc(t),iL(t)，只需求出f(0+)，f()，

這三個(gè)量就能寫出相應(yīng)的表達(dá)式：一階電路作業(yè)7-1（b），7-5，7-8，7-12，7-14，7-19，7-207.5二階電路的零輸入響應(yīng)一.RLC電路微分方程的建立由KVL:代入上式(串聯(lián)電路選uC為求解變量)t=0

uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)特征方程為：特征根為：二.零輸入響應(yīng)的三種情況P1、P2為不相同的負(fù)實(shí)數(shù)；P1、P2為共軛復(fù)數(shù)；臨界情況（臨界阻尼）非振蕩放電過程（過阻尼）P1、P2為相同的負(fù)實(shí)數(shù)；振蕩放電過程（欠阻尼）uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)1.過阻尼情況P1、P2是不相同的負(fù)實(shí)數(shù)；聯(lián)立兩式可求得A1、A2例7.1：已知uc(0)=0，iL(0)=1A，US=0，求uc(t),iL(t)，t≥0。uC(t)+-1FUS1H+-3ΩiL(t)解：電路的微分方程為：解得：1212210.447t(s)01tm20.171t(s)01.17tU0uctm2tmuLic∴電路的響應(yīng)是非振蕩性的。t=0

uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)iC為極值時(shí)(即uL=0時(shí))的tm的

t,計(jì)算如下:由duL/dt可確定uL為極小時(shí)的tn.能量轉(zhuǎn)換關(guān)系RLC+-0<t<tmuc減小，i增加。t>tmuc減小，i減小.tU0uctm2tmuLicRLC+-2.臨界阻尼情況P1、P2為相同的負(fù)實(shí)數(shù)；電路的響應(yīng)依然是非振蕩性的。聯(lián)立兩式可求得A1、A2例7.2：e-2tt(s)0210.51.5iL(t)A13244t

已知uc(0)=-1V，iL(0)=0，US=0，求iL(t)，t≥0。uC(t)+-1FUS1/4H+-1ΩiL(t)解：電路的固有頻率為：3.欠阻尼情況P1、P2為共軛復(fù)數(shù)其中：At0A2A1Aθω，ω０，δ間的關(guān)系:δωω0

t=0時(shí)uc=U0uc零點(diǎn)：

t=-，2-...n-t-2-2

0U0uct-2-2

0U0uc

icuL零點(diǎn)：

t=，+，2+...n+ic零點(diǎn)：

t=0，，2...n

，為uc極值點(diǎn)ic極值點(diǎn)為uL零點(diǎn)。能量轉(zhuǎn)換關(guān)系0<t<<t<--<t<RLC+-RLC+-RLC+-t-2-2

0U0uc

ic4.R=0,P1、P2為虛數(shù)；（無阻尼）等幅振蕩tuctLC+-總結(jié)：串聯(lián)選uC為求解變量P1、P2為不相同的負(fù)實(shí)數(shù)；（過阻尼）P1、P2為共軛復(fù)數(shù)；（欠阻尼）P1、P2為相同的負(fù)實(shí)數(shù)；（臨界阻尼）非振蕩非振蕩衰減振蕩uC(t)CL+-RuL+-例7.3:C1FUS1H+-2Ω求在原電路增加一個(gè)元件后，電路的狀態(tài)。臨界阻尼加C0后：C0過阻尼A圖解：10-2FUS1μH+-0.02Ω0<α<1B圖臨界阻尼加受控源：用外加電壓法求R0=U0/II+i=αi∴I=(α－１)i又：U0=-0.02i∴電路從臨界阻尼→過阻尼αiiU0+-0.02ΩαiiI0<α<1例7.4:5Ω20Ω10Ω10Ω0.5HμF10050V+-uc+

-t=0時(shí)開關(guān)打開。求uc,并畫出變化曲線。解:

uc(0-)=uc(0+)=25V（2）開關(guān)打開為RLC串聯(lián)電路5Ω20Ω10Ω10Ω50V+-Uc(0-)+

-iL(0-)（1）t=0-的電路iL(0-)=iL(0+)=5A20Ω5Ω0.5HμF100+-uciL特征方程根：(3)根據(jù)初始條件

t0uc356257.6二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)1.全響應(yīng)uC(t)-+CUSL+-R+-+-uL(t)uR(t)i(t)由KVL:過阻尼臨界阻尼欠阻尼A1,A2由uc(0),iL(0)定出。2.零狀態(tài)響應(yīng)uc(0-)=0,iL(0-)=0例7.5：已知uc(0)=-5V，US=10V，求uc(t)，iL(t),t≥0。uC(t)+-4FUS1/16H+-0ΩiL(t)解：3.GCL并聯(lián)電路的分析—與RLC串聯(lián)電路分析是對偶的uC(t)+-CUSL+-R