電路分析A 第6章syl

6二階電路分析

6－1

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

6－2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)

6－3

GCL并聯(lián)電路分析

6－4一般二階電路分析二階電路：由二階微分方程描述的電路。分析二階電路的方法：首先建立(二階)微分方程，然后利用初始條件求解得到電路的響應(yīng)；是一階電路的推廣。本章主要討論的線性二階電路，重點(diǎn)是討論RLC電路的零輸入、零狀態(tài)和全響應(yīng)。6二階電路分析

電路結(jié)構(gòu)：含兩個獨(dú)立的動態(tài)元件。1、建立RLC串聯(lián)電路的微分方程；代入VCR：

6－1

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

列KVL方程：為一常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。得：即求解電路的零輸入響應(yīng)。令uS(t)=0，得二階齊次微分方程2、確定二階齊次微分方程的通解；其特征方程為稱為電路的固有頻率。特征根為：其中：當(dāng)電路元件參數(shù)R，L，C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：2、時，s1,s2為不相等的負(fù)實(shí)根，稱電路為過阻尼狀態(tài)。3、時，s1,s2

為共軛復(fù)數(shù)根，稱電路為欠阻尼狀態(tài)。1、時，s1,s2

為相等的負(fù)實(shí)根，稱電路為臨界阻尼狀態(tài)。3、確定二階非齊次微分方程的特解；特解為：因?yàn)槭橇爿斎腠憫?yīng),齊次方程，故：4、確定二階非齊次微分方程的全解；5、利用初始條件確定積分常數(shù)；6、寫出電路的零輸入響應(yīng)；一、過阻尼情況

電路的固有頻率s1,s2不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的通解為：即為過阻尼情況下的通解。?確定二階非齊次微分方程的全解；?確定積分常數(shù)；?寫出電路的零輸入響應(yīng)；當(dāng)uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時t>0例1

已知R=3

,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零輸入響應(yīng)。則：解：由R,L,C的值，計(jì)算出固有頻率利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為:它們的波形曲線如下圖所示。

過阻尼情況uC20tiL10t1）在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲存的磁場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿埽闺娙蓦妷涸黾?。到電感電流變?yōu)榱銜r，電容電壓達(dá)到最大值，此時電感放出全部磁場能。2）以后，電容放出電場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿?，使電感電流增加?/p>

過阻尼情況uC20tiL10t3）到電感電流達(dá)到負(fù)的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲能全部消耗完為止

過阻尼情況uC20tiL10t二、臨界阻尼情況

固有頻率s1,s2相同的實(shí)數(shù)s1=s2=-

齊次解：

常數(shù)K1,K2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定：聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到即為臨界阻尼情況下的通解。代入uC(t)表達(dá)式，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。當(dāng)uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時例2

已知R=1

,L=0.25H,C=1F,uC(0+)

=-1V,iL(0+)=0，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。利用初始值：則：解：固有頻率求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)：得到電感電流的零輸入響應(yīng)波形曲線如圖所示。臨界阻尼情況uC-10tiL0t

三、欠阻尼情況

固有頻率s1,s2為兩個共軛復(fù)數(shù)根，即：其中三者組成一個直角三角形。欠阻尼情況下的通解(齊次解)為：式中

由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定常數(shù)K1,K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。例3

已知R=6

,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。則得：利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:解：固有頻率：解得K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)：下圖為欠阻尼情況下的電容電壓和電感電流波形：可以看出：

欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間存在多次交換（R較小時），形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。響應(yīng)的振蕩幅度按指數(shù)規(guī)律衰減，而衰減的快慢則取決于。當(dāng)例3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，電容電壓和電感電流的波形曲線衰減明顯變慢。假如電阻為零，即衰減系數(shù)為零時，欠阻尼下的電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩，稱為無阻尼狀態(tài)。例4已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。則：利用初始條件得：解：固有頻率:解得：K1=3和K2=1.4，得電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)

從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。

無阻尼狀態(tài)時，電容電壓和電感電流的相位差為90

；當(dāng)電容電壓為零，即電場儲能為零時，電感電流達(dá)到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，即磁場儲能為零時，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量儲存于電場中。

綜上所述，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)形式取決于電路的固有頻率，而與初始條件無關(guān)。顯然，當(dāng)固有頻率的實(shí)部為正時，響應(yīng)的振幅將隨時間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個電路的全部固有頻率具有負(fù)實(shí)部時，電路是穩(wěn)定的。1.過阻尼情況，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。2.臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。3.欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，響應(yīng)是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減；圖中按Ke-

t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。

衰減系數(shù)

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率

d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。4.無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，

=0，振幅不再衰減，形成角頻率為

0的等幅振蕩。

直流激勵的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時，如初始條件uC(0+)=0，iL(0+)=0，求解該常系數(shù)線性非齊次微分方程得到電路的零狀態(tài)響應(yīng)；否則，得到電路的全響應(yīng)。6－2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)

全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與非齊次微分方程的特解之和組成電路的固有頻率為1.當(dāng)s1

s2時，對應(yīng)齊次微分方程的通解為特解為過阻尼情況下的全響應(yīng)為利用初始條件，可以得到聯(lián)立求解，得到常數(shù)K1和K2后，就可得到電容電壓的全響應(yīng)，再利用KCL和電容元件VCR可以求得電感電流的全響應(yīng)。當(dāng)s1=s2時，臨界阻尼情況下的全響應(yīng)為：求兩個待定系數(shù)的方法也類似：類似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計(jì)算其它響應(yīng)。

類似地，當(dāng)特征根為共軛復(fù)根時，欠阻尼情況下的全響應(yīng)為：求兩個待定系數(shù)的方法也類似：類似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計(jì)算其它響應(yīng)。

例5

已知R=6

,L=1H,C=0.04F,uS(t)=

(t)V。求t>0時電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。(單位階躍響應(yīng))解：t>0時，

(t)=1V，作為直流激勵處理固有頻率

固有頻率為共軛復(fù)根,可以得到全響應(yīng)為：利用初始值uC(0+)=0和iL(0+)=0,得:解得：K1＝-1和K2＝-0.75，得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)：波形如圖(a)(b)：當(dāng)電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，波形如圖(c)和(d)。6－3GCL并聯(lián)電路分析

與RLC串聯(lián)電路對偶：

GCL并聯(lián)電路微分方程：其特征方程為解得特征根同樣地，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：

當(dāng)兩個特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；

當(dāng)兩個特征根為相等的實(shí)數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；

當(dāng)兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。同樣地，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1、時，s1,s2為不等的實(shí)根。2、時，s1,s2為相等的實(shí)根。3、時，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。結(jié)論：GCL并聯(lián)電路的方程、計(jì)算方法、響應(yīng)公式和結(jié)論都可以通過對RLC串聯(lián)電路的對偶轉(zhuǎn)換得到。6－4一般二階電路分析

除了RLC串聯(lián)和GCL并聯(lián)二階電路以外，還