2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版文） 第2章 函數(shù)模型的應(yīng)用

函數(shù)模型的應(yīng)用

【考試要求】1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異2理解''指數(shù)爆炸”“對

數(shù)增長"''直線上升”等術(shù)語的含義.3.會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.

【知識梳理】

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=a\a>\)y=logd3>l)y=x,\n>0)

性質(zhì)

在(0,+8)上

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表隨n值變化

圖象的變化

為與V軸平行現(xiàn)為與詡平行而各有不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型J(x)=ax+b(afb為常數(shù),〃W0)

二次函數(shù)模型J(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aWO)

反比例函數(shù)模型b為常數(shù)且zro)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=ba'+c(a,b,c為常數(shù)，tf>0且6W0)

對數(shù)函數(shù)模型flx)=b\ogax+c(a9b,c為常數(shù),a>0且aWLb#0)

基函數(shù)模型大工)=以^+仇。，b,a為吊數(shù)，。工0,。#0)

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“。”或“X”)

(1)函數(shù))，=2》的函數(shù)值比丫=/的函數(shù)值大.(X)

(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每

件還能獲利.(X)

(3)在(0,+°°)±,隨著x的增大，的增長速度會超過并遠遠大于〉=尸(“>0)和>=

logd(a>l)的增長速度.(V)

(4)在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.(X)

【教材改編題】

1.在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X

y——

則對x,y最適合的擬合函數(shù)是（）

A.y=2xB.y=xi-1

C.y—2x~2D.y=log2%

答案D

解析根據(jù)x=,y=一,代入計算，可以排除A；根據(jù)x=,y=,代入計算，可以排除B,

C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=k）g2%,可知滿足題意.

2.設(shè)甲、乙兩地的距離為小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休

息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的

路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為（）

答案D

3.當生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個

時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射

性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經(jīng)

過個“半衰期”.

答案10

解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過”個“半衰期”后的含量為（；下,

由映'<1標’得〃》1注

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半

衰期”.

題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程

例1（1）如圖，一高為，且裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當小孔打開時，水從孔中

勻速流出，水流完所用時間為r若魚缸水深為萬時，水流出所用時間為/,則函數(shù)/?=/（。的

圖象大致是（）

答案B

解析水勻速流出，所以魚缸水深〃先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來越快.

（2）（2022?泰州模擬）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，

某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析

泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)

據(jù)做出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水

溫度y隨時間x變化的規(guī)律（）

A.y=/wr+/?（/n>0）

B.y=ma'+n(m>Ofi<a<\)

C.y—mif+n(m>0,a>1)

D.y=mlo^llx+n(m>0,a>0,aWl)

答案B

解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且，心0,0<。<1.

【教師備選】

己知正方形ABCD的邊長為4,動點P從8點開始沿折線BCDA向A點運動.設(shè)點P運動的

路程為x,△ABP的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象是()

答案D

解析依題意知，當0WxW4時，_/(x)=2x；

當4<xW8時，4x)=8；

當8<xW12時，_/U)=24—2x,觀察四個選項知D項符合要求.

思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象：

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合,

從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?內(nèi)江模擬)對于下列表格中的數(shù)據(jù)進行回歸分析時，下列四個函數(shù)模型

擬合效果最優(yōu)的是()

X123

y3

A.y=3X2*rB.j-logu

C.y=3xD.y=/

答案A

解析根據(jù)題意，這3組數(shù)據(jù)可近似為(1,3),(2,6),(3,12)；

得到增長速度越來越快，排除B,C,對于選項D,三組數(shù)據(jù)都不滿足，

對于選項A,三組數(shù)據(jù)代入后近似滿足，

則模擬效果最好的函數(shù)是y=3X2，r.

(2)(2022?武漢模擬)在用計算機處理灰度圖象(即俗稱的黑白照片)時，將灰度分為256個等級,

最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用0至255

之間對應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個像素賦予一個“灰度值”.在處理有些較黑的

圖象時，為了增強較黑部分的對比度，可對圖象上每個像素的灰度值進行轉(zhuǎn)換，擴展低灰度

級，壓縮高灰度級，實現(xiàn)如下圖所示的效果：

則下列可以實現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是()

答案A

解析根據(jù)圖片處理過程中圖象上每個像素的灰度值轉(zhuǎn)換的規(guī)則可知，相對于原圖的灰度值,

處理后的圖象上每個像素的灰度值增加，所以圖象在y=x上方.結(jié)合選項只有A選項能夠

較好的達到目的.

題型二已知函數(shù)模型的實際問題

例2(2022.百師聯(lián)盟聯(lián)考)隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及

人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢.某醫(yī)

療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固

定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)=

2x2+80x,0aW40,

,,36001由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全

201x+------2100,40aW100,

Ix

年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.

(1)寫出年利潤W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入一成本)；

(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解(1)由題意可得，當0aW40時，

W(x)=200x-(2X2+80x)—300

n-Z^+lZOx—BOO；

當40cxW100時，

(,3600、

W(x)=200x-(201x+-y--2lOOj-300

7D+I800,

-2x2+120x-300,0<A<40,

所以W(x)=<_("+3T°)+l800，40<xWlOO.

⑵若0<xW40,IV(x)=-2(x-30)2+l500,

所以當X=30時，川(X)max=l500萬元.

若40<xW100,

W(x)=-(x+^^)+l800忘-2小.哼，1800

=-120+1800=1680,

當且僅當*=3時,

即X=60時，W(X)max=1680萬元.

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.

【教師備選】

(2022?重慶南開中學(xué)模擬)某企業(yè)自主研發(fā)出一款新產(chǎn)品A,計劃在2022年正式投入生產(chǎn)，已

知A產(chǎn)品的前期研發(fā)總花費為50000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬件A產(chǎn)品.通過市場分

析知，在2022年該企業(yè)每生產(chǎn)x(千件)A產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本R(x)(千元)，

f*+60x,0VxW10,

且R(X)\1800

p0x+———230,10<xW40.

(1)求該企業(yè)生產(chǎn)一件4產(chǎn)品的平均成本p(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求平均成本p的最小

值(總成本=研發(fā)成本+生產(chǎn)成本)；

(2)該企業(yè)欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本pW66元，求其年生產(chǎn)值x(千件)的取值區(qū)間？

解(1)由題知生產(chǎn)x千件的總成本為(R(x)+50)千元，

故生產(chǎn)一件的平均成本為匕型元，

；x+60+斗，04W10,

所以p(x)=

1800180

10<x^40,

當工￡(010］時，Mx)=$+60+￥單調(diào)遞減，

故最小值為“(10)=70,

當xG(10,40］時，p(x)=l8000-^)2+,

故最小值為p(20)=,所以生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本最低為元.

(2)由⑴知,要使p(x)W66只需考慮xG(10,40］,

口nrcJ8001801“

即70+￥--~yW66,

整理得/-45x+450W0,解得15WxW30,

所以當xG［15,30］時，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本不超過66元.

思維升華求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

跟蹤訓(xùn)練2(1)“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進行的高考前的激情教育，它能在短

時間內(nèi)最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考

中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大.現(xiàn)

有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了

一個經(jīng)過時間f（30WK100）（單位:天）,增加總分數(shù)刖（單位:分）的函數(shù)模型:財=在防司,

%為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且貝60）=:P.現(xiàn)有某學(xué)生在高

考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分

約為（1g61七）（）

A.440分B.460分

C.480分D.500分

答案B

解析由題意得,

kpkP1

的戶西西一=忒,

,求100)=l+lg101^1+lg100+lg

...該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400+62=462七460（分）.

（2）某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本。（單位：元/100kg）與上市時間

/（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時間f60100180

種植成本Q11684116

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系:

Q=at+b,Q=ai2+bt+c,Q=ab',Q=a\ogi,t-

利用你選取的函數(shù)，求：

①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是；

②最低種植成本是元/100kg.

答案①120②80

解析因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當f=60和1=180時種植成本相

等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)

Q=ai1+bt+c,即。=a（f—120產(chǎn)+機描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得

p（60-120）2+m=116,

U（100-120）2+膽=84,觸行1〃?=80,

所以。=0—120）2+80,故當上市天數(shù)為120時，種植成本取到最低值80元/100kg.

題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

例3（1）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域

安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回

彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現(xiàn)將石片扔

向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s,這是第一次“打水漂”，然后石片在水

面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%,若要使石片的速率低于60

m/s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取In七一，ln^一)()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設(shè)石片第n次“打水漂”時的速率為4，

則0"=1OOX"-1.

由100XB-|<60,

得門，

則(〃一l)ln,

即n—l>p-=?-

In一

則n,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

(2)(2022?濱州模擬)某同學(xué)設(shè)想用“高個子系數(shù)來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為,

成年男子身高160cm及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)人應(yīng)為0；身高190cm及其以上

的是理所當然的高個子，其高個子系數(shù)”應(yīng)為1,請給出一個符合該同學(xué)想法、合理的成年

男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高x(cm)的函數(shù)關(guān)系式.

’0,04W160,

答案k=</T60),160<r<190,(只要寫出的函數(shù)滿足在區(qū)間［160,190］上單調(diào)遞增，

J,龍》190.

且過點(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)

解析由題意知函數(shù)Mx)在［160,190］上單調(diào)遞增，

設(shè)k(x)=奴+仇。>0),xe［160,190］,

160a+6=0,

由.

［\90a+b=l,

1

30'

解得，

16

3，

所以網(wǎng)工)=扣一號,

0,0<rW160,

擊(x-160),160a<190,

{1,x2190.

【教師備選】

國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900

元；若每團人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)

75為止.每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.

(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；

(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？

解設(shè)該旅行團的人數(shù)為x,飛機票的價格為y元.旅行社可獲得的利潤為“元.

⑴①當0WxW30時，y=900,

②當30VxW75時，

y=900-10(x-30)=-10x+1200,

900,(XW30,

綜上有y=,

?[-10x4-1200,30aW75.

(2)當0WxW30時,w=900x-15000,

當x=30時，

1^=900X30-15000=12000(元)；

當30<xW75時，

w=(-10x+1200)-x-15000

=-10x2+l2001—15000

=-10(x-60)2+21000,

當x=60時，IP最大為21000元，

每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.

思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟

(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型：

(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際問題

中去，得到實際問題的解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?常州模擬)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)

查，若單冊價格每提高元，則發(fā)行量就減少5000冊.要該雜志銷售收入不少于萬元，每冊

雜志不可以定價為()

A.元B.3元

C.元D.元

答案D

解析依題意可知，要使該雜志銷售收入不少于萬元，只能提高銷售價，

設(shè)每冊雜志定價為x（x>2）元，

則發(fā)行量為（10—匚2x）萬冊，

則該雜志銷售收入為（10_3）<）x萬元，

所以（10—3x）x2,

化簡得x2—6x+W0,

解得WxW

（2）（2022?南京模擬）拉面是很多人喜好的食物.師傅在制作拉面的時候，將面團先拉到一定長

度，然后對折，對折后面條根數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，再拉到上次面條的長度.每次對折后，師

傅都要去掉捏在一只手里的面團.如果拉面師傅將300克面團拉成細絲面條，每次對折后去

掉捏在手里的面團都是18克.第一次拉的長度是1米，共拉了7次，假定所有細絲面條粗線

均勻、質(zhì)量相等，則最后每根1米長的細絲面條的質(zhì)量是.

答案3克

解析拉面師傅拉7次面條共有27r=26=64根面條，在7次拉面過程中共對折6次，則去

掉面的質(zhì)量為6X18=108（克）；剩下64根面條的總質(zhì)量為300—108=192（克），則每根1米

長的細絲面條的質(zhì)量為1若92=3（克）.

課時精練

1.（2020?全國I）某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率），和溫度x（單位：℃）的

關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（為，％）?=1,2,…，20）得

到下面的散點圖：

由此散點圖，在10℃至40C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x

的回歸方程類型的是（）

A.y=a+hxB.y=a+bx2

C.y—a+bexD.y—a+b\nx

答案D

解析由散點圖可以看出，點大致分布在對數(shù)型函數(shù)的圖象附近.

2.有一貨船從石塘沿水路順水航行，前往河口，途中因故障停留一段時間，到達河口后逆水

航行返回石塘，假設(shè)貨船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該船從石塘出發(fā)后所用的

時間為n小時），貨船距石塘的距離為興千米），則下列各圖中，能反映y與X之間函數(shù)關(guān)系

的大致圖象是（）

答案A

3.（2022?福建師大附中月考）視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其

部分數(shù)據(jù)如下表：

小數(shù)記錄X???1

五分記錄y???5

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②y=5+*lg>,x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)

據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為，則小

明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附10=2,5-=,10-=）（）

A.B.

C.D.

答案B

解析由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為y=5+lgx,

令y=5+lgx=,

解得x=l（T=

4.某中學(xué)體育課對女生立定跳遠項目的考核標準為：立定跳遠距離米得5分，每增加米，分

值增加5分，直到米得90分后，每增加米，分值增加5分，滿分為120分.若某女生訓(xùn)練前

的成績?yōu)?0分，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后，成績?yōu)?05分，則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠距離增

加了（）

A.米B.米

C.米D.米

答案B

解析該女生訓(xùn)練前立定跳遠距離為

90-70?

1.84-X---=（米）,

訓(xùn)練后立定跳遠距離為

105—90

1.84+X-5-=（米），

則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠距離增加了一=（米）.

5.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度經(jīng)有關(guān)研究可知：在室溫25℃

下，某種綠茶用85℃的水泡制，經(jīng)過xmin后茶水的溫度為y℃,且y=A5，+25（x、0,

kGR）.當茶水溫度降至55℃時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（結(jié)果保留整數(shù)，參

考數(shù)據(jù)：ln2?1,ln3?6,In5弋—0）（）

A.6minB.7min

C.8minD.9min

答案B

解析由題意可知，

當x=0時，y=85,

則85=后+25,解得％=60,

所以y=60X5*+25.

當y=55時，55=60X5x+25,

即5』，

ln

n,2-In2

則》=地5=記3=石亍

1

*—=7

0八

所以茶水泡制時間大約為7min.

6.（2022?廈門模擬）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注

射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間/（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所

示的曲線.據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于微克時，治療該病有效，則下列說

法錯誤的是（）

A.。=3

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物《小時后每毫升血液中的含藥量為微克

O

31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5后小時

答案B

00<1,

解析由函數(shù)圖象可知廠“,>]

當t=\時，y=4,

即G）[=4,解得a=3,

'4t,OWP,

.,.y=Vn_,故A正確；

■弓'3,已1,

藥物剛好起效的時間，當4r=,即r=表,

藥物剛好失效的時間（；）L3=,

解得f=6,

13|

故藥物有效時長為6—龕=5石（小時），

注射一次治療該病的有效時間長度不到6個小時，故B錯誤，D正確；

注射該藥物5小時后每毫升血液含藥量為4X!=（微克），故C正確.

7.（2022?蚌埠模擬）某種動物的繁殖數(shù)量y（數(shù)量：只）與時間x（單位：年）的關(guān)系式為y=alog2（x

+1）,若這種動物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到只.

答案300

解析由題意知100=alog2（l+l）=“=100,

當x=7時，可得y=1001og2（7+1）=300.

8.（2022?柳州市柳鐵一中月考）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果

物體的初始溫度為&℃,空氣溫度為00℃,則/分鐘后物體的溫度優(yōu)單位：°C）滿足：9=氏

+（&—a）e".若常數(shù)無=,空氣溫度為30℃,某物體的溫度從90℃下降到50℃,大約需要

的時間為分鐘.（參考數(shù)據(jù)：In3心）

答案22

解析由題知％=30,仇=90,0=50,

.\50=30+（90-30）e*,

.?.e一丞

/.—z=lng,

??Z=ln3,

.*./=—=20Xin3?=22.

9.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修

排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又

測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（ppm）與排氣時間*分鐘）之間存在函

數(shù)關(guān)系y=《）""（c,m為常數(shù)）.

（1）求c,的值；

（2）若空氣中一氧化碳濃度不高于ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一

氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)？

⑴由題意可列方程組m

解

[32=eg卜

fc=128,

兩式相除，解得《1

[,n=4-

11/

(2)由題意可列不等式128(—尸W,

2

所以(孑'W映，即步8,解得后32.

故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài).

10.某公司為改善營運環(huán)境，年初以50萬元的價格購進一輛豪華客車.已知該客車每年的營

運總收入為30萬元，使用x年(xGN*)所需的各種費用總計為(元+6幻萬元.

(1)該車營運第幾年開始盈利(總收入超過總支出，今年為第一年)；

(2)該車若干年后有兩種處理方案：

①當盈利總額達到最大值時，以10萬元價格賣出；

②當年平均盈利總額達到最大值時，以12萬元的價格賣出.

問：哪一種方案較為合算？并說明理由.

解(I；?客車每年的營運總收入為30萬元，使用x年(xdN*)所需的各種費用總計為(及+6%)

萬元，若該車x年開始盈利，

則30x>2x2+6x+50,

即/—12r+25<0,

VxeN\；.3WxW9,

該車營運第3年開始盈利.

(2)方案①盈利總額>>!=30x-(2x2+6x+50)

=-2%2+2以-50=—2。-6)2+22,

：.x=6時，盈利總額達到最大值為22萬元.

/.6年后賣出客車,可獲利潤總額為22+10=32(萬元).

方案②年平均盈利總額以;真土產(chǎn)^一2x—￥+24=24—21+§k4(當且僅當尸

5時取等號).

；.x=5時年平均盈利總額達到最大值4萬元.

；.5年后賣出客車，可獲利潤總額為4X5+12=32(萬元).

???兩種方案的利潤總額一樣，但方案②的時間短，二方案②較為合算.

11.(2022?衡陽模擬)“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，

同時也講述了古代資源流通的不便利.如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟

發(fā)展和資源整合.己知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)

關(guān)系y=e“x+〃m，〃為常數(shù)），若該果蔬在6c的保鮮時間為216小時，在24℃的保鮮時間為

8小時，那么在12°C時，該果蔬的保鮮時間為（）

A.72小時B.36小時

C.24小時D.16小時

答案A

解析當x=6時，e6fl+6=216；

當x=24時，e24o+*=8,

216

則e24a,?=T=27,

整理可得eto=1,

于是e&=216X3=648,

當x=12時，

y=ew+，=（e6a）2.e"=^X648=72.

12.（2022?南通模擬）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，

聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌

起的泉水越高.已知聽到的聲強/與標準聲強/o（/o約為10一%單位：W/m2）之比的常用對數(shù)

稱作聲強的聲強級，記作■貝爾），即L=lg￡取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為

分貝，已知某處“喊泉”的聲音強度y（分貝）與噴出的泉水高度x（m）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,

甲、乙兩名同學(xué)大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70m,60m.若甲同學(xué)大喝一聲的聲

強大約相當于"個乙同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則〃的值約為（）

A.10B.100C.200D.1000

答案B

解析設(shè)甲同學(xué)的聲強為4,乙同學(xué)的聲強為/2,

I,

則140=101g旗，120=101g弁，

兩式相減即得20=10點,即lgg=2,

從而夕=1。。，所以”的值約為100.

13.如圖所示，一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是。

m（0<?<12）,4m,不考慮樹的粗細，現(xiàn)在用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花園

ABCD設(shè)此矩形花園的面積為S（m，S的最大值為./（a）,若將這棵樹圍在花園內(nèi)，則函數(shù)"

=A4）的圖象大致是（）

答案c

解析設(shè)4。=*米，則CO=（16—x）米,

要將樹圍在矩形內(nèi)，則?

[16—x>4,

.??aWx<12.

5=x（16-x）=-（x-8）2+64,

當0V/W8時，當X=8時，Smax=64,

當8<aW12時，當時，

Smax=一屏+16。.

[64,0<。<8,

綜上有"）=|一2+女，8<^12.

14.（2022?蕪湖模擬）央視某主持人曾自曝，自小不愛數(shù)學(xué)，成年后還做過數(shù)學(xué)噩夢，心狂跳

不止：夢見數(shù)學(xué)考試了，水池有個進水管，5小時可注滿，池底有一個出水管，8小時可放完

滿池水.若同時打開進水管和出水管，多少小時可注滿空池？“這題也太變態(tài)了，你到底想

放水還是注水？”主持人質(zhì)疑這類問題的合理性.其實這類放水注水問題只是個數(shù)學(xué)模型，

用來刻畫“增加量一消耗量=改變量”，這類數(shù)量關(guān)系可以用于處理現(xiàn)實生活中的大量問

題.例如，某倉庫從某時刻開始4小時內(nèi)只進貨不出貨，在隨后的8小時內(nèi)同時進出貨，接

著按此進出貨速度，不進貨，直到把倉庫中的貨出完.假設(shè)每小時進、出貨量是常數(shù)，倉庫

中的貨物量y（噸）與時間M小時）之間的部分關(guān)系如圖，那么從不進貨起小時后該

倉庫內(nèi)的貨恰好運完.

答案8

解析由圖象可知，在0到4小時進貨20噸，故進貨速度是5噸/小時，所以出貨速度為（20