湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、若向量MN=(a,a+4)與PQ=(—5,a)垂直，則非零實數(shù)a=()

A.lB.2C.-lD.-2

2、“加=4”是"/。)=(＞一3機(jī)—3卜""2是幕函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3、已知集合”={0,2,。},N={2a,4-a},MN00,則a的可能取值的個數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

4、在正六棱臺A8C0EF-AMGQ&K中，AB=2,A4=3，M=V10,則該棱臺

的體積為()

A59730596「57G門57百

A.-----D.-----C.-----D.-------

4242

5、將一組互不相等的數(shù)據(jù)石，x2,…，修刪去中位數(shù)(設(shè)中位數(shù)為〃力后，得到一組

新數(shù)據(jù)，則()

A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的平均數(shù)

B.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定小于原數(shù)據(jù)的平均數(shù)

C.新數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)一定大于m

D.新數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)一定小于m

6、如圖，這是一個古典概型的樣本空間。和事件A,B,其中”(C)=120,

“(A)=40,〃(B)=3O,〃(A8)=10,則()

C.A與B互斥D.A與8不相互獨(dú)立

7、已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,圓心角%的扇形，將該圓錐加工打磨成

一個球狀零件，則該零件表面積的最大值為()

A儂14KD256兀

B.2兀C.------

5515

2

8、已知函數(shù)/(x)=logo2x-%+1),設(shè)a=log?3,b=log32,c-log3V2,貝4()

A./(a)</(c)</?B./(?)</(/?)</(c)

C./(a)>/(c)>/0)D./(6Z)>/0)>/(C)

二、多項選擇題

9、設(shè)區(qū)間［m,〃］的長度為"-加.已知一元二次不等式(x+a)40(。＞0)的解集的

區(qū)間長度為/，則()

A.當(dāng)。=1時，1-6B./的最小值為4

C.當(dāng)a=l時，1=5D./的最小值為2石

10、已知點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)，則()

A.過點(diǎn)P只能作一個平面與a平行B.過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與a平行

C.過點(diǎn)P只能作一個平面與a垂直D.過點(diǎn)P只能作一條直線與a垂直

75

11>已知函數(shù)/(x)=2sin(<wx+e)-10〉。，|同＜5在區(qū)間上只有最小值，沒有

656

最大值，直線x=-N和x=?為/(x)的圖象的兩條對稱軸，則()

66

A.o=2

3

C.將/(x)的圖象向左平移3個單位長度得到一個偶函數(shù)的圖象

6

D.方程/3=白在區(qū)間(YO,0)上有15個實根

12、已知。為△ABC的外心，且4。=445+(1-/1)人仁若向量84在向量8。上的投影

向量為〃5C，則〃fosNAOC的值可能為()

ABC.——

-4-416邛

三、雙空題

13、若復(fù)數(shù)z=U",則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

l+3i

四、填空題

14、從集合A={xeN|x<18}中任選一個元素，則該元素是質(zhì)數(shù)的概率為

15、刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多

面體頂點(diǎn)的曲率等于2乃與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面

體的面角，角度用弧度制）.例如，正四面體的每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角為四，

3

所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2兀-4x3=7r.在底面為矩形的四棱錐P-ABC。中，

3

B4_L底面ABC。，AD=6PA,PC與底面ABC。所成的角為巴，在四棱錐尸-ABC。

6

中，頂點(diǎn)B的曲率為.

16、明孝陵位于江蘇省南京市玄武區(qū)紫金山南麓獨(dú)龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨

梅花山，位于鐘山風(fēng)景名勝區(qū)內(nèi)，其占地面積達(dá)170余萬平方米，是中國規(guī)模最大的

帝王陵寢之一.明孝陵景區(qū)共有8個門，1號門位于植物園路，4號門在1號門的南偏東

53。48'的492m處，8號門在4號門的東偏北75。48'方向，且1號門在8號門的西偏南

63。18'方向，則1號門到8號門的距離約為m.（結(jié)果精確到整數(shù)部分，參

考數(shù)據(jù)：取sin680=0.927,sin53°48'=0.807,sin12。30'=0.216,sin75°48'=0.969）

五、解答題

17、如圖，在直三棱柱ABC-44cl中，P為的中點(diǎn)，44=3,fi,C,=4,

AC,=5.

(1)證明：Afii，平面

(2)若四棱錐A-BBCf的體積為12,求明.

18、已知在AA3C中，A+B=5C,sin(A-C)=2sinB.

(1)求A；

(2)設(shè)AC=3,D為AB邊上一點(diǎn),且CO=M,求△AC。的面積.

19、為了研究網(wǎng)民的上網(wǎng)習(xí)慣，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在10歲到60歲的網(wǎng)民進(jìn)行問

卷調(diào)查，按年齡分為5組，EP[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并繪制

出頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)若按分層抽樣的方法，從上述網(wǎng)民中抽取〃人做采訪，其中年齡在[3(),40)中被

抽取的人數(shù)為7,求〃；

(2)若各區(qū)間的值以該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，求上述網(wǎng)民年齡的方差的估計值.

20、某高校的入學(xué)面試中有A,B,C三道題目，規(guī)則如下：第一環(huán)節(jié)，面試者先從三

道題目中隨機(jī)抽取一道，若答對抽到的題目，則面試通過，若沒答對抽到的題目，則

進(jìn)入第二環(huán)節(jié)；第二環(huán)節(jié)，該面試者從剩下的兩道題目中隨機(jī)抽取一道，若答對抽到

的題目，則面試通過，若沒答對抽到的題目，則進(jìn)入第三環(huán)節(jié)；第三環(huán)節(jié)，若該面試

者答對剩下的一道題目，則面試通過，若沒有答對剩下的題目，則面試失敗.假設(shè)對抽

到的不同題目能否答對是獨(dú)立的，李明答對A,B,C題的概率依次是工，1,1.

234

(1)求李明第一環(huán)節(jié)抽中A題，且第一環(huán)節(jié)通過面試的概率;

(2)求李明第二環(huán)節(jié)或第三環(huán)節(jié)通過面試的概率.

21>已知函數(shù)/(x)=1g荻，g(x)=log2(ox+l).

(1)若函數(shù)y=l-g(x)在［1,2］內(nèi)只有一個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

(2)設(shè)函數(shù)。(尤)的最大值、最小值分別為M,m,記。=設(shè)a=2,函數(shù)

(p(x)=g(x)-\og2x,當(dāng)無t2G—,10時，。［以幻］>￡>［/&)］恒成立，求4

的取值范圍.

22、如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A3CO是正方形，且AD=2,PA=2,

PD=2O,ZPAB=60°.

(1)設(shè)平面PAB平面PCD=/,證明：I//CD.

(2)E是線段以上的點(diǎn)，且PA=2E4(；l>()),二面角E—BD—A的正切值為逅，求

3

A的值.

參考答案

1、答案：A

解析：因為向量用'=(“,<7+4)與尸0=(-5,0)垂直，所以

MNPQ=-5a+a(a+4)=0,則非零實數(shù)a=l.

2、答案：A

解析：若〃x)=(蘇一3〃?-3卜""2是哥函數(shù)，則加2-3加一3=1,解得根=4或加=一1,

故"m=4"是"=-33卜""2是暴函數(shù)”的充分不必要條件.

3、答案：B

解析：因為MNW0,所以或4—aeM,則a=0,1,2,4,經(jīng)檢驗當(dāng)。=0

或。=2時，不滿足集合中元素的互異性，所以。的可能取值為1,4,共2個.

4、答案：D

解析：設(shè)上、下底面的中心分別為M,N,如圖，過A作APJ.4N,

垂足為P,則AP=MN=JP-(3-2>=3,

故該棱臺的體積

V=；(S上+5下+JS上S卜)〃=；^X22X6+^X32X6+^^X22X6X^X32X6X3

解析：當(dāng)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為加時，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原數(shù)據(jù)的平均數(shù).

X

不妨設(shè)％<馬<.<xi,則根=%,則新數(shù)據(jù)為再，X,,%3，5?彳6，X],

因為6x06=3.6,所以新數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為毛，因為毛>Z，所以新數(shù)據(jù)的60%分

位數(shù)一定大于，九

6、答案：B

解析：由題意得尸（4?）=魯='.因為〃（AB）=n（A）+n（B）-n（A8）=60,所以

1

所以

30一

-一

（）里=,，與不互斥.因為（）一

PA8=ABPA=?=',4-

v71202v71203120

P（AB）=P（A）P（B）,所以A與B相互獨(dú)立.

7、答案：A

解析：由題意得該圓錐的母線長為4,設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為人,由

2兀R=4x],得R=l,則〃=>/廠一六=席，所以該圓錐的表面積為兀穴？+兀&=5兀.

如圖，圓錐P。內(nèi)切球的半徑等于△PAB內(nèi)切圓的半徑，設(shè)△PAB的內(nèi)切圓為圓0',

其半徑為r,由S&PAB=+^AABO''

W—x2xV15=—x4r+—x4r+—x2r,得r=—

22225

故能制作的零件表面積的最大值為4口2=m.

8、答案：A

解析：因為“xblogojd-X+1）,所以〃6=/（1一力，且“X）在（,+8）上單調(diào)

遞減.

因為a=log23>l,^<Z?=log32<l,b+c=log3272<log33=1>c>0?

所以/（a）</（c）</（，）.

9、答案：AD

解析：因為一元二次不等式（》+。）（尤-3]40（。>0）的解集為[a3],所以

I——?—tz)=<2+—.

aa

當(dāng)a=l時，/=6.因為a〉0,所以/=a+3z26(當(dāng)且僅當(dāng)。=6時，等號成立)，

a

所以/的最小值為2逐.

10、答案：ABD

解析：過點(diǎn)P只能作一個平面與a平行，過點(diǎn)P可以作無數(shù)條直線與a平行，過點(diǎn)產(chǎn)

只能作一條直線與a垂直，過點(diǎn)P可以作無數(shù)個平面與a垂直.

11、答案：BCD

解析：依題意可得T=生=2-(一2]=2,0=71,A錯誤.

(D6v6J

由兀x[+e=已+2版(左￡Z),冏<],得夕=一]，B正確.

所以/(x)=2sin(心-鼻-1,將“X)的圖象向左平移|個單位長度得到

g(x)=2sin兀x+—-1=2sin7t￥+—-1=2COS7LY-1的圖象，且g(x)為偶函數(shù)，

LV3JI2)

C正確.

令;》=-3,得％=-15,在同一直角坐標(biāo)系中，作出/(力與y=在(一15,0)上的圖

象，如下圖所示.

由圖可知，"X)與y=gx在(-15,0)上的圖象共有15個交點(diǎn)，則方程/(x)=；x在

(-8,0)上有15個實根，D正確.

12、答案：BCD

解析：因為49=/lA8+(l—；l)AC,所以CO=2CB.又因為。為△ABC的外心，所以

△ABC為直角三角形且ABJ_AC,。為斜邊BC的中點(diǎn)，過A作BC的垂線A。，垂足

為。.因為班在BC上的投影向量為〃BC,所以04在BC上的投影向量為

OQ=BQ-BO=^iBC--BC=—當(dāng)〃=/時，cosZAOC=0,

0Q[〃-￡)|配1

〃；當(dāng);v〃<時

?cosZAOC=01如圖1,cosZAOC=——二、、)——=2〃—1

以加4

OQ〃-；8C

當(dāng)0v〃<；時，如圖2,cosZAOC=—cosNAOQ=-------=—=------=2〃—1.

。41|BC|

A

Z

H()()CBQ0(：

圖1圖2

所以JLICOSZAOC=2"-〃=FT

因為〃e(0,l),所以當(dāng)時，”?cosNAOC取得最小值，且最小值為-L

8

當(dāng)〃=0時，2x?-〃=0,當(dāng)〃=1時，2〃2_〃=I.

故〃<05/49。的取值范圍是-京,1)

13、答案:(|31

解析：7=止。=2-=5(1_.)=31.1.-134.,

—1—19i+z=—1—i=1.

l+3il+3i10551155

14、答案：—

18

解析：A中的元素為0,1,2,…，171共18個，質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,

共7個，故所求概率為1.

18

15、答案:—

4

解析：如圖，連接AC,因為PA_L底面ABC。，所以NPC4為PC與底面ABC。所成的

角，

則NPC4=二，所以AC=J^PA.又AO=后產(chǎn)4,在矩形A3CO中,

6

CD=^AC--AEr=PA，

則43=CO=PA,所以/尸84=巴.因為PAL底面ABC。，所以小_L3C,又

4

AB1BC,ABPA=A,所以BC_L平面物8,所以BC上PB,所以頂點(diǎn)8的曲率為

2兀一備2+：卜371

T

16、答案：2112

解析：記1號門的位置為A,4號門的位置為B,8號門的位置為C,則根據(jù)條件可得

ZB=180°-(90。一53°48'+75°48')=68°,ZC=(90°-63°18')-(90。-75°48')=12°30,.

由蔡二恁得2嗡等492x0.927

=2111.5然2112m

0.216

17、答案：(1)見解析

(2)4

解析：(1)證明：4斤+與。：=4。；，與G.

又BB11平面44G，BB]±4g.

4GBBl=B],441平面BBCF

(2)BB1±平面AAC,BBX1

BBJ/CC},四邊形BB?P為梯形.

設(shè)。/=%，則8g=CG=2x，

二；Aslx；x(x+2x)xgC]=6x=12

由(1)知VKBB,GP1

解得x=2,則3g=2x=4.

18、答案：⑴手

⑵孚

解析：(1)在△ABC中，A+B+C=n,因為A+8=5C,所以C=色，

6

由sin(A-C)=2sinB,Wsin^A-^=2sin'^■一河，

n?V3..1..(14后.八

B|J——sinA——cosA=2—cosA+——sinA,

22(22J

貝UtanA=s'n—=-73,

cosA

因為4e(O,兀)，所以4=胃27r

(2)在△ACD中，由余弦定理得CO?=AC2+A￡>2—2AC.A￡>COSA,

即19=9+A￡>2+3AO,解得A￡>=2(4。=一5舍去),

所以△ACO的面積為LACA?sinA=2x3x2x?l=述.

2222

19、答案：⑴20

(2)124

解析：(1)由104=1-(0.020+0.025+0.015+0.005)x10,解得。=0.035,則

/?=—=20.

10a

(2)若各區(qū)間的值以該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則上述網(wǎng)民年齡的平均值的估計值為

15x0.2+25x0.25+35x0.35+45x0.15+55x0.05=31,

方差的估計值為

0.2x(15-31)2+0.25x(25-31)2+0.35x(35-31)2+0.15x(45-31)2+0.05x(55-3獷=124

20、答案：（1），

6

嗎

解析：（1）設(shè)事件。為李明第一環(huán)節(jié)抽中A題，且第一環(huán)節(jié)通過面試.

由題意得李明第一環(huán)節(jié)抽到每道題目的概率均為;,

所以p（0=；xg=：

（2）方法一：設(shè)事件E為李明第一環(huán)節(jié)通過面試,

…11111113

則尸（E）=—x—+—x—+—x—7分

',32333436

設(shè)事件戶為李明面試失敗，李明答題情況如下：A題錯8題錯C題錯，A題錯C題錯

8題錯，8題錯A題錯C題錯，3題錯。題錯A題錯，。題錯A題錯8題錯，。題錯8

題錯A題錯.

11|?31

所以尸（尸）=_X_LX6X^X_X_=_

',322344

故李明第二環(huán)節(jié)或第三環(huán)節(jié)通過面試的概率為I-P（E）-P（E）=A

方法二：設(shè)事件E為李明第二環(huán)節(jié)通過面試，李明答題情況如下：A題錯8題對，A

題錯C題對，B題錯A題對，8題錯C題對，。題錯A題對，C題錯B題對.

所以（）；11112121313117

PE=xgx—X—H--X——I——X——I——X—H—X--1——X—

23243234424372

設(shè)事件廠為李明第三環(huán)節(jié)通過面試，李明答題情況如下：A題錯8題錯C題對，8題

錯A題錯C題對，A題錯。題錯8題對，。題錯A題錯8題對，8題錯。題錯A題

對，C題錯8題錯A題對.

所以（）；1^121131^32111

PF=X—x2x—X—x——|-2x—X—X—+2x—X—X—

223424343272

7

故李明第二環(huán)節(jié)或第三環(huán)節(jié)通過面試的概率為尸（E）+P仍）=］

21、答案：（1）1,1

⑵1+3&,+oc）

解析：（1）依題意可得方程l-log2（依+1）=0在［1,2］內(nèi)只有一個實數(shù)解,

即or=1在［1,2］內(nèi)只有一個實數(shù)解，

則,

x2

所以〃的取值范圍為11

（2）因為/（x）=；lgx,所以當(dāng)5,10時，/（2）e

貝皿〃幻］=；+j=g

2丫+12+，）在［5］上為減函數(shù),

因為a=2,所以e(x)=g(x)-log2*=log,-......=log2

所以p（x）在［"］上的最大值為0⑴=log23,最小值為0?）=log22+-\

所以當(dāng)時，D[<p(x)]=log23-log22+l]=log：3t.

22f1+l

由。［0（切>。［〃幻］,得1幅占>；，即惡》加，

解得％>4+3及，故4的取值范圍為（4+3夜