新希望教育達(dá)標(biāo)名校2022年中考五模數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.X2+X3=X5B.%2+X3=X6C.（%2）^=%5D.（%2）?=%6

3.過正方體中有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)切出一個(gè)平面，形成如圖幾何體，其正確展開圖正確的為（）

A-B/夕乙算c4乙聞D

4.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為（）

同

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

5.如圖，為了測量河對岸I1上兩棵古樹A、B之間的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組在河這邊沿著與AB平行的直線L上取C、

D兩點(diǎn),測得NACB=15ADACD=45°,若1,、1,之間的距離為50m,則A、B之間的距離為（）

6.如圖是拋物線y［二ax2+bx+c（a#0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1,3）,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4,0）,直

線y2=mx+n（m#））與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-1,0）；⑤當(dāng)1

<xV4時(shí)，有丫2<丫］，

其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①③⑤D.??⑤

7.如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)

智慧三角形三邊長的一組是（）

A.1,2,3B.1,1,霹C.1,1,0D.1,2,小

8.如圖，點(diǎn)A,B,C在。O上，ZACB=30°,。。的半徑為6,則A3的長等于（）

B.27rC.37tD.47r

9.已知關(guān)于x的不等式3x-m+l>0的最小整數(shù)解為2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.4<m<7B.4<m<7C.4<m<7D.4<m<7

10.（2016四川省甘孜州）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1,若將△AO3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到則A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑44的長為（)

A.nB.27rC.47rD.87r

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.一組數(shù)據(jù)1,4,4,3,4,3,4的眾數(shù)是.

12.某花店有單位為10元、18元、25元三種價(jià)格的花卉，如圖是該花店某月三種花卉銷售量情況的扇形統(tǒng)計(jì)圖，根

據(jù)該統(tǒng)計(jì)圖可算得該花店銷售花卉的平均單價(jià)為元.

13.甲、乙兩點(diǎn)在邊長為100m的正方形ABCD上按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，甲的速度為5m/秒，乙的速度為10m/秒，甲從

A點(diǎn)出發(fā)，乙從CD邊的中點(diǎn)出發(fā)，則經(jīng)過一秒，甲乙兩點(diǎn)第一次在同一邊上.

14.已知a,b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a<JT<b,則ba=.

I

15.如圖，RSABC中，ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，KCF=-CD,過點(diǎn)B作BE〃DC交AF

的延長線于點(diǎn)E,BE=12,則AB的長為.

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了一道作圖問題：“如圖，已知直線1和直線1外一點(diǎn)P.用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQJJ于

點(diǎn)Q.”

小艾的作法如下：

（1）在直線1上任取點(diǎn)A,以A為圓心，AP長為半徑畫弧.

（2）在直線1上任取點(diǎn)B,以B為圓心，BP長為半徑畫弧.

（3）兩弧分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)M

（4）連接PM,與直線1交于點(diǎn)Q,直線PQ即為所求.

老師表揚(yáng)了小艾的作法是對的.

請回答：小艾這樣作圖的依據(jù)是.

三、解答題（共8題，共72分）

23元

17.（8分）解分式方程：--+--=1

x-22-x

18.（8分）如圖，6x6網(wǎng)格的每個(gè)小正方形邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知7?以他。和

的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，線段4勺的中點(diǎn)為。.

（1）以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，分別畫出把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，180。后的AB/C.

（2）利用（1）變換后所形成的圖案，解答下列問題：

①直接寫出四邊形CqC，C「四邊形A6R紇的形狀；

5

②直接寫出§四邊形式明4的值;

四邊形cqc2c§

③設(shè)心AABC的三邊8C=a,AC^b,AB=c,請證明勾股定理.

19.（8分）霧霾天氣嚴(yán)重影響市民的生活質(zhì)量。在今年寒假期間，某校九年級一班的綜合實(shí)踐小組學(xué)生對“霧霾天氣

的主要成因”隨機(jī)調(diào)查了所在城市部分市民，并對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理，繪制了下圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

組別霧霾天氣的主要成因百分比

A工業(yè)污染45%

B汽車尾氣排放m

C爐煙氣排放15%

D其他（濫砍濫伐等）n

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表回答下列問題：本次被調(diào)查的市民共有多少人？并求加和"的值；請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并計(jì)算扇形統(tǒng)

計(jì)圖中扇形區(qū)域。所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；若該市有10。萬人口，請估計(jì)市民認(rèn)為“工業(yè)污染和汽車尾氣排放是霧霾

天氣主要成因”的人數(shù).

1

20.（8分）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)B,與y軸交于C（0,3）,直線y=-]X+m

經(jīng)過點(diǎn)C,與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線CD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF_Lx軸于點(diǎn)F,交直

線CD于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線解析式并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接PD,△CDP的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)△CPE是等腰三角形時(shí)，請直接寫出m的值.

21.（8分）如圖1,已知/DAC=90。，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連

結(jié)CP,將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E.

（1）如圖1,猜想/QEP=。；

（2）如圖2,3,若當(dāng)NDAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想NQEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；

(3)如圖如若NDAC=135。,ZACP=15°,且AC=4,求BQ的長.

22.（10分）先化簡，再求值：（X+DG-1）+X2（X-1）,其中》=一2.

23.（12分）如圖1,在直角梯形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿B-C—D-A勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,

△ABP的面積為y,圖象如圖2所示.

（1）在這個(gè)變化中，自變量、因變量分別是、：

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x=4時(shí)，4ABP的面積為丫=：

（3）求AB的長和梯形ABCD的面積.

至132

24.如圖，△DEF是由△ABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到的，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心.

D

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、D

【解析】

根據(jù)基的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.合并同類項(xiàng)即可解答.

【詳解】

解：A、B兩項(xiàng)不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故A、B錯(cuò)誤，

C、D考查暴的乘方運(yùn)算，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(X2?=X6,故D正確：

【點(diǎn)睛】

本題考查暴的乘方和合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

試題分析：已知m〃n,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=/l=70。.又因N3是△ABD的一個(gè)外角，可得N3=N2+NA.

即/人=/3—/2=70。-30。=40。.故答案選C.

3、B

【解析】

試題解析：選項(xiàng)A,C,O折疊后都不符合題意，只有選項(xiàng)8折疊后兩個(gè)剪去三角形與另一個(gè)剪去的三角形交于一個(gè)頂

點(diǎn)，與正方體三個(gè)剪去三角形交于一個(gè)頂點(diǎn)符合.

故選B.

4、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理計(jì)算出直角邊，即可求出小巷寬度.

【詳解】

在RtAA'BD中，VZA,DB=90°,A'D=2米，BD2+A'D2=A'B‘2,BD2+22=6.25,；.BD2=2.25,VBD>0,ABD=1.5

米，，CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的運(yùn)用，利用梯子長度不變找到斜邊是關(guān)鍵.

5、C

【解析】

如圖，過點(diǎn)4作于點(diǎn)M,過點(diǎn)3作于點(diǎn)N.則AM=5N.通過解直角△ACM和△3CN分別求得

CM.CN的長度，則易得A5=MN=CM-CN,即可得到結(jié)論.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)A作AMLOC于點(diǎn)M,過點(diǎn)8作3NLOC于點(diǎn)N.

則AM=BN.

在直角△ACM中，VZACM=45°,AM=50m,：.CM=AM=50m.

一人」BN5050J3

在直角△BCN中，,.?N5CN=/ACB+NACZ)=60°,8N=50/w,；.CN=----------=-==——(m),：.MN=CM-CN=50

tan60°串3

5073,.

-----------(m).

3

e50事

則AB=MN=(50--2_)tn.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)問題.

6、C

【解析】

試題解析：???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),

b

???拋物線的對稱軸為直線x=--=1,

2a

/.2a+b=0,所以①正確；

???拋物線開口向下，

Aa<0,

b=-2a>0,

；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

，c>0,

...abcVO,所以②錯(cuò)誤;

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),

.?.x=l時(shí)，二次函數(shù)有最大值，

...方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以③正確；

；拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(4,0)

而拋物線的對稱軸為直線x=L

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),所以④錯(cuò)誤；

?拋物線y]=ax2+bx+c與直線j^mx+n(n#0)交于A(1,3),B點(diǎn)(4,0)

.,.當(dāng)1VXV4時(shí)，y2<yr所以⑤正確.

故選C.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；2.拋物線與x軸的交點(diǎn).

7、D

【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定；

B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90。，60°,30。的直角三角形，依此即可作出判定.

【詳解】

,.1+2=3,不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B,V12+12=(72)2,是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、底邊上的高是J是-(#)2=',可知是頂角120。，底角30。的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90。，60。，30。的直角三角形，其中90。+30。=3,符合“智慧三角形”的定義，故

選項(xiàng)正確.

故選O.

8、B

【解析】

根據(jù)圓周角得出NAOB=60。，進(jìn)而利用弧長公式解答即可.

【詳解】

解：：NACB=30°,

../AOB=60°,

60nx6

???A8的長==2九,

180

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查弧長的計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角得出NAOB=60。.

9、A

【解析】

先解出不等式，然后根據(jù)最小整數(shù)解為2得出關(guān)于m的不等式組，解之即可求得m的取值范圍.

【詳解】

解:解不等式3x-m+l>0,得：x>—-—,

???不等式有最小整數(shù)解2,

解得：4<m<7,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，正確解不等式，熟練掌握一元一次不等式、一元一次不

等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

試題分析：：每個(gè)小正方形的邊長都為1,，OA=4,：將4AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A9B，，ZAOAf=90°,

90Kx4

???A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑44'的長為：,=2出故選B.

1oU

考點(diǎn)：弧長的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11,1

【解析】

本題考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè).

【詳解】

在這一組數(shù)據(jù)中1是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是1.

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題為統(tǒng)計(jì)題，考查了眾數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題型.

12、17

【解析】

根據(jù)餅狀圖求出25元所占比重為20%,再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)求法即可解題.

【詳解】

解：1-30%-50%=20%,

25X20%+10X30%+18X50%=17.

【點(diǎn)睛】

本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，屬于簡單題，計(jì)算25元所占權(quán)比是解題關(guān)鍵.

13、1

【解析】

試題分析：設(shè)x秒時(shí)，甲乙兩點(diǎn)相遇.根據(jù)題意得：10x-5x=250,解得：x=50,

相遇時(shí)甲走了250m,乙走了500米，則根據(jù)題意推得第一次在同一邊上時(shí)可以為1.

14、1

【解析】

根據(jù)己知a<a結(jié)合a、b是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)可得a、b的值，即可求解.

【詳解】

解：b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且

/.a=2,b=3,

ba=3z=l.

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是如何根據(jù)無理數(shù)的范圍確定兩個(gè)有理數(shù)的值，題中根據(jù)"的取值范圍,可以很容易得到其相鄰兩個(gè)整數(shù),

再結(jié)合已知條件即可確定a、b的值，

15、1.

【解析】

根據(jù)三角形的性質(zhì)求解即可。

【詳解】

解：在RtAABC中,D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得:AD=BD=CD,

因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),BE//DC,所以DF是^ABE的中位線,BE=2DF=12

1.

所以DF='5E=6,

12

設(shè)CD=x,由CF=^CD,則DF=wCO=6,

可得CD=9,故AD=BD=CD=9,

故AB=1,

故答案：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形基本概念，綜合運(yùn)用三角形的知識可得答案。

16、到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上或兩點(diǎn)確定一條直線或sss或全等三角形對應(yīng)角相等或等腰三角

形的三線合一

【解析】

從作圖方法以及作圖結(jié)果入手考慮其作圖依據(jù)..

【詳解】

解：依題意，AP=AM,BP=BM,根據(jù)垂直平分線的定義可知PM,直線1.因此易知小艾的作圖依據(jù)是到線段兩端距

離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線.故答案為到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)

確定一條直線.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查尺規(guī)作圖，掌握尺規(guī)作圖的常用方法是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、x=l

【解析】

分式方程變形后去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

【詳解】

化為整式方程得：2-3x=x-2,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是原方程的解，

所以原方程的解是x=l.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.

5

18、(1)見解析；(2)①正方形；②不；③見解析.

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖的方法進(jìn)行作圖即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證AC=BC尸B|C2=B，G從而證出四邊形CGC2c3是菱形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是

正方形即可作出判斷，同理可判斷四邊形ABB]B2是正方形；

②根據(jù)相似圖形的面積之比等相似比的平方即可得到結(jié)果；

③用兩種不同的方法計(jì)算大正方形的面積化簡即可得到勾股定理.

【詳解】

.△ABC絲△BBC

.\AC=BC1,BC==B1C1,AB=BB1.

再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BC產(chǎn)Bgz=B2c歲

B2C=B2C2=AC3,

??CC產(chǎn)CC=C2c3=(X3

AB=BB1=B1B2=AB2

四邊形CC]C2c3和四邊形ABBJB2是菱形.

VZC=ZABB=90°,

...四邊形CCg2c3和四邊形ABB]Bz是正方形.

②；四邊形CCg2c3和四邊形ABB]Bz是正方形,

???四邊形ccg2c3s四邊形ABB(B2.

???AB=M,CC,=3V2,

③四邊形CC]C2c3的面積=CC/=(a+Z?)2=。2+2必+。2,

四邊形CC|C2c3的面積=4△ABC的面積+四邊形ABB|Bz的面積

二4乂一cib+C~=2。/?+。2

2

。2+2曲+/?2-2ab+C2,

化簡得：G+bi=C2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

19、(1)200人，m=30%,〃=10%；(2)見解析，36。；(3)75萬人.

【解析】

(1)用A類的人數(shù)除以所占的百分比求出被調(diào)查的市民數(shù)，再用B類的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得出B類所占的百分比m,繼

而求出n的值即可：

(2)求出C、D兩組人數(shù)，從而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，用360度乘以n即可得扇形區(qū)域。所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；

(3)用該市的總?cè)藬?shù)乘以持有A、B兩類所占的百分比的和即可.

【詳解】

(1)本次被調(diào)查的市民共有：90+45%=200(人)，

.?.機(jī)=竺、100%=30%,〃=1一45%—15%—30%=10%；

200

⑵C組的人數(shù)是200x15%=30(人卜D組的人數(shù)是200-9()-60-30=20(人)，

：.m=-x100%=30%,n=生x100%=10%.

200200

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示:

教

人J

V一

rO

t

扇形區(qū)域。所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：

360(>x10%=36。；

⑶100x(45%+30%)=75(萬)，

...若該市有100萬人口，市民認(rèn)為“工業(yè)污染和汽車尾氣排放是霧霾天氣主要成因”的人數(shù)約為75萬人.

【點(diǎn)睛】

本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表，讀懂圖形，找出必要的信息是解題的關(guān)鍵.

575125

20、(1)y=-x2+2x+3,D點(diǎn)坐標(biāo)為(彳.)；(2)當(dāng)111=下時(shí)，△CDP的面積存在最大值，最大值為二；(3)m的

24464

535-J5

值為W或］或2?

【解析】

1c

y=—x+3

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式和直線CD的解析式，然后解方程組J-2得D點(diǎn)坐標(biāo)；

y--X2+2x+3

15155

(2)設(shè)P(m,-m2+2m+3),則E(m,-—m+3),則PE=-m2+—m,利用二角形面積公式得到SApcD=-x—x(-m2+—m)

525

=-Tm2+-^m-然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

48

51

(3)討論：當(dāng)PC=PE時(shí)，m2+(-m2+2m+3-3)2=(-m2+—m)2；當(dāng)CP=CE時(shí)，m2+(-m2+2m+3-3)2=m2+(-—m+3-3)

15

2；當(dāng)EC=EP時(shí)，m2+(-—m+3-3)2=(-m2+-m)2,然后分別解方程即可得到滿足條件的m的值.

【詳解】

—1—h+c-0b=2

(1)把A(T,0),C(0,3)分別代入y=-x2+bx+c得彳_,解得彳.，

c=3c=3

拋物線的解析式為y=-X2+2X+3；

把C(0,3)代入y=--x+n,解得n=3,

1

直線CD的解析式為y=--x+3,

1c

y=—x+3x=0

解方程組'-2，解得42

y=3

y=-x2+2x+3

57

.?.D點(diǎn)坐標(biāo)為(萬，了)；

24

(2)存在.

1

設(shè)P(m,-m2+2m+3),則E(m,--m+3),

15

PE=-m2+2m+3-—m+3)=-m2+—m

22

.'.S,prn=—?—?(-mz+—m)=--m2+—m=-—(m--)2+---,

APCD222484464

5125

當(dāng)m="時(shí)，△CDP的面積存在最大值，最大值為/“；

464

(3)當(dāng)PC=PE時(shí)，m2+(-m2+2m+3-3)2=(-m2+—m)2,解得m=0(舍去)或m=下；

24

當(dāng)CP=CE時(shí)，m2+(-m2+2m+3-3)i=mi+(-—m+3-3)2,解得m=0(舍去)或m=—(舍去)或m=—;

當(dāng)EC=EP時(shí)，m2+(-:m+3-3)2=(-mz+m)2,解得m=§+事(舍去)或m=^~,

2222

綜上所述，m的值為z5或亍3或25-TJ52.

本題考核知識點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵點(diǎn)：靈活運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

21、(1)ZQEP=60°；(2)ZQEP=60°,證明詳見解析；(3)8。=2和一2a

【解析】

(1)如圖1,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出NPC4=NQC5,進(jìn)而可利用SAS證明△CQB絲進(jìn)

而得再在△PEM和4CQM中利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得NQEP=/QCP,從而完成猜想；

(2)以ND4c是銳角為例，如圖2,仿(1)的證明思路利用SAS證明AACP四△5CQ,可得NAPC=N。，進(jìn)一步即

可證得結(jié)論；

(3)仿(2)可證明AACP嶺/XBC。，于是4尸=B。，再求出AP的長即可，作C4L4。于H,如圖3,易證/APC=30°,

△AS為等腰直角三角形，由AC=4可求得CH、的長，于是AP可得，問題即得解決.

【詳解】

解：⑴/Q￡P(guān)=60。：

證明：連接尸。，如圖1,由題意得：PC=CQ,且NPC?=60。，

?..△ABC是等邊三角形，AZACB=60°,ZPCA=ZQCB,

則在△CPA和仆CQB中，

PC=QC

<ZPCA=ZQCB,

AC=BC

二ACQB冬ACPAISAS),

：.ZCQB=ZCPA,

又因?yàn)椤鱌EM和4C0M中，ZEMP=ZCMQ,

：.NQEP=NQCP=60。.

故答案為60