遼寧省遼東南協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024年春開學(xué)考試高三數(shù)學(xué)時(shí)間：90分鐘滿分：120分本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時(shí)間為120分鐘.第Ⅰ卷(選擇題，共58分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣13．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．已知，，則（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)M是邊長為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓內(nèi)(含邊界)一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．《張丘建算經(jīng)》是我國北魏時(shí)期大數(shù)學(xué)家張丘建所著，約成書于公元466﹣485年間．其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數(shù)量相同。已知第一日織布5尺，30日共織布390尺，則該女子織布每日增加（）尺A． B． C． D．7．將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）A．12種 B．10種 C．9種 D．8種8．已知橢圓()的離心率為，直線與圓相切，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．±1 B．±2 C．±4 D．±8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最小正周期為πB．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．將函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再向左平移個(gè)單位后關(guān)于y軸對稱D．函數(shù)在上的最小值為10．已知正方體的棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別棱AB，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．平面 B．四面體的體積等于C．FG與平面ABCD所成角的正切值為 D．平面EFG11．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn) D．點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心第Ⅱ卷(非選擇題，共92分)三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某段時(shí)間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5：2：3，現(xiàn)使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取n人，若青年旅客抽到60人，則n＝_______；13．已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若，，，，則球O的表面積為_______；14．已知函數(shù)．若，且，則的取值范圍是_______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．(本小題滿分13分)已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程(2)若曲線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．16．(本小題滿分15分)某校積極響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于共建學(xué)習(xí)型社會(huì)的號(hào)召，開展了“學(xué)黨史，強(qiáng)信仰，跟黨走”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．在一次“黨史”知識(shí)競賽活動(dòng)中，給出了A、B、C三道題，答對A、B、C分別得2分、2分、4分，答錯(cuò)不得分．已知甲同學(xué)答對問題A、B、C的概率分別為、、，乙同學(xué)答對問題A、B、C的概率均為，甲、乙兩位同學(xué)都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨(dú)立。(1)求甲同學(xué)至少有一道題不能答對的概率；(2)請結(jié)合統(tǒng)計(jì)的知識(shí)判斷甲、乙兩人在本次“黨史”知識(shí)競賽中，哪位同學(xué)得分高．17．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P﹣ACBD中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面PBC．(2)若BC＝3，求二面角A﹣CE﹣D的余弦值．18．(本小題滿分17分)已知拋物線C：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)M、N在拋物線C上，且，求證：直線MN過定點(diǎn)．19．(本小題滿分17分)對于給定的正整數(shù)m和實(shí)數(shù)a，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對任意的，，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．(Ⅰ)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；(Ⅱ)對于給定的正奇數(shù)t，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)式；(Ⅲ)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)N，對任意的正整數(shù)k，不等式均成立．高三數(shù)學(xué)答案一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分。題號(hào)1234567891011答案CDADCBABABABCAD三．填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．200 13．14．(3，＋∞)四．解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，，∴，∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的方程為．………………4分（2）由得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；………………8分當(dāng)時(shí)，令得，，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，若曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，曲線y＝f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．………………13分16．（本小題滿分15分）解：（1）設(shè)甲同學(xué)三道題都答對的事件為，則，所以甲同學(xué)至少有一道題不能答對的概率為．………………5分（2）設(shè)甲同學(xué)本次競賽中得分為，則的可能取值為分，則，，，所以的概率分布列為：所以（分）………………9分設(shè)乙同學(xué)本次競賽中得分為，由的可能取值為分，，，所以的概率分布列為：所以………………13分由于，所以乙同學(xué)的得分高．………………15分17．（本小題滿分15分）證明：因?yàn)榈酌?，平面，所以．四邊形為矩形，所以，因?yàn)椋云矫妫畯亩?，因?yàn)椋c(diǎn)是棱的中點(diǎn)﹐所以．因?yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．……………?分解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，依題意可得，設(shè)平面的法向量為，由，得不妨令可得．………………9分設(shè)平面的法向量為，由，得不妨令，可得．………………12分易知二面角為銳角，，所以二面角的余弦值為．………………15分18．（本小題滿分17分）解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，所以，解得，………………2分所以拋物線的方程為，………………4分因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的方程為．………………8分（2）證明：設(shè)直線MN的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，………………10分同理可得，………………12分因，所以，所以，所以，即（滿足），直線MN的方程為，所以直線MN過定點(diǎn)．………………17分19．（本小題滿分17分）解：（Ⅰ）依題意，且，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為5．