湖南省長(zhǎng)沙市2023屆高考考前模擬試題(數(shù)學(xué))

湖南省長(zhǎng)沙市2023屆高考考前模擬仿真試題(數(shù)學(xué))

第I卷(共50分)

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.

.全集集合那么集合

1U=R,A={x∣x+l<O},B={x∣x-3<0},(GyAHB=()

(A){χ∣-l≤χ<3}(B){Λ∣-1<x<3}

(C){Λ∣X<-1}(D){x∣x>3}

【答案】A

【解析】A={xk+l<0}={jψc<-l},B={xk_3<0}={Λψc<3},畫(huà)出數(shù)軸可以求得答

案為A

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，那么設(shè)2是虛數(shù)單位，那么‘T=()

l-z3

11.1.,11.1.

Aλ.-------1Bπ.1+—/C.—+—zDn.1---z

222222

【答案】C

i?(>i)l+ι1i

【解析］--=—I-應(yīng)選C.

l-z31+z(1+Od-O222

3.某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出

16人參加軍訓(xùn)表演，那么一班和二班分別被抽取的人數(shù)是()

(A)8,8(B)10,6

(C)9,7(D)12,4

【答案】C

5442

【解析】一班被抽取的人數(shù)是16x^=9人;二班被抽取的人數(shù)是16x空=7人,應(yīng)選C.

9696

4.(理科)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N[0,1),P(X>D=p,那么P(X>—D=()

(A)p(B)1-p(C)l-2p(D)

2p

【答案】B

【解析】VP(X<-D=P(X>1),那么P(X>—D=1-p.

(文科)sin15cos15=()

A?DΛ∕6+>∕2?/?-1√6-√2

A.-D.----------------C.-----------D.-———

4444

【答案】A

【解析】sin15cos15=LSin30=’，應(yīng)選A.

24

5.直線(xiàn)/_L平面/直線(xiàn)au平面，，有下面四個(gè)命題:

3a//BnI工in：⑵a工βnI//m；(3)11hnna工B?A4)I工InnallB

其中正確的命題()

A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(3)D.⑶⑷

【答案】C

【解析】對(duì)于⑴，由/_La,a//pn/_L4,又因?yàn)橹本€(xiàn)機(jī)U平面尸，所以/_Lm,故⑴正

確；同理可得⑶正確，(2)與(4)不正確,應(yīng)選C.

6.數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足l0g3?！?1=log?%+](neN'),且%+4+4=9，那么

logI(%+%+%)的值是()

3

IA)--(B)-5(C)5(D)-

55

【答案】B

【解析】由log36,+l=log3a“+1(〃eN*),得4+∣=3%,所以數(shù)列｛q｝是公比等于3的

i51

等比數(shù)列，a5+a1+a9=(出+a4+a6)×3=3,Wlogl(?5+a7+tz9)=-Iog35=-5,

3

應(yīng)選B.

7.在ZVlBC中，C=90,且C4=CB=3,點(diǎn)M滿(mǎn)足3M=2M4,則CMCB等于

()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】CM?CB=(C3+CM)?CB=∣CB∣2+BMCB=9+3×2√2×COS135=3.

8.假設(shè)函數(shù)/(x)=Sinar+cosαc(a>0)的最小正周期為1,那么它的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)

中心為()

A.(-?,θ)B.(?,θ)C.(0,0)D.(-?,θ)

884

【答案】A.

【解析】f(x)=sin<yχ+cos0x=0sin(3x+M),這個(gè)函數(shù)的最小正周期是女，令

4ω

^-=1,解得。=2,故函數(shù)/(x)=Sin<υx+cos0x=J5sin(2x+三)，把選項(xiàng)代入檢驗(yàn)

ω4

TT

點(diǎn)(一二,0)為其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.

8

x≥2,

9.實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件<x+y<4,目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為5,那么該目標(biāo)函

-2x+y+c≥O,

數(shù)z=3x+y的最大值為()

A.10B.12C.14D.15

【答案】A

x≥2,

【解析】根據(jù)題意，不等式組<x+y<4,所表示的平面區(qū)域一定是三角形區(qū)域，根據(jù)

-2x+γ+c>0

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)必需是區(qū)域下方的頂點(diǎn)，求出c,再確定目

標(biāo)函數(shù)的最大值.如圖，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)是其中的點(diǎn)A,其坐標(biāo)是(2,4-c),代入

目標(biāo)函數(shù)得6+4-c=5,解得C=5。目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)是圖中的點(diǎn)3,由方程組

\解得x=3,y=l,故目標(biāo)函數(shù)的最大值是3x3+1=10.

-2x+y+5-0,

10.函數(shù)/(x)在定義域K上不是常數(shù)函數(shù)，且/(x)滿(mǎn)足條件：對(duì)任意x∈R,都有

/(2+尤)=/(2—x)J(I+x)=-f(x),那么/(Λ)是

A.奇函數(shù)但非偶函數(shù)B.偶函數(shù)但非奇函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D,是非奇非偶函數(shù)

【答案】B

【解析】〃x+2)=/［l+(l+x)］=—/(l+x)=∕(x),即/(x)是周期函數(shù)，T=2,又

/(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，所以/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù).

第II卷(共IOO分)

二、填空題(本大題共7小題，每題4分，共28分)

11.向量I=(—1,1)在向量Z=(3,4)方向上的投影為

【答案】-

5

【解析】設(shè)向量Z=(—1,1)與I=(3,4)的夾角為6

那么向量。在向量匕方向上的投影為卜,。。6=胃=(］；??(『)=?

12.函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)做l,f(l))處的切線(xiàn)方程是2χ-3y+l=0,那么F(l)+F(1)=.

【答案】-

3

9s

【解析】因?yàn)?⑴=1,f(l)=?,所以f(D+f(l)?j.

13.(理科)二項(xiàng)式(丁-與)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

【答案】-IO

【解析】&=G(X3廣'?=C(IyXf所以4=C(τ)3=τo

1文科)圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心在X軸的正半軸上，直線(xiàn)1：y=xT被該圓所截得的弦長(zhǎng)

為2&,那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

［答案］(X-3)2+)L=4

【解析】待定系數(shù)法求圓的方程.

14.假設(shè)某幾何體的三視圖(單位：CIn)如下圖，那么該幾何體的體積為ClL

【解析】由三視圖知，該幾何體為圓柱上面加上一個(gè)圓錐,所以

體積為乃X

15.X與y之間的一組數(shù)據(jù):

X0123

Y1357

那么y與X的線(xiàn)性回歸方程為尸b/a必過(guò)點(diǎn)

【答案】(1.5,4)

【解析】線(xiàn)性回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(x,y)?

16.雙曲線(xiàn)"2一V=1的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)2χ+y+l=0垂直，那么雙曲線(xiàn)的離心率為—

【答案】?

2

元21

【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)丘2—y2=1為=-V=],它的一條漸近線(xiàn)方程為y=上χ

crα

直線(xiàn)2x+y+1=0的斜率為一2

：直線(xiàn)y='x與直線(xiàn)2x+y+l=0垂直

a

.Jχ(-2)=-l

即α=2

a

C√22+12√5

~a~—2—^V

17.右面的程序框圖輸出的結(jié)果為.

【答案】510

【解析】2'+22++28=2(1-2)=29—2=510.

1-2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

18.(本小題總分值14分)

在ΔABC中，4,瓦C分別為內(nèi)角A,&C的對(duì)邊，且2cos(5-C)=4sin8sinC-l.

(I)求A；

(II)假設(shè)α=3,sin—=—,求》.

23

【解析】(I)由2cosGB-C)=4sinjBsinC-1,

得2(cos5cosC+sin8sinC)-4SinSsinC=-1,…3分

即2(coSbCOSC—sinSsinC)=—1.

從而2cos(B+C)=-l,得COS(5+C)=-L.…5分

2

B+C=—,故A=生.…7分

33

(H)由si??g=',得COSo=?^^?,…9分

2323

??R勺.BB4行?

..sιnπ=2sιn—cos—=-----.???11ττ

229

=.?.*=?,解得/,=尬.?.?M分

SinBSinA4√2√39

9

19.（本小題總分值14分）在數(shù)列｛〃〃｝中，q=1,當(dāng)〃≥2時(shí)，其前〃項(xiàng)和S“滿(mǎn)足:

(I)求4；

(∏)令d=一求數(shù)列｛ξ,｝的前項(xiàng)和z,?

2π+1

19.M?(1)fiι?≥2∣f.???-?1.

????,-σ.-^x?-∣)-?14S?~JA^*TJT?

?，?Si_$■.2Saz.

；.W--』-=2,即敷外*)為?贊敬冗.，-4=1，

KSIS.

?：品?M?"T?一—-???4套

S9$“TR

22*…F±.七M(jìn)g)l向.

itn>ι

??Q.=<1,#N2?4.????????????.ιg

一(??以力r-3)

⑴“2?：廣(2ΛMX2"+1)?Q喘丁2+Ib----------------“分

ZT(Hx(H)i???-j?)=如掃=六一一“分

20.(本小題總分值14分)如圖，三角形ΔABC與ΔBCZ)所在平面互相垂直，且

ZBAC=ZBCD=90°,AB^AC,CB=CD,點(diǎn)P,Q分別在線(xiàn)段50,CD上，沿直線(xiàn)PQ

將公PQD向上翻折，使。與4重合.

(I)求證：AB1CQ；

(II)求直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角.

【解析】

(I)證明?面ABCI.面BCQ又CQLBC.?CQV^ABC

:.CQ±AB5分

(II)解1：作AOLBC,垂足為。，那么AOL面8C。,

由題意AP=DP

那么+x2-2×^^×xcos45+

=(27)2

22

解得χ=l9分

由m知ABL面ACQ

??.直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角的正弦值sina就是直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AB所成角的余弦值

cosZ.BAP,.........12分

1Tt

即sina=cos/BAP=—，a=—，

26

TT

即直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角為一..........14分

6

解2：取BC的中點(diǎn)。，8。的中點(diǎn)E,如圖以O(shè)B所在直線(xiàn)為X軸，以O(shè)E所在直線(xiàn)為y

軸，以04所在直線(xiàn)為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.…6分

不妨設(shè)BC=2,那么A(0,0,1),。(一1,2,0),P(x,l-x,0),……8分

由IAH=?DF?即X2+(l-x)2+1=(x+if+(X+1》,

解得X=0,所以P(0,1,0),.......10分

故而=(o,ι,τ)

設(shè)“=(x,y,z)為平面ACQ的一?個(gè)法向量,

因?yàn)橐?(―1,0,—11CQ=λOE=Λ(θ,l,θ)

n-AC=O-x-z=O

由1.即4

n?CQ-02y=0

所以7=(l,0,-l)12分

設(shè)直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角為c,

1__j_

那么Sina=cos(AP,n

√2√2^2

TT

所以

6

TT

即直線(xiàn)AP與平面ACQ所成的角為一14分

6

21.1本小題總分值15分)直線(xiàn)x+0-3=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)/恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),

且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵圓Uχ2+y2=],直線(xiàn)/：?u+〃y=l,試證：當(dāng)點(diǎn)/>(皿〃)在橢圓C上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)/與圓。恒相交，并求直線(xiàn)/被圓。所截得的弦長(zhǎng)L的取值范圍.

22

【解析】⑴設(shè)橢圓C的方程為7+A

直線(xiàn)x+6—3=0所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是(3,0),即點(diǎn)F(3,0)

：橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8

.?.α+3=8a=5

.β.b1=Ol-C2—16

χ2V2

?,?橢圓C的方程為一+乂=1

2516

(2)?.?點(diǎn)P(m,〃)在橢圓C上

m2n216m2

.?.—+—=1,∏2-=16--------

251625

/.原點(diǎn)到直線(xiàn)Γ.ιwc+ny=l的距離d=1

/11

√m2+n2'2加+16

25

直線(xiàn)I,.mx+ny=1與圓O:=1恒相交

/?=4(，_/)=4(J?)

—∕n2+16

25

V0≤m≤5

.√154√6

>?_jL√_

25

22.1本小題總分值15分)函數(shù)/(x)=21nx-χ2.

(1)求函數(shù)y=∕(x)在1,2上的最大值.

(II)如果函數(shù)g(x)=f(x)-?的圖像與X軸交于兩點(diǎn)A(F,0)、8(孫0)，且0<5<Λ2?

y=g'(x)是y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)，假設(shè)正常數(shù)p,q滿(mǎn)足p+q=?,q≥p.

求證：g'(pxi+qx2)<0.

【解析】(1)由/*)=2111X一/得到：/(X)=止必匕2，

X

?.?Λ∈[p2],故/(X)=O在X=I有唯一的極值點(diǎn)，∕φ=-21n2-∣,

/⑵=21n2-4,極大值=〃1)=T，

且知/(2)</(；)</(1),所以最大值為/(I)=-I...........................6分

2

(II)?,g?x)=——2x-a,又/*)-0r=O有兩個(gè)不等的實(shí)根APX),

X

bl

那么F