中考數(shù)學選擇填空壓軸題：圓的綜合問題

PAGE中考數(shù)學選擇填空壓軸題：圓的綜合問題例1．如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B為弧AD的中點，P是直徑CD上一動點，⊙O的半徑是2，則PA＋PB的最小值為（）A．2 B．EQ\R(,5) C．EQ\R(,3)＋1 D．EQ2\R(,2)同類題型1.1如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點D，連結(jié)CD，延長AC，BD，相交于點F．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①若AD＝5，BD＝2，則EQDE＝\F(2,5)；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直徑AG⊥BD交BD于點H，AC＝FC＝4，DF＝3，則EQcosF＝\F(41,48)；則正確的結(jié)論是（）A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④同類題型1.2一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：（1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示．（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示．（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示．（4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示．經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④EQS\S\DO(△AEF)：EQS\S\DO(圓)＝3\R(,3)：4π，以上結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．如圖，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以EQ4\R(,2)為半徑，過B、C兩點作⊙O，連OA，則線段OA的最大值為______________．同類題型2.1如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M，EQOM＝\F(1,3)，則sin∠CBD的值等于（）A．EQ\F(\R(,3),2) B．EQ\F(1,3) C．EQ\F(2\R(,2),3) D．EQ\F(1,2)同類題型2.2如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點M，且MP＝OM，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________．同類題型2.3如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一個動點，以AD為直徑的⊙O交BD于E，則線段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8例3．如圖，直線EQl\S\DO(1)∥l\S\DO(2)，⊙O與EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)分別相切于點A和點B．點M和點N分別是EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)上的動點，MN沿EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯誤的是（）A．EQMN＝\F(4\R(,3),3)B．若MN與⊙O相切，則EQAM＝\R(,3)C．若∠MON＝90°，則MN與⊙O相切D．EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)的距離為2同類題型3.1如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（－2，0）、（0，1），⊙C的圓心坐標為（0，－1），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是__________．同類題型3.2我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：EQy＝kx＋4\R(,3)與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是（）A．6 B．8 C．10 D．12同類題型3.3已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為EQ\F(ab,a＋b)的是（）A． B． C． D．例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點G，H，則EQ\F(EF,GH)的值為______________．同類題型4.1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是_______________．同類題型4.2如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別是AB、AC上的點，BD＝2AD，EC＝2AE，則sin∠BAC的值等于線段（）A．DE的長 B．BC的長 C．EQ\F(2,3)DE的長 D．EQ\F(3,2)DE的長例5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連結(jié)BE，EQBE＝7\R(,2)．下列四個結(jié)論：①AC平分∠DAB；②EQPF\S\UP6(2)＝PB﹒PA；③若EQBC＝\F(1,2)OP，則陰影部分的面積為EQ\F(7,4)π－\F(49,4)\R(,3)；④若PC＝24，則EQtan∠PCB＝\F(3,4)．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③同類題型5.1如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_____________．同類題型5.2某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設計要求，若∠EOF＝45°同類題型5.3如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（）A．EQ\F(2π,3) B．EQ2\R(,3)－\F(π,3) C．EQ2\R(,3)－\F(2π,3) D．EQ4\R(,3)－\F(2π,3)同類題型5.4如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓EQO\S\DO(1)和半圓EQO\S\DO(2)，一平行于AB的直線EF與這兩個半圓分別交于點E、點F，且EF＝2（EF與AB在圓心EQO\S\DO(1)和EQO\S\DO(2)的同側(cè)），則由EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AE)，EF，EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),FB)，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于_______．參考答案例1．如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B為弧AD的中點，P是直徑CD上一動點，⊙O的半徑是2，則PA＋PB的最小值為（）A．2 B．EQ\R(,5) C．EQ\R(,3)＋1 D．EQ2\R(,2)解：作A關(guān)于MN的對稱點Q，連接CQ，BQ，BQ交CD于P，此時AP＋PB＝QP＋PB＝QB，根據(jù)兩點之間線段最短，PA＋PB的最小值為QB的長度，連接OQ，OB，∵點A是半圓上的一個三等分點，∴∠ACD＝30°．∵B弧AD中點，∴∠BOD＝∠ACD＝30°，∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°．∵⊙O的半徑是2，∴OB＝OQ＝2，∴EQBQ＝\R(,OB\S\UP6(2)＋OQ\S\UP6(2))＝2\R(,2)，即PA＋PB的最小值為2EQ\R(,2)．選D．同類題型1.1如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點D，連結(jié)CD，延長AC，BD，相交于點F．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①若AD＝5，BD＝2，則EQDE＝\F(2,5)；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直徑AG⊥BD交BD于點H，AC＝FC＝4，DF＝3，則EQcosF＝\F(41,48)；則正確的結(jié)論是（）A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④解：①如圖1，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BDE＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴EQ\F(BD,AD)＝\F(DE,BD)，由AD＝5，BD＝2，可求EQDE=\F(4,5)，①不正確；②如圖2，連接CD，∠FCD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠FCD＝∠ABD，若∠ACB＝∠DCF，因為∠ACB＝∠ADB，則有：∠ABD＝∠ADB，與已知不符，故②不正確；③如圖3，∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC，∴△FDA∽△FCB；故③正確；④如圖4，連接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD，又∵∠F＝∠F，∴△FCD∽△FBA，∴EQ\F(FC,FB)＝\F(FD,FA)，由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，EQFB＝\F(32,3)，∴EQBD＝BF－DF＝\F(23,3)，∵直徑AG⊥BD，∴EQDH＝\F(23,6)，∴EQFH＝\F(41,6)，∴EQcosF＝\F(FH,AF)＝\F(41,48)，故④正確；故選：C．同類題型1.2一張圓形紙片，小芳進行了如下連續(xù)操作：（1）將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖（2）所示．（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示．（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示．（4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示．經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④EQS\S\DO(△AEF)：EQS\S\DO(圓)＝3\R(,3)：4π，以上結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵紙片上下折疊A、B兩點重合，∴∠BMD＝90°，∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，∴∠BNF＝90°，∴∠BMD＝∠BNF＝90°，∴CD∥EF，故①正確；根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF，又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；如圖，連接ME，則ME＝MB＝2MN，∴∠MEN＝30°，∴∠EMN＝90°－30°＝60°，又∵AM＝ME（都是半徑），∴∠AEM＝∠EAM，∴EQ∠AEM＝\F(1,2)∠EMN＝\F(1,2)×60°＝30°，∴∠AEF＝∠AEM＋∠MEN＝30°＋30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，∴∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，故③正確；設圓的半徑為r，則EQMN＝\F(1,2)r，EQEN＝\F(\R(,3),2)r，∴EQEF＝2EN＝\R(,3)r，EQAN＝r＋\F(1,2)r＝\F(3,2)r，∴EQS\S\DO(△AEF)：EQS\S\DO(圓)＝（\F(1,2)×\R(,3)r×\F(3,2)r）：EQπr\S\UP6(2)＝3\R(,3)：4π，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個．選D．同類題型1.3同類題型1.4例2．如圖，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以EQ4\R(,2)為半徑，過B、C兩點作⊙O，連OA，則線段OA的最大值為______________．解：作OF⊥BC于F，則EQBF＝CF＝\F(1,2)BC＝2，如圖，連結(jié)OB，在Rt△OBF中，EQOF＝\R(,OB\S\UP6(2)－BF\S\UP6(2))＝\R(,(4\R(,2))\S\UP6(2)－2\S\UP6(2))＝2\R(,7)，∵∠BAC＝45°，BC＝4，∴點A在BC所對應的一段弧上一點，∴當點A在BC的垂直平分線上時OA最大，此時AF⊥BC，AB＝AC，作BD⊥AC于D，如圖，設BD＝x，∵△ABD為等腰直角三角形，∴EQAB＝\R(,2)BD＝\R(,2)x，∴EQAC＝\R(,2)x，在Rt△BDC中，∵EQBC\S\UP6(2)＝CD\S\UP6(2)＋BD\S\UP6(2)，∴EQ4\S\UP6(2)＝（\R(,2)x－x）\S\UP6(2)＋x\S\UP6(2)，即EQx\S\UP6(2)＝4（2＋\R(,2)），∵EQ\F(1,2)AF﹒BC＝\F(1,2)BD﹒AC，∴EQAF＝\F(x﹒\R(,2)x,4)＝2\R(,2)＋2，∴EQAO＝AF＋OF＝2\R(,2)＋2＋2\R(,7)，即線段OA的最大值為EQ2EQ\R(,2)＋2＋2EQ\R(,7)．同類題型2.1如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M，EQOM＝\F(1,3)，則sin∠CBD的值等于（）A．EQ\F(\R(,3),2) B．EQ\F(1,3) C．EQ\F(2\R(,2),3) D．EQ\F(1,2)解：連接AO，∵OM⊥AB于點M，AO＝BO，∴∠AOM＝∠BOM，∵∠AOB＝2∠C∴∠MOB＝∠C，∵⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點D，EQOM＝\F(1,3)，∴EQsin∠CBD＝sin∠OBM＝\F(MO,OB)＝\F(\F(1,3),1)＝\F(1,3)則sin∠CBD的值等于EQ\F(1,3)．選B．同類題型2.2如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點M，且MP＝OM，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________．解：①根據(jù)題意，畫出圖（1），在△QOC中，OC＝OM，∴∠OMC＝∠OCP，在△OPM中，MP＝MO，∴∠MOP＝∠MPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°，在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180°，即（∠OCP＋30°）＋（∠OCP＋30°）＋∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②當P在線段OA的延長線上（如圖2）∵OC＝OM，∴EQ∠OMP=（180°-∠MOC）×\F(1,2)①，∵OM＝PM，∴EQ∠OPM=（180°-∠OMP）×\F(1,2)②，在△OMP中，30°＋∠MOC＋∠OMP＋∠OPM＝180°③，把①②代入③得∠MOC＝20°，則∠OMP＝80°∴∠OCP＝100°；③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），∵OC＝OM，∴EQ∠OCP=∠OMC=（180°-∠COM）×\F(1,2)①，∵OM＝PM，∴EQ∠P＝（180°－∠OMP）×\F(1,2)②，∵∠AOC＝30°，∴∠COM＋∠POM＝150°③，∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④，①②③④聯(lián)立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°－150°－10°＝20°．故答案為：40°、20°、100°．同類題型2.3如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一個動點，以AD為直徑的⊙O交BD于E，則線段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：如圖，連接AE，則∠AED＝∠BEA＝90°，∴點E在以AB為直徑的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，當點Q、E、C三點共線時，QE＋CE＝CQ（最短），而QE長度不變，故此時CE最小，∵AC＝12，∴EQQC＝\R(,AQ\S\UP6(2)＋AC\S\UP6(2))＝13，∴CE＝QC－QE＝13－5＝8，選D．例3．如圖，直線EQl\S\DO(1)∥l\S\DO(2)，⊙O與EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)分別相切于點A和點B．點M和點N分別是EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)上的動點，MN沿EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)平移．⊙O的半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯誤的是（）A．EQMN＝\F(4\R(,3),3)B．若MN與⊙O相切，則EQAM＝\R(,3)C．若∠MON＝90°，則MN與⊙O相切D．EQl\S\DO(1)和EQl\S\DO(2)的距離為2解：A、平移MN使點B與N重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得EQMN＝\F(4\R(,3),3)，正確；B、當MN與圓相切時，M，N在AB左側(cè)以及M，N在A，B右側(cè)時，EQAM＝\R(,3)或EQ\F(\R(,3),3)，錯誤；C、若∠MON＝90°，連接NO并延長交MA于點C，則△AOC≌△BON，故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高為1，即O到MN的距離等于半徑．正確；D、EQl\S\DO(1)∥l\S\DO(2)，兩平行線之間的距離為線段AB的長，即直徑AB＝2，正確．選B．同類題型3.1如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（－2，0）、（0，1），⊙C的圓心坐標為（0，－1），半徑為1．若D是⊙C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是__________．解：當射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．連接AC，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），∴AD＝AO＝2，連接CD，設EF＝x，∴EQDE\S\UP6(2)＝EF﹒OE，∵CF＝1，∴EQDE＝\R(,x(x＋2))，∵△CDE∽△AOE，∴EQ\F(CD,AO)＝\F(CE,AE)，即EQ\F(1,2)＝\F(x＋1,2＋\R(,x(x＋2)))，解得EQx＝\F(2,3)，EQS\S\DO(△ABE)＝\F(BE×AO,2)＝\F(2×(\F(2,3)＋1＋2),2)＝\F(11,3)．同類題型3.2我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：EQy＝kx＋4\R(,3)與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是（）A．6 B．8 C．10 D．12解：∵直線l：EQy＝kx＋4\R(,3)與x軸、y軸分別交于A、B，∴B（0，EQ4gh(3)），∴EQOB＝4\R(,3)，在RT△AOB中，∠OAB＝30°，∴EQOA＝\R(,3)OB＝\R(,3)×4\R(,3)＝12，∵⊙P與l相切，設切點為M，連接PM，則PM⊥AB，∴EQPM＝\F(1,2)PA，設P（x，0），∴PA＝12－x，∴⊙P的半徑EQPM＝\F(1,2)PA＝6－\F(1,2)x，∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個數(shù)，∴使得⊙P成為整圓的點P個數(shù)是6．故選：A．同類題型3.3已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為EQ\F(ab,a＋b)的是（）A． B． C． D．解：設⊙O的半徑為r，A、∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，∴EQS\S\DO(△ABC)＝\F(1,2)（a＋b＋c）﹒r＝\F(1,2)ab，∴EQr＝\F(ab,a＋b＋c)；B、如圖，連接OD，則OD＝OC＝r，OA＝b－r，∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠C＝90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB＝OD：BC，即（b－r）：c＝r：a，解得：EQr＝\F(ab,a＋c)；C、連接OE，OD，∵AC與BC是⊙O的切線，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC＝OD＝r，OE∥AC，∴OE：AC＝BE：BC，∴r：b＝（a－r）：a，∴EQr＝\F(ab,a＋b)；D、解：設AC、BA、BC與⊙O的切點分別為D、F、E；連接OD、OE；∵AC、BE是⊙O的切線，∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°；∴四邊形ODCE是矩形；∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形；即OE＝OD＝CD＝r，則AD＝AF＝b－r；連接OB，OF，由勾股定理得：EQBF\S\UP6(2)＝OB\S\UP6(2)－OF\S\UP6(2)，EQBE\S\UP6(2)＝OB\S\UP6(2)－OE\S\UP6(2)，∵OB＝OB，OF＝OE，∴BF＝BE，則BA＋AF＝BC＋CE，c＋b－r＝a＋r，即EQr＝\F(c＋b－a,2)．故選C．例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點G，H，則EQ\F(EF,GH)的值為______________．解：如圖，連接AC、BD、OF，設⊙O的半徑是r，則OF＝r，∵AO是∠EAF的平分線，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°＋30°＝60°，∴EQFI=r﹒sin60°=\F(\R(,3),2)r，∴EQEF=\F(\R(,3),2)r×2=\R(,3)r，∵AO＝2OI，∴EQOI＝\F(1,2)r，EQCI＝r－\F(1,2)r＝\F(1,2)r，∴EQ\F(GH,BD)＝\F(CI,CO)＝\F(1,2)，∴EQGH＝\F(1,2)BD＝r，∴EQ\F(EF,GH)＝\F(\R(,3)r,r)＝\R(,3)．同類題型4.1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是_______________．解：延長EF，過B作直線平行AC和EF相交于P，∵AE＝5，EC＝3，∴AO＝CE＋OE，即有，OE＝EN＝1，又∵△DMN∽△DEO，且EQMN=\F(1,3)DM，∴DE＝3OE＝3，又∵OE∥BP，O是DB中點，所以E也是中點，∴EP＝DE＝3，∴BP＝2，又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2，∴EQEF=EP×\F(3,5)＝1.8，故可得DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8．同類題型4.2如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別是AB、AC上的點，BD＝2AD，EC＝2AE，則sin∠BAC的值等于線段（）A．DE的長 B．BC的長 C．EQ\F(2,3)DE的長 D．EQ\F(3,2)DE的長解：如圖，作直徑CF，連接BF，在Rt△CBF中，EQsin∠F＝\F(BC,CF)＝\F(BC,2)；∵BD＝2AD，EC＝2AE，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，∴BC＝3DE，∴EQsin∠A＝sin∠F＝\F(BC,2)＝\F(3DE,2)＝\F(3,2)DE．選D．例5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連結(jié)BE，EQBE＝7\R(,2)．下列四個結(jié)論：①AC平分∠DAB；②EQPF\S\UP6(2)＝PB﹒PA；③若EQBC＝\F(1,2)OP，則陰影部分的面積為EQ\F(7,4)π－\F(49,4)\R(,3)；④若PC＝24，則EQtan∠PCB＝\F(3,4)．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③解：①連接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．故正確；②∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，又∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB．又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE．∴∠PFC＝∠PCF．∴PC＝PF，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PC：PA＝PB：PC，∴EQPC\S\UP6(2)＝PB﹒PA，即EQPF\S\UP6(2)＝PB﹒PA；故正確；③連接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AE)＝\o\ac(\S\UP7(⌒),BE)，∴AE＝BE．又∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°．∴EQAB=\R(,2)BE=\R(,2)×7\R(,2)＝14，∴OB＝OC＝7，∵PD是切線，∴∠OCP＝90°，∵EQBC＝\F(1,2)OP，∴BC是Rt△OCP的中線，∴BC＝OB＝OC，即△OBC是等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴EQS\S\DO(△BOC)＝\F(49,4)\R(,3)，S_(扇形BOC)＝(60)/(360)×π×7^(2)＝(49)/(6)π，∴陰影部分的面積為EQ\F(49,6)π－\F(49,4)\R(,3)；故錯誤；④∵△PCB∽△PAC，∴EQ\F(PB,PC)＝\F(BC,AC)，∴EQtan∠PCB＝tan∠PAC＝\F(BC,AC)＝\F(PB,PC)，設PB＝x，則PA＝x＋14，∵EQPC\S\UP6(2)＝PB﹒PA，∴EQ24\S\UP6(2)＝x（x＋14），解得：EQx\S\DO(1)＝18，EQx\S\DO(2)＝－32，∴PB＝18，∴EQtan∠PCB＝\F(PB,PC)＝\F(18,24)＝\F(3,4)；故正確．故選C．同類題型5.1如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_____________．解：∵扇形OAB的圓心角為90°，扇形半徑為2，∴扇形面積為：EQ\F(90π×2\S\UP6(2),360)＝π（cm\S\UP6(2)），半圓面積為：EQ\F(1,2)×π×1\S\UP6(2)＝\F(π,2)（cm\S\UP6(2)），∴EQS\S\DO(Q)＋S\S\DO(M)＝S\S\DO(M)＋S\S\DO(P)＝\F(π,2)（cm\S\UP6(2)），∴EQS\S\DO(Q)＝S\S\DO(P)，連接AB，OD，∵兩半圓的直徑相等，∴∠AOD＝∠BOD＝45°，∴EQS\S\DO(綠色)＝S\S\DO(△AOD)＝\F(1,2)×2×1＝1(cm\S\UP6(2))，∴陰影部分Q的面積為：EQS\S\DO(扇形AOB)－S\S\DO(半圓)－S\S\DO(綠色)＝π－\F(π,2)－1＝\F(π,2)－1(cm\S\UP6(2))．同類題型5.2某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E為上切點），與左右兩邊相交（F，G為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設計要求，若∠EOF＝45°，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為_____________．解：設⊙O與矩形ABCD的另一個交點為M，連接OM、OG，則M、O、E共線，由題意得：∠MOG＝∠EOF＝45°，∴∠FOG＝90°，且OF＝OG＝1，∴EQS\S\DO(透明區(qū)域)＝\F(180π×1\S\UP6(2),360)＋2×\F(1,2)×1×1＝\F(π,2)＋1，過O作ON⊥AD于N，∴EQON＝\F(1,2)FG＝\F(1,2)\R(,2)，∴EQAB＝2ON＝2×\F(1,2)\R(,