一元二次方程概念及其解法

一元二次方程概念及其解法CATALOGUE目錄一元二次方程基本概念一元二次方程求解方法特殊類型一元二次方程求解一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用一元二次方程與函數(shù)關(guān)系探討典型例題分析與解題思路總結(jié)01一元二次方程基本概念0102定義與形式一般形式為：$ax^2+bx+c=0$，其中$aneq0$。一元二次方程是含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。$a$、$b$、$c$是一元二次方程的系數(shù)，其中$a$是二次項(xiàng)系數(shù)，$b$是一次項(xiàng)系數(shù)，$c$是常數(shù)項(xiàng)。系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)決定了方程的性質(zhì)和解的情況。系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)解的情況取決于判別式$Delta=b^2-4ac$的值：當(dāng)$Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)$Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（即一個(gè)重根）；當(dāng)$Delta<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。一元二次方程的解也稱為方程的根，是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。對(duì)于一元二次方程，最多有兩個(gè)解，也可能有一個(gè)解或無(wú)解。方程解與根02一元二次方程求解方法直接開(kāi)平方法適用于形式簡(jiǎn)單的一元二次方程，如$x^2=a$（$ageq0$）解法步驟：直接對(duì)方程兩邊開(kāi)平方，得到$x=pmsqrt{a}$配方法適用于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）解法步驟1.將方程化為$x^2+frac{a}x=-frac{c}{a}$3.開(kāi)平方解得$x+frac{2a}=pmsqrt{frac{b^2-4ac}{4a^2}}$4.最終解得$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$2.配方得到$(x+frac{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}$直接使用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$來(lái)求解當(dāng)$b^2-4ac<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)$b^2-4ac=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)$b^2-4ac>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解。公式法注意解法步驟2.嘗試因式分解，將方程化為$(mx+n)(px+q)=0$的形式解法步驟適用于部分一元二次方程，如$x^2-(a+b)x+ab=0$或$(x-a)(x-b)=0$1.將方程化為一般形式$ax^2+bx+c=0$3.分別令$mx+n=0$和$px+q=0$，解得$x_1=-frac{n}{m}$，$x_2=-frac{q}{p}$因式分解法010302040503特殊類型一元二次方程求解

完全平方型概念完全平方型一元二次方程是指可以化為$(x+a)^2=b$或$(x-a)^2=b$形式的一元二次方程。求解方法對(duì)于形如$(x+a)^2=b$的方程，可以直接開(kāi)平方得到$x+a=pmsqrt$，進(jìn)而解得$x=-apmsqrt$。示例方程$(x+3)^2=16$可以化為$x+3=pm4$，解得$x=-3pm4$，即$x_1=1$，$x_2=-7$。平方差型一元二次方程是指可以化為$(x+a)(x-a)=b$形式的一元二次方程。概念對(duì)于形如$(x+a)(x-a)=b$的方程，可以通過(guò)因式分解法將其化為兩個(gè)一元一次方程$x+a=0$或$x-a=0$，分別解得$x=-a$或$x=a$。求解方法方程$x^2-4=0$可以化為$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=-2$或$x=2$。示例平方差型求解方法對(duì)于形如$ax^2+bx+c=0$的方程，如果$ac$可以分解為兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的和等于$b$，則可以通過(guò)十字相乘法將其化為兩個(gè)一元一次方程進(jìn)行求解。概念十字相乘法型一元二次方程是指可以通過(guò)十字相乘法進(jìn)行因式分解的一元二次方程。示例方程$x^2+5x+6=0$可以通過(guò)十字相乘法化為$(x+2)(x+3)=0$，解得$x=-2$或$x=-3$。十字相乘法型04一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用已知矩形的周長(zhǎng)和一邊長(zhǎng)，求矩形的面積。矩形面積問(wèn)題圓形面積問(wèn)題三角形面積問(wèn)題已知圓的周長(zhǎng)或直徑，求圓的面積。已知三角形的底和高，求三角形的面積。030201面積問(wèn)題已知進(jìn)價(jià)和售價(jià)，求利潤(rùn)率。利潤(rùn)率問(wèn)題已知標(biāo)價(jià)和折扣率，求實(shí)際售價(jià)。折扣問(wèn)題已知兩物體速度差和距離，求追及時(shí)間。追及問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題03航行問(wèn)題已知船在靜水中的速度和水流速度，求船的航行時(shí)間和路程。01相遇問(wèn)題已知兩物體速度和距離，求相遇時(shí)間。02追及問(wèn)題已知兩物體速度差和距離，求追及時(shí)間。行程問(wèn)題已知某量的增長(zhǎng)率和初始值，求經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后的總量。增長(zhǎng)率問(wèn)題已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。儲(chǔ)蓄問(wèn)題已知工作效率和工作時(shí)間，求工作總量或剩余工作量。工程問(wèn)題其他實(shí)際問(wèn)題05一元二次方程與函數(shù)關(guān)系探討一元二次函數(shù)圖像性質(zhì)當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為x=-b/2a。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,c-b^2/4a)，是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)。當(dāng)Δ=b^2-4ac≥0時(shí)，拋物線與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(-b±√Δ/2a,0)。開(kāi)口方向?qū)ΨQ性頂點(diǎn)與x軸交點(diǎn)判別式Δ=b^2-4ac的值決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)Δ>0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)Δ=0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)重合的交點(diǎn)。判別式與函數(shù)圖像關(guān)系當(dāng)Δ<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。判別式的正負(fù)還決定了拋物線的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置當(dāng)a與Δ同號(hào)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在x軸下方。當(dāng)a與Δ異號(hào)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在x軸上方。01020304判別式與函數(shù)圖像關(guān)系頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式(-b/2a,c-b^2/4a)直接求得。對(duì)稱軸方程為x=-b/2a，它是一條垂直于x軸的直線，且經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)。對(duì)于任意一點(diǎn)(x1,y1)在拋物線上，其關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)(x2,y2)也在拋物線上，且滿足(x1+x2)/2=-b/2a和y1=y2。頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸確定06典型例題分析與解題思路總結(jié)例題1解方程$x^2-2x-3=0$例題2解方程$2x^2+5x-3=0$例題3解方程$x^2+4x+4=0$典型例題選講解題思路梳理與總結(jié)如果$b^2-4ac=0$，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即重根，此時(shí)也可以使用求根公式求解，或者通過(guò)觀察法得出解。如果$b^2-4ac>0$，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可以使用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$來(lái)求解。對(duì)于一元二次方程$ax^2+