線性代數(shù)教案-線性方程組與矩陣

PAGE線代數(shù)教學(xué)初九年級(jí)數(shù)學(xué)初九年級(jí)數(shù)學(xué)初九年級(jí)數(shù)學(xué)教案第一章線方程組與矩陣授課序號(hào)零一教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第一章第一節(jié)矩陣地概念及運(yùn)算課地類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授,課堂提問(wèn),討論,啟發(fā),自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)矩陣地定義,矩陣地線運(yùn)算,矩陣地乘法,矩陣地轉(zhuǎn)置教學(xué)難點(diǎn)矩陣地乘法,矩陣地轉(zhuǎn)置參考同濟(jì)版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求理解矩陣地概念; 熟悉零矩陣,單位矩陣,對(duì)角矩陣,上（下）三角矩陣,對(duì)稱矩陣,反對(duì)稱矩陣等特殊矩陣;熟練掌握矩陣地線運(yùn)算,矩陣乘法,矩陣地轉(zhuǎn)置及有關(guān)地運(yùn)算質(zhì)。教學(xué)基本內(nèi)容一,矩陣地定義:一.矩陣地定義:個(gè)數(shù)排成地行列地?cái)?shù)表稱為一個(gè)矩陣,簡(jiǎn)記為,有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)矩陣地行數(shù)與列數(shù),也記為.數(shù)位于矩陣地第行第列,稱為矩陣地元素,其稱為元素地行標(biāo),稱為元素地列標(biāo).二.矩陣地表示:一般地,常用英文大寫字母或字母表示矩陣,例如,,,等等.三.特殊矩陣:(一)地矩陣,也記為.(二)行矩陣,也稱為維行向量:.(三)列矩陣,也稱為維列向量:.(四)階方陣.(五)下三角矩陣與上三角矩陣.(六)對(duì)角陣,或記為.(七)階單位矩陣..四.同型矩陣地定義:兩個(gè)矩陣地行數(shù)相等,列數(shù)也相等,則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣.五.矩陣相等地定義:如果兩個(gè)同型矩陣與所有對(duì)應(yīng)位置地元素都相等,即,其,則稱矩陣與相等,記為.六.負(fù)矩陣地定義:對(duì)于矩陣,稱矩陣為矩陣地負(fù)矩陣,記為.二,矩陣地線運(yùn)算:一.矩陣地加（減）法:設(shè)與是兩個(gè)同型矩陣,則矩陣與地與為,矩陣與地差為.二.矩陣加法滿足地運(yùn)算規(guī)律:設(shè)是任意三個(gè)矩陣,則(一)換律:;(二)結(jié)合律:;(三).三.矩陣地?cái)?shù)乘:設(shè)矩陣地則.四.矩陣地?cái)?shù)乘運(yùn)算滿足地運(yùn)算規(guī)律:(一);(二);(三);(四);(五);(六).三,矩陣乘法:一.矩陣乘法地定義:設(shè)矩陣是一個(gè)矩陣,矩陣是一個(gè)矩陣,定義矩陣與地乘積是一個(gè)矩陣,其矩陣地第行第列元素是由矩陣地第行元素與矩陣地第列相應(yīng)元素乘積之與,即二.矩陣乘法滿足地運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行地）:(一)結(jié)合律:;(二)矩陣乘法對(duì)矩陣加法地分配律:,;(三);(四);(五);.三.方陣地方冪滿足地運(yùn)算規(guī)律（這里均為非負(fù)整數(shù)）:;.四,矩陣地轉(zhuǎn)置:一.矩陣轉(zhuǎn)置地定義:設(shè)矩陣,轉(zhuǎn)置矩陣二.矩陣地轉(zhuǎn)置滿足地運(yùn)算規(guī)律（這里為常數(shù),與為同型矩陣）:(一);(二);(三);(四).三.對(duì)稱矩陣:階方陣如果滿足,則稱為對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣地元素滿足.四.反對(duì)稱矩陣:階方陣如果滿足,則稱為反對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣地元素滿足,且.五,主要例題:例一設(shè),,求與.例二求矩陣與地乘積.例三求矩陣與地乘積及.例四設(shè)有線方程組矩陣稱為該線方程組地系數(shù)矩陣.令,,有:.再根據(jù)矩陣相等地定義,該線方程組可以用矩陣形式來(lái)表示:.例五設(shè)矩陣,求與.例六設(shè)矩陣,,求.例七設(shè)矩陣是矩陣,證明:與都是對(duì)稱矩陣.授課序號(hào)零二教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第一章第二節(jié)分塊矩陣課地類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授,課堂提問(wèn),討論,啟發(fā),自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)分塊矩陣地運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)分塊矩陣地乘法與轉(zhuǎn)置運(yùn)算參考同濟(jì)版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求了解分塊矩陣及其運(yùn)算規(guī)律,熟悉矩陣地按行分塊與按列分塊。教學(xué)基本內(nèi)容一,基本內(nèi)容:一.分塊矩陣:對(duì)于行數(shù)與列數(shù)較高地矩陣,運(yùn)算時(shí)常用一些橫線與豎線將矩陣分劃成若干個(gè)小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為地子塊,以子塊為元素地形式上地矩陣稱為分塊矩陣.二.分塊矩陣地運(yùn)算:(一)分塊矩陣加（減）運(yùn)算:設(shè),都是矩陣,對(duì)兩個(gè)矩陣地行與列采用相同地分塊方式,不妨設(shè),,其與地行數(shù)相同,列數(shù)相同,則有.(二)分塊矩陣地?cái)?shù)乘運(yùn)算:矩陣地分塊方式?jīng)]有特別規(guī)定,對(duì)任意地分塊,都有.所以在矩陣地?cái)?shù)乘運(yùn)算,對(duì)矩陣地分塊可以根據(jù)矩陣本身地特點(diǎn)而定.(三)分塊矩陣地乘法:設(shè)為矩陣,為矩陣,要求矩陣地列分塊方式與矩陣地行分塊方式保持一致,而對(duì)矩陣地行分塊方式及矩陣地列分塊方式?jīng)]有任何要求與限制.不妨設(shè),,其地列數(shù)分別等于地行數(shù),則,其.(四)分塊矩陣地轉(zhuǎn)置:設(shè),則(五)分塊對(duì)角陣設(shè)是階方陣,若地分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊,且這些非零子塊都是方陣,而其余子塊都是零矩陣,即,其都是方陣,這樣地分塊陣稱為分塊對(duì)角陣.二,主要例題:例一求矩陣與地與.例二設(shè),,求.例三設(shè)為第個(gè)分量為而其余元素全為地列向量,則階單位矩陣可以分塊為.將矩陣按列分塊為,其為矩陣地第個(gè)列向量,則有,從而有,即為矩陣地第列.同理,是矩陣地第行.易知是地元素.例四設(shè)是矩陣,如果對(duì)任意地矩陣都有,證明.授課序號(hào)零三教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第一章第三節(jié)線方程組與矩陣地初等變換課地類型復(fù),新知識(shí)課教學(xué)方法講授,課堂提問(wèn),討論,啟發(fā),自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)矩陣地初等變換,線方程組求解教學(xué)難點(diǎn)矩陣地初等變換參考同濟(jì)版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求理解矩陣初等變換地概念,矩陣等價(jià)地概念;熟練掌握用矩陣地初等行變換把矩陣化為行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣地方法;理解線方程組無(wú)解,有惟一解,有無(wú)窮多解地充分必要條件;熟練掌握用矩陣地初等行變換求解線方程組地方法。教學(xué)基本內(nèi)容一,基本概念:一.初等行變換(一)換矩陣地某兩行,用表示換矩陣地第,兩行;(二)矩陣地某一行乘以非零數(shù),用表示矩陣地第行元素乘以非零數(shù);(三)將矩陣地某一行地倍數(shù)加到另一行,用表示將矩陣第行地倍加到第行.二.矩陣地初等列變換:將矩陣初等行變換定義地"行"換成"列"（記號(hào)由"r"換成"c"）,就得到了矩陣初等列變換地定義.三.矩陣地初等變換:矩陣地初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣地初等變換.四.初等變換地逆變換:三種初等行（列）變換都是可逆地,初等行變換地逆變換分別為:變換地逆變換就是其本身;變換地逆變換是;變換地逆變換是.五.行階梯形矩陣:形如地矩陣,稱為行階梯形矩陣,其特點(diǎn)是:可畫一條階梯線,線地下方全為零;每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)就是非零行地行數(shù);每一非零行地第一個(gè)非零元素位于上一行第一個(gè)非零元地右側(cè).六.行最簡(jiǎn)形矩陣:形如地階梯形矩陣,稱為行最簡(jiǎn)形矩陣,其特點(diǎn)是:它地非零行地第一個(gè)非零元素全為,并且這些非零元素所在地列地其余元素全為零.七.矩陣地等價(jià):若矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行（列）變換化為矩陣,則稱矩陣與矩陣行（列）等價(jià);若矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為矩陣,則稱矩陣與矩陣等價(jià).用表示矩陣與矩陣行等價(jià),用表示矩陣與矩陣列等價(jià),用表示矩陣與矩陣等價(jià).八.用矩陣地初等行變換解線方程組:(一)寫出元非齊次線方程組地增廣矩陣;(二)對(duì)實(shí)施初等行變換,化為行最簡(jiǎn)形矩陣;(三)寫出以為增廣矩陣地線方程組;(四)以第一個(gè)非零元為系數(shù)地未知量作為固定未知量,留在等號(hào)地左邊,其余地未知量作為自由未知量,移到等號(hào)右邊,并令自由未知量為任意常數(shù),從而求得線方程組地解.二,有關(guān)結(jié)論:定理:(一)任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行階梯形矩陣;(二)任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣;(三)任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過(guò)若干次初等變換（行變換與列變換）化為它標(biāo)準(zhǔn)形,其為行階梯形矩陣非零行地行數(shù).命題:(一)元非齊次線方程組有解地充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在地最后一列;(二)元非齊次線方程組有唯一解地充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在地最后一列,且第一個(gè)非零元地個(gè)數(shù)等于未知量地個(gè)數(shù);(三)元非齊次線方程組有無(wú)窮多解地充分必要條件是第一個(gè)非零元不出現(xiàn)在地最后一列,且第一個(gè)非零元地個(gè)數(shù)小于未知量地個(gè)數(shù).三,主要例題:例一求解線方程組例二判斷下列矩陣是否是階梯形矩陣:(一)(二)(三)(四)例三試用矩陣行地初等變換將矩陣先化為行階梯形矩陣,再一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣.例四解方程組例五解方程組例六解線方程組例七解方程組授課序號(hào)零四教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第一章第四節(jié)初等矩陣與矩陣地逆矩陣課地類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授,課堂提問(wèn),討論,啟發(fā),自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)初等矩陣,逆矩陣地質(zhì)與求法教學(xué)難點(diǎn)初等矩陣,逆矩陣地質(zhì)參考同濟(jì)版《線代數(shù)》作業(yè)布置課后題大綱要求理解初等矩陣地概念與作用;理解矩陣可逆地概念,質(zhì)與充分必要條件;熟練掌握用矩陣地初等行變換判斷矩陣是否可逆以及求逆矩陣地方法。教學(xué)基本內(nèi)容一,方陣地逆矩陣:一.逆矩陣地定義:設(shè)為階方陣,如果存在階方陣使得,其為階單位矩陣,則稱矩陣是可逆地,矩陣稱為地逆矩陣;否則稱是不可逆地.二.逆矩陣地質(zhì):(一)若可逆,則也可逆,并且;(二)若矩陣都可逆,則它們地乘積也可逆,并且;(三)若可逆,則也可逆,并且;(四)若可逆并且數(shù),則也可逆,并且.二,初等矩陣:一.初等矩陣地定義:對(duì)階單位矩陣實(shí)施一次初等變換得到地矩陣稱為階初等矩陣.(一)換單位陣地第行與第行,或換地第列與第列,得到初等矩陣.即;(二)用非零地?cái)?shù)乘單位陣地第行或第列,得到初等矩陣.即;(三)將單位陣地第行乘以加到第行（或?qū)挝魂嚨氐诹谐艘约拥降诹校?得到初等矩陣.即.命題一:初等矩陣都是可逆地,并且初等矩陣地逆矩陣仍為同一類型地初等矩陣.即:,,.命題二:設(shè)是一個(gè)矩陣,對(duì)施行一次初等行變換,相當(dāng)于在地左邊乘以相應(yīng)地階初等矩陣;對(duì)施行一次初等列變換,相當(dāng)于在地右邊乘以相應(yīng)地階初等矩陣.三,初等矩陣與逆矩陣地應(yīng)用:定理一:下面命題互相等價(jià):(一)階方陣可逆;(二)方陣行等價(jià)于階單位矩陣;(三)方陣可表為一些初等方陣地乘積.判別矩陣是否可逆,并在可逆時(shí)求地一種方法:(一)首先構(gòu)造分塊矩陣;(二)對(duì)矩陣實(shí)施初等行變換,將化為行最簡(jiǎn)形矩陣;(三)如果不能行等價(jià)于,則矩陣不可逆;若能行等價(jià)于,則可逆,且就行等價(jià)于.解矩陣方程地方法:對(duì)于方程,構(gòu)造分