2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第24講 特殊四邊形-菱形（講義）（解析版）

第24講特殊四邊形-菱形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定題型01利用菱形的性質(zhì)求角度題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長題型03利用菱形的性質(zhì)求周長題型04利用矩形的性質(zhì)求面積題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)題型06利用矩形的性質(zhì)證明題型07添加一個條件證明四邊形是菱形題型08證明四邊形是菱形題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型13與菱形有關(guān)的新定義問題題型14與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型15與菱形有關(guān)的動點(diǎn)問題題型16菱形與一次函數(shù)綜合題型17菱形與反比例函數(shù)綜合題型18菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合題型19菱形與二次函數(shù)綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測菱形的性質(zhì)與判定探索并證明菱形的性質(zhì)定理.探索并證明菱形的判定定理.菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點(diǎn)，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.菱形的判定：1）A對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.A2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.1.對于菱形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.1.對于菱形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對角線乘積的一半，適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計(jì)算.4.在求菱形面積時,要根據(jù)圖形特點(diǎn)及已知條體靈活選擇面積公式來解決問題，5.在利用對角線長求菱形的面積時,要特別注意不要漏掉計(jì)算公式中的12題型01利用菱形的性質(zhì)求角度【例1】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠1=15°，則∠D=（

）A．115° B．150° C．125° D．130°【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAB=2∠1，AB∥∴∠DAB+∠D=180°，∵∠1=15°，∴∠DAB=30°，∴∠D=180°?∠DAB=180°?30°=150°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形鄰角互補(bǔ)和每一條對角線平分一組對角解答．【變式1-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得出答案．【詳解】解：∵紙片是菱形∴對邊平行且相等∴∠1=80°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要知道兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式1-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，分別交BC,CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠EAF=60°，則∠D的度數(shù)為．

【答案】80°/80度【分析】證△ABE△ADF(AAS)，得∠BAE=∠DAF，設(shè)∠B=∠D=x，則∠AEB=∠B=x，∠DAF=∠BAE=180°?2x，再由∠B+∠BAD=180°求出【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=DC，由題意得：AB=AE，AD=AF，∴∠AEB=∠B，∠AFD=∠D，∴∠AEB=∠B=∠AFD=∠D，在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD∴△ABE≌△ADF(AAS∴∠BAE=∠DAF，設(shè)∠B=∠D=x，則∠AEB=∠B=x，∴∠DAF=∠BAE=180°?2x，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∴∠B+∠BAD=180°，即x+180°?2x+60°+180°?2x=180°，解得：x=80°，∴∠D=80°，故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC=124°，則∠OED=度．【答案】28【分析】由菱形的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=62°，BO=DO【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=124°，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=62°，BO=DO∴∠BDE=28°,∵DE⊥BC，∴OE=OD=OB，∠BDE=28°，∴∠ODE=∠OED=28°，故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠CBD=75，分別以A、B為圓心，大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)P、Q，作直線PQ交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．【答案】∠DBF=45°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì)，求出∠ABD，∠ABF，再利用角的和差定義即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD=75°，∴∠A=180°?75°?75°=30°，由作圖可知，EF垂直平分線段AB，∴FA=FB，∴∠FBA=∠A=30°，∴∠DBF=∠ABD?∠ABF=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等角對角對等邊，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長【例2】（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測）如圖在菱形ABCD中，AD=12，對角線AC和BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)G，則EF的長為．

【答案】6【分析】根據(jù)條件可判斷EF為△COD的中位線，則EF=1【詳解】∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點(diǎn)，∴EF是△COD的中位線，∴EF=1∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=12，∴EF=1【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，能夠判定中位線并應(yīng)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知菱形的一個內(nèi)角為60°，一條對角線的長為43，則另一條對角線的長為【答案】4或12【分析】題中沒有指明該對角線是較長的對角線還是較短的對角線，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分析求解．【詳解】解：如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，若AC=43∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°∴BF=AF∴BD=2BF=12；若BD=43∵AC⊥BD，∠ABF=12∠ABC=30°∴AF=BF?tan∴AC=2AF=4；故答案為：4或12．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握菱形的性質(zhì)、靈活應(yīng)用分類思想是關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·湖南長沙·校考二模）如圖，四邊形ABCD是邊長為5的菱形，對角線AC，BD的長度分別是一元二次方程x2?2m+1x+8m=0的兩實(shí)數(shù)根，DH是AB

【答案】245/44【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，求出∠AOB=90°，根據(jù)勾股定理得出AO2+BO2=25，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∴AO∵對角線AC，BD的長度分別是一元二次方程x2∴2AO+2BO=2(m+1)，2AO?2BO=8m，∴AO+BO=m+1，AO?BO=2m，∴AO∴(m+1)解得：m1=6，∴當(dāng)m=?4時，AO?BO=?8<0，不符合題意，舍去，即m=6，則AO?BO=12，AC?BD=2AO?2BO=4AO?BO=48，∵DH是AB邊上的高，∴S∴5DH=1∴DH=24故答案為：245【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和面積，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能得出關(guān)于m的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的對角線互相平分且垂直．【變式2-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OD上，連接CE，若BE=CD=2DE，AC=27，則CE的長為

【答案】2【分析】設(shè)BE=CD=2DE=x，則BD=32x，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OD=12【詳解】解：設(shè)BE=CD=2DE=x，則DE=12由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OD=12BD=在Rt△OCD中，OC解得x=4，（負(fù)值舍去）∴DE=2，OD=3∴OE=1由勾股定理可得：CE=故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理以及菱形的性質(zhì)正確求得OE的長度．【變式2-4】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=2，BD=1，AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥CE交CE于點(diǎn)F，則OF的長度為．

【答案】255【分析】由菱形的性質(zhì)和勾股定理可求AB的長，由面積法可求CE的長，通過證明△OCF∽△ACE，可得OCAC=CFCE=【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=1，BO=12，AC⊥BD，AC=2，∴AB=A∵S∴1∴CE=2∵∠OFC=∠AEC=90°，∠ACE=∠OCF，∴△OCF∽△ACE，∴OC∴CE=2CF，∴CF=EF=5∴OF=O故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，求出CE的長是本題的關(guān)鍵．題型03利用菱形的性質(zhì)求周長【例3】（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，則四邊形OCED的周長是(

)

A．10 B．20 C．28 D．30【答案】B【分析】由四邊形ABCD為矩形，得到對角線互相平分且相等，得到OD=OC，再利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形DECO為平行四邊形，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形得到四邊形DECO為菱形，根據(jù)AC的長求出OC的長，即可確定出其周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=6，AD=8，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD=1∵CE∥BD，∴四邊形DECO為平行四邊形，∵OD=OC，∴四邊形DECO為菱形，∴OD=DE=EC=OC=5，則四邊形OCED的周長為5+5+5+5=20，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3，∠D=60°，則菱形ABCD的周長為（

）

A．13 B．14 C．15 D．8【答案】D【分析】四邊形ABCD是菱形，∠D=60°，則∠ABC=∠D=60°，AB=CD=BC=AD，在Rt△ABO中，AB=2【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D=60°，∴∠ABC=∠D=60°，AB=CD=BC=AD，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3，∴OA=3，在Rt△ABO中，AB=∴菱形ABCD的周長為4AB=4×23故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點(diǎn)，EF=4，F(xiàn)G=3，則菱形ABCD的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】連接EG，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE=EB=AF=FD=DG=GC，從而可證∠AEF=∠AFE，∠DFG=∠DGF，再由三角形的內(nèi)角和和等量代換即可得出∠AFE+∠DFG=90°，從而可得∠EFG=90°，再利用勾股定理求出EG=5，證明四邊形BCGE是平行四邊形，可得BC=EG=5，最后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：連接EG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DC=BC=AB，AB∥DC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點(diǎn)，∴AE=EB=AF=FD=DG=GC，∴∠AEF=∠AFE，∠DFG=∠DGF，∵AB∥∴∠A+∠D=180°，又∵∠A+∠AEF+∠AFE=∠A+2∠AFE=180°，∠D+∠DFG+∠DGF=∠D+2∠DFG=180°，∴2∠AFE+2∠DFG=180°，∵∠AFE+∠DFG=90°，∴∠EFG=90°，∵EF=4，F(xiàn)G=3，在Rt△EFG中，EG=3∵BE∥CG，∴四邊形BCGE是平行四邊形，∴EG=BC=5，∴S菱形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，若MN=3，則菱形ABCD的周長為．

【答案】24【分析】由三角形中位線定理可求BC長為MN長的2倍，那么菱形ABCD的周長等于4BC，由此問題得解．【詳解】解：∵點(diǎn)M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，MN=3，∴BC=2MN=6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6，∴菱形ABCD周長為：6×4=24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的四邊相等的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)．熟記各性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2023·湖南長沙·長沙市南雅中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，

(1)求證：AC⊥EF；(2)若EF=6，tan∠AEF=13【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，求證即可；（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)，求得BD，再根據(jù)三角函數(shù)求得OA，勾股定理求得AB，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵點(diǎn)E、F為∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：點(diǎn)E、F為∴EF∥BD，EF=∴∠ABO=∠AEF∵四邊形ABCD為菱形∴OB=在Rt△ABO中，∴OA=2，由勾股定理得：AB=∴菱形ABCD的周長為4AB=8【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．題型04利用矩形的性質(zhì)求面積【例4】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）一個菱形的周長是20，兩條對角線的比是4:3，則這個菱形的面積是（

）A．12 B．96 C．48 D．24【答案】D【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分設(shè)出兩對角線的一半分別為4k、3k，然后利用勾股定理列式求解并求出兩對角線的長，然后根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵菱形的周長是20，∴菱形的邊長為20÷4=5，∵兩條對角線的比是4：3，∴設(shè)兩對角線的一半分別為4k、3k，由勾股定理得，（4k）2+（3k）2=52，解得：k=1，∴兩對角線的一半分別為4，3，兩對角線的長分別為8，6，∴這個菱形的面積=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)、利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（

）

A．72 B．48 C．24 D．9【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得O為BD的中點(diǎn)，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面積=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得BD．【變式4-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC+BD=16，則該菱形的面積等于．【答案】28【分析】首先根據(jù)題意求出AD的長度，然后利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理的知識求出AO?BO的值，最后結(jié)合三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，如圖所示：

∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∵菱形ABCD的周長為24，∴AD=AB=BC=CD=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，則AO+BO2=8∵AO∴AO?BO=64?36∴菱形的面積=4S△ABO故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理的知識求出AO?BO的值．【變式4-3】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一條對角線AC=6cm，則該菱形的面積是cm

【答案】18【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，且∠ABO=∠CBO=1【詳解】解：∵菱形ABCD中，∠CBA=60°，對角線AC=6cm∴OA=12AC=3cm，BD=2OB，∴OB=OC∴BD=2OB=63∴S菱形故答案為：183

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟悉菱形對角線互相垂直且平分是解題關(guān)鍵．題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例5】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點(diǎn)，AD∥x軸且AD=4，∠A=60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A．0，23 B．2，?4 【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)可得，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，由勾股定理可求解．【詳解】解：根據(jù)菱形的對稱性可得：當(dāng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上時，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，

∵∠BAD=60°，AD=4，∴∠OAD=30°，∴OD=2，∴AO=A∴四邊形ABCD是菱形，∴OC=OA=23∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，2)，(4，4)，則點(diǎn)

A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) 【答案】D【分析】連接AC，BD，交于點(diǎn)E，先求得菱形的邊長，再求得點(diǎn)【詳解】解：連接AC，BD，交于點(diǎn)

∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，2)，∴菱形的邊長AB=4∴OD=A∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，∵四邊形ABCD是菱形，∴m+02=4+4n+22=4+0∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．【變式5-2】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A?3,3，C1,?1，對角線BD交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，若BN=2ND，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

A．32,72 B．2【答案】D【分析】過點(diǎn)M作MF⊥ON于F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AM=MC，BM=MD，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)M坐標(biāo)，由BN=2ND，可求BN=42【詳解】解：過點(diǎn)M作MF⊥ON于F，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=MC，BM=MD，∵A?3,3，C∴M?1,1∴OF=1，MF=1，∴∠MON=45°=∠OMF，∴∠FMN=45°=∠FNM，∴MF=FN=1，∴MN=2∵BN=2ND，∴BD=3DN，BM=3∴MN=DN∴DN=22∴BN=42∵BE⊥x軸，∴∠EBN=∠BNE=45°，∴BE=EN，BN=2∴BE=EN=4，∴EO=2，∴點(diǎn)B2,4故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知頂點(diǎn)A8,0，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線OB上的一個動點(diǎn)，∠AOC=60°，當(dāng)PA+PD最短時，點(diǎn)PA．6,23 B．6,433 C．【答案】D【分析】過點(diǎn)D作關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1，連接D1A，交OB于點(diǎn)P，確定點(diǎn)P的位置，連接AC，PD，證明△OCA【詳解】過點(diǎn)D作關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1，連接D1A，交OB此時PA+PD最短，連接AC，PD，如圖，∵∠AOC=60°，OC=OA，∴△OCA是等邊三角形，∴OC⊥AD∴∠D∴∠PAO=∠D又∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，∴PD⊥OA，∴PD=ODtan∴點(diǎn)P的坐標(biāo)4,4故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查將軍飲馬問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線確定點(diǎn)P的位置．【變式5-4】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A?3,0，點(diǎn)D0,4，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則點(diǎn)

A．5,4 B．4,5 C．4,3 D．3,4【答案】A【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可得AD=5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=DC=AD=5、DC∥AB，即點(diǎn)C是由點(diǎn)【詳解】解：∵點(diǎn)A?3,0，點(diǎn)D∴AD=0+3∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=DC=AD=5,DC∴點(diǎn)C是由點(diǎn)D向右平移5個單位得到的∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為5,4．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、平移的性質(zhì)等知識點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C是由點(diǎn)D向右平移5個單位得到的是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，點(diǎn)B、C在第一象限,∠AOC=60°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【答案】2【分析】過C作CD⊥OA于D，則∠ODC=90°，根據(jù)菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0得到OA=AB=BC=OC=4，由∠AOC=60°,得到OD=OC?cosCD=OC?sin∠AOC=23【詳解】解：如圖，過C作CD⊥OA于D，則∠ODC=90°，

∵菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，∴OA=AB=BC=OC=4，在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠AOC=60°,OC=4∴OD=OC?cosCD=OC?sin∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為2，【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)與圖形等知識，數(shù)形結(jié)合和熟練掌握特殊角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型06利用矩形的性質(zhì)證明【例6】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF．(1)求證：△ADE≌△CBF；(2)證明四邊形BEDF是菱形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形的全等判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等判定的基本原理，菱形判定基本方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用SAS證明即可；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，從對角線的角度加以證明即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=BC，AD∥∴∠DAE=∠BCF，又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF．（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且O為AC，BD中點(diǎn)，又∵AE=CF，∴EO=FO∴BD與EF互相垂直且平分，故四邊形BEDF是菱形．【變式6-1】（2023·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點(diǎn)E是線段AC延長線上的一點(diǎn)，在線段CA的延長線上截取AF=CE，連接DF，BF，DE，BE．試判斷四邊形FBED的形狀，并說明理由．【答案】菱形，見解析【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)得出OF=OE，證明四邊形FBED是平行四邊形，根據(jù)BD⊥EF，即可證明四邊形FBED是菱形．【詳解】解：四邊形FBED是菱形．理由：連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵AF=CE，∴AF+OA=CE+OC，即OF=OE，∵OD=OB，∴四邊形FBED是平行四邊形，又∵BD⊥EF，∴四邊形FBED是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形ABCD中，點(diǎn)M在直線BD上，過M作AC的平行線交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F．(1)【舉例感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段BD上時，求證：AC=ME+MF；(2)【類比探究】①當(dāng)點(diǎn)M在DB延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點(diǎn)M在BD延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明過程見詳解(2)①AC=ME?MF，理由見詳解；②AC=MF?ME，理由見詳解【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證四邊形AENC是平行四邊形，可得EN=ME+MN=AC，再證明△BMF≌△BMN，可得MN=MF，由此即可求證；（2）①根據(jù)題意可證四邊形AEGC是平行四邊形，可得EG=AC，再證△GBM≌△FBM，根據(jù)線段的和差即可求解；②證明方法同①．【詳解】（1）證明：如圖所示，延長EM交BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，AC⊥BD，∴AE∥CN，∵EM∥AC，∴四邊形AENC是平行四邊形，∴EN=ME+MN=AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，則∠FBM=∠NBM∵AC⊥BD，AC∥EM，∴EM⊥BD，則∠BMF=∠BMN=90°，∴在△BMF，∠FBM=∠NBMBM=BM∴△BMF≌△BMNASA∴MF=MN，∴EN=ME+MN=MF+ME=AC，∴AC=ME+MF；（2）解：①AC=ME?MF，理由如下，根據(jù)題意，作圖如下，延長CB交EF于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AE∥CG，∵EG∥AC，∴四邊形AEGC是平行四邊形，∴EG=AC，∵∠GBF與∠ABC是對頂角，∴∠GBF=∠ABC，∵BD平分∠ABC，AC⊥BD，∴BM平分∠GBF，GF⊥BM，在△GBM，∠GBM=∠FBMBM=BM∴△GBM≌△FBMASA∴MG=MF，∴EG=ME?MG=ME?MF=AC，∴AC=ME?MF;②AC=MF?ME，理由見詳解，根據(jù)題意，作圖如下，根據(jù)題意，由上述證明方法可得，四邊形ACHF是平行四邊形，∴AC=FH，同理可證，△EDM≌△HDM，∴ME=MH，∴HF=MF?MH=MF?ME=AC，∴AC=MF?ME．【變式6-3】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.【分析】(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理進(jìn)而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-【詳解】解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴OE為△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．(2)∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，∴AE=1∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，AF=A∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=10，∴OE=12AB∵四邊形OEFG為矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案為：OE=5，BG=2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？碱}型，需要重點(diǎn)掌握．【變式6-4】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．①求證：CE=CF；②若AE=2，求CE的長；(2)如圖2，連接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的長．【答案】(1)①見解析；②CE=2(2)EC=6【分析】（1）①根據(jù)AAS可證得：△BEC≌△DFC，即可得出結(jié)論；②連接AC，可證得△ABC是等邊三角形，即可求出CE=23（2）延長FE交CB的延長線于點(diǎn)M，根據(jù)AAS可證得△AEF≌△BEM，可得出ME=4，BM=2，MC=8，則MBME=MEMC=1【詳解】（1）（1）①∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC=∠DFC=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，BC=CD，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴CE=CF.②如圖，連接AC.∵E是邊AB的中點(diǎn)，CE⊥AB，∴BC=AC，又由菱形ABCD，得BC=AB，∴△ABC是等邊三角形，∴∠EAC=60°，在Rt△AEC中，AE=2，∴EC=AEtan∴CE=23（2）如圖，延長FE交CB的延長線于點(diǎn)M，由菱形ABCD，得AD∥BC，∴∠AFE=∠M，∠A=∠EBM，∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴△AEF≌△BEM(AAS)，∴ME=EF，MB=AF，∵AE=3，EF=2AF=4，∴ME=4，BM=2，BE=3，∴BC=AB=2AE=6，∴MC=8，∴MBME=2∴MBME=ME∴△MEB∽△MCE，∴BEEC又∵BE=3，∴EC=6.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長度，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.題型07添加一個條件證明四邊形是菱形【例7】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（

）

A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12∵OA=OD，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2019·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD【答案】C【分析】根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項(xiàng)逐一判斷即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，且互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，當(dāng)AB=AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AC=BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；當(dāng)∠ABD=∠CBD時，由AD//BC得：∠CBD=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定．【變式7-2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,AD上，AF=EC．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）．【答案】AF=AE（答案不唯一）【分析】由題意易得四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//∵AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，若要添加一個條件使其為菱形，則可添加AF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故答案為AF=AE（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需寫出一個條件即可）【分析】由菱形的判定方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：可以添加的條件是：AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加條件是：AD∥BC，理由如下：∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OA=OC，理由如下：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴ΔOAB≌∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；也可以添加的條件是OB=OD，理由如下：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴ΔOAB≌∴AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需寫出一個條件即可）【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，熟記“對角線互相垂直的平行四邊形為菱形”，是解題的關(guān)鍵．題型08證明四邊形是菱形【例8】（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動，求PM+PN的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形的性質(zhì)和DE=AD證明四邊形DBCE為平行四邊形，再根據(jù)BE⊥DC，即可得證；（2）先根據(jù)菱形對稱性得，得到PM+PN=PM+PN'，進(jìn)一步說明PM+PN的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵DE=AD，∴DE=BC，又∵點(diǎn)E在AD的延長線上，∴DE∥∴四邊形DBCE為平行四邊形，又∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE為菱形．（2）解：如圖，由菱形對稱性得，點(diǎn)N關(guān)于BE的對稱點(diǎn)N'在DE上，∴PM+PN=PM+PN'，當(dāng)P、M、N'共線時，PM+PN=PM+PN'=MN'，過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵DE∥∴MN'的最小值即為平行線間的距離DH的長，∵△DBC是邊長為2的等邊三角形，∴在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2，sin∠DBC=∴DH=DB·sin∴PM+PN的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個條件才能證明．

若贊同小惠的證法，請?jiān)诘谝粋€方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補(bǔ)充一個條件，并證明．【答案】贊成小潔的說法，補(bǔ)充OA=OC,證明見解析【分析】先由OB＝OD，OA=OC,證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用對角線互相垂直，從而可得結(jié)論．【詳解】解：贊成小潔的說法，補(bǔ)充OA=OC.證明：∵OB＝OD，OA=OC,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF．

(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°，△ABE的面積等于43，求平行線AB與DC【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）先證AD∥BC，再證AE∥FC，從而四邊形AECF是平行四邊形，又AE=AF，于是四邊形AECF是菱形；（2）連接AC，先求得∠BAE=∠DAE=∠ABC=60°，再證AC⊥AB，∠ACB=90°?∠ABC=30°=∠EAC，于是有【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠BAD=∴∠BEA=∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠∴∠DAE=∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE=AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，

∵AD∥BC，∠ABC=60°∴∠BAD=180°?∴∠BAE=∵四邊形AECF是菱形，∴∠EAC=12∴∠BAC=∴AC⊥AB，∠ACB=90°?∴AE=CE，tan30°=tan∠ACB=∴AB=3∵∠BAE=∴AE=BE=CE，∵△ABE的面積等于43∴S△ABC∴平行線AB與DC間的距離AC=43【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD=30°；條件2：AB=BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計(jì)分）【答案】(1)證明見解析(2)見解析【分析】（1）利用AAS即可證明△ABF≌△CDE；（2）若選擇條件①：先證明四邊形AECF是平行四邊形，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)證得AE=AF，即可證明平行四邊形AECF是菱形．若選擇條件②：先證明四邊形AECF是平行四邊形，得到AO=CO，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明平行四邊形AECF是菱形．【詳解】（1）證明：∵BE=FD，∴BE+EF=FD+EF，即BF=DE，∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，又∵∠BAF=∠DCE=90°，∴△ABF≌△CDE(AAS)；（2）解：若選擇條件①：四邊形AECF是菱形，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠BAF=90°，BE=EF，∴AE=12BF∵∠BAF=90°，∠ABD=30°，∴AF=12BF∴AE=AF，∴平行四邊形AECF是菱形．若選擇條件②：四邊形AECF是菱形，連接AC交BD于點(diǎn)O，由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∠AFB=∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度【例9】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，①以點(diǎn)A為圓心2cm長為半徑畫弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點(diǎn)B、D；②以點(diǎn)B為圓心，AD長為半徑畫弧，再以點(diǎn)D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；③分別連接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，則∠ACB的大小為．【答案】30°/30度【分析】先根據(jù)作圖方法證明四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角，菱形的對角相等進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由作圖方法可知，AD=AB=CD=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠MAN=60°，∴∠ACB=1故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟知菱形的對角線平分一組對角且菱形的對角相等是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD、AD．若∠ABD=130°，則∠CAD=．【答案】25°/25度【分析】由題意和作法可知：AB=AC=BD=CD，可得四邊形ABDC是菱形，再根據(jù)菱形及等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：連接CD，由題意和作法可知：AB=AC=BD=CD，∴四邊形ABDC是菱形，∠BAD=1∴∠CAD=∠BAD=25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得四邊形ABDC是菱形是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBCD為菱形，則∠BAD的度數(shù)是．【答案】60°/60度【分析】根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠BAD，根據(jù)菱形對角相等的性質(zhì)得∠BOD=∠BCD，再通過等量代換，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BAD．【詳解】解：由圓周角定理得，∠BOD=2∠BAD，∵四邊形OBCD為菱形，∴∠BOD=∠BCD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=60o．故答案為：60o．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．【變式9-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，雨傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC．當(dāng)傘收緊時，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A，E（F），D在同一條直線上．已知傘骨的部分長度如下（單位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．(1)求AM的長．(2)當(dāng)傘撐開時，量得∠BAC=110°，求AD的長．（結(jié)果精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192,【答案】(1)AM=80cm(2)AD≈46cm【分析】（1）當(dāng)傘收緊時，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，AM=AF+DF計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，利用菱形對角線平分的性質(zhì)，求得∠DAE，解直角三角形AEH即可解答；【詳解】（1）解：由題意得，AM=AE+DE=80cm（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，由題意，在△AED中，EA=ED，則AD=2AH，DE=DF=AE=AF=40cm，則AEDF是菱形，∴∠EAD=1在Rt△AEH中，cos∴AH=40cos55°，AD=2AH≈2×0.5736×40≈46cm【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，余弦三角函數(shù)；掌握用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長【例10】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若BF=6，AB=5，則AE的長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】連接EF，設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．證明四邊形ABEF是菱形，再利用勾股定理求解．【詳解】解：連接EF，設(shè)AE交BF于點(diǎn)O．

∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAG，∴∠BAG=∠AEB，∴AB=BE，由作圖可知：AB=AF，∴BE=AF，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴OB=OF=3，AE⊥BF，OA=AE∵AB=5∴OA=∴AE=2OA=8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——基本作圖，角平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明四邊形ABEF是菱形．【變式10-1】（2023·海南省直轄縣級單位·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，則EF的長為（

A．2 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF，根據(jù)矩形的對邊相等可得CD=AB，然后求出CF，從而得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠ACB=∠DAC，∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO=CO，在△AOF和△COE中，∠ACB=∠DACAO=CO∴△AOF≌△COE(ASA∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形，∴CE=CF，∵∠DCF=30°，∴∠ECF=90°?30°=60°，∴△CEF是等邊三角形，∴EF=CF，∵AB=3∴CD=AB=3∵∠DCF=30°，∴CF=3∴EF=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于判斷出△CEF是等邊三角形．【變式10-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，連接PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC，連接PQ，當(dāng)AP=PC時，PQ的長為

【答案】3【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AC=4；再證明四邊形PAQC為菱形，PA=PB=PC=1【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5∴AC=B當(dāng)AP=PC時，設(shè)AC、PQ交于點(diǎn)O，如下圖，

∵四邊形PAQC為平行四邊形，AP=PC，∴四邊形PAQC為菱形，∴AC⊥PQ，OA=OC=12AC=2∵AP=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵∠PAC+∠PAB=∠PCA+∠PBA=90°，∴∠PAB=∠PBA，∴PA=PB=PC，∴PA=PB=PC=1在Rt△AOP中，由勾股定理可得OP=∴PQ=2OP=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式10-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，小李將一張邊長分別為4和10的矩形紙片對折、再對折，然后沿圖中的虛線AC剪下，將紙展開，就得到一個四邊形．若∠ACB=60°，則這個四邊形的周長為．【答案】16【分析】根據(jù)題意，將紙展開是一個菱形，從而根據(jù)菱形性質(zhì)得到這個四邊形的周長為4AC，由題中圖可知∠ACB=60°，BC=2，則AC=4，從而得到4AC=16．【詳解】解：根據(jù)題意，BC=2，AB⊥BC，∴將紙展開，得到的四邊形是菱形，AC是菱形的邊，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，BC=2，則AC=4∴這個四邊形的周長為4AC=16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查折疊與菱形的判定與性質(zhì)，涉及含30°的直角三角形，讀懂題意，掌握折疊性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積【例11】（2023·云南·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）證△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再證四邊形ADBF是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得證AD=BD=12BC（2）連接DF交AB于O，由菱形面積公式S菱形ADBF=12AB?DF=40，求得OD長，再由菱形性質(zhì)得OA=OB，證得【詳解】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DEC∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD=BD，∴AF=BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=12BC∴四邊形ADBF是菱形；（2）解：連接DF交AB于O，如圖由（1）知：四邊形ADBF是菱形，∴AB⊥DF，OA=12AB=12×8=4，S菱形ADBF=∴12∴DF=10，∴OD=5，∵四邊形ADBF是菱形，∴O是AB的中點(diǎn),∵D是BC的中點(diǎn)，∴OD是△BAC的中位線，∴AC=2OD=2×5=10．答：AC的長為10．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（

）A．535 B．25 C．73【答案】B【分析】連接BM，利用折疊的性質(zhì)證明四邊形BMDN為菱形，設(shè)DN＝NB＝x，在Rt△ABD中，由勾股定理求BD，在Rt△ADN中，由勾股定理求x，利用菱形計(jì)算面積的兩種方法，建立等式求MN．【詳解】解：如圖，連接BM，由折疊可知，MN垂直平分BD，∴OD=OB,又AB∥CD，∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,∴△BON≌△DOM，∴ON＝OM，∴四邊形BMDN為菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形），∴DN=BN=BM=DM,設(shè)DN＝NB＝x，則AN＝8﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝AD2+A在Rt△ADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，根據(jù)菱形計(jì)算面積的公式，得BN×AD＝12×MN×BD即5×4＝12×MN×4解得MN＝25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，勾股定理，菱形的面積公式的運(yùn)用，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應(yīng)線段相等．【變式11-2】（2019·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）S平行四邊形ABCD=24【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題；（2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形；（2）連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=1∵AB=5，AO=3，∴BO=AB2?A∴BD=2BO=8，∴S平行四邊形ABCD=12×AC×BD【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.【變式11-3】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE//AC，（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）2【分析】（1）根據(jù)BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到OA=OB，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AOBE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12∴OA=OB，∴四邊形AOBE是菱形；（2）解：作BF⊥OA于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，AC=4，∴AC=BD=4，OA=OC=12AC，OB=OD=12∴OA=OB=2，∵∠AOB=60°，∴BF=OB?sin∠AOB=2×3∴菱形AOBE的面積是：OA?BF=2×3=2【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積=底×高或者是對角線乘積的一半．【變式11-4】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)．(1)求證∠AEF=∠AFE；(2)若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為______．【答案】(1)見解析(2)3【分析】(1)由四邊形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)可證得BE＝DF，根據(jù)SAS，即可證△ABE≌△ADF得AE＝AF，從而得證．(2)連接AC、BD，交于點(diǎn)O，AC交EF于點(diǎn)G，根據(jù)菱形性質(zhì)可得菱形面積公式，然后根據(jù)三角形中位線定理得EF與BD關(guān)系，最后根據(jù)三角形面積公式代入計(jì)算可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，∵E、F分別是BC、DC的中點(diǎn),∴BE=12BC∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中AB＝∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．（2）連接AC、BD，交于點(diǎn)O，AC交EF于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，菱形ABCD的面積為：12∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥BD，EF＝12BD∴AC⊥EF，AG＝3CG，設(shè)AC＝a，BD＝b，∴12ab=8，即∴SΔ故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，能夠利用三角形面積公式得到答案是解決此題關(guān)鍵．題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題【例12】（2023·內(nèi)蒙古·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得MN⊥AC，且平分AC，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，證明四邊形AECF為菱形，即可判斷①，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解．判斷③，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BF=FO，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)AC與MN的交點(diǎn)為O，根據(jù)作圖可得MN⊥AC，且平分AC，∴AO=OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠EAO=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC，∵AE∥∴四邊形AECF是平行四邊形，∵M(jìn)N垂直平分AC，∴EA=EC，∴四邊形AECF是菱形，故①正確；②∵FA=FC，∴∠ACB=∠FAC，∴∠AFB＝2∠ACB；故②正確；③由菱形的面積可得12AC?EF＝CF?CD④∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，若AF平分∠BAC，F(xiàn)B⊥AB,FO⊥AC，則BF=FO，∴∠BAF=∠FAC，∵∠FAC=∠FCA，∵∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，∴∠ACB=30°，∴FO=1∵FO=BF，∴CF＝2BF．故④正確；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長線于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)F，且CE:AC=1:2．則下列結(jié)論：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；③DE=FE；④A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，通過SAS證明△ABE≌△ADE即可；通過證明△BCE≌△DCE，即可求證∠CBE=∠CDF；通過證明BE=EF，即可求證DE=FE；連接連接BD交AC于O，設(shè)SΔ【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，∵AE=AE，∴Δ∴BE=DE，∠AEB=∠AED，∵CE=CE，∴△BCE≌△DCE，∴∠CBE=∠CDF，故②正確；∵BF∥∴∠FBE=∠AEB，∠AED=∠F，∴∠FBE=∠F，∴BE=EF，∴DE=FE；故③正確；連接BD交AC于O，∵AO=CO，∵CE:AC=1:2，∴AO=CO=CE，設(shè)SΔ∴S∴S∴S∴S∴S故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．【變式12-2】（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，直線CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，CE與DA的延長線交于點(diǎn)E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論：①四邊形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF：FC=1：2；其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②③【分析】根據(jù)菱形的判定方法、平行線分線段成比例定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=∵EC垂直平分AB，∴OA=OB=12AB=12DC，CD⊥∵OA∥∴EAED=EO∴AE=AD，OE=OC，∵OA=OB，OE=OC，∴四邊形ACBE是平行四邊形，∵AB⊥EC，∴四邊形ACBE是菱形，故①正確，∵∠DCE=90°，DA=AE，∴AC=AD=AE，∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正確，∵OA∥∴AFCF故答案是：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式12-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，點(diǎn)M，N分別在AD，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)E處，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①連接CM，四邊形ENCM一定是菱形；②F，M，C三點(diǎn)一定在同一直線上；③當(dāng)點(diǎn)E與A重合時，A，B，C，D，F(xiàn)五點(diǎn)在同一個圓上；④點(diǎn)E到邊MN，BN的距離可能相等．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②③④【分析】利用矩形及折疊的性質(zhì)證明四邊形ENCM一定是菱形，即可判斷①，結(jié)合矩形的性質(zhì)可知∠FME=∠MEN，進(jìn)而可證明∠EMC+∠FME=180°，即可判斷②，利用圓周角定理可判斷③，由角平分線的性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：連接CM，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠EMN=∠CNM，由折疊可知：CN=EN，∠ENM=∠CNM，∴∠EMN=∠ENM，∴EM=EN=CN，∴四邊形ENCM是平行四邊形，又∵CN=EN，∴四邊形ENCM一定是菱形，故①正確；由折疊可知，F(xiàn)M∥∴∠FME=∠MEN，∵四邊形ENCM是菱形，∴∠EMC+∠MEN=180°，∴∠EMC+∠FME=180°，∴F，M，C三點(diǎn)一定在同一直線上；連接AC，可知A，B，C，D，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時，∵F，M，C三點(diǎn)一定在同一直線上，∴∠AFC=90°，則點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上，∴A，B，C，D，F(xiàn)五點(diǎn)在同一個圓上；當(dāng)∠ENM=∠BNE時，即∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°時，由角平分線的性質(zhì)可知，此時點(diǎn)E到邊MN，∴點(diǎn)E到邊MN，BN的距離可能相等（當(dāng)∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°時）；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，圓周角定理，菱形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型13與菱形有關(guān)的新定義問題【例13】（2020·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個頂點(diǎn)A，C重合，另外兩個頂點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的內(nèi)部，則稱菱形AECF為正方形ABCD的內(nèi)含菱形．若正方形的周長為16，其內(nèi)含菱形邊長是整數(shù)，則內(nèi)含菱形的周長為；若正方形的面積為18，其內(nèi)含菱形的面積為6，則內(nèi)含菱形的邊長為．【答案】1210【分析】連接AC，BD，AC、BD交于點(diǎn)O，如圖，由正方形和菱形的性質(zhì)可得E、F在BD上，且EF⊥AC，易求得OA的長，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OA2+OE2＝AE2，由0<OE<22可得8<AE2<16，然后即可確定整數(shù)AE的長，進(jìn)而可得菱形的周長；由正方形的面積是18可求出其邊長，進(jìn)而可求得【詳解】解：連接AC，BD，AC、BD交于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，∵四邊形AECF是菱形，∴E、F在BD上，且EF⊥AC，∵正方形的周長為16，∴AB＝4，∴2OA2＝AB2，即2OA2＝16，解得：OA＝22，∴OE＜22，在Rt△AOE中，∵OA2+OE2＝AE2，∴8+OE2＝AE2，∵0<OE<22，∴8<A∵AE是整數(shù)，∴AE＝3，則內(nèi)含菱形的周長為12；若正方形的面積為18，∴AB＝32，∴OA＝3，∵其內(nèi)含菱形的面積為6，∴EF＝2，∴OE=1，則內(nèi)含菱形的邊長AE=3故答案為：12；10．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于?？碱}型，正確添加輔助線、熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若四邊形中某個頂點(diǎn)與其它三個頂點(diǎn)距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點(diǎn)叫做這個四邊形的等距點(diǎn)．

(1)判斷：一個內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn)，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點(diǎn)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形以A為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對角線長．端點(diǎn)均為非