2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第23講 特殊四邊形-矩形（講義）（原卷版）

第23講特殊四邊形-矩形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定題型01利用矩形的性質(zhì)求角度題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型03利用矩形的性質(zhì)求面積題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明題型06矩形的判定定理的理解題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形題型08證明四邊形是矩形題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型13與矩形有關(guān)的新定義問題題型14與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型15與矩形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題題型16矩形與一次函數(shù)綜合題型17矩形與反比例函數(shù)綜合題型18矩形與二次函數(shù)綜合考點(diǎn)二矩形的折疊問題題型01與矩形有關(guān)的折疊問題類型一沿對(duì)角線翻折（模型一）類型二將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)角線上（模型二）類型三將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到長(zhǎng)邊上（模型三）類型四矩形短邊沿折痕翻折（模型四）類型五通過翻折將矩形兩個(gè)頂點(diǎn)重合（模型五）類型六將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)稱軸上（模型六）類型七將矩形翻折使其一個(gè)頂點(diǎn)落在一邊上（模型七）類型八其它

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)矩形的性質(zhì)與判定探索并證明矩形的性質(zhì)定理.探索并證明矩形的判定定理.矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．矩形的折疊問題考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個(gè)角都是直角；3）對(duì)角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.矩形的對(duì)稱中心是矩形對(duì)角線的交點(diǎn)；矩形有兩條對(duì)稱軸，矩形的對(duì)稱軸是過矩形對(duì)邊中點(diǎn)的直線；矩形的對(duì)稱軸過矩形的對(duì)稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.【解題思路】要證明一個(gè)四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個(gè)角是直角來直接證明．1.對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn)1.對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.有一個(gè)角是直角.2.定義說有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形,不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形.題型01利用矩形的性質(zhì)求角度【例1】（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，已知∠BAC=35°，則∠BOCA．65° B．70° C．75° D．80°【變式1-1】（2022·安徽安慶·安慶市第二中學(xué)校考三模）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠

A．10° B．15° C．25° D．30°【變式1-2】（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）翻花繩是中國(guó)民間流傳的兒童游戲，在中國(guó)不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成如右圖，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，

A．30° B．45° C．50° D．60°【變式1-3】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考三模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE，過E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠BAF=α

A．α B．45°+α2 C．45°-α【變式1-4】（2023·安徽合肥·?？既＃┤鐖D，a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直線a上，若∠1=34°，則∠2的度數(shù)為（

A．34° B．46° C．56° D．66°題型02利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例2】（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且EF⊥BD，EF分別與AD，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=2，BC=4，則

A．32 B．2 C．52 D【變式2-1】（2023·廣西南寧·?？级＃┰诰匦蜛BCD中，AB=3，將AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到BE，連接DE，若DE的最小值為2

【變式2-2】（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F．連接AF交BE于點(diǎn)O，若AB=AE，則線段AF與

【變式2-3】（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)P，那么OP

【變式2-4】（2022·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ=2

題型03利用矩形的性質(zhì)求面積【例3】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且AE=13AB，BF=13BC，CG=13CD

A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，延長(zhǎng)AB至E，使得ABBE=56，連接CE，若矩形ABCD的面積為20，則

A．16 B．14 C．12 D．10【變式3-2】（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，OA=6，OC=8．若直線y=2x+

A．5 B．2 C．-2 D．【變式3-3】（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，現(xiàn)將四根木條釘成的矩形框ABCD變形為平行四邊形木框A'B'C'D'，且A'D'與CD相交于CD邊的中點(diǎn)E，若AB【變式3-4】（2023·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AP=2，連接BD

題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)【例4】（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，OB=4，OA=3，AD=10，將矩形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)DA．(6,5) B．(5,6) C．(-6,-5) D．(-5,-6)【變式4-1】（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸上，O是BD的中點(diǎn).若AB=OB=23，則點(diǎn)

A．（3，3） B．-3,-3 C．(3，【變式4-2】（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，已知矩形AOBC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．-12,4 B．-23,4【變式4-3】（2021·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊，折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為10,8，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．10,3 B．10,5 C．6,3 D．4,3【變式4-4】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則點(diǎn)

題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明【例5】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，連接(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若AB=3，BC=4，求(3)求證：BE【變式5-1】（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E是OA上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得∠ADF

(1)求證：DF∥(2)若OE=1，求DF【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，矩形ABCD中，E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，連接BE、DF，且BE⊥AC于E，

(1)如圖1，求證：AE=(2)如圖2，連接DE、BF，當(dāng)∠ACD=2∠ABE【變式5-3】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接EC，EB，過點(diǎn)B作EC的垂線交CD，CE于點(diǎn)F，G．設(shè)ADDC

(1)求證：△BGC(2)如圖1，連接AG，若∠GAB=30°，求(3)如圖2，若AG平分∠DAB，過點(diǎn)D作AG的垂線交EC，EB及CB的延長(zhǎng)線分別于點(diǎn)P，H，M．若DH?CB題型06矩形的判定定理的理解【例6】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖為小亮在家找到的一塊木板，他想檢驗(yàn)這塊木板的表面是不是矩形，但僅有一根足夠長(zhǎng)的細(xì)繩，現(xiàn)提供了如下兩種檢驗(yàn)方法：下列說法正確的是（

）A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行【變式6-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）下列圖形一定為矩形的是（

）A．B．C． D．【變式6-2】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）要判斷一個(gè)四邊形的窗框是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）A．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等B．測(cè)量對(duì)角線是否相等C．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分D．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等【變式6-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，給出部分?jǐn)?shù)據(jù)，若添加一個(gè)數(shù)據(jù)后，四邊形ABCD是矩形，則添加的數(shù)據(jù)是（

）A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形【例7】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在?ABCD中，M、N是BD上的兩點(diǎn)，BM=DN，連接AM、MC、CN、NA．請(qǐng)你添加一個(gè)條件

【變式7-1】（2022·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使?

【變式7-2】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，連接BE，ED，DF，F(xiàn)B．若添加一個(gè)條件使四邊形BEDF

題型08證明四邊形是矩形【例8】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO=OC，BO=

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC【變式8-1】（2022·山東濱州·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB=AE，求證：四邊形【變式8-2】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，分別過D，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為(1)求證：四邊形DEFG為矩形；(2)若AB=10，EF=4，求題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度【例9】（2021·河北唐山·統(tǒng)考二模）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，得到矩形AEFG．當(dāng)GC=GBA．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60°【變式9-1】（2020·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠MON＝90°，動(dòng)點(diǎn)A、B分別位于射線OM、ON上，矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝4，則線段OC長(zhǎng)的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【變式9-2】（2022·河北·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，∠α與∠β的度數(shù)之間的關(guān)系為(

)A．β=180-α B．β=180°-12α C．β=90°-α D．【變式9-3】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，BD=2，DE∥AC，將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D'、題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【例10】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)；若EF=1【變式10-1】（2021·廣東中山·校聯(lián)考一模）九年級(jí)融融陪同父母選購(gòu)家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測(cè)量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長(zhǎng)HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈DE.

【變式10-2】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F，使EC=2CF，且AF與BE交于點(diǎn)G.(1)當(dāng)EC=4時(shí)，求線段BG的長(zhǎng):(2)設(shè)CF=x，△GEF的面積為y，求y與x的關(guān)系式，并求出y的最大值:(3)連接DG，求線段DG的最小值.題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積【例11】（2023·甘肅白銀·統(tǒng)考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（

A．4 B．6 C．8 D．10【變式11-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48【變式11-2】（2020·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）矩形ABCD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接AE、DE，以AE、DE為邊作平行四邊形AEDF．在點(diǎn)E從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，平行四邊形AEDF的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【變式11-3】（2020·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD．經(jīng)測(cè)量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝43，M、N邊BC上，頂點(diǎn)P在CD上，頂點(diǎn)Q在AB上，且面積最大的矩形PQMN面積為cm2．【變式11-4】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）矩形ABCD中，AB=m，AD=n，連接BD，點(diǎn)P在線段BD上，連接AP過點(diǎn)P作PE⊥AP，交直線BC于點(diǎn)E，連接AE、PC．(1)若m=6，n=63；①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)；②當(dāng)EB=EP時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；(2)若m=6，n=8，△PEC面積的最大值為(直接寫出答案)．題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題【例12】（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C

A．當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形ABMP為矩形 B．當(dāng)t=4C．當(dāng)CD=PM時(shí)，t=3s D．當(dāng)CD【變式12-1】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，PE<PD，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：①DH=DE；②DP=DG；A．①② B．②③ C．①④ D．③④【變式12-2】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且EF=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點(diǎn)，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠AEG與∠GFB一定相等；②點(diǎn)G到邊AB，BC的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊AD

【變式12-3】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P點(diǎn)在AD邊上以每秒1cm的速度從A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在C、B①該過程中，會(huì)出現(xiàn)4次PQ∥②該過程中，會(huì)出現(xiàn)3次四邊形ABQP和四邊形PQCD同時(shí)為矩形的時(shí)刻；③該過程中，當(dāng)：t=5時(shí)，四邊形ABQP和四邊形PQCD的面積比為6∶5④該過程中，矩形ABQP和PQCD面積比的最大值為4∶3．上述說法正確的是（填序號(hào)）．【變式12-4】（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB＝60°，F(xiàn)O＝FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE:

題型13與矩形有關(guān)的新定義問題【例13】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)矩形中，一組對(duì)邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)在同一個(gè)反比例函數(shù)y=kx的圖像上，則稱這個(gè)矩形為“奇特矩形”．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD是第一象限內(nèi)的一個(gè)“奇特矩形”．且點(diǎn)A4,1，B7,1【變式13-1】（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）我們給出如下定義：在平面內(nèi)，點(diǎn)到圖形的距離是指這個(gè)點(diǎn)到圖形上所有點(diǎn)的距離的最小值．在平面內(nèi)有一個(gè)矩形ABCD,AB=4,AD=2，中心為O，在矩形外有一點(diǎn)P，OP=3，當(dāng)矩形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)【變式13-2】（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AP：PC＝2：3，過點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形ABFP是等腰直角四邊形，則AE的長(zhǎng)是．題型14與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題【例14】（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，連接AC，以對(duì)角線AC為邊，按逆時(shí)針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對(duì)角線AA．5×522022 B．2×52【變式14-1】（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC邊上的高AB=1，點(diǎn)P1、Q1、H1分別在邊AB、AC、BC上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1:P1B=2:3，點(diǎn)

【變式14-2】（2019·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B3,4，A在x軸上，C在y軸上，對(duì)角線AC、OB交于C1，以O(shè)A、OC1為鄰邊作?OAB1C1，對(duì)角線AC1、OB1交于C2，以O(shè)A、OC2為鄰邊作?OAB2C2，對(duì)角線AC2

題型15與矩形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【例15】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B,C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過點(diǎn)P作∠BPF的角平分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，A．B．C．D．【變式15-1】（2023·廣東潮州·二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，AB的長(zhǎng)為a，動(dòng)點(diǎn)D在AB邊上從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)AD的長(zhǎng)為x，矩形CEDF的面積為y，A．2 B．4 C．6 D．8【變式15-2】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=8,AD=6,F是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，OE⊥OF交AB于E，連接EF、OB．若OB將【變式15-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=122，BC=162，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MP，作∠MPC的角平分線交邊CD于點(diǎn)N【變式15-4】（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥DE，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)(1)求證∶△DCE(2)∠CME的大小是否是一個(gè)確定的值？如果是，求出．∠CME的正切值；如果不是，那么用含字母a的代數(shù)式表示∠(3)P是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、D重合)，聯(lián)結(jié)PB、PM．隨著點(diǎn)P位置的變化，在△PBM中除∠BPM外的兩個(gè)內(nèi)角是否會(huì)有與∠CME相等的角，如果有，請(qǐng)用含字母a題型16矩形與一次函數(shù)綜合【例16】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=-2x+6的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)P分別作OA和OB的垂線，垂足為C，D．當(dāng)矩形OCPD的面積為4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

A．(2，2) B．12，5 C．(1，4)或12，5 D．(1，【變式16-1】（2018·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）已知平面上四點(diǎn)A（0，0）、B（10，0）、C（10，6）、D（0，6），一次函數(shù)y＝kx﹣1的圖象將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則k的值為．【變式16-2】（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，ABCD是一矩形紙片，E是AB上的一點(diǎn)，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)是F，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以直線AD為x軸，以直線BA為y軸，則過點(diǎn)題型17矩形與反比例函數(shù)綜合【例17】（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知矩形ABCD的對(duì)角線BD中點(diǎn)E與點(diǎn)B、F都在反比例函數(shù)y=kx

A．14 B．13 C．12【變式17-1】（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交矩形的對(duì)角線OB于點(diǎn)D，分別交BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．若OD

【變式17-2】（2021·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC=82，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y=kx

【變式17-3】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形AOBC中，OB=3，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且CD=CE=2，反比例函數(shù)y=

(1)請(qǐng)用含k的式子表示點(diǎn)D，C，E的坐標(biāo)：點(diǎn)D________，點(diǎn)C________，點(diǎn)E________；(2)利用（1）的結(jié)論，求反比例函數(shù)的解析式；(3)連接OD，OE，DE，求△ODE【變式17-4】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)y=12x+a的圖象與反比例函數(shù)y=

(1)求a，k的值；(2)點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，直線CA與x軸交于點(diǎn)D，AC=AD，連接CB，求(3)點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形AEBF為矩形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式17-5】（2023·河南南陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，某圖形W由線段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函數(shù)圖象的一段CD構(gòu)成，其中，A-4,0，B4,0，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE∥x軸且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4，設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b，雙曲線CD的解析式為y=kx．點(diǎn)P為雙曲線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)(1)求直線EF和雙曲線CD的解析式；(2)若GO分矩形PQNM的面積比為2：1，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型18矩形與二次函數(shù)綜合【例18】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+mx+8的圖像交y軸于點(diǎn)A，作AB平行于x軸，交函數(shù)圖像于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限）．作BC垂直于x軸，垂足為C，點(diǎn)D在BC上，且CD=13BD．點(diǎn)E是線段(1)當(dāng)∠BED=60°時(shí)，若點(diǎn)B'到y(tǒng)(2)若點(diǎn)E在AB上有且只有一個(gè)位置，使得點(diǎn)B'到x軸的距離為3，求m【變式18-1】（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，若二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A-1，(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)K，使以點(diǎn)B、C、Q、K為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形是矩形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式18-2】（2021·吉林延邊·?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為B．且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求m的值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=（4）若點(diǎn)P在直線AC上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式18-3】（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）對(duì)于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=tx2-【嘗試】判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上．【發(fā)現(xiàn)】對(duì)于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，坐標(biāo)為_______．【應(yīng)用】以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上：若拋物線E經(jīng)過A，B，C，D其中的三點(diǎn)，求出所有符合條件的t的值．考點(diǎn)二矩形的折疊問題矩形的折疊問題的常用解題思路：1）對(duì)折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對(duì)稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個(gè)直角三角形(不找以折痕為邊長(zhǎng)的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識(shí)求解.模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：嘗試借助一線三垂直知識(shí)利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為DC，AB中點(diǎn)思路：模型七：點(diǎn)A’為BC中點(diǎn)思路：過點(diǎn)F作FH⊥AE，垂足為點(diǎn)H設(shè)AE=A’E=x，則BE=8-x由勾股定理解得x=174∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=3415CG=1615DF=D’F=AH=134題型01與矩形有關(guān)的折疊問題類型一沿對(duì)角線翻折（模型一）【例1】（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cosA．817 B．715 C．1517【變式1-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△DAF(2)若∠FCE=40°，求【變式1-2】（2018·廣東河源·?？家荒＃┤鐖D，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，F(xiàn)C交AD于F．（1）求證：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求圖中陰影部分的面積．

類型二將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)角線上（模型二）【例2】（2023·山東青島·青島大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF【變式2-1】（2021·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝，BE＝【變式2-2】（2018·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A'處，則AE的長(zhǎng)為

【變式2-3】（2019·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為．類型三將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到長(zhǎng)邊上（模型三）【例3】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在AB邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處，連接EC，過點(diǎn)B作BF⊥EC，垂足為F，若CD=1,CF=2A．5-2 B．3-1 C．【變式3-1】（2020·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．若AB＝3，BC＝5，則tan∠DAE的值為（

）A．12 B．920 C．25【變式3-2】（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長(zhǎng)是（

）A．1 B．43 C．32 D【變式3-3】（2021·四川廣安·?？级＃┰诰匦蜛BCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將ΔBCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．（1）如圖1，若BC=2BA，求（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD（3）如圖3，延長(zhǎng)EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN類型四矩形短邊沿折痕翻折（模型四）【例4】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)M，N分別在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE所在直線折疊得到△DC′E，當(dāng)C′點(diǎn)恰好落在線段MN上時(shí)，CE的長(zhǎng)為（

）A．52或2 B．52 C．32或2【變式4-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點(diǎn)F落在AE上．若CE=3cm，AF=2【變式4-2】（2019·黑龍江大慶·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，則AF的最小值為．【變式4-3】（2021·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考二模）矩形紙片ABCD，長(zhǎng)AD=8cm，寬AB=4cm，折疊紙片，使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，交AD邊于點(diǎn)E，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，展平后得到折痕BE，同時(shí)得到線段BA'，E類型五通過翻折將矩形兩個(gè)頂點(diǎn)重合（模型五）【例5】（2022·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝22，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象恰好過MN的中點(diǎn)，則k的值為，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為．【變式5-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為EF．(1)求證：△PDE(2)若CD=4cm,【變式5-2】（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿E折疊，使C,A兩點(diǎn)重合．點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．已知AB=4（1）求證：ΔAEF是等腰三角形；（2）求線段FD的長(zhǎng)．類型六將矩形短邊頂點(diǎn)翻折到對(duì)稱軸上（模型六）【例6】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將矩形翻折，使邊AD與邊BC重合，展開后得到折痕MN，E是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→C→B的方向在DC和CB上運(yùn)動(dòng)，將矩形沿EF翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在

【變式6-1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM所在直線折疊，使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處，已知BC＝4，則線段EG的長(zhǎng)度為．【變式6-2】（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考一模）【初步探究】（1）把矩形紙片ABCD如圖①折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'在MN的中點(diǎn)時(shí)，填空：△EB'M△B'AN（【類比探究】（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'為MN上的任意一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷（1【問題解決】（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP，將△BPE沿PE折疊得到△B'PE，連接DE【變式6-3】（2021·甘肅蘭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）[問題解決]（1）如圖①，在矩形紙片ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在AD邊上，請(qǐng)你判斷四邊形ABEF的形狀，并說明理由；[問題探索]（2）如圖②，在矩形紙片ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在矩形紙片ABCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，求證：FG＝CG；[拓展應(yīng)用]（3）如圖③，在正方形紙片ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△