整式整式的乘除與因式分解詳解和易錯題分析

整式的乘除與因式分解15.1整式的乘法15.1.1知能新視窗知識結構同底數(shù)冪的乘法法那么逆用同底數(shù)冪的乘法法那么同底數(shù)冪的乘法法那么推廣學點博覽學點1同底數(shù)冪的乘法法那么：am·an=am+n(m、n都是正整數(shù))，即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．理解要點：〔1〕法那么理解①同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪．如(-3)2與(-3)5,(ab3)2與(ab3〕5,(x-y)2與(x-y)3等．②同底數(shù)冪的乘法法那么的表達式中，左邊：兩個冪的底數(shù)相同，且是相乘的關系；右邊：得到一個冪，且底數(shù)不變，指數(shù)相加．〔2〕法那么逆用與推擴①同底數(shù)冪的乘法法那么也可逆用，可以把一個冪分解成兩個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，它的指數(shù)之和等于原來冪的指數(shù)．即am+n=am·an(m、n都是正整數(shù))如：25=23·22=2·24等．②同底數(shù)冪的乘法法那么可推擴到三個或三個以上的同底數(shù)冪的相乘．a(chǎn)m·an·ap=am+n+p(m、n…p都是正整數(shù))，am·an·…·ap=am+n+…+p(m、n…p都是正整數(shù))．〔3〕應用法那么注意的事項：=1\*GB3①底數(shù)不同的冪相乘，不能應用法那么.如：32·23≠32+3；=2\*GB3②不要無視指數(shù)為1的因數(shù)，如:a·a5≠a0+5．=3\*GB3③底數(shù)是和差或其它形式的冪相乘，應把它們看作一個整體．名師開小灶金考點考點1同底數(shù)冪的乘法法那么同底數(shù)冪的乘法是學習整式乘法的根底，一定要學好．[例1]計算：〔1〕-a·(-a)3〔2〕-a3·(-a)2〔3〕(a-b)2·(a-b)3〔4〕(a-b)2·(b-a)3[點撥]根據(jù)冪的符號法那么，把冪的底數(shù)統(tǒng)一．[解答](1)-a·(-a)3=(-a)4=a4(2)-a3·(-a)2=-a3·a2=-a3+2=-a5(3)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)2+3=(a-b)5(4)(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)5[方法規(guī)律]在am·an=am+n中，a可以代表任意的有理數(shù)，單項式、多項式，解這類題目往往要用到冪的符號法那么使底數(shù)一致。常見的變形如：(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n為正整數(shù))等．考點2：同底數(shù)冪的乘法法那么的推廣三個或三個以上同底數(shù)冪相乘，法那么一樣適合．[例2]計算：〔1〕x2·(-x)3·(-x)4(2)xn·xn+1·xn-1·x(3)(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+2(4)(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)[點撥]在底數(shù)相差符號時，可先利用指數(shù)的奇偶性將底數(shù)化為相同，再用同底數(shù)冪的乘法法那么．[解答]〔1〕x2·(-x)3·(-x)4=x2·(-x3)·x4=-x2+3+4=-x9〔2〕xn·xn+1·xn-1·x=x3n+1〔3〕(x-2y)2·(x-2y)m-1·(x-2y)m+2=(x+2y)2+(m-1)+(m+2)=(x-2y)2m+3〔4〕(x-y)4·(y-x)5·(y-x)2·(x-y)=(y-x)4·(y-x)5·(y-x)2·[-(y-x)]=-(y-x)4+5+2+1=-(y-x)12[方法規(guī)律]〔1〕如果是三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘仍然適合法那么，即am·an·…·ap=am+n+……+p(m、n…p都是正整數(shù))．考點3同底數(shù)冪的乘法法那么的逆用巧妙地逆用同底數(shù)冪的乘法法那么，可創(chuàng)性地解看似無從著手的題目，從而培養(yǎng)逆向思維能力．[例3]am=2,an=3(m、n為正整數(shù))，求am+n的值．[點撥]逆用同底數(shù)冪的乘法法那么，可將am+n變?yōu)閍m·an．[解答]∵am=2,an=3,∴am+n=am·an=2×3=6[方法規(guī)律]靈活變形、逆用同底數(shù)冪的乘法法那么，即am+n=am·an(m、n都是正整數(shù))考點4混合運算混合運算主要考查綜合解決問題的能力，此類綜合題要找準方法，注意運算順序．[例4]計算〔1〕〔-3〕100+〔-3〕99+〔-3〕54·〔-345〕．〔2〕x3·xm-xm+3+(-x3)·(-x)2[點撥]混合運算，應先算乘法，后算加減，注意同底數(shù)冪的乘法法那么與合并同類項的區(qū)別，有時逆用同底數(shù)冪的乘法法那么可簡化運算．[解答]〔1〕〔-3〕100+〔-3〕99+〔-3〕54·〔-345〕=〔-3〕〔-3〕99+〔-3〕99+〔-3〕54·〔-3〕45=〔-3〕〔-3〕99+〔-3〕99+〔-3〕99=〔-1〕〔-3〕99=399〔2〕x3·xm-xm+3+(-x3)(-x)2=x3+m-xm+3+(-x)3(-x)2=0+(-x)5=-x5[注意的問題]1．在混合運算中，要注意法那么的正用和逆用。尤其對逆向變形應加以重視．2．n為偶數(shù)時，〔-a〕n=an,n為奇數(shù)時，〔-a〕n=-an經(jīng)常需要運用這一特性簡化運算．金鑰匙能力拓展[例1]2a=3,2b=6,2[點撥]找指數(shù)a、b、c三者之間關系，逆用同底數(shù)冪的乘法法那么是突破口，[解答]：滿足a+c=2b的關系理由如下：∵2a=3,2c=12,∴2a+c=2a·又∵2b=6,∴22b=2b+b=2b·2b=36∴2a+c=22b∴綜合運用[例2]xm-n·x2n+1=x11,ym-1·y4-n=y7求m+n的值．[點撥]利用當同底數(shù)冪相等時，那么冪指數(shù)相等，列出方程，求出m、n的值．[解答]∵xm-n·x2n+1=x11∴xm-n+2n+1=x11∴xm+n+1=x11∴m+n+1=11……①又∵ym-1·y4-n=y7∴ym-1+4-n=y7∴ym-n+3=y7∴m-n+3=7……②m+n=10,m=7,由①②得方程組為解得m-n=4,n=3.∴m=7，n=3[方法規(guī)律]利用的條件構造出方程是解此類題綜合題的根本方法．誤區(qū)警示[例3]〔1〕假設等式2n·xn=22n對于一切正整數(shù)n都成立，x是多少？〔2〕如果存在整數(shù)n，等式2n·xn=22n，x一定等于2嗎？[點撥]可以逆用am·an=am+n,即利用2n·xn=22n=2n·2n，從而考察xn=2n對x的條件限制．[解答]〔1〕∵2n·xn=22n,∴2n·xn=2n·2n，∵n為正整數(shù)，2n≠0,∴xn=2n，又∵2n·xn=2n對于一切正整數(shù)n都成立，∴x=2，(2)當n為奇數(shù)時，xn=2n,x=2當n為偶數(shù)時，∵〔±2〕n=2n，∴x=±2綜合所述：x不一定等于2．[誤點剖析]由xn=2n,不能簡單認定x=2或x=±2,一定要看指數(shù)n的條件，所以冪相同，指數(shù)相同，底數(shù)未必相同．15.1.2知能新視窗知識結構冪的乘方法那么逆用冪的乘方的意義冪的乘方法那么冪的乘方法那么推廣學點博覽學點1冪的乘方的意義冪的乘方是指n個相同的冪相乘．學點2冪的乘方法那么(am)n=am·n(m、n都是正整數(shù))，即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．理解要點〔1〕同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方的異同符號表示相同點不同點同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n〔m、n都是正整數(shù)〕底數(shù)不變指數(shù)相加冪的乘方(am)n=am·n〔m、n都是正整數(shù)〕底數(shù)不變指數(shù)相乘〔2〕、法那么逆用與推廣①、冪的乘方法那么可以逆用：amn=(am)n=(an)m,例如：310=32×5=〔35〕2=〔32〕5②、冪的乘方法那么可以推廣到多個指數(shù)的情形．[(am)n]p=amnp(m、n、p都是正整數(shù))〔3〕運用冪的乘方法那么時注意的事項：①不能混淆冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法，在底數(shù)相同的條件下，乘法指數(shù)相加，乘方指數(shù)相乘．②在計算〔-x〕n時，一定要注意n的奇偶性．③利用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方可對式子作適當變形．名師開小灶金考點考點1冪的乘方法那么應用冪的乘方法那么進行計算時，要注意區(qū)分與其他法那么的異同，二要認真分析算式的具體情況，靈活、正確的運用法那么．[例1]化簡〔-a2〕3的結果為〔〕A．-a5B．a(chǎn)5C．-a6D．a(chǎn)[點撥]關鍵是分清底數(shù)和指數(shù)是什么，然后再用法那么[解答]選c[方法規(guī)律]先分清式子中符號是否屬于底數(shù)，再正確應用乘方的意義來確定符號．考點2冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的混合運算在綜合運用兩個法那么計算時，一要注意區(qū)分兩個法那么應用的條件，不能混淆，冪的乘方是變乘方為乘法，同底數(shù)冪的乘法是變乘法為加法，二要注意運算順序，先用冪的乘方性質，再利用同底數(shù)冪的性質．[例2]〔m2〕3·m4等于〔〕A．m9B．m10C．m12D．m14[點撥]先用冪的乘方法那么計算，再利用同底數(shù)冪的乘法計算[解答]選B[溫馨提示]此題是一個冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的混合運算，依次運用兩個法那么，要注意在指數(shù)概念不清可能發(fā)生的錯誤．考點3冪的乘方法那么的逆用冪的乘方法那么的逆用是一個難點，不知逆用法那么，有些問題就束手無策．[例3]am=2,an=3,求a2m+3n的值．[點撥]利用am+n=am·an和amn=(am)n的性質，將a2m+3n轉化為(am)2·(an)3的形式。[解答]a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=22×33=108[方法規(guī)律]逆用性質轉化，整體代入求值．金鑰匙能力拓展[例1]假設2m+1=x,4[點撥]把底數(shù)4化成22，逆用冪的乘方法那么，用代入法消去m．[解答]：∵x=2m+1,∴2m=x-1又∵y=4m+3=(22)m+3=(2m)2+3[方法規(guī)律]利用(am)n=(an)m的性質，將(22)m轉化成(2m)2的形式是解題關鍵綜合運用[例2]計算：〔1〕[〔2a+b〕4]2〔2〕(m2n-1)2·(mn+1)3〔3〕3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(-a4)2·(a2)3[點撥](1)可以把2a+b當作一個整體，然后利用冪的乘方運算法那么進行；(2)(3)題是混合運算，應該先乘方，再乘除，最后加減．[解答](1)[(2a+b)4]2=(2a+b)4×2=(2a+b)8(2)(m2n-1)2·(mn+1)3=m2(2n-1)·m3(n+1)=m4n-2·m3n+3=m4n-2+3n+3=m7n+1(3)3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(-a4)2·(a2)3=3·a2×4·a3×3+a·a4×4-a3·a4×2·a2×3=3a8+9+a1+16-a3+8+6=3a17+a17-a17=3a17[方法規(guī)律]在冪的乘方運算中，當指數(shù)是多項式時，指數(shù)相乘時應先添括號，再去括號進行計算.拓廣探索[例3]計算：[〔-x2〕3]9[點撥]先由乘方的意義確定符號，再應用冪的乘方法那么計算．解法一：[(-x2)3]9=[-x6]9=-x54解法二：[(-x2)3]9=(-x2)27=-x54解法三：[(-x2)3]9=-x2×3×9=-x54[方法規(guī)律]應用冪的乘法法那么時，可由內(nèi)到外，或由外到內(nèi)，也可用冪的乘方法那么的推廣，即[(am)n]p=amnp〔m、n、p都是正整數(shù)〕．15.1.3知能新視窗知識結構積的乘方法那么推廣積的乘方的意義積的乘方的法那么積的乘方法那么逆用學點博覽學點1積的乘方意義積的乘方是指底數(shù)是積的形式的乘方，如〔ab〕m,(ab)3等．學點2積的乘方法那么(ab)n=anbn(n為正整數(shù))，即積的乘方，等于把積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．理解要點：〔1〕積的乘方法那么的表達式中，左邊是冪的形式，而冪的底數(shù)是2個因式的積．右邊是積，而積的因式是2個冪．〔2〕三個或三個以上因式的積的乘方，也適用這一性質如(abc)n=anbncn(n為正整數(shù))〔3〕積的乘方法那么也可以逆用，即an·bn=(ab)n,anbncn=(abc)n(n為正整數(shù))〔4〕應用積的乘方的法那么考前須知：①積中的每個因式都應乘方，不能遺漏；②注意系數(shù)及系數(shù)的符號，對于系數(shù)為-1的不可無視；③注意法那么在逆用時的條件，必須是an·bn=(ab)n(n為正整數(shù))即指數(shù)應相同．名師開小灶金考點考點1積的乘方法那么積的乘方法那么是冪的第三個運算法那么，要得到領會該法那么的意義，正確掌握法那么的特征，進行正確的運算，防止與前二個法那么發(fā)生混淆．[例1]：計算(x)3(2)(-4a)2(3)(-xy3)4(4)[2x·(y3)2]5[點撥]〔1〕題直接應用積的乘方法那么計算，〔2〕、〔3〕題注意系數(shù)及系數(shù)符號，對于系數(shù)是-1的不可忽略；〔4〕題應用積的乘方法那么推廣，同時要注意運算順序，是由括號內(nèi)〔或外〕向外〔或內(nèi)〕逐個運算，要視具體題目而定．[解答](1)(x)3=()3x3=x3；〔2〕(-4a)2=(-4)2·a2=16a2(3)(-xy3)4=(-1)4x4(y3)4=x4y12；〔4〕[2x(y3)2]5=[2xy6]5=25x5y30[溫馨提示]應用積的乘方，要注意觀察底數(shù)有幾個因式，在進行各因式乘方時，不能漏項，特別不能出現(xiàn)符號錯誤．考點2混合運算冪的三個法那么綜合在一個題目中考查，是本節(jié)綜合題的常見形式，也是考查同學們的計算能力、綜合能力的一個重要途徑．[例2]2(a2)3·a3-(3a3)3+a4·a5+(-2a2)點撥：正確運用冪的有關法那么進行計算，注意結果合并同類項．[解答]2(a2)3·a3-(3a3)3+a4·a5+(-2a2)4·a=2a6·a3-27a9+a9+16a8·a=2a9-27a9+a9+16a=-8a[方法規(guī)律]先冪的乘方，后冪的乘法．考點3先冪的乘方，后冪的乘法法那么的逆用，是培養(yǎng)學生逆向思維的一個有效途徑，在平時計算時，要多加注意，細心體會．[例3]計算：(1)(-2)2007×(-)2008(2)(0.04)2008×[(-5)2008]2[點撥]直接計算十分繁瑣，可考慮逆用冪的運算法那么．[解答](1)(-2)2007×(-)2008=(-2)2007×(-)2007×(-)=[(-2)2007×(-)2007]×(-)=[-2×(-)]2007×(-)=12007×(-)=-〔2〕(0.04)2008×[(-5)2008]2=(0.04)2008×[(-5)2]2008=(0.04×25)2008=12008=1[方法規(guī)律]〔1〕題通過逆用積的乘方法那么：anbn=(ab)n(n為正整數(shù))，從而簡化了計算過程；〔2〕題不僅逆用了積的乘方法那么：anbn=(ab)n,(n為正整數(shù))，還靈活運用了冪的乘方法那么：(am)n=(an)m=amn(m,n都是正整數(shù))金鑰匙能力拓展[例1]假設n為正整數(shù)，且x2n=7,求(2x2n)3-7(x2)2n的值．[點撥]此題可以根據(jù)積的乘方，冪的乘方運算法那么，把原式變形為關于x2n的代數(shù)式形式，然后代入求值．[解答]〔2x2n〕3-7(x2)2n=23(x2n)3-7(x2n)2=8×73-7×72=8×73-73=74=2401[方法規(guī)律]靈活運用冪的運算法那么進行變形，整體代入求值．自主探究[例2]如果5ab=10b,2ab=10a[點撥]由題目結論中的a+b，聯(lián)想到把等式相乘．[解答]∵5ab=10b,2ab=10∴5ab×2ab=10b×10∴(5×2)ab=10a∴10ab=10a∴ab=a+b[方法規(guī)律]此題關鍵是靈活逆用積的乘方法那么，構造出分別含ab、a+b為指數(shù)的等式，注意體會．綜合運用aaaaaaaaa[點撥]用22張可拼成一個邊長為2a的正方形，面積為〔2a〕2=22a2，用23張可拼成一個邊長為3a的正方形，面積為〔3a〕2=3[解答]∵2k張可拼成一個邊長為ka的正方形．∴正方形的面積為〔ka〕2=k2a[方法規(guī)律]解此類型題應從特殊入手，找出一般的規(guī)律，然后再利用一般規(guī)律解答．15.1知能新視窗知識結構單項式與單項相乘單項式與多項式相乘多項式與多項式相乘單項式與單項相乘單項式與多項式相乘多項式與多項式相乘整式的乘法學點博覽學點1單項式與單項式相乘單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式．理解要點：〔1〕積的系數(shù)等于系數(shù)的積，只有有理數(shù)的乘法運算，應先確定符號，再計算絕對值．〔2〕相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法．〔3〕只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個因式丟掉．〔4〕單項式乘法法那么對于三個以上的單項式相乘同樣適用．〔5〕單項式乘以單項式的結果仍是單項式．學點2單項式與多項式相乘單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，用公式表示為m(a+b+c)=ma+mb+mc．理解要點：〔1〕單項式與多項式相乘，積仍是一個多項式，積的項數(shù)與因式中不含同類項多項式的項數(shù)相同．〔2〕計算時要注意符號的問題，多項式中的每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．〔3〕混合運算要注意運算順序，最后有同類項要合并．〔4〕單項式乘以多項式的根據(jù)是乘法分配律．學點3多項式與多項式相乘先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，用公式表示為〔a+b〕〔m+n〕=am+an+bm+bn．理解要點：〔1〕運用多項式乘法法那么，必須做到不重不漏，因此相乘時，要按一定的順序進行．〔2〕多項式與多項式相乘，仍得多項式，在沒有合并同類之前，積的項數(shù)應該等于這兩個多項式的項數(shù)的積，如〔a+b〕〔x+y+z〕積的項數(shù)為2×3=6項，這也是檢查“漏項”的一般方法．〔3〕多項式是單項式的和，每一項都包括前面的符號，在計算時一定要注意確定積中各項符號，“同號相乘得正，異號相乘得負”．〔4〕多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項要合并同類．〔5〕特殊二項式相乘：〔x+a〕〔x+b〕=x2+bx+ax+ab〔多項式乘法法那么〕=x2+〔a+b〕x+ab〔合并同類項〕因此得到一個公式：〔x+a〕〔x+b〕=x2+〔a+b〕x+ab公式的特點：①相乘的兩個因式都只含有一個相同的字母，都是一次二項式，并且一次項系數(shù)都為1．②積是二次三項式，二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，積的常數(shù)項等于兩個因式中常數(shù)項的積．名師開小灶金考點考點1單項式與單項式相乘單項式乘法綜合用到了有理數(shù)的乘法、冪的運算性質，而后面的多項式乘以單項式，多項式乘以多項式，都要轉化為單項式乘法。因此，單項式乘法將起到承前啟后的作用，在整式乘法中占有獨特地位．[例1]：計算：〔1〕〔3x3y〕2·〔-4x〕〔2〕〔-3y3〕·〔-5x3y2〕〔3〕〔-2ab〕3·〔-6a3〕2〔4〕〔-ab2c〕2·〔-abc2〕3·〔36a3b〕[點撥]此題是積的乘方、冪的乘方、單項式乘法、同底數(shù)冪的乘法的混合運算，應按一定的順序進行．[解答]〔1〕〔3x3y〕2·〔-4x〕=9x6y2·(-4x)=[9×(-4)]·(x6·x)y2=-36x7y2〔2〕〔-3y3〕·〔-5x3y2〕=[〔-3〕×〔-5〕]·〔y3·y2〕x3=15y5x3〔3〕〔-2ab〕3·〔-6a3〕2=〔-8a3b3〕·(36a6)=[(-8)×36]·(a3·a6)b3=-288a9b3〔4〕〔-ab2c〕2·〔-abc2〕3·〔36a3b〕=〔a2b4c2〕·(-a3b3c6)·(36a3b)=[×(-)×36]·(a2·a3·a3)·(b4·b3·b)·(c2·c6)=-a8b8c8[溫馨提示]在進行單項式乘以單項式的運算時，要注意：〔1〕應先算乘方，再算乘法；〔2〕系數(shù)相乘時應防止積的符號出錯；〔3〕不要忘了只在一個單項式里含有的因式．考點2單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，根據(jù)分配律，用單項式分別乘多項式的各項，從而歸結為單項式乘法．[例2]計算：〔1〕〔-ab〕·〔ab2-12ab+b+1〕〔2〕2x2(xy+y2)+(3x2y-2xy2)(-2x)[點撥]〔1〕題直接根據(jù)單項式乘以多項式的法那么來計算，但要注意各項的符號?！?〕題先按單項式乘以多項式的法那么運算，再合并同類項。[解答]〔1〕〔-ab〕·〔ab2-2ab+b+1〕=〔-ab〕·〔ab2〕+〔-ab〕·〔-2ab〕+〔-ab〕·〔b〕+〔-ab〕×1=-a2b3+a2b2-ab2-ab〔2〕2x2(xy+y2)+(3x2y-2xy2)(-2x)=2x2·xy+2x2·y2+3x2y·(-2x)+(-2xy2)·(-2x)=x3y+2x2y2-6x3y+4x2y2=-5x3y+6x2y2[方法規(guī)律]1、在確定積中的各項符號時，既要看多項式中每一項的符號，又要看單項式的符號，“同號得正，異號得負”．2、不要漏乘任何一項，特別是常數(shù)項為±時，更不能漏乘．考點3多項式乘以多項式多項式乘以多項式，其實還是轉化為單項式乘以單項式，這是表達了“轉化”的數(shù)學思想．[例3]計算：(1)〔3x-2y〕(4x+y);(2)(2a+b)(4a2-2ab+b2)(3)(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)(4)(x-a)(x+a)(x2+a2)[點撥]按多項式相乘的法那么進行，結果要合并同類項。三個多項式相乘，可先將其中兩個相乘，把所得之積再與剩下一個多項式相乘．[解答](1)〔3x-2y〕(4x+y)(2)(2a+b)(4a2-2ab+b2)=12x2+3xy-8xy-2y2=8a3-4a2b+2ab2+4a2b-2ab2+b3=12x2-5xy-2y2=8a3+b3(3)(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)=3x8+3x6-6x4-3x6-3x4+6x2+x4+x2-2=3x8-8x4+7x2-2(4)(x-a)(x+a)(x2+a2)=(x2+ax-ax-a2)·(x2+a2)=(x2-a2)·(x2+a2)=x4+a2x2-a2x2-a4=x4-a4[溫馨提示]1、用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項時，要防止出現(xiàn)符號判斷錯誤和漏乘現(xiàn)象。2、乘完后，有同類項的要合并同類項，使結果最簡。金鑰匙能力提高[例1]計算〔a1+a2+……an-1〕〔a2+a3+……+an-1+an〕-〔a2+a3+……+an-1〕·〔a1+a2+……an〕[點撥]假設用多項式乘以多項式的法那么直接展開相當復雜，也是不現(xiàn)實的，但運用整體思想，結合題目的特點，設a2+a3+……+an-1=x那么問題變得十分容易。[解答]設a2+a3+……+an-1=x那么〔a1+a2+……an-1〕〔a2+a3+……+an-1+an〕-〔a2+a3+……+an-1〕·〔a1+a2+……an〕=〔a1+x〕〔x+an〕-x〔a1+x+an〕=x2+a1x+anx+a1an-a1x-x2-anx=a1an[方法規(guī)律]利用整體換元法求解，簡化運算過程，收到事半功倍之效．綜合運用[例2]甲、乙兩人同時計算一道整式乘法題：〔2x+a〕·〔3x+b〕甲由于抄錯了第一個多項式中a的符號，即把+a抄成-a，得到的結果為6x2+11x-10．乙由于抄漏了第二個多項式中x的系數(shù)，即把3x抄成x，得到的結果為2x2-9x+10。〔1〕你知道式子中a、b的值各是多少嗎？〔2〕請你計算出這道整式乘法題的正確結果．[點撥]甲抄錯了a的符號，即甲的計算式為(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab比照得到的結果可得-〔3a-2b〕=11①乙抄漏了第二個多項式x的系數(shù)，即乙的計算式為〔2x+a〕〔x+b〕=2x2+(a+2b)x+ab，比照得到的結果可得a+2b=-9②由①、②兩式即可得出a、b的值．[解答]∵甲抄錯了a的符號，∴〔2x-a〕(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+11x-10,∴-(3a-2b)=11③又∵乙抄漏了第二個多項式x的系數(shù)，∴〔2x+a〕(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10,∴a+2b=-9④由③、④聯(lián)立成方程組為，解得∴〔2x-5〕〔3x-2〕=6x2-19x+10[方法規(guī)律]解答此類錯解題目，應從錯解入手糾正其錯，從而得到正確式子解題．數(shù)形結合[例3]小明設計兩幅郵票，第一幅的寬是mcm，長比寬多xcm；第二幅的寬是第一幅的長，且第二幅的長比寬多2xcm。〔1〕求第一幅郵票的面積；〔2〕第二幅郵票比第一幅郵票的面積大多少？[點撥]根據(jù)題目所給的條件，易知兩幅郵票的長，從而可得每一幅郵票的面積及它們的面積差．[解答]〔1〕∵第一幅郵票的寬是mcm，那么長是(m+x)cm∴面積為m(m+x)=(m2+mx)cm2〔2〕由題意知：第二幅的寬是(m+x)cm，那么長是(m+x+2x)cm，∴第二幅郵票的面積為：〔m+x〕〔m+3x〕=〔m2+4mx+3x2〕〔cm2〕∴第一幅郵票面積是(m2+mx)〔cm2〕，第二郵郵票比第一幅郵票的面積大〔3mx+3x2〕cm215.2乘法公式15.2.1知能新視窗知識結構平方差公式應用平方差公式平方差公式逆用學點博覽學點1平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．理解要點：〔1〕平方差公式的結構特點：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方．〔2〕公式中的a和b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式．〔3〕平方差公式的一些常見變形式：位置變化〔b+a〕〔-b+a〕=〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2符號變化〔-a-b〕〔a-b〕=-〔a+b〕〔a-b〕=-〔a2-b2〕=b2-a2系數(shù)變化〔ma+nb〕〔ma-nb〕=〔ma〕2-〔nb〕2=m2a2-n2b指數(shù)變化〔a2+b2〕〔a2-b2〕=〔a2〕2-〔b2〕2=a4-b4增項變化〔a-b-c〕〔a-b+c〕=〔a-b〕2-c2〔4〕平方差公式逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)，在進行某些具體運算與化簡時，逆用平方差公式，往往能減少運算過程，減輕運算量，到達事半功倍的效果．名師開小灶金考點考點1直接運用平方差公式計算學習平方差公式要準確掌握公式的結構特征和公式中字母的廣泛含義，公式中的字母a、b可以表示具體的數(shù)，也可表示單項式或多項式，只要符合公式的結構特征，就可以運用這一公式．[例1]計算：(1)〔-3a+5b〕〔-3a-5b〕(2)(-m-1)(1-m)[點撥]觀察式子的特征，準確判斷“準”相當于公式中的a、b．[解答]〔1〕〔-3a+5b〕〔-3a-5b〕=〔-3a〕2-(5b)2=9a2-25b2〔2〕(-m-1)(1-m)=(-m-1)〔-m+1)=(-m)2-12=m2-1[方法規(guī)律]運用平方差公式時，關鍵是在兩個二項式中，找出一項相同，一項相反，確定公式中a、b．考點2利用平方差公式進行簡算通過對原式進行適當變形，運用平方差公式，可簡便計算，提高計算速度和準確性．[例2]計算：〔1〕1008×992〔2〕[點撥]經(jīng)過仔細觀察，在〔1〕中題，原式可變形為：〔1000+8〕〔1000-8〕在〔2〕題中，2002×2008+9可變形為〔2005-3〕〔2005+3〕+9，那么可利用平方差公式．[解答]〔1〕1008×992=〔1000+8〕〔1000-8〕=10002-82=1000000-64=999936〔2〕===1[方法規(guī)律]此類題目，通過觀察識別兩個數(shù)，使它們向公式的形式轉化，寫成兩數(shù)和與兩數(shù)差的積形式，這是運用平方差公式的關鍵．考點3綜合利用平方公式進行計算只有符合公式要求的乘法，才能運用公式簡化運算，其余的乘法仍按法那么進行．[例3]計算：〔1〕〔a+3〕〔a2+9〕〔a-3〕〔2〕〔a+5〕〔a-5〕-〔a+3〕〔a-4〕[點撥]仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)〔1〕題可先把〔a+3〕與〔a-3〕結合相乘后又與〔a2+9〕相乘，連續(xù)兩次應用平方差公式．〔2〕題中兩個乘法運算，第一個可以利用平方差公式，第二個可根據(jù)多項式的乘法法那么運算．[解答]〔1〕〔a+3〕〔a2+9〕〔a-3〕=〔a+3〕〔a-3〕〔a2+9〕=〔a2-9〕〔a2+9〕=a4-81〔2〕〔a+5〕〔a-5〕-〔a+3〕〔a-4〕=a2-25-〔a2-a-12〕=a2-25-a2+a+12=a-13[方法規(guī)律]觀察式子的特點，符合公式要求的乘法，可運用公式簡算，其余的乘法仍按法那么進行．金鑰匙能力拓展[例1]計算：〔1〕〔2y-x-3z〕〔-x-2y-3z〕[點撥]仔細觀察發(fā)現(xiàn)，〔1〕題有兩個特點：①兩項相同，②一項相反，因此對兩個因式中的項分別分組，使相同項為一組，相反項為另一組，再利用平方差公式。[解答]〔2y-x-3z〕〔-x-2y-3z〕=[〔-x-3z)+2y][〔-x-3z)-2y]=〔-x-3z〕2-(2y)2=(-x-3z)(-x-3z)-4y2=x2+6xz+9z2-4y2綜合運用[例2]計算：〔1〕a〔ab+b〕·b〔a2-a〕〔2〕〔4y+3x-5z〕(3x-4y+5z)[點撥]〔1〕題將a〔ab+b〕·b〔a2-a〕變形為〔a2b+ab〕〔a2b-ab〕后，就可以用平方差公式了；〔2〕題有兩個特點：①一項相同；②兩項相反，經(jīng)過符號調節(jié)，將相同項看作公式中的“a”，相反項看作公式中的“b”．[解答]〔1〕a〔ab+b〕·b〔a2-a〕=〔a2b+ab〕·〔a2b-ab〕=a4b2-a2b2〔2〕〔4y+3x-5z〕(3x-4y+5z)=[3x+(4y-5z)][3x-(4y-5z)]=9x2-(4y-5z)2=9x2-(4y-5z)(4y-5z)=9x2-(16y2-40yz+25z2)=9x2-16y2+40yz-25z2觀察與發(fā)現(xiàn)[例3]計算：〔1〕1002-992+982-972+962-952+……+22-12[點撥]直接計算顯然太復雜，仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)可逆用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)進行計算．[解答]〔1〕原式=〔1002-992〕+〔982-972〕+〔962-952〕+…+〔22-12〕=〔100+99〕〔100-99〕+〔98+97〕〔98-97〕+…+〔2+1〕〔2-1〕=100+99+98+97+…+2+1=〔100+1〕+〔99+2〕+…+〔51+50〕=101×50=505015.2.2知能新視窗知識結構完全平方公式在計算中的應用完全平方公式完全平方公式在實際生活中的應用學點博覽學點1完全平方公式〔a+b〕2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2即兩數(shù)和〔或差〕的平方，等于它們的平方和，加〔或減〕它們的積的2倍．理解要點：〔1〕完全平方公式的結構特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方，二者僅差一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中〔首末〕兩項是公式左邊二項中每一項的平方，中間一項為哪一項左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅差一個“符號”不同．〔2〕公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式．〔3〕完全平方公式的一些常見變形式：①a2+b2=〔a+b〕2-2ab=〔a-b〕2+2ab；②ab=[(a+b)2-(a2+b2)];③(a+b)2-(a-b)2=4ab;④(a+b)2=(a-b)2+4ab;⑤(a-b)2=(a+b)2-4ab;⑥ab=()2-()2;⑦a2+b2+c2+ab+ac+bc=[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2]學點2添括號法那么如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．理解要點：〔1〕添括號問題，首先要明確把哪些項放在括號內(nèi)，以及括號前添“十”號，還是添“-”號，其次應弄清括進括號里面的項是都變號，還是都不變號。〔2〕添括號時要注意的問題①添括號與去括號法那么一樣，要變都要變，要不變都不變。②添括號與去括號正好相反，添括號是否正確，可用去括號檢驗，反之亦然.名師開小灶金考點考點1直接運用完全平方公式計算完全平方公式是整式乘法中的一個根本公式，除了理解、掌握并運用它們進行計算外，還要有與平方差公式一起綜合運用的能力。[例1]計算：〔1〕〔3a+2b〕2〔2〕〔-x+2y〕2〔3〕〔-2m-n〕2[點撥]〔1〕題應選用“和”的完全平方公式，其中3a、2b分別是公式中的a、b；〔2〕〔-x+2y〕2=〔2y-x〕2=(x-2y)2，應選用“差”的完全平方公式計算；〔3〕題〔-2m-n〕2=[-〔2m+n〕]2=〔2m+n〕2，應選用“和”的完全平方公式計算。[解答]〔1〕〔3a+2b〕2=〔3a〕2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2=4y2-4xy+x2〔3〕〔-2m-n〕2=[-〔2m+n〕]2=〔2m+n〕2=4m2+4mn+n[方法規(guī)律]當二項式中兩項的符號相同時，一般選用“和”的完全平方公式；當二項式中兩項的符號相反時，一般選用“差”的完全平方公式?？键c2用完全平方公式進行簡算利用完全平方公式，可以使一些計算簡便，對于一些形式上不符合公式的可進行適當?shù)淖冃?，使之符合公式的應用。[例2]計算：〔1〕999.92〔2〕〔100〕2[點撥]這兩道題直接計算，耗時費力，且易錯，因此可對原式分別變形為〔1000-0.1〕2、〔100+〕2，那么可以簡化計算量。[解答]〔1〕999.92=〔1000-0.1〕2=〔103〕2-2×103×0.1＋0.12=1000000-200+0.01=999800.01〔2〕〔100〕2=〔100+〕2=1002+2×100×+〔〕2=10000+40+=10040[方法規(guī)律]當求一個數(shù)的平方較困難時，可把這個數(shù)化為一個較整的數(shù)與另一個數(shù)的和〔或差〕，然后運用完全平方公式計算．考點3乘法公式綜合運用綜合運用完全平方公式與平方差公式時，要嚴格分清公式的各自結構特點，以防混淆．[例3]運用乘法公式計算：〔1〕〔2a+b-c〕2(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(9y+4x)+(2x-3y)2(3)(x+3)2-x2[點撥](1)題將2a+b-c中任意兩項結合添加括號變?yōu)閮身椇停憧蓱猛耆椒焦剑?〕題用完全平方公式和平方差公式計算，但要注意運算順序，減號后面的積算出來一定先放在括號里，再用去括號法那么進行計算，防止符號上出現(xiàn)錯誤．〔3〕題既可用完全平方公式計算，也可逆用平方差公式計算．[解答]〔1〕〔2a+b-c〕2=[(2a+b)-c2]=(2a+b)2-2(2a+b)·c+c2=4a2+4ab+b2-4ac-2bc+c2=4a2+b2+c2+4ab-4ac-2bc(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(9y+4x)+(2x-3y)2=4x2+12xy+9y2-(16x2-81y2)+4x2-12xy+9y2=4x2+12xy+9y2-16x2+81y2+4x2-12xy+9y2=-8x2+99y2(3)方法一：(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9方法二：(x+3)2=(x+3+x2)(x+3-x)=(2x+3)×3=6x+9[方法規(guī)律]根據(jù)題目結構特點，選擇適當?shù)墓绞呛喫愕年P鍵．考點4添括號法那么對于多項式的乘法，有時需要適當變形，然后才可以運用公式．[例4]運用乘法公式計算：〔a-2b-3c〕〔-a-2b+3c〕[點撥]觀察發(fā)現(xiàn)兩個因式中的項是：一項相同，兩項相反，所以應在相反項即a-3c和-a+3c項，添括號，以便利用乘法公式，到達簡化運算的目的．[解答]〔a-2b-3c〕〔-a-2b+3c〕=[-2b+(a-3c)][-2b-(a-3c)]=(-2b)2-(a-3c)2=4b2-(a2-6ac+9c2)=4b2-a2+6ac-9c=4b2-a2-9c2+6ac[方法規(guī)律]有些乘法需要先作適當變形，然后再用公式．金鑰匙能力拓展[例1]a2+b2+c2-2a+4b-6c+14=0，求c-a+b的值．[點撥]通過分析常數(shù)項14，可分組得到關于a、b、c的二次三項式，即完全平式，然后利用完全平方式的非負性求出a、b、c的值．[解答]：∵a2+b2+c2-2a+4b-6c+14=0∴〔a2-2a+1〕+(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=0∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2=0又∵(a-1)2≥0,(b+2)2≥0,(c-3)2≥0∴a=1,b=-2,c=3∴c-a+b=3-1+(-2)=0[方法總結]將等式中多項式適當拆項、添項，變?yōu)閹讉€完全平方式的和為零的形式，再根據(jù)假設幾個非負數(shù)的和為0，那么幾個非負數(shù)同時為0，得方程求解．綜合運用[例2]要給一邊長為a米的正方形桌子鋪上正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，問需要多大面積的桌布？〔結果化為幾個單項式的和〕[點撥]用含a的代數(shù)式表示桌布的邊長．[解答]桌布的面積為(a+0.2)2=a2+0.4a+0.04〔平方米〕[方法點評]這是一道實際問題的應用題，主要考查同學的分析、想象、動手畫圖能力．化簡求值[例3]〔1〕〔2007·北京〕x2-4=0，求代數(shù)式x(x+1)2-x(x2+x)-x-7的值；〔2〕a+b=5,ab=-6,求以下各式的值：①a2+b2②a2-ab+b2[點撥](1)題利用乘法公式和法那么，把原式化為最簡式，最后代入求值?！?〕題要想得到a2+b2的值，只有將〔a+b〕平方，即〔a+b〕2=a2+2ab+b2，所以，可變形為a2+b2=〔a+b〕2-2ab，那么a2-ab+b2=〔a+b〕2-3ab[解答]〔1〕x(x+1)2-x(x2+x)-x-7=x(x2+2x+1)-x3-x2-x-7=x3+2x2+x-x3-x2-x-7=x2-7∵x2-4=0，∴x2=4．當x2=4時,原式=4-7=-3(2)①∵(a+b)2=a2+2ab+b2∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37②a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=25+18=43[經(jīng)驗技巧]1．將條件變形，整體代入求值;2．利用完全平方公式求值時，其技巧是將公式靈活變形．15.3整式的除法知能新視窗知識結構同底數(shù)冪的除法整式的除法單項式相除多項式除以單項式學點博覽學點1同底數(shù)冪的除法法那么am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數(shù)，并且m﹥n)即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．理解要點(1)公式后面的條件“a≠0,m,n都是正整數(shù)，并且m﹥n”是此法那么的一局部，不要漏掉．①對于條件“a≠0的規(guī)定，這是因為，假設a為零，那么除數(shù)為零，除法沒有意義；②對于條件m﹥n的規(guī)定，是因為這里不講零指數(shù)與負指數(shù)的概念，所以規(guī)定指數(shù)m,n都是正整數(shù)，并且m﹥n．(2)公式中的底數(shù)“a”不僅是一個數(shù)，也可以為單項或多項式．(3)公式中的指數(shù)“m、n”，除了可以是正整外，還可以是單項式或多項式．(4)應用這一法那么時，必須明確底數(shù)是什么？指數(shù)是什么？然后再按同底數(shù)冪除法法那么進行計算．(5)單獨的一個了母，其指數(shù)為1，而不是0．(6)am÷an=am-n可以逆用，即am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整數(shù)，并且m﹥n).(7)當三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質．例如：am÷an÷ap=am-n-p(a≠0,m,n,p都是正整數(shù)，并且m﹥n+p)．學點2零指數(shù)冪規(guī)定：a°=1(a≠0)即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．理解要點：(1)零指數(shù)冪中，底數(shù)a≠0,假設a=0,那么0°無意義，但底數(shù)a可以是單獨的一個數(shù)，也可以是一個單項式或多項式．(2)規(guī)定零指數(shù)的意義后，正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質，就可以推廣到非負整數(shù)指數(shù)冪了．(3)假設ap=1,a≠0,a≠1,那么一定有p=0學點3單項式除以單項式單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式．理解要點單項式相除，可以按系數(shù)，相同字母，被除式獨有的字母這幾個步驟進行，可用下表來形象地刻畫：系數(shù)系數(shù)相同字母不同字母系數(shù)相同字母系數(shù)相同字母不同字母同底數(shù)的冪相除連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式系數(shù)相除單項式單項式÷=學點4多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．理解要點1．多項式除以單項式可用下式表示：(ma+mb+mc)÷m=ma÷m+mb÷m+mc÷m=a+b+c2．多項式除以單項式的根本思想是把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式．3．多項式的每一項除以單項式時，商中的每一項的符號，由多項式中的每一項的符號與單項式的符號共同確定．4．多項式除以單項式所得商的項數(shù)與這個多項式的項數(shù)相同．名師開小灶金考點考點1同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法性質是冪的運算性質之一，是整式除法的根底，一定要打好這個根底．[例1]：計算：(1)(ab2)5÷(ab2)2(2)[(a5)2÷a2]÷a3(3)a4·(-a)3÷(a2)3(4)(a-1)3÷(1-a)2[點撥](1)題把ab2看作整體“a”;(2)題先算括號里面；(3)同級運算應按從左到右的順序進行運算；(4)把(1-a)2變形為(a-1)2；成為同底數(shù)冪相除的形式．[解答](1)(ab2)5÷(ab2)2=(ab2)5-2=(ab2)3=a3b6;(2)[(a5)2÷a2]÷a3=[a10÷a2]÷a3=a10-2÷a3=a8÷a3=a5(3)a4·(-a)3÷(a2)3=-a7÷a6=-a(4)(a-1)3÷(1-a)2=(a-1)3÷(a-1)2=a-1[溫馨提示]1．冪的乘除混合運算的順序為：先算乘方，再算乘除，有括號的先算括號里面的．2．運用同底數(shù)冪的除法法那么時，首先要識別一下題目是否滿足同底的條件，不同底時，看能否化成同底．考點2零指數(shù)在學習整式的除法時，出現(xiàn)了非零數(shù)的零次冪，這是一個不可無視的知識點，常常出現(xiàn)在各種考試中，要注意重視．[例2]a、b互為相反數(shù)，求2008a+b-(π-3.14)°[點撥]由題意可得a+b=0，又知π≈3.14,即π≠3.14[解答]∵a,b互為相反數(shù)∴a+b=0,∴2008a+b=2008°又∵π-3.14≠0∴(π-3.14)°=1∴原式=1-1=0[方法規(guī)律]判斷一個代數(shù)式的零次冪是否為1的關鍵，就是看它的底數(shù)是否等于0．考點3單項式除以單項式單項式的除法是學好多項式除以單項式的關鍵，因為多項式除以單項式是通過化歸為單項式除以單項式解決的，因此，要在理解的根底上，熟練地掌握單項式除以單項式的運算法那么。[例3]計算：(1)(-x2y5)÷(4x2y);(2)(-6a5b3c)÷(-15ab(3)-9(x2y3)3÷(-3x3y4);(4)(2a-b)4·c÷(b-2a)2[點撥](1)(2)題根據(jù)單項式的除法法那么計算即可；(3)題先算乘方；(4)把(2a+b)看作整體“a”．[解答](1)(-x2y5)÷(4x2y)=(-÷4)·x2-2y5-1=-y4(2)(-6a5b3c)÷(-15ab2)=[(-6)÷(-15)]a5-1b3-2c=a(3)-9(x2y3)3÷(-3x3y4)=-9x6y9÷(-3x3y4)=[(-9)÷(-3)]x6-3y9-4=3x3y5(4)(2a-b)4·c÷(b-2a)2=(2a-b)4·c÷(2a-b)2=(2a-b)2·c=4a2c[方法規(guī)律]〔1〕當指數(shù)為1,不要誤以為是0；〔2〕有乘方的先算乘方；〔3〕把不同的底化成同底．考點4多項式除以單項式多項式除以單項式一般按下面兩步進行：(1)用多項式的每一項除以單項式；(2)把每一項除得的商相加[例4]計算：(1)(20a4-16a3-8a2+4a)÷4a;(2)(3x2y-xy2+xy)÷(-xy);(3)[(x+2y)(x-2y)+(3x+4y)y-5x]÷3x[點撥](1)、(2)題按多項式除以單項式的法那么進行運算；(3)題先化簡括號內(nèi)的算式，然后進行多項式除以單項式的運算．[解答](1)(20a4-16a3-8a2+4a)÷4a=20a4÷4a-16a3÷4a-8a2÷4a+4a=5a3-4a2-2a+1(2)(3x2y-xy2+xy)÷(-xy)=-3x2y÷xy+xy2÷xy-xy÷xy=-6x+2y-1(3)[(x+2y)(x-2y)+(3x+4y)y-5x]÷3x=(x2-4y2+3xy+4y2-5x)÷3x=(x2+3xy-5x)÷3x=x+y-[溫馨提示](1)4a÷4a=1,而非0，不要漏掉；(2)注意商的符號，防止變號錯誤；(3)對含有多重括號的除法，先整理，后計算．金鑰匙能力拓展[例1]解關于x的方程(x-1)|x|-1=1[點撥]應用a0=1(a≠0),1a=1及(-1)的偶次冪是1，進行求解解：∵(x-1)|x|-1=1∴x-1=1或或∴x=2或x=-1所以方程的解為x=2,-1[方法規(guī)律]考慮問題要全面，不要顧此失彼，如果只考慮到a=1,而無視了a≠0的限制條件，或只考慮到1a=1而無視了(-1)2n=1那么都不正確綜合運用[例2]先化簡，再求值．(a-2b)(a+2b)+ab3÷(-ab)，其中，a=,b=-1[點撥]先化簡，再代入求值。[解答](a-2b)(a+2b)+ab3÷(-ab)=a2-4b2-b2=a2-5b2當a=,b=-1時，原式=()2-5(-1)2=2-5=-3圖15.4-1[方法規(guī)律]化簡求值這類題，一定要先化簡，再代值計算，切記不要直接代值計算．圖15.4-1[例3]如圖15.4-1所示矩形ABCD被分成六個大小不一的正方形，中間一個正方形面積為4，求矩形ABCD中最大正方形與最小正方形的面積之差．[點撥]由小正方形的面積為4，可得它的邊長為2，顯然它是最小的正方形，其余正方形的邊長為b=a+2,c=b+2=a+4,d=c+2=a+6,可見邊長為d的正方形是矩形ABCD中最大的正方形，于是，最大與最小正方形的面積之差可用含a的代數(shù)式表示出來，再由AB=DC，求出a的值．[解答]∵b=a+2,c=b+2=a+4.d=c+2=a+6∴b﹤c﹤d∴d2-22=(a+6)2-22=a2+12a+32又∵AB=DC而AB=c+d=a+4+a+6=2a+10DC=b+2a=a+2+2a=3a+2∴2a+10=3a+2∴a=8∴面積之差為：a2+12a+32=82+12×8+32=192[方法規(guī)律]利用圖形的結構特點，用含a的代數(shù)式表示出各個正方形邊長是解題的關鍵．15.4因式分解15.4知能新視窗知識結構因式分解因式分解提公因式法ma+mab+mcm〔a+b+c〕單項式乘多項式整式乘法學點博覽學點1因式分解把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．因式分解整式乘法因式分解整式乘法〔1〕整式乘法與因式分解的關系：多項式整式的積；〔2〕因式分解后的每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；〔3〕因式分解必須分解到每個多項式因式不能再分為止．學點2公因式多項式ma+mb+mc，它的各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．理解要點〔1〕找多項式各項公因式的方法是：①對于系數(shù)，如果是整數(shù)系數(shù)，取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因的系數(shù)；②對于字母，需考慮兩條：一條是取各項相同的字母；另一條是相同字母的最低次冪；〔2〕多項式各項的公因式可以是單項式，也可以是多項式．學點3提公因式法一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．如ma+mb+mc=m〔a+b+c〕．乘法分配律提公因式法分配律是提公因式法的依據(jù)，提公因式法實質是分配律的“逆用”乘法分配律提公因式法即m〔a+b+c〕ma+mb+mc．理解要點提公因式法的步驟：①確定公因式；②提公因式并確定另一個因式．第一步可按照確定公因式的方法分別確定公因式的系數(shù)和字母局部；第二步中，確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因后剩下的另一個因式．名師開小灶金考點考點1提公因式法提公因式法是因式分解的第一種分解因式的方法，是根本的也是最重要的因式分解方法．[例1]把以下各式分解因式．〔1〕－10a3b2+5a2b2〔2〕4a〔b－c〕-6〔b－c〕〔3〕a〔m－n〕+2bn－2bm[點撥]〔1〕題先把負號提出，提出負號時，括號內(nèi)各項都要改變符號；〔2〕題把〔b－c〕看作一個整體，從而直接提出公因式2〔b－c〕；〔3〕題沒有明顯公因式，而后兩項假設作一組，可提出公因式2b，另一個因式為〔m－n〕，從而又出現(xiàn)了公因式〔m－n〕．[解答]〔1〕－10a3b2+5a2b2=－5a2b2〔2a－1〕;〔2〕4a〔b－c〕-6〔b－c〕=2〔b－c〕〔2a－3〕；〔3〕a〔m－n〕+2bn－2bm=a〔m－n〕－〔2bm－2bn〕=a〔m－n〕－2b〔m－n〕=〔m－n〕〔a－2b〕．[方法規(guī)律]〔1〕如果多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般提出“－”號使括號內(nèi)的第一項系數(shù)為正數(shù)，在提出“－”號時，多項式的各項都要變號；〔2〕把〔b－c〕看作一個整體，運用換元法將問題“化繁為簡”，這就是換元的作用；〔3〕分組后，要遵循有公因式可提的原那么．考點2利用因式分解進行簡算有些題目靈活運用提公因式法，可簡化運算過程，收到事半功倍的效果．[例2]利用因式分解計算：31.4×1.2+3.14×36－3.14×38[點撥]31.4×1.2轉化成3.14×12，這樣每一項都含有3.14．[解答]31.4×1.2+3.14×36－3.14×38=3.14×12+3.14×36－3.14×38=3.14×〔12+36－38〕=3.14×10=31.4．[方法規(guī)律]把有些數(shù)作適當?shù)淖冃?，再運用提取公因式法分解因式，可以使一些運算簡便．考點3利用因式分解化簡求值整式的加減法與提公因式法本質相同，利用提公因式法可簡化求代數(shù)式的值．[例3]先因式分解，再求值．8x〔y－5〕+7x〔5－y〕，其中x=0.6，y=105[點撥]因為y－5與5－y互為相反數(shù)，所以將5－y變形為－〔y－5〕，從而直接提出公因式〔y－5〕進行分解因式，再代入求值．[解答]8x〔y－5〕+7x〔5－y〕=8x〔y－5〕－7x〔y－5〕=〔y－5〕〔8x－7x〕=〔y－5〕x當x=0.6，y=105時，原式=〔105－5〕×0.6=60．[方法規(guī)律]如果多項式各項有的只相差一個負號，那么經(jīng)過變形，這樣的式子就成為多項式的公因式，再分解因式，代入求值計算比擬容易．金鑰匙能力拓展[例1]不解方程組，求7y〔x－3y〕2－2〔3y－x〕3的值．[點撥]因為不需解得x、y的值，所以只能整理所求代數(shù)式，使其含有2x+y與x－3y，然后整體代入求值．[解答]7y〔x－3y〕2－2〔3y－x〕3=7y〔x－3y〕2+2〔x－3y〕3=〔x－3y〕2[7y+2〔x－3y〕]=〔x－3y〕2〔2x+y〕∵2x+y=6，x－3y=1，∴原式=12×6=6．[方法規(guī)律]此類題，有時直接代入的整體求值，有時需分別整理整體及所求代數(shù)式后求值．圖15.5-1m圖15.5-1mcbamm[例2]如圖15.5-1，一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別為a=30.5，b=40，c=29.5，寬都是m=20.08，如何較為快捷地計算這塊場地的面積？[點撥]在計算面積時，先提公因式m，再計算括號內(nèi)的數(shù)的和，最后求出結果比擬簡便．[解答]ma+mb+mc=m〔a+b+c〕=20.08〔30.5+40+29.5〕=20.08×100=2008[方法規(guī)律]有時恰當運用因式分解知識，可以簡化計算，從而感受到數(shù)學知識的價值．綜合運用[例3]把10〔y－x〕2+5〔x－y〕3分解因式．[點撥]〔1〕系數(shù)5和10的最大公約數(shù)為5；〔2〕對于冪〔y－x〕2與〔x－y〕3，它們的底數(shù)互為相反數(shù)，將〔y－x〕2變形〔x－y〕2或將〔x－y〕3變形為－〔y－x〕3，所以公因式為5〔x－y〕2或5〔y－x〕2．[解法一]10〔y－x〕2+5〔x－y〕3=10〔x－y〕2+5〔x－y〕3=2·5〔x－y〕2+5〔x－y〕2·〔x－y〕=5〔x－y〕2[2+〔x－y〕]=5〔x－y〕2〔x－y+2〕．[解法二]10〔y－x〕2+5〔x－y〕3=10〔y－x〕2+5[－〔y－x〕]3=10〔y－x〕2－5〔y－x〕3=5〔y－x〕2·[2－〔y－x〕]=5〔y－x〕2〔x－y+2〕．[方法規(guī)律]對多項式中的項作一些相等變形，使我們更容易找到公因式．一般地，當n為正偶數(shù)時，〔x－y〕n=〔y－x〕n；當n為正奇數(shù)時，〔x－y〕n=－〔y－x〕n．15.4.2知能新視窗整式乘法平方差公式:a2-b2(a+b)(a-b)公式法整式乘法平方差公式:a2-b2(a+b)(a-b)公式法因式分解多項式乘以多項式多項式乘以多項式完全平方公式:a2±2ab+b完全平方公式:a2±2ab+b2(a+b)2學點博覽學點1運用平方差公式進行多項式的因式分解把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反過來，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)，即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積．理解要點〔1〕平方差公式的結構特點：①左邊是二項式，每項都是平方的形式，兩項的符號相反；②右邊是兩個多項式的積，一個因式這是兩數(shù)的和，另一個因式是這兩數(shù)的差．〔2〕公式中的字母可以表示任何數(shù)、單項式或多項式，但凡符合公式的特點的二項式，都可以運用平方差公式分解因式．學點2運用完全平方公式進行多項式的因式分解把整式乘法的完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2反過來，就得到a2±2ab+b2=(a±b)2即兩個數(shù)的平方和加上〔或減去〕這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和〔或差〕的平方．理解要點〔1〕完全平方差公式的結構特點：①左邊是三項式，其中兩項分別是兩個數(shù)〔或兩個式子〕的平方且這兩項符號相同，另一項為哪一項這兩個數(shù)〔或兩個式子〕的積的2倍，符號正負均可．②右邊是這兩個數(shù)〔或兩個式子〕的和〔或差〕的平方，當中間的乘積項與首尾兩項的符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首尾兩項的符號相反時，是差的平方，但凡符合完全平方公式左邊特點的三項式，都可以運用完全平方式分解因式．〔2〕公式中的字母a、b可表示任何數(shù)、單項式或多項式．〔3〕分解因式的一般步驟：多項式分解因式的一般步驟可簡單歸納為：一提、二套、三查．①假設多項式各項有公因式，那么先提公因式；②假設多項式各項沒有公因式，那么根據(jù)多項式特點，選用平方差或完全平方公式；假設多項式有兩項，考慮平方差公式；假設多項式有三項，那么考慮用完全平方公式．③最后檢查每一個多項式因式是否都分解到不能再分為止，以及分解的結果是否正確．學點3x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解一個含有一個字母的二次三項式，如果二次項系數(shù)為1，如x2+ax+b，假設b=pq，且a=p+q，那么x2+ax+b可分解為〔x+p〕〔x+q〕寫成公式為：x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)．其推導過程如下：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)理解要點符合下面兩個條件的二次三項式，才可以利用公式:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)分解因式．〔1〕這個多項式必須是二次項系數(shù)為1的二次三項式；〔2〕常數(shù)項和一次項系數(shù)具有特殊關系，即常數(shù)項可分解為兩個因數(shù)的積，而一次項系數(shù)恰好是這兩個因數(shù)的和．名師開小灶金考點考點1運用平方差公式進行多項式的因式分解如果多項式能夠寫成平方差的形式，就可以運用平方差公式分解因式，如果不具有這種形式，還要看能否化成兩項為平方差的形式．[例1]把以下多項式因式分解〔1〕9a2b4-4c6(2)-x2+3(3)n(x+a)2-n(x-b)2(4)-16a4+b4[點撥](1)9a2b4-4c6,可寫成〔3ab2〕2-〔2c3〕2的形式，這樣就可直接利用平方差公式進行因式分解，其中3ab2相當于公式中的“a”，2c3相當于公式中的“b”．〔2〕先提公因式-，原式變形為-〔x2-9〕，再運用平方差公式分解．〔3〕n(x+a)2-n(x-b)2有公因式n，應先提公因式，再進一步分解。〔4〕b4-16a4=〔b2〕2-〔4a2〕[解答]〔1〕9a2b4-4c6=〔3ab2〕2-〔2c3〕2=〔3ab2+2c3〕〔3ab2-2c3〕〔2〕-x2+3=-〔x2-9〕=-〔x2-32〕=-〔x-3〕〔x+3〕〔3〕n(x+a)2-n(x-b)2=n[(x+a)2-(x-b)2]=n[(x+a)+(x-b)][(x+a)-(x-b)]=n(x+a+x-b)(x+a-x+b)=n(2x+a-b)(a+b)〔4〕-16a4+b4=b4-16a4=(b2)2-(4a2)2=(b2+4a2)(b2-4a2)=(b2+4a2)[b2-(2a)2]=(b2+4a2)(b+2a)(b-2a)[方法規(guī)律]假設多項式有公因式，先提公因式，然后考慮運用平方差公式進一步分解因式，分解因式必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止．考點2運用完全平方式進行多項式的因式分解運用完全平方公式法分解因式的關鍵是要弄清該公式的結構特點，在此根底上對號入座，將多項式進行因式分解．[例2]把以下多項式因式分解(1)16x2+24xy+9y2(2)ax2+ay2-2axy-ab2(3)-2a2x4+16a2x2-32a2(4)(a-b)2+10(a-b)c+25c2[點撥]〔1〕16x2=(4x)2，9y2=〔3y〕2，24xy=2·4x·3y，所以16x2+24xy+9y2是一個完全平方式．〔2〕把公因式a提出后，另一個因式為x2+y2-2xy-b2其中x2+y2-2xy是一個完全平方式，因此還可以化為〔x-y〕2-b2，再用平方差公式進行分解．〔3〕把公因式