放縮法解（證）導(dǎo)數(shù)壓軸題-2023屆新高考二輪復(fù)習突破講義

難點突破之一

放縮法解(證)導(dǎo)數(shù)壓軸題

一'導(dǎo)數(shù)黃金不等式：

\.ex>x+\(當且僅當x=0時等號成立)；

2.1nx<x-l(當且僅當x=l時等號成立)；

3.5泊犬<%,其中%>0;

71

4.sinx<x<tanx,其中0cx<,；

5.x\nx>x-l(當且僅當x=l時等號成立)；

InX

6.—<x-l(當且僅當x=l時等號成立)；

X

7.e'Nex+(x—1)2,其中xNO(當且僅當x=0或1時等號成立)；

8.ex+e~x>x2+2.

二、部分黃金不等式的證明

1.求證e*Zex+(x-l)2,其中xNO(當且僅當x=0或1時等號成立).

證明：

方法一、構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*—ex-

g(x)—e'——2(x—1),g"(x)=e'—2,

當0<x<ln2時g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減；當x>ln2時g"(x)〉O,g'(x)單調(diào)遞增;

而g'(0)=3—e〉0,g'(ln2)<g<l)=0,

所以存在x0e(0,ln2)使得g'(%)=0,

于是當xe(O,Xo)時，g'(x)>0,g(x)遞增；

當xe(x(),l)時，g'(x)<0,g(x)遞減；

當xe(l,+o。)時，g'(x)>0,g(x)遞增；

而g(O)=g(l)=O,所以xNO時e*2ex+(x-l)2(當且僅當x=0或x=1時取等號).

方法二、當x=0時e*Nex+(x-l)2成立.

e'1(x—IMe"—x—1)

當x>0時，構(gòu)造函數(shù)g(x)=---e-x——+2,g'(x)--------7------，其中e*>x+l

XXx~

當0<x<l時g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當X>1時g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

于是g(X)min=g6=0，所以原不等式成立?

2.證明：ex+e~x>x2+2.

證明：記/(%)="+""—/一2

所以r(x)在R上遞增，而尸(0)=0

所以x<0時/'(x)<0,從而/(x)遞減；x>0時/'(幻〉0,從而/(x)遞增；

所以/(x)>/(0)=0即e，+?t>X2+2

即原不等式成立.

三、應(yīng)用舉例

例1.證明：xev-lnx-x-l>0.

證明：xe*-lnx-x-l

2ex~'

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=e1nx+——，證明：/(x)>1

x

2ex~'

證明：要證/'(x)=e*lnx+---->1

x

即證e*(xInx)+2e"-'>x

記h(x)=xlnx,〃'(x)=1+Inx由〃'(x)=0得x=1，

e

0<x<，時〃(%)<0,/?(無)遞減；%>1時〃(無)>0,〃(幻遞增；

ee

所以/i(x)2/?(1)=-,，B|Jx\nx>--

eee

于是,(jdnx)N-ei,

e\x\nx)+2e~>2Q-1)+1=%(利用d之x+1進行放縮)

兩等號成立的條件不同

所以ex(xInx)+2ex-'>x

故/(x)>l成立.

另證：(凸凹翻轉(zhuǎn))

X2

由題意知/'(x)>l等價于xlnx>-----

exe

設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g'(x)=l+lnx.

所以當XG(0,3時，g'(X)<0；當XG(',+8)時，g'(x)〉0.

ee

故g(x)在(0」)上單調(diào)遞減，在d,+8)上單調(diào)遞增，

ee

從而g(x)在(0,+8)上的最小值為g(3=-L

ee

x21—x

設(shè)〃(幻==一一，則力(x)=——

eee

所以當xe(0,l)時，〃'(x)>0；當xe(l,+8)時，h\x)<0.

故近龍)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,物)上單調(diào)遞增，

從而A(x)在(0,+oo)上的最大值為/?(1)=-1.

e

綜上，當」>0時g(x)>/x(x),即

例3.求證：x>0時，ex—xlnx—sinx-1>0

證明：令/(無)=ex-x\nx-sinx-\

/*(x)=ex-lnx-cosx-1>ex-x-cosx(利用InxWx-l進行放縮)

記g(x)=ex-x-cosx,則g\x)=-1+sinx,gH(x)=ex+cosx

1>0時，eA>1,而一IWCOSXWI,故g”(x)>0

所以g\x)在(0,+oo)上遞增,故gG)>g所)=0

所以g(x)在(0,+8)上遞增，故g(x)>g(O)=O,即/(尤)>0

所以/(X)在(0,+8)上遞增，

而x-0時，e*—l,sin九一>0,尤Inx-0

所以x―0時，/(x)r0,即lim/(x)=O

A-^0

所以f(x)>0.

例4.已知函數(shù)f(x)=xe2x-kx-\nx,

(1)證明：當氏=2時，/(x)無零點；

⑵若對任意實數(shù)x>0,/(x)?l恒成立，求實數(shù)攵的取值范圍.

【答案】(—8,2]

【解析】

(1)先證明結(jié)論.令g(x)=e「x—1,g'(x)=e'-l.由g'(x)<0得x<0,由g'(x)〉O

得x>0.故g(x)在(-oo,0)上遞減，在(-oo,0)上遞增.g(x)>g(0)=0.得證.

當攵=2時，/(x)=xe2x-lx-\nx--2x-lnxNlnx+2x+l-2x-lnx=1>0.故無零

點.

xe^x_Inx_1

(2)由/(尤)21對任意實數(shù)x>0恒成立，得kW—....---

x

、-1,/、xe2'-Inx_1_.,八/.

記h(X)=------------,則k<"(X)min.

X

.、X€X—Inx—1jn.i?—Inx—1Inx+2x+1—Inx—1

而力(x)=----------------=------------------>-------------------------=2(利用/vNx+1進行放縮)

XXX

上述等號成立當且僅當lnx+2x=0.令0(x)=lnx+2x,^(1)=-ln2+l<0,^(1)>0,則

°(x)=0有解.所以心)1nhi=2.故心2.

例5.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-l-x-ax2.

⑴若a=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當x20時/(x)20,求。的取值范圍.

【解析】⑴。=0時/(x)=/-l-x,f\x)=ex-\,

當x<0時/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當4>0時/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

所以/(x)的減區(qū)間為(0,+8),增區(qū)間為(0,+00).

⑵f'(x)=ex2ax.

由(1)知當xNO時e'21+x,當且僅當x=0時等號成立.

故/'(x)?尤一2ax=(l-2a)x,從而當1一2?20,即時，/'(x)?0(x?0),

而/(0)=0,于是當xNO時/(x)NO.

當a>!時，由"〉l+x(xw0)得"*>l-x(x。0),

2

于是/'(x)<ex-\+2a5-1)=、一切

ex

故當xe(0,ln(2a))時，f\x)<0,而/(0)=0,于是xe(0,ln(2a))時，/(x)<0,

綜上知a的取值范圍為(-oo,；］.

例6.12020湖北省七市州3月調(diào)考】

已知函數(shù)/(幻=幺二：其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

X

⑴求/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若6*—2工111光一區(qū)一120對\/%>0恒成立，記女max=丸，證明：4>LL

【解析】(參變分離，利用兩大基本放縮)

易證得e'Nex+(x—1)^(x>0)=>cx—12+(e—2)x,

由Vx>0時ex-2xlnx-Ax-l>0恒成立有

e'—2xInx—1

記g(%)則

x

：.A>\A.

f(x)=ax+\nx,其中aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若和尤2是方程xf'(x)=l+lnx的兩個不同的實數(shù)根，求證：匕3+匕監(jiān)>0.

%x2

【答案】

【解析】比值換元+均值放縮

(1)函數(shù)定義域為(0,+8)f\x)=a+-

X

當時/'(x)>0,/(x)在(0,+00)上遞增；

當a<()時f'(x)=0=>x=-*-,

XG(0,--),/'(x)>0,/(x)遞增；xe(--,+a>),尸(x)>0,/(尤)遞減;

aa

(2)方程V'(x)=1+Inx即ar=Inx,a=@土，于是a=@土=電士=>—=史上

x玉x2須In再

不妨設(shè)西<々，則三〉1

設(shè)衛(wèi)=電±=1，則，>i,可得[nX]=把2111X2

玉In玉t-1

_1-Inx.1-Inx,八

要證———+---L>0

xtx2

即證(上)2(1—In%)+1—In々>0

即證"(1—曳)+1—皿>0

t-1t-\

即證(L+D"D-lnf>0(fiJffl/2+l>(二)2進行放縮)

r(r+l)2

^-(1)

只要證--------------lnr>0

P+1)

t2-1

即證------ln/>0

2t

.t~-1.廠+11(/—1)'

令g")=—:;---lnt,t>l，則80)="^^----=>0

2t2rt2r

故g⑺在(l,y。)遞增

故g?)>g⑴=0

故原結(jié)論成立.

例8.已知函數(shù)f(x)=2x-alnx+4a,(。eR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)令g(x)=/(x)-sinx,若存在玉,工2e(0,+oo),且引力々時，ga)=g(X2)，證明：x\x2<〃.

【答案】

【解析】放縮+對數(shù)均值

(2)不妨設(shè)w>0

g(X])=g(x2)即2xt—aIn%+4a—sinx}-2x2-alnx2+4a-sinx2

令/z(x)=x-sinx,x>0,〃'(x)=l-cosxNO,故/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故〃(工2)>4(X)，HPx2-sinx2>x]-sin

故a(lnx2—Inx,)>x,-x,,a>——~——

Inx2-Inx,

于是要證X/2</

令「=卜,則即證21n，-f+；<0,其中/>1

121一"if

令p(t)=21nt-t+-,t>1,p,(t)=--l--=————<0

故p?)<p(l)=0,BP21nr-r+-<0

t

故MX2<a2.

三、通關(guān)練習(19題)

1.證明：當〃?W2時ex-ln(x+7/1)>0恒成立.

證明：要證當加42時e*-ln(x+m)>0成立

只要證e'-ln(x+2)>0

即證，>ln(x+2)

而/Nx+1(當且僅當x=0等號成立)，

ln%<x-l=>ln(%+2)<x+l(當且僅當x=-l等號成立)，

所以e*>ln(x+2)成立.

所以原結(jié)論成立.

2.證明：當時，tzeA-lnx-l>0.

e

證明：要證當a21時，ae*-lnx-120成立

e

只要證1?e'-lnx—120

e

即證e'T21nx+1

而e'Nx+lne*TNx(當且僅當x=l等號成立)，

lnx<x-l=>lnx-l<x(當且僅當x=l等號成立)，

所以e'TNlnx+1成立.

所以原結(jié)論成立.

3.證明：(QX—l)e*—ln(6/x—1)一工一120.

證明：(依-1)/一In(火一1)一x—1=JnQf+x一]n(or—1)一工一1

4.證明：x2ex-2\nx-x-\>0.

證明：x1ex—21nx-x-l=e2Inv+v—21nx-x-l

5.證明：ex+exInx-ex2>0.

ex'[

證明：即證---+lnx-x>0

x

而----i*lnx-x=e1+Inx—x>1+(—Inx+x—l)+l+lnx—x=0

所以e*+exlnx—e/?0成立.

6.已知函數(shù)/(x)=xe2*-lnx-or,若x〉0,a?2,求證：/(x)>1.

證明：x>0,a<2時

7.證明：當x>0時，e'+e'x-2\nx-3>0

證明：己知d+"*2/+2成立

于是要證eA+e-A-21nx-3>0

只要證d+2—21nx-320

即證/一21nx—120

記fM=x2-2Inx-1

所以尸(x)在(0,+oo)上遞增，而/'(1)=0

所以0<%<1時/'(x)<0,從而/(x)遞減；x>l時/'(x)>0,從而/(x)遞增;

所以/(x)2/(l)=0即％2—21nx-lN0

即原不等式成立.

8.證明：當x>0時，ev-(e+l)x+x2+--l>0.

X

【解析】(放縮后再證)已知》>()時/Nex+Cr-lf

于是要證e'—(e+l)x+f+——1>0

X

1

只要證依+*-1)29-(0+1)%+f7+—―1>0

X

91

即證2J"3X+-N0

x

,71

記/z(x)=2廠-3x+—,x>0

x

〃(x)=4x-3-LA"(X)=4+-4>0

XX

所以"(x)在x>0時遞增，而"(1)=0

所以0<x<l時"(x)<0,從而。x)遞減;x>l時"(<)>0,從而。%)遞增:

,1

所以/i(x)2%⑴=0即+一一1>0

x

即原不等式成立.

另證：(直接證明)

,1

記/(%)=ex—(e+l)x+x2H----l,x>0

x

所以/(x)在尤>0時遞增,而廣⑴=0

所以0<%<1時/'(x)<0,從而/(幻遞減；x>l時/'(x)〉0,從而/(幻遞增；

所以/(x)2/(l)=0即2%2-3%+，20

x

所以原不等式成立.

9.己知函數(shù)/(x)=xyeM-1,若。=2時不等式/(%)2〃a+3111%對一切xe(0,+o。)恒成立，求m

的取值范圍.

【答案】(—8,2]

尤%2%—31nx—1

【解析】由。=2時不等式f(x)>mx+3\nx對一切xe(0,+8)恒成立得m<---------:----

x

^x3e2x-3\nx-\e3lnjt+2x-31nx-131nx+2x+l-31nx-l、

而---------------=----------------->-----------------------=2

XXX

等號成立當且僅當31nx+2x=0

記h(x)=3In%+2x,A(—)=-61n2+—*-6x0.69+0.5<0,/i(l)-2>0

42

所以h使力(％)=0,

天%""一3Inx-1_..

所以--------------最小值為2

X

所以〃242.

10.不等式工一3"尤+1對任意的工￡(1,+8)恒成立，則a的取值范圍為.

比"-30%_J-_1

【解析】由不等式x7e*-。Inx2x+1對任意的xe(1,+8)恒成立得a<—~--

Inx

x—x_1c-x—1—3Inx+x+l—x—1.

而-----------=------------->-------------------=-3

InxInxx

等號成立當且僅當—31nx+x=0

記/i(x)=-31nx+x,

又/i(e)=—3+e<0,〃⑴=1>0

所以3ro￡(l,e)使〃(玉))=。，

_￥一％”—Y—1

所以------:—最小值為-3

Inx

所以。<—3.

11.己知函數(shù)/(x)=ex-ln(x-\-d)-a,

(1)當Q=1時求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

⑵若0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(l)a=l時/(x)=e'—ln(x+l)—l,/'(x)=ex--—

x+1

所以曲線y=f(x)在點(1,/(I))處的切線方程為y—e+In2+1=(e—1)(x-1)

即y—e++l=(e-^)x-ln2-^

⑵注意到7(0)=l-lna-a

①當。>1時，/(0)=l-ln?-t7<0,不合題意;

②當aWl時，由結(jié)論InxWx-1可得ln(x+a)Wx+a-l=-ln(x+a)2-x-a+l,

又e*>x+\

ex-ln(x+a)-a>2-2a,即/(%)>2—2a>0=>tz<1

綜上：a<l.

12.已知函數(shù)/(x)=xe

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)若對任意實數(shù)x>0,/(x)—上》2(。+2)》+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)y=x(2)(T?,l]

—Inx—1

【解析】(2)/(x)-lnx>(?+2)x+1。a+2K------:---

x

人/\xe，I-Inx—1

令g(x)二------------

x

下面說明等號成立的條件，即存在x=x0使得lnx+3x=0,

令/z(x)=lnx+x,顯然力(x)在(0,+o。)上遞增,

而/1(1)=-ln2+-<0,A(l)=1〉0

22

故m唯一無0€(；,1)使得h(x0)=0,

故g(X)min=3,

從而。+2<3,a<\.

13.已知函數(shù)/(x)=〃(//u—x)--,ocR.⑴當。>0時，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；(2)當。=一1

x

時，函數(shù)8(幻=/(%)+。+」)6、+如滿足：對任意xe(0,+8),都有g(shù)(x)21恒成立，求實數(shù)小

x

的取值范圍.

【解析】

(1)/(X)的定義域是(0,+8),士紀=3e?(匕),

XXX"

[a>0,x>0,:.ax+ex>0>令/'(x)=0，解得：x=l，

令尸(x)>0,解得：0<x<l,令尸(無)<0,解得：x>l，

故/(%)在(0,1)遞增，在(1,物)遞減；(2)當。=一1時,

g(x)=f(x)+(x+—)ex+mx-xex—lnx+(l+/n)x,

x

x1Mv_x+lnx

由g(x)21在(0,+oo)恒成立，得：rn>-xXeg--1=+—e——1.

XX

設(shè)F(x)="-x—l,則尸'(無)="一1,故x<0時，F(xiàn)'(x)<o,F(x)遞減，

x>0時，F(xiàn)'(x)>0,尸(x)>0遞增，

故F(x)>F(0)=0,即/2x+1(當且僅當x=0時"=”成立)，

故e'+"2x+/zu+l(當且僅當x+加x=0時"=”成立)，

,G(x)=x+/nx是增函數(shù)，且6(工)=,一1<0,G(l)=l>0,故存在/e(',l)使得x+/nx=0

eee

成立，

故!+/“■<1一i<i+/〃-〃、+i)_i=_2(當且僅當％=玉,時"=”成立)，

XX

故mN—2,

即機的取值范圍是［-2,*冷).

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

x+,nx

\+lnx-e

⑵問題轉(zhuǎn)化為m>-------------1,設(shè)F{x)^ex-x-\,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到

x

eX+/'"Nx+'x+l(當且僅當x+//u=O時"=”成立)，從而求出機的范圍即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一

道綜合題.

ex1

14.證明：1一%一犬lnx<---(14--).

x+1e

1_L_V*

證明：由e'>l+x,x>0得0<——<1①

ex

設(shè)/z(x)=1-x-xlnx,則〃'(x)=-2-lnx

由力(x)=0得x=-2

0cx<e-2時〃(幻〉0,/z(x)遞增，x〉e-2時〃(無)<o,力(幻遞減，

所以4(x)4〃(/)=1+"2

又lim〃(x)=lim(l-x-xInx)=1

XTOX-^0

所以l</?(x)〈l+e-2即l<l—x—jdnx?l+e-2…②

1_1_v-

①x②得0<----(1-x-xlnx)<1+e~2

ex

即1—x—xlnx<——(Id——).

x+1e-

15.(2012遼寧)設(shè)/(x)=ln(x+l)+?ZT+ax+b(a,/?￡R,4,。為常數(shù))，曲線y=/(x)與直線

y=g尤在(0,0)點相切.

⑴求。力的值；

Oy

(2)證明：當0<X<2時t\x)<——.

x+6

【解析】

(i)/'U)=-^-+-7=+?

x+12個x+1

33____

/(0)=/?+l=0,f'(G)^-+a=~,解得a=o力=_1,(2)/(x)=ln(x+1)+Vx+1-1

,,yI1|1丫

由均值不等式，當％>0時，Vx+l=7Cr+lH<^—=1+1

又由InxWx-l,當x>0時ln(x+l)<x

記h(x)=(x+6)/(x)-9x,

則當0cx<2時，

所以/i(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，又以0)=0,所以力*)<0

Or

所以當0<x<2時/*)<——.

x+6

16.已知函數(shù)y(x)=alnx+—+eR.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

2

(2)求證：(x-l)(e—x)+2Inx<—.

【解析】

2

nv—X—1

⑴/(X)的定義域為(0,+8),/'(%)=——一

當aWO時，J'(x)<0,/(x)在(0,+8)上是減函數(shù);

1—Jl+4〃…1+Jl+4〃八

當a>0時，/'(x)=0的兩根是罰-----------<0和9=------------>0

2a2a

,-1++4。、上",/、八

二.xe(0,-------------)時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

2a

1+J1+4〃.小/、小

XG(-------------,+00)時，/(X)>0,f(x)單調(diào)遞減;

2a

(2)當a=2時，由(1)得/(幻在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,4w)上單調(diào)遞增,

113

/(x)>/(l),即21n%+9+^

i1v23x23尤23

用一代換x得21n—+xd--->—,因此21nx-x----<——，2\nx<x+------

xx222222

x23

設(shè)g(x)=(x-l)(eT-x)+x+y-1,g'(x)=(2-x)(e-x+1),

.?.尤e(0,2)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

xe(2,+。。)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

,、小、1c3112

^W<g(2)=—+2--=-+

e2e23

17.已知函數(shù)f(x)=a\nx-x2.

⑵求證：當。>0時，/(x)<(a-sinx)x2-ax.

【解析】當a>0時，/(x)<(a-sinx)x2-ax

即證alnx-X2-ax1+sinx-x2+ox<0

只要證olnx-x?-ox2+l-x2+o￥<0

即證々(Inx-f+x)<0

只要證Inx—Y+xwo(*)

令g(x)=Inx-x24-x,則g(x)=——2x+l=-------------

xx

當元￡(0,1)時g'(X)>0,g(x)單調(diào)遞增;當X￡(l,+oo)時g'(X)<0,g(x)單調(diào)遞減；

故g(x)2g⑴=0,即(*)成立

故原結(jié)論成立.

18.已知函數(shù)/(x)=ox+lnx,其中QCR.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵若玉是方程xf'(x)=l+lnx的兩個不同的實數(shù)根，求證：匕坐+匕野>0.

X]x2~

【答案】

【解析】比值換元+均值放縮

(1)函數(shù)定義域為(0,+8)f\x)=a+-

X

當時/'(x)>0,/(x)在(0,+00)上遞增;

當〃<0時/'(x)=0=>x=-L,

XG(0,--),ff(x)>0,/(x)遞增；XG(--,+oo),/(％)>0,,f(x)遞減;

aa

小―￡,/、([iInx十口Inx.lnxxlnx

(2)方程？(x)=1+InxBn|iJlax=