2023年高考數學一輪復習（全國版文） 第7章 推理與證明

推理與證明

【考試要求】1.了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，體會并認識合情推

理在數學發(fā)現中的作用2了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運用“三

段論”進行一些簡單的演繹推理3了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解

分析法和綜合法的思考過程和特點.4.了解反證法的思考過程和特點.

【知識梳理】

1.合情推理

類型定義特點

由某類事物的部分對象具有某些特

征，推出該類事物的全部對象都具有

歸納推理由部分到整體、由個別到一般

這些特征的推理，或者由個別事實概

括出一般結論的推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中

類比推理一類對象的某些已知特征，推出另一由特殊到特殊

類對象也具有這些特征的推理

2.演繹推理

(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推

理.簡言之，演繹推理是由一般到推穌的推理.

(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情況；

③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷.

3.直接證明

(1)綜合法

①定義：一般地，利用己知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證,

最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.

②框圖表示：1—"|QnQzl--1。2=。3--------。*=。

(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，。表示所要證明的結論).

③思維過程：由因導果.

(2)分析法

①定義：一般地，從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后，把要證

明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明

方法叫做分析法.

②框圖表示：叵可一叵遠］一叵互］———T得到一個明顯成立的條件

（其中。表示要證明的結論）.

③思維過程：執(zhí)果索因.

4.間接證明

反證法：一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下,結論不成立），經過正確的推理,

最后得出矛盾,因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立的證明方法.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確.（X）

⑵“所有3的倍數都是9的倍數，某數m是3的倍數，則m一定是9的倍數”，這是三段

論推理，但其結論是錯誤的.（V）

（3）分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.（X）

（4）用反證法證明結論“a>b”時，應假設X）

【教材改編題】

1.已知在數列｛?。?，3=1,當時，斯一1+2/?—1,依次計算〃2,。3，〃4后，猜想

斯的表達式是（）

A.an3n—1B.a?=4n—3

C.%=/D.a"=3"'

答案C

解析。2=。|+3=4,a3—a2+5—9,。4=的+7=16,ai—12,<22—22,ai—32,<74—42,猜想

2.給出下列命題：”①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等，③正方形是矩形"，按

照三段論證明，正確的是（）

A.①②二③B.①③0②

C.②③0①D.以上都不對

答案C

解析“矩形的對角線相等”是大前提，

“正方形是矩形”是小前提，

“正方形的對角線相等”是結論.

所以②③=>①.

3.用反證法證明命題：“設”，〃為實數，則方程V+ax+b=O至少有一個實根”時，要作

的假設是（）

A.方程/+以+匕=0沒有實根

B.方程V+ax+h=O至多有一個實根

C.方程/+辦+5=0至多有兩個實根

D.方程/+以+匕=0恰好有兩個實根

答案A

解析方程丁+以+。=0至少有一個實根的反面是方程^+以+6=0沒有實根.

題型一合情推理與演繹推理

命題點1歸納推理

例1如圖，第1個圖形由正三角形擴展而成，共12個頂點.第n個圖形由正n+2邊形擴

展而來，其中"CN*,則第〃個圖形的頂點個數是()

A.(2〃+1)(2〃+2)B.3(2”+2)

C.2〃(5"+1)D.(〃+2)(*+3)

答案D

解析由已知中的圖形可以得到：

當”=1時，圖形的頂點個數為12=3X4,

當〃=2時，圖形的頂點個數為20=4X5,

當〃=3時，圖形的頂點個數為30=5X6,

當〃=4時，圖形的頂點個數為42=6X7,……

由此可以推斷，

第n個圖形的頂點個數為(〃+2)(〃+3).

命題點2類比推理

例2(2022.銅仁質檢)在△A8C中，BCLAC,AC=a,BC=b,則△ABC的外接圓的半徑r

亨己，將此結論類比推廣到空間中可得：在四面體p—ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，

PA^a,PB=b,PC=c,則四面體P—A8C的外接球的半徑/?=.

答案—2-----

解析可以類比得到：在四面體P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA^a,PB=b,PC

四面體P-A8C的外接球的半徑藍+「

下面進行證明：

可將圖形補成以公，PB,PC為鄰邊的長方體，

則四面體P-ABC的外接球即為長方體的外接球,

所以半徑n=必孚運

命題點3演繹推理

例3下面是小明同學利用三段論模式給出的一個推理過程：①若｛a,,｝是等比數列，則｛斯+

&+i｝是等比數歹IJ（大前提），②若瓦=（一1）"，則數列｛與｝是等比數列（小前提），③所以數列｛兒

+為+|｝是等比數列（結論），以上推理（）

A.結論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.全不正確

答案B

解析大前提錯誤：當小=（一1）"時，

a”+a”+1—0,

此時｛&+%+[｝不是等比數列;

小前提正確：：5=（一1）",

???儼=｛興?=一1（〃22,"CN*）為常數，

.??數列｛仇｝是首項為-1,公比為一1的等比數列；

結論錯誤：兒+加1=（一士+（—1嚴1=0,

故數列｛兒+兒+|｝不是等比數列.

【教師備選】

1.觀察下列各式：72=49,73=343,74=2401,…，則72023的末兩位數字為（）

A.01B.43C.07D.49

答案B

解析,/72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,78=823543,…，

.?.7"（〃》2,〃GN*）的末兩位數字具備周期性，且周期為4,

；2023=4X505+3,

.?.72。23和73的末兩位數字相同，

故72必的末兩位數字為43.

2.在等差數列｛。“｝中，若4io=O,則有等式。|+。2+…+。"=。|+。2+…且nGN,）

成立，類比上述性質，在等比數列｛5｝中，若力|=1,則有（）

A.b\-b2-'""-bn—b\-b2..b\g-n（n<\9且neN*）

B.b\-bv"-bn—b\-by"-bix-ninO.X且〃GN*）

C.匕1+岳+…+b”=bi+b2+…+濟9-"（〃<19且“GN"）

D.6+Z?2H----2H-------------Fb2i-"（〃<21且"WN'"）

答案B

解析在等差數列｛飆｝中，若s+f=p+q(s,f,p,q^N"),則處+處=即+%,

右a，n0?則斯+1+“"+2++。2,"-2-"+”2m-1-"0,

所以d|+42+…+4"=〃|+〃2+…+42mT-"成立，

當m—10時，ai+a2H---Fa”=ai+a2H---\-a\<)-n(n<\9且〃WN*)成立，

在等比數列｛兒｝中，若s+/=p+q(s,t,p,<7GN*),則瓦歷=8也，

若bm—1,則bn+\bn+2-'"-b2m-2-nb2m-\-n—1?

所以b\b2---bn=b\bT-b2m-I-n成立，

當m—\\時，b\bi..bn—b\b2-'"'-b2\-n｛n<l\且〃6N*)成立.

3.”對數函數是非奇非偶函數,/U)=lOg2|x|是對數函數，因此共X)=10g2|x|是非奇非偶函數”，

以上推理()

A.結論正確B.大前提錯誤

C.小前提錯誤D.推理形式錯誤

答案C

解析本命題的小前提是4X)=k)g2國是對數函數，但是這個小前提是錯誤的，因為負尤)=lOg2b|

不是對數函數，它是一個復合函數，只有形如y=k)gN“>0且的才是對數函數.故選

C.

思維升華(1)歸納推理問題的常見類型及解題策略

①與數字有關的等式的推理.觀察數字特點，找出等式左右兩側的規(guī)律及符號.

②與式子有關的推理.觀察每個式子的特點，注意縱向對比，找到規(guī)律.

③與圖形變化有關的推理.合理利用特殊圖形歸納推理出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)?/p>

性.

(2)類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差與等比數列類比；運算

類比；數的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等.

跟蹤訓練1(1)(2022?南昌模擬)已知x>0,不等式x+：22,x+*Z3,x+§》4,…，可推

廣為1,則a的值為()

A."B.n"C.2nD.22n~2

答案B

解析由題意，當分母的指數為1時，分子為li=l;

當分母的指數為2時，分子為22=4；

當分母的指數為3時，分子為33=27；

據此歸納可得x+5》“+l中，。的值為

(2)類比是學習探索中一種常用的思想方法，在等差數列與等比數列的學習中我們發(fā)現：只要

將等差數列的一個關系式中的運算“十”改為“X”，“一”改為“+”，正整數改為正整

數指數累，相應地就可以得到與等比數列的一個形式相同的關系式，反之也成立.在等差數

列｛?！埃杏?-&+飆+&=2如(小次)，借助類比，在等比數列｛d｝中有.

答案b"-i；bn+k=l^(n>k)

解析由題設描述，將左式加改乘，則相當于為~+m+*改寫為歷，“4+*;將右式正整數2改

為指數，則相當于2斯改寫為層，

等比數列｛b?｝中有bn-kbn+k=bn(n>k).

(3)(2022?銀川模擬)一道四個選項的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個選項，且選的恰好各

不相同.

趙說：“我選的是A.”

錢說：“我選的是B,C,D之一.”

孫說：“我選的是C.”

李說：“我選的是D.”

已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是.

答案孫、李

解析趙不可能說謊，否則由于錢不選A,則孫和李之一選A,出現兩人說謊.

錢不可能說謊，否則與趙同時說謊；

所以可能的情況是趙、錢、孫、李選擇的分別為(A,C,B,D)或(A,D,C,B),所以說假

話的人可能是孫、李.

題型二直接證明與間接證明

命題點1綜合法

例4設小b,c,均為正數，且a+6+c=l,證明：

⑴。Z?+兒+COwg；

(2)余8+七］

證明(1)由。2+/22。仇/+，22尻，。2+層22M，得扶+622加+尻+館.

由題設得(〃+人+。)2=1,

BPa2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以3(〃b+bc+c〃)W1,

即ab+bc+cawg,

當且僅當"a=b=c”時等號成立.

〃2hr/

(2)因為石—+c^2b,工+〃22c,

當且僅當“冰=吩=/”時等號成立，

a2h2c2

故石+1+工+(4+/?+c)e2(〃+b+c),

〃2序,

則了+不+52。+匕+c

所闿十%》?

命題點2分析法

例5用分析法證明：當x20,y》0時，y/2y^ylx+2y—y[x.

證明要證不等式成立，

只需證52y成立，

即證（不+也蘇2（山+2y產成立，

即證x+2y+2y）2xy^x+2y成立，

即證底》0成立，

因為x20,y2O,所以，藥，NO,

所以原不等式成立.

命題點3反證法

例6已知非零實數a,〃，c兩兩不相等.證明：三個一元二次方程a?+26x+c=0,bxi+

2cx+a=0,cf+Zar+Zjn。不可能都只有一個實根.

證明假設三個方程都只有一個實根，則

①+②+③，得a2-\-b2+c2—ab—bc—ca=0,④

④化為（a—〃y+S一c）2+（c—a）2=0.⑤

于是a=%=c,這與已知條件相矛盾.

因此，所給三個方程不可能都只有一個實根.

【教師備選】

（2022?貴州質檢）請在綜合法、分析法、反證法中選擇兩種不同的方法證明：

,?r,a+b^1ga+lgb

⑴如果a>0,b>Q,則lg~5~22；

⑵2吸一幣>^一3.

解⑴方法一（綜合法）因為a>0,6>0,

所以

所以1g器41虱正

因為IgA應4g（ab）=；（lga+lg〃），

所以1g學》吟也

方法二（分析法）要證愴與N%四，

即證怛結組/(必)=1｝應，

即證

由a>0,b>0,上式顯然成立，

則原不等式成立.

(2)方法一(分析法)要證2加一幣x/75—3,

即證2小+3?JTd+幣,

即證(26+3)2>(也+市p

即證17+12吸>17+2中5,

即證126>2市5,

即證6>/2>^70.

因為(6/)2=72)(市5)2=70,

所以&「九「5成立.

由上述分析可知2yf2—y[~j>yf10—3成立.

方法二(綜合法)由2吸一幣二號萬,且恒7=舟,

由2日恒，幣<3,

可得2姬+幣<也+3,

仔2巾+木>?+3'

即2吸一幣x/"再一3成立.

思維升華(1)綜合法證題從已知條件出發(fā)，分析法從要證結論入手，證明一些復雜問題，可

采用兩頭湊的方法.

(2)反證法適用于不好直接證明的問題，應用反證法證明時必須先否定結論.

跟蹤訓練2(1)已知”>0,b>0,求證：審》篝；

(2)已矢II〃+/?+c>0,ah+hc+ca>0,ahc>0,求證：。>0,Z?>0,c>0.

證明(i)Vtz>o,/?>o,要證巴芋三

乙ClIu

只要證(a+6y24ab,

只要證3+32—4h20,

即證(r—2ab+lr^0,

而cr—2ab+b2=(a—b)20恒成立，

2ab上、

故亍成文.

（2）假設4,b,C不全是正數，即至少有一個不是正數，不妨先設〃W0,下面分〃=0和〃<0

兩種情況討論，如果。=0,則他c=0與。兒>0矛盾，所以。=0不可能，如果4V0,那么由

〃兒>0可得，bc<0,又因為〃+/?+c>0,所以Z?+c>—〃>0,ab+hc+ca=a（b+c）+bc<0,

這和已知ab+bc+c〃>0相矛盾，因此，。<0也不可能，綜上所述，〃>0,同理可證力>0,c>0,

所以原命題成立.

課時精練

1.指數函數都是增函數（大前提），函數是指數函數（小前提），所以函數？=@｝是增

函數（結論）.上述推理錯誤的原因是（）

A.小前提不正確B.大前提不正確

C.推理形式不正確D.大、小前提都不正確

答案B

解析大前提錯誤.因為指數函數y=〃（a>0,且aWl）在時是增函數，而在0<〃<1時為

減函數.

2.（2022?大慶聯(lián)考）用反證法證明命題：“若“2+〃+，+"2=0,則小從c,1都為0”.下

列假設中正確的是（）

A.假設a,b,c,d都不為0

B.假設a,b,c,d至多有一個為0

C.假設a,h,c,d不都為0

D.假設a,b,c,d至少有兩個為0

答案C

解析需假設a,b,c,d不都為0.

3.若一個帶分數的算術平方根等于帶分數的整數部分乘以分數部分的算術平方根，則稱該帶

分數為“穿墻數”，例如\屆=2寸|.若一個“穿墻數”的整數部分等于10g28,則分數部分

等于（）

,34

A.yB.§C.gD.而

答案c

解析因為logzS—3,

所以可設這個“穿墻數”為3+弓，

m

等式兩邊平方得3+4招，

m8

4.下面幾種推理是合情推理的是（）

①由圓的性質類比出球的有關性質；

②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是180。，歸納出所有三角形的內角和都是

180°；

③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；

④三角形內角和是180。，四邊形內角和是360。，五邊形內角和是540。，歸納出〃邊形內角和

是（“-2）/80。.

A.①②B.①③④

C.??④D.②④

答案C

解析①為類比推理，從特殊到特殊，正確；

②④為歸納推理，從特殊到一般，正確；

③不符合類比推理和歸納推理的定義，錯誤.

5.（2022?普寧模擬）有一個游戲，將標有數字1,2,3,4的四張卡片分別隨機發(fā)給甲、乙、丙、

丁4個人，每人一張，并請這4個人在看自己的卡片之前進行預測：

甲說：乙或丙拿到標有3的卡片；

乙說：甲或丙拿到標有2的卡片；

丙說：標有1的卡片在甲手中；

丁說：甲拿到標有3的卡片.

結果顯示：甲、乙、丙、丁4個人的預測都不正確，那么丁拿到卡片上的數字為（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析乙、丙、丁所說為假=甲拿4,甲、乙所說為假=丙拿1,甲所說為假=乙拿2,

故甲、乙、丙、丁4個人拿到的卡片上的數字依次為4,2,13

6.觀察下列數的特點：1,223,3,3,4,4,4,4,…，則第2023項是（）

A.61B.62C.63D.64

答案D

解析由規(guī)律可得，數字相同的數的個數依次為123,4,…，n.

由圓亭“W2023,得“W63,且〃WN*,

?,「63X64?

當〃=63時，共有一°-=2016項,

則第2017項至第2080項均為64,

即第2023項是64.

7.觀察下列各式：己知a+6=l,a2+b2=3,〃+匕3=4,/+/=7,足+分=”，…,則歸

納猜測.

答案29

解析觀察發(fā)現，1+3=4,3+4=7,4+7=11,

又7+11=18,11+18=29,

：.aJ+bJ=29.

8.若三角形內切圓半徑為r,三邊長為a,b,c,則三角形的面積S=^a+b+c)r,利用類

比思想：若四面體內切球半徑為R,四個面的面積為$,S2,S3,S4,則四面體的體積V=

答案；R(Sl+S2+S3+$4)

解析設四面體的內切球的球心為O,則球心。到四個面的距離都是R,

所以四面體的體積等于以。為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和.

9.選用恰當的證明方法，證明下列不等式.

⑴證明：玳+木>2巾+木;

(2)設a,b,c都是正數，求證：,+詈+勺2a+6+c.

證明⑴要證證+#>2也+小,

只需證明(加+幣)2>(2啦+小)2,

即證明2m>2而，也就是證明42>40,式子顯然成立，

故原不等式成立.

⑵2腎胃就管+隼)+管+分管+0

^^+2心^=2c+2b+2a,

所以3+管+片》“+6+以當且僅當"=b=c時，等號成立.

10.若x,y都是正實數，且x+y>2,求證：出<2與中<2中至少有一個成立.

y1

1+x1+v

解假設二一<2和T<2都不成立，

y“

14-y1+丫

即一和一同時成立.

yx

*.*x>0且y>0,

1+x22另1+y22x.

兩式相加得2+x+y22x+2y,即x+yW2.

此與已知條件x+y>2相矛盾，

.,?小■<2和中'<2中至少有一個成立.

11.我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至

于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現的是一種無限與有限的轉化過程，比如在

12+、2+也=中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x,這可以通過方程叵耳

=x確定x=2,類比上述解決方法，則正數1+——等于()

1+]+…

Akh/3B*

XX.2D?2

-[+小-]+小

0^?2D.2

答案B

解析依題意l+：=x,其中x為正數，

即X2—X—1=0,解得x=L乎(負根舍去).

12.大于I的正整數m的三次基可“分裂”成若干個連續(xù)奇數的和，如23=3+5,33=7+9

+11,43=13+15+17+19,…，若〃?3分裂后，其中有一個奇數是103,則皿的值是()

A.9B.10C.11D.12

答案B

解析因為底數為2的分裂成2個奇數，底數為3的分裂成3個奇數，底數為4的分裂成4

個奇數，

所以/有m個奇數，

則從底數是2到底數是用一共有2+3+4H----~~0個奇數，

又2〃+1=103時，有”=51,

則奇數103是從3開始的第52個奇數，

苗4(9+2)(9—1)“(10+2)(10-1)-

因為-----2-----=44,------2------=54,

所以第52個奇數是底數為10的數的立方分裂的奇數的其中一個，

即tn=10.

13.在正整數數列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取1：第二次取2個連續(xù)

偶數2,4；第三次取3個連續(xù)奇數5,7,9；第四次取4個連續(xù)偶數10,12,14,16；第五次取5個

連續(xù)奇數17,19,21,23,25,按此規(guī)律取下去，得到一個子數列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,

則在這個子數列中第2022個數是（）

A.3976B.3978

C.3980D.3982

答案C

解析由題意可得，奇數次取奇數個數，偶數次取偶數個數,前〃次共取了