2023年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第8章8-8向量法求空間角

8.8向量法求空間角

【考試要求】

能用向量法解決異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的問題，并能描述解決這

一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用.

【知識梳理】

I.異面直線所成的角

若異面直線/1，/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則COS6=∣cos(U,V〉l=j^儒.

2.直線與平面所成的角

如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)8,設(shè)直線A8與平面α所成的角為仇直線AB的方向向

量為“，平面ɑ的法向量為"，則Sine=ICoS〈"，"〉I=瑞會

3.二面角

(1)如圖①，AB,CQ分別是二面角a-/一￡的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小J

=(,AB,CD).

(2)如圖②③，小，”2分別是二面角。一/一少的兩個(gè)半平面a,4的法向量，則二面角的大小6

滿足ICOSJI=Icos("I，〃2〉I，二面角的平面角大小是向量小與"2的夾角(或其補(bǔ)角).

【常用結(jié)論】

1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量?與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，

即Sine=ICOS(a,n)不要誤記為COSO=ICOS

2.二面角的范圍是[O,π].

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.(X)

(2)直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角的余角就是直線/與平面a所成的角.(×)

(3)二面角的平面角為仇則兩個(gè)面的法向量的夾角也是夕(X)

(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,E,直線與平面所成角的范圍是0,F.(√)

【教材題改編】

1.已知直線/1的方向向量Sl=(1,0,1)與直線/2的方向向量S2=(T,2,-2),則/1和/2夾角

的余弦值為()

A啦B.g

A.4

D坐

答案C

解析因?yàn)镾I=(1,0』)，S2=(-1,2,-2),

srs2~~1—2__^2

所以CoS(s∣S2〉

9_ISIlIS2廠&X3—2,

所以/1和/2夾角的余弦值為堂.

2.在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,-1,3),(2,2,4).則

這個(gè)二面角的余弦值為()

A嚕B手或普

逅,

VC..3D-L??3-√H3

答案B

?.(0,—1，3)?(2,2,4)正

解析.√π^×√4+4+16—6'

???這個(gè)二面角的余弦值為變或一變.

3.已知向量小，"分別是直線/的方向向量、平面ɑ的法向量，若CoS(.m,n}=一爹，則/

與α所成的角為.

答案30。

解析設(shè)直線/與α所成角為仇

又?.?JG0,I,.?.e=30°.

題型一異面直線所成的角

例1(1)(2022?大慶模擬)如圖，已知棱長為2的正方體ABeD—AlsGoI,E,F,G分別為

AB,CDι,AO的中點(diǎn)，則異面直線AlG與EF所成角的余弦值為()

B返

A.Ob?10

D.1

答案A

解析如圖，分別以D4,DC,。。所在的直線為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A∣(2,0,2),G(1,0,0),E(2,l,0),

所以AlG=(—1,0,-2),EF=(-2,0,l),

設(shè)異面直線AlG與E尸所成的角為仇

----??

IAlGEFl∣(-l)X(-2)—2X1∣

則cosQ-=0.

?A[G??EF]√5×√5

⑵（2022?杭州模擬）如圖，已知圓錐CO的截面AABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑,

點(diǎn)。在AB上，且NAor>=2ZBO。，則異面直線AO與BC所成角的余弦值為（）

A坐

B，2

c?4D-4

答案A

解析因?yàn)镹AOO=2NB。。,

且∕A00+N800=π,

TT

所以

連接CO,則COL平面A3O,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC所在直線分別為y軸、Z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)圓。的半徑為2,則A(0,-2,0),β(0,2,0),C(0,0,2√3),D(√3,1,0),

AD=(√3,3,0),BC=(O,-2,2√3),

設(shè)異面直線AQ與BC所成的角為仇

則COSe=ICoS(AD,BC)|

?AD??BC?

l-6∣√3

-2√3×4^4，

因此，異面直線A。與BC所成角的余弦值為坐.

【備選】

如圖，在直三棱柱ABC—AJBlG中，AB=AC=A4∣=√∑8C=2,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，則異

面直線與AlC所成的角為()

?πC兀

A?2Bq

Cπ

D6

答案B

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,44所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

Ci

A1

B?x

則A(0,0,0),Aι(O,O,√2),B(√2,0,0),C(0,√2,O),

.?.俞=停坐,0),祝=(0,√2,-√2),

訪祝

cos(.AD,A∣C)

?AD??Λ[C?

即異面直線AO,AIC所成角為「

思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,I,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對值.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCAlBICQl中，E是棱CG的中點(diǎn)，而

=點(diǎn))，若異面直線Z)IE和4F所成角的余弦值為喑，則，的值為.

答案I

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長為2,

則4(2,0,2),Zλ(0,0,2),￡(0,2,1),A(2,0,0),

>

.?.Q∣E=(0,2,-1),

A[F=A^A+AF=^A[A+)AD={-2λ,0,-2).

,

..COSCfi^F,DΓE)=

獷阮I(lǐng)

2_34

-2√Γ+1×√5一10，

解得2=東=一;舍)

（2）（2022?武漢模擬）若在三棱柱ABCBlG中，NAIAC=NBAC=60。，平面AIACClj"平面

ABC,AAi=AC=AB,則異面直線AG與4B所成角的余弦值為.

答案乎

解析令M為AC的中點(diǎn)，連接M8,MA1,

由題意知aABC是等邊三角形，

所以BM_LAC,同理，AiMlAC,

因?yàn)槠矫?ACG_L平面ABC,

平面AIACGn平面ABC=AC,

BMU平面ABC,

所以BM，平面AlACCi,

因?yàn)锳lMU平面4ACG,

所以BMLAiM,

所以4C,BM,4M兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA,MB,兩的方向分別為X軸、），軸、

Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AA?=AC=AB=2,

則A(l,0,0),B(0,√3,0),A1(0,0,√3),Cl(-2,0,√3),

所以記=（一3,0,√3）,Λ^=（0,√3,-√3）,

r___________3、歷

所以CoSMC1,AiB）=2小X加=一半，

故異面直線AC1與AiB所成角的余弦值為乎.

題型二直線與平面所成的角

例2（2022?廣州模擬）在邊長為2的菱形ABC。中，/BAQ=60。，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)（如圖

1）,將△4￡）E沿OE折起到AAQE的位置，連接4出，A↑C,得到四棱錐AI-BC￡>E（如圖2）.

圖1圖2

（1）證明：平面AlBE，平面8COE；

(2)若A∣ELBE,連接CE,求直線CE與平面ACO所成角的正弦值.

⑴證明連接圖1中的B。，如圖所示.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且NBA。=60。,

所以AABO為等邊三角形，所以。EL4B,

所以在圖2中有力EjDEA-A?E,

因?yàn)锽ECAIE=E,BE,AIEU平面4BE,

所以O(shè)EJ_平面A↑BE,

因?yàn)镈EU平面BCDE,

所以平面4BE_L平面BCDE.

(2)解因?yàn)槠矫鍭lBE_L平面BCDE,平面4BE∩平面BCDE=BE,AiELBE,AlEU平面

AiBE,所以4EJL平面BCDE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以A(0,0,D,C(2,√3,O),D(0,√3,O),E(0,0,0),

所以布=(0,√3,-1),配=(2,√3,-1),比=(2,√3,0),

設(shè)平面4CE)的法向量為"=(x,>',z),

∕rAιD=yβy-z=Of

貝M一

[∕ι?AιC=2x+yβy-z=0,

令y=L則T=(0,1,√3),

所以CoS〈”，EC)=*"=興=唔，

?n??EC?2W

所以直線CE與平面AtCD所成角的正弦值為唔.

【備選】

(2020.新高考全國I)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PO_L底面ABCD設(shè)平面附。

與平面P8C的交線為/.

⑴證明：L平面PDC；

(2)已知PD=AQ=I,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCQ所成角的正弦值的最大值.

⑴證明在正方形ABCD中，AO〃8C,

因?yàn)锳ZM平面PBC,BCU平面PBC,N

所以AO〃平面PBC,

又因?yàn)锳oU平面PAD

平面BAQCI平面PBC=I,

所以AQ〃/,

因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，

底面ABCo是正方形，

所以A￡>_LZ)C,所以LLoC,

因?yàn)镻oJ_平面ABC。，所以Ao_LP。，

所以∕LPD,

因?yàn)?。CCpC=0，PD,Z)CU平面POc,

所以L平面PDC.

(2)解以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，應(yīng)的方向?yàn)閄軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻O=AO=I,則有Z)(0,0,0),C(0,l,0),P(O,O,1),8(1,1,0),

因?yàn)槠矫鍮4OC平面PBC-1,

所以/過點(diǎn)P,設(shè)Q(WQ1),

則有反=((M,0),DQ=(m,O,l),而=(1,1,-1),

設(shè)平面QC。的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

DCn=O,fy=O,

即

DQn=O,欣Hz=。，

令X=1,則Z=一"7,

所以平面QCD的一個(gè)法向量為n=(l,0,一〃2),

Ij，HPB1+°+〃？

則cos〈〃，PB)=--r—/-r?.

?n??PB?巾、"+1

記PB與平面QCD所成的角為仇根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對

值即為直線與平面所成角的正弦值，

|1~?-m?

Sine=ICOSn.PB)∣=

則〈yβ.y∣m2+1

當(dāng)m=O時(shí)，sin6=拳,

??+m?

當(dāng)m≠0時(shí),sinθ=

yf3?y∣nr+1

當(dāng)且僅當(dāng)m=l時(shí)取等號,

所以直線尸8與平面QCO所成角的正弦值的最大值為坐.

思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟

跟蹤訓(xùn)練2(2022?全國百校聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐S—8C。中，平面SB。_L平面BCZZ

A是線段SQ上的點(diǎn)，Z?SBQ為等邊三角形，NBCQ=30。，CD=IDB=A.

(1)^SA=AD,求證：SDLCA↑

(2)若直線BA與平面SCD所成角的正弦值為4√畤l952,求AO的長.

⑴證明依題意，BD=I,

在ABCO中，CO=4,NBCD=30。，

由余弦定理求得fiC=2√3,

CD2=BD1+BC2,gPBClBD.

又平面SB￡)_L平面BCD,平面SBOC平面BCD=BD,BCU平面

BCD,

平面SBD.從而BClSD,

在等邊aS8Q中，SA=AD,則BA_LSD

又BCCBA=B,BC,BAU平面Bc4,

.?.SQ，平面Bc4,又CAU平面8CA,

：.SDlCA.

(2)解以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,8。所在直線分別為X軸、y軸，過點(diǎn)B作平面BCO的垂線為

Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),C(2√3,0,0),D(0,2,0),S(0,1,√3),

故而=(一2√5,2,0),SD=(0,1,-√3),

設(shè)平面SC。的法向量為m=(x,y,Z),

ιnCb=0,

貝丁,

Jtt-SD-O,

∫-2√3x+2>?=0,

即1I-

√3z=0,

取X=1,貝!1y=√3,z=l,

Λ∕n=(l,√3,1),

設(shè)成=7曲04≤l),

則函=(O,-λ,√3A),

故A(0,2—九√3Λ),則函=(0,2-√,√3Λ),

設(shè)直線BA與平面SCD所成角為仇

故Sind=ICOS<m,BA)|=即"

?m??BA?

?2y∣3-y∣3λ+y[3λ?4^/195

-√5?√(2-A)2+3Λ2^65，

13

--

44

I3

則A￡>=］或AZ)=/

題型三二面角

例3(12分)(2021?新高考全國I)如圖，在三棱錐A-BC。中，平面48ZU平面BCZλAB

=AD,。為B。的中點(diǎn).

⑴證明：OALCz);［切入點(diǎn)：線線垂直轉(zhuǎn)化到線面垂直I

(2)若^OCO是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱A。上，OE=2EA,且二面角E-BC—。

的大小為45。，求三棱錐A-BC。的體積.I關(guān)鍵點(diǎn)：建系寫坐標(biāo)］

思路分析(1)由AS=AO-04_L8。~利用面面垂直性質(zhì)一線_L面~結(jié)論

(2)方法1：幾何法

先求底面面積一作出二面角-根據(jù)二面角求長度-利用錐體體積公式求解一結(jié)論

方法2：向量法

建系一設(shè)點(diǎn)寫坐標(biāo)一求平面法向量一利用向量夾角求值一利用錐體體積公式求解一結(jié)論

答題得分模板

(1)證明因?yàn)锳B=AD,。為8。的中點(diǎn),所以04_LB。叱；［1分］?--------①處確定線_L線

又平面ABDJ.平面BC。,金?②處面面垂直

且平面ABoC平面BCo=8D.A。U平面ABZZ

所以40JL平面BCD戶［3分］?一一③處線面垂直

又CDU平面8CD,所以AO_LC￡>&［4分卜---------------④處線線垂直

(2)解方法一因?yàn)閍OCD是邊長為1的正三角形,且。為8。的中點(diǎn)，

所以O(shè)C=OB=00=1,所以ABCD是直角三角形戶《“⑤處確定直角三角形

且48“>=9()°,^^=73,所以腌叱"=冬.［6分］√?∫W?

如圖,過點(diǎn)E作EF//AO,交30于R過點(diǎn)廣作FG_LBC,ɑi?

垂足為G.連接EG.因?yàn)锳oJ.平面BCZλ所以EFl?平面BCD,

又BCU平面BCD,所以EFJ.BC,又FG_LBC,且EFCFG=尸，

EEFGU平面EFG,

所以BCJ.平面EFG,則NEGF為二面角E-BC-。的平面角Jr8分］<--⑥處確定二面角的平面角

所以4EGF=45。.則GF=E尸.因?yàn)镈E=2E4

所以EF=3。4。尸=2?！晁陨?2.［9分］

3rLJ

因?yàn)镕GLBC.CDIBC,所以GFHCD.

則練=M所以G尸=?，［10分］所以EF=GF=。，所以。A=l,a411分卜⑦處求出三棱錐的高

CD?5?5?

所以展Co=寺SAaC"?AO=?∣X與Xl=*"［12分卜一一⑧處寫出錐體的體積公式

方法二如圖所示,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,。4所在直線分別為x,z軸,在平

⑨處建系

面8CD內(nèi),以過點(diǎn)。且與BD垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系.⑨

因?yàn)锳OCD是邊長為1的正三角形,且。為8。的中點(diǎn),A[Z

所以O(shè)C=OB=。。=1,√?ξ

所以B(1,O,O),D(-1,0,0),C房岑，°)?

設(shè)A(O,O,α),α>OJ<-⑩處設(shè)點(diǎn)寫坐標(biāo)

因?yàn)?E=2E4,所以E(T,0,等.[6分]

由題意可知平面BCO的一個(gè)法向量為〃=(0,0,]).[7分]

設(shè)平面BCE的法向量為m=(x,y,z),

「τn?BC=O,

因?yàn)榫?(-|,冬,0),證=(-如與),所以

:m-BE=Q,

-，+孰=O

22

即令x=l,則y=3.z=2.所以秋=(1/3年).?[9分卜一?處求出平面法向量

4

-ξX+-2^a-z=On,

因?yàn)槎娼荅-Be-。的大小為45。,

2

m-n

所以COS45°=∣[10分k?處用向量夾角公式求值

因?yàn)镾ABCO=TBD?CDsin600=∣×2×1×y=y,

l?處用三角形面積公式及

的l-/,/=1cc”1V痣.√30[12分]錐體體積公式求值

所以‰-BCD?SABCl,?OA=WX萬XI=d,

【備選】

(2020.全國I)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.ΛABC

是底面的內(nèi)接正三角形，P為CO上一點(diǎn)，Po=乎￡?0.

⑴證明：%_1_平面PBC；D

(2)求二面角8—PC-E的余弦值./\

⑴證明由題設(shè)，知AZME為等邊三角形，/j?\

設(shè)g,

Q11

則DO=2CO=BO=2AE=y

所以PO=*DO=坐

PC=NPθ+Oe2=*,PB=7PO2+OB?=坐,

PA

又AABC為等邊三角形，則而存=2。4

所以BA=坐,M=0O2+OA2=坐,

3

PA2+PB2=-^=AB2,則NAPB=90。,

所以H1_LP8,同理出_LPC,

又PCrIPB=尸，所以7?"L平面P8C.

(2)解過。作ONHBC交48于點(diǎn)N,

因?yàn)镻oJ_平面A8C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04所在直線為X軸，ON所在直線為y軸，。。所

在直線為Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則￡(-1,0,()),N0,0,乎)，B(一坐，0),《一：，一坐,0),

MT邛,當(dāng)MT*,書MTo.書

設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為〃=(X],??,zι),

w?PC=0,

由

n?PB=0,

?~χ?-√3yι-y∣2z↑=0,

得1rr

I-Xi+√3γι-√2zι=0,

令Xl=得Z]=—1?yι=0,

所以n=(√2,0,—1),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為Jn=(M,刃，Z2),

I/n?PC=0,

由一

{m-PE=G,

/曰(一及一小”一&22=0,

1—2x2一√2Z2≈0,

/7

令X2=l,得22=—也，＞2=3，

所以m=(1,坐，—啦)，

mn2√22√5

故cosGn,n}

?tn?↑n?5，

所以二面角2—PC-E的余弦值為差.

思維升華利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向

量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的

兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

跟蹤訓(xùn)練3(2021.全國乙卷)如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，PD_L底面ABC7λPD

=OC=1,M為8C的中點(diǎn)，且P8_LAM.

⑴求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

解(1)因?yàn)镻￡)_L平面ABC。，所以PDLDC.

在矩形ABCD中，ADLDC,故以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐

標(biāo)系如圖所示，

設(shè)BC=f,則A(M),0),B(Λ1,0),“，1，0)，P(0,0,l),

所以麗=(r,l,—1),1,0)

r產(chǎn)

因?yàn)镻BJ所以麗?刀M=—,+1=0,得f=√L所以BC=√Σ

(2)易知C(O,1,O),由(1)可得能=(一√L0,1),病=(一乎，1,0),CS=(√2,0,0),PB=(√2,

1,-1).

設(shè)平面APM的法向量為〃I=(X],?i,Z1),則

n,?AP=O,∫-√2x.+zι≈0,

?即√2

TirAM=O,2汨+巾一°'

令xι=p,則Z]=2,jι=l,所以平面APM的一個(gè)法向量為小=(、e，1,2).

設(shè)平面PMB的法向量為"2=(X2，”，Z2),則

Λ2?CB=O,fV∑X2=0,

即Vr

〃2.麗=0,L√2x2+y2-Z2=0,

得％2=0,令＞2=1,則Z2=l,所以平面尸的一個(gè)法向量為〃2=(0』/).

/\________3

cos(n""2〉二兩兩=/Qr=14'

所以二面角A-PM-B的正弦值為嚕.

課時(shí)精練

L如圖，在平行六面體48C。-ABlGd中，A4」平面ABCD,且AB=AD=2,AΛ∣=√3,

NBAD=120°

⑴求異面直線A1B與AG所成角的余弦值；

(2)求二面角B~A?D-A的正弦值.

解在平面ABC。內(nèi)，過點(diǎn)A作AE"LAD,交BC于點(diǎn)E.

因?yàn)锳A_L平面ABCD,

所以AAl_LAE,AA1LAD.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=AD=2,A4l=√3,ZBAD=120°,

則A(0,0,0),B(√3,-1,0),D(0,2,0),

E(√3,0,0),A?(θ,θ,√3),G(√3,1,√3).

(1)A6=(√3,-1,-√3),AQ=(√3,1,√3).

則CoS〈福記〉=%三

14BiIAGl

3-1-31

-√7×√7--7'

因此異面直線AiB與AC,所成角的余弦值為小

(2)可知平面4A0的一個(gè)法向量為

Aε≈(√3,0,0),

設(shè)∕n=(x,y,Z)為平面AiBO的一個(gè)法向量,

又布=(√5,-1,-√3),BD=(-√3,3,0),

μn?A∣B=O,即產(chǎn)Ly-√5z=0,

［一小x+3y=0.

叫〔如訪-=0,

不妨取4=3,則y=小，z=2.

所以∕n=(3,√3,2)為平面48。的一個(gè)法向量,

∕?！?AE?m?v?3

從而cos(AE,m)――-?Aχd^^7

∣AE∣∣∕n∣Y3X4

設(shè)二面角B-AiD-A的平面角為6,

3

則cos夕=木

所以sin0=√l-cos20=^.

因此二面角B-AtD-A的正弦值為乎.

2.(2021?浙江)如圖，在四棱錐P-ABC力中，底面ABC。是平行四邊形，ZABC=?2Qo,AB

=1,BC=4,∕?=√15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PDYDC,PMYMD.

(1)證明：AB±PM↑

(2)求直線AN與平面PDW所成角的正弦值.

⑴證明因?yàn)榈酌鍭BCQ是平行四邊形，

NABC=I20°,BC=4,AB=I,

且M為BC的中點(diǎn)，

所以CM=2,CD=I,ZDCM=60°,

易得CD±DM.

又尸。_LOC,WDCDM=D,

PD,DMU平面PQM,

所以CD，平面PDM.

因?yàn)锳B//CD,所以AB_L平面尸QM

又PMU平面PDM,所以AB_LPM.

(2)解因?yàn)镻M_LMO,PMA,DC,

所以PM_L平面ABCD.

連接AM,則PMA.AM.

因?yàn)镹ABC=I20。,AB=I,BM=2,

所以AM=巾，

又雨=√B,所以PM=2吸，

由(1)知Cnl.OM,

過點(diǎn)M作ME//CD交AO于點(diǎn)E,

則MELMD.

故可以以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MD,ME,MP所在直線分別為X,y,z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A(一√5,2,0),P(0,0,2√2),C(√3,-1,0),

所以N坐，-∣.√2j.

所以A∕V=(殳坐，—也).

易知平面PDM的一個(gè)法向量為n=(0,1,0).

設(shè)直線AN與平面PQM所成的角為仇

5

貝IJSine=ICOS(AN,n>I=IAM川=_巧5.

I麗|〃|66

3.(2022?汕頭模擬)如圖,在圓柱。。|中，HiiMABCD是其軸截面,

M為。Oi的直徑，且EFLCD,A8=2,8C=α(α>l).

⑴求證：BE=BF;

(2)若直線AE與平面BEF所成角的正弦值為半，求二面角A-BE-F的余弦值.

⑴證明如圖，連接Bol,在圓柱OOi中,

BC_L平面CEDF,

：EFu平面CEZ)F,：.EFlBC,

"JEFYCD,BCC?CD=C,BC,CDc5FSABCD,

；.EF_L平面ABCD,

又BoIU平面ABCD,

.?EF±BOι,

,：在ABEF中，O∣為EF■的中點(diǎn)，,BE=BF.

(2)解連接OOi,則OOi與該圓柱的底面垂直,

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8,Ool所在直線分別為y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,-1,0),B(O,1,O),E(-1,O,a),

F(1,O,a),危=(-1,1,a),