工程力學(xué)-彎曲正應(yīng)力

彎曲應(yīng)力(第一講）第8章本次課基本要求1、了解桿件橫截面上的正應(yīng)力分析過(guò)程，并熟記正應(yīng)力公式。2、熟練掌握正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)難點(diǎn)：正應(yīng)力分析方法重點(diǎn)：正應(yīng)力公式的應(yīng)用§5-1純彎曲

當(dāng)梁橫截面上既有剪力又有彎矩時(shí)，梁的彎曲稱為橫力彎曲，或剪切彎曲。梁橫截面上只有彎矩時(shí)，梁的彎曲稱為純彎曲。橫力彎曲與純彎曲橫力彎曲與純彎曲橫力彎曲

——

剪力FS不為零（Bendingbytransverseforce）

例如AC,DB段純彎曲

——

剪力FS

＝0且彎矩為常數(shù)（Purebending）

例如CD段FS研究對(duì)象：等截面直梁研究方法：實(shí)驗(yàn)——觀察——假定

變形幾何關(guān)系的建立純彎曲試驗(yàn):

取對(duì)稱截面梁，例如矩形截面梁，在其側(cè)表面上畫上等間距的縱線和橫線。純彎曲試驗(yàn)和基本假設(shè)

純彎曲試驗(yàn):取對(duì)稱截面梁，例如矩形截面梁，在其側(cè)表面上畫上等間距的縱線和橫線。然后在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)加載，使梁產(chǎn)生純彎曲變形。由純彎曲試驗(yàn)可觀察到如下現(xiàn)象：橫線仍為直線，且仍與縱線正交，只是橫截面作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；縱線彎成曲線，且靠近梁頂面的縱線縮短，靠近梁底面的縱線伸長(zhǎng)；在縱線的伸長(zhǎng)區(qū)，梁的寬度減小，在縱線的縮短區(qū)，梁的寬度增大。純彎曲試驗(yàn)和基本假設(shè)以上是外部的情況，內(nèi)部如何？想象——

梁變形后，其橫截面仍為平面，且垂直于變形后梁的軸線，只是繞梁上某一軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度透明的梁就好了，我們用計(jì)算機(jī)模擬透明的梁根據(jù)試驗(yàn)觀察到的表面變形現(xiàn)象，可作如下假設(shè)純彎曲試驗(yàn)和基本假設(shè)平面假設(shè)：變形前的平面橫截面，變形后仍為平面，且仍與梁的軸線正交，只是橫截面作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。單向受力假設(shè)：各縱向“纖維”單向受力，各縱向“纖維”之間無(wú)擠壓或拉伸作用。純彎曲試驗(yàn)和基本假設(shè)中性層與中性軸

在平面假設(shè)的前提下，設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成，彎曲變形后，梁的一側(cè)纖維伸長(zhǎng)，另一側(cè)纖維縮短，其中必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這一層稱為中性層，中性層和橫截面的交線稱為中性軸。yzx直線段aa變?yōu)榍€弧長(zhǎng)為：線應(yīng)變?yōu)榧儚澲校v向線應(yīng)變沿截面高度線性分布ρ為曲率半徑（1）由變形幾何關(guān)系確定應(yīng)變分布純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力物理關(guān)系：（2）由物理關(guān)系確定正應(yīng)力分布應(yīng)用胡克定律純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力靜力平衡關(guān)系：zxydAy——梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式（3）由靜力學(xué)方程確定待定常數(shù)純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力由靜力平衡關(guān)系：zxydAy得：而形心坐標(biāo)：——靜矩其中知，只有當(dāng)z軸通過(guò)截面形心，即yc=0時(shí)，才可能有Sz=0，故上式表明，中性軸通過(guò)截面形心。關(guān)于中性軸的概念§8-3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力正應(yīng)力計(jì)算公式適用范圍橫力彎曲時(shí)，截面上有切應(yīng)力，平面假設(shè)不嚴(yán)格成立但當(dāng)梁跨度l與高度h之比大于5（即為細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)彈性力學(xué)指出：上述公式近似成立截面慣性積Iyz=0推導(dǎo)時(shí)用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面稱為抗彎截面系數(shù)，單位：m3,mm3最大彎曲正應(yīng)力

可見(jiàn)，在y=ymax，即橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大。zMzW,sxmax=sxzMyzI=-，最大彎曲正應(yīng)力yMyW,sxmax=yMzyI=xs，最大彎曲正應(yīng)力寬b、高h(yuǎn)的矩形直徑為d的圓截面軋制型鋼（工字鋼、槽鋼等）的Wz從型鋼表中查得抗彎截面系數(shù)zybh正應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁中最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)處因此正應(yīng)力強(qiáng)度條件：

脆性材料梁，因其抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度相差甚大故要對(duì)最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)分別校核強(qiáng)度：正應(yīng)力強(qiáng)度條件

對(duì)于塑性材料，由于彎曲正應(yīng)力分布的不均勻性，當(dāng)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力時(shí)，該點(diǎn)發(fā)生屈服。但其他各點(diǎn)的應(yīng)力仍未達(dá)到屈服應(yīng)力值，因而不會(huì)導(dǎo)致整個(gè)桿件喪失承載能力。于是，工程上規(guī)定承彎桿件的許用正應(yīng)力略高于拉伸許用應(yīng)力，約高20％～50％。一般取為拉伸許用應(yīng)力的1.2倍。

彎曲許用應(yīng)力

對(duì)于脆性材料，如鑄鐵等，由于材料本身的不均勻性（如內(nèi)部夾雜物、缺陷、氣孔等），以及彎曲正應(yīng)力的非均勻分布，最大應(yīng)力作用區(qū)遠(yuǎn)小于較小應(yīng)力作用區(qū)。于是，缺陷在最大應(yīng)力區(qū)域內(nèi)引起破壞的概率，比在低應(yīng)力區(qū)的概率要小得多。因此，脆性材料彎曲許用拉應(yīng)力要比拉伸時(shí)高得多。例如對(duì)于灰鑄鐵，彎曲許用拉應(yīng)力要比拉伸時(shí)高70％～110％。

彎曲許用應(yīng)力例1：求1-1截面上A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力。解：（1）1-1截面上的彎矩（2）慣性矩Iz（3）A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力例2：簡(jiǎn)支梁如圖，若分別采用截面面積相同的實(shí)心圓和空心圓截面，且D1=40mm，d2/D2=3/5，試分別計(jì)算它們的最大正應(yīng)力。并問(wèn)空心圓截面比實(shí)心圓截面的最大正應(yīng)力減少了百分之幾？解：因空心圓與實(shí)心圓截面面積相同，將D1=40mm代入上式，得D2=50mm，d2=30mm+ql2/8最大彎矩產(chǎn)生在梁的跨中截面上：最大正應(yīng)力發(fā)生在梁的跨中截面的上、下邊緣上。

D1=40mm，d2/D2=3/5，D2=50mm，d2=30mm

，Mmax=1KN。分別計(jì)算它們的最大正應(yīng)力。并問(wèn)空心圓截面比實(shí)心圓截面的最大正應(yīng)力減少了百分之幾？實(shí)心圓截面的最大正應(yīng)力空心圓截面的最大正應(yīng)力空心圓截面比實(shí)心圓截面的最大正應(yīng)力減少了例3：一對(duì)稱T字形截面的外伸梁如圖，求梁中橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。FA=5.33KNFB=10.67KN彎矩圖：1.76kNm1kNm+-最大正彎矩：M+max=1.76kNm最大負(fù)彎矩：M-max=1kNm10080404046.7yc=73.3yzC形心坐標(biāo)：中性軸z的位置如圖所示慣性矩：1.76kNm1kNm+-D最大拉應(yīng)力最大壓應(yīng)zz1FAB1m1m例4：已知圖示鑄鐵簡(jiǎn)支梁的E=120GPa，許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力求許可載荷[F]。+F/2彎矩圖Mmax=F/2100200200505050125Czz1E=120GPa，許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力求許可載荷[F]。Mmax=F/2。例5：一正方形截面懸臂木梁的尺寸及所受載荷如圖所示，木料的許用彎曲正應(yīng)力[]=10MPa，現(xiàn)需要在C上中性軸處鉆一直徑為d的圓孔，問(wèn)在保證該梁強(qiáng)度條件下，圓孔的最大直徑可達(dá)多少？（不考慮圓孔處應(yīng)力集中的影響）2kN/m10002501601605kNC解：截面C處的彎矩：由強(qiáng)度條件而d=114.7mm

抗彎截面模量為W1的簡(jiǎn)支梁如圖（a）所示。（1）[]已知，求許可載荷[F]1；（2）若加一個(gè)長(zhǎng)為a的輔助梁（圖（b）所示），求許可載荷[F]2；（3）若輔助梁抗彎截面模量為W2，材料與主梁相同，輔助梁最合理的長(zhǎng)度為多少？（a）（b）例6

例6：抗彎截面模量為W1的簡(jiǎn)支梁如圖所示。（1）[]已知，求許可載荷[F]1；解：（1）危險(xiǎn)截面在梁中截面

Mmax=Fl/4+Fl/4由正應(yīng)力強(qiáng)度條件