湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2022-2023學年高一年級下冊學期期末考試數學試卷（含答案）

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2022-2023學年高一下學期期末考試數學試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、復數上L（其中i是虛數單位）在復平面內對應的點所在的象限為（）

3+4i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為兀，

兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2,則扇環(huán)的圓心角a的大小為（）

2463

3、用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中

4、已知某班英語興趣小組有3名男生和2名女生，從中任選2人參加該校組織的英語

演講比賽，則恰有1名女生被選到的概率是（）

A.±2B.-3C.—3D.—7

551010

5、已知正方體ABC。-AgG'中異面直線4G與gC所成角為（）

A.45。B.60°C.90。D.30°

6、已知。，E分別是△ABC的邊8C和AC的中點，若\C=b'則6E=（）

11|-33

A.—b+aB.—b—aC.2b—aD.-b—2cl

22322

7、已知正四棱錐的底面邊長和側棱長都為2,則該四棱錐的表面積為（）

A-4&B.4逐C.4G+4D.4石+4

8、《后漢書?張衡傳》：“陽嘉元年，復造候風地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆

起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關發(fā)機.外有八龍，首

銜銅丸，下有蟾蛛，張口承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊

則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蛛銜之.振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，

尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如圖為張衡地動儀的結構圖，現在相

距120km的4、B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北75。方向，若A地地動儀正

東方向的銅丸落下，8地地動儀東南方向的銅丸落下，則地震的位置距離8地（）

A.（6073+60）kmB.（5073+60）km

C.（60^+50）kmD.（5073+50）km

二、多項選擇題

9、已知a,z,eR-（a-l）i-/?=3—2i，z=（l+i）""，則下列說法正確的是（）

A.z的虛部是2iB.|z|=2

C.-=_2iD.z對應的點在第二象限

10、設向量a=（百1）,b=（O,2），則（）

Ajd=WB.q與的夾角為詈

C.（2a+Z?）與3共線D.0a+"）_!_0

11、在△ABC中，下列命題正確的是（）

A.若A>B，則sinA>sin3

B.若sin2A=sin2B，則△ABC定為等腰三角形

C.若acos3-Z?cosA=c，則△A8C定直角二角形

D.若三角形的三邊的比是3:5:7,則此三角形的最大角為鈍角

12、微信運動是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數據庫的公眾賬號.用戶可以通過關注微

信運動公眾號查看自己每天行走的步數，同時也可以和其他用戶進行運動量的PK或

點贊，某學校為了解學生每周行走的步數，從高一、高二兩個年級分別隨機調查了

200名學生，得到高一和高二學生每周行走步數的頻率分布直方圖，如圖所示.

若高一和高二學生每周行走步數的中位數分別為玉，々，平均數分別為弘，當，則（）

A.%1>x2B.^<x2C.>y2D.<y2

三、填空題

13、設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.8,0.9,則

在一次射擊中，目標被擊中的概率為

14、已知a=（3,4），b=（4,-2）?若2a—方與ka+2b為共線?可量,則實數

k=------

15、下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、尸分別為其所在棱

的中點，能得出〃平面MNP的圖形序號是.（寫出所有符合條件的序

16、若％<1，則函數/&）=兀+等最大值為.

四、解答題

17、某6人小組利用假期參加志愿者活動，已知參加志愿者活動次數為2、3、4的人

數分別為1、3、2,現從這6人中隨機選出2人作為該組代表參加表彰會.

（1）求選出的2人參加志愿者活動次數相同的概率；

（2）記選出的2人參加志愿者活動次數之和為X,求X不小于6的概率.

18、在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b，c.已知sinA=6sinC，

B=150。，△ABC的面積為6.

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2A+2)的值.

19、某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以口60,180),[180,200),

[200,220),[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如

(2)估計月平均用電量的眾數和中位數，第80百分位數.

(3)從月平均用電量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]內的四組用戶

中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，求從月平均用電量在[220,240)內的用戶中應

抽取多少戶？

20、已知正方體.ABC。-A4GA

（1）求證：AD"平面GBO;

（2）求證：平面AQC

21、已知函數/（x）=6sin2x_2sin2x.

（1）求/（x）的對稱中心；

（2）求/（力的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

（3）若xe-pO,求/＜x）的最小值及取得最小值時對應的x的取值.

22、如圖所示△ABC的兩邊5c=1，AC=2＞設G是△ABC的重心，邊上的高為

AH,過G的直線與45,AC分別交于E,F,已知A￡=/IA8，AR=〃AC；

A〃

⑵若cosC=；,S-*S-c，（＞4，求（而+麗）?（而+―）的值;

（3）若BF.CK最大值為?求邊AB的長.

參考答案

I、答案：c

硬十二1T_（1一‘）（3—5）_17.

解析：-------=T-------77-------C=------------1，

3+4i（3+4i）（3-4i）2525

故旦對應點坐標為J_L,一工］,從而復數對應點在第三象限.

3+4iI2525J

故選:C.

2、答案：D

解析：由該扇環(huán)的面積為兀，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2,

可得,ax??—工axf=兀，解得a="，

223

即扇環(huán)的圓心角a的大小為生.

3

故選：D.

3、答案：C

解析：直觀圖中，NADC=45。，AB=BC=2,DC上BC，：.AD=2B￡>C=4,

.??原來的平面圖形上底長為2,下底為4,高為4及的直角梯形，

該平面圖形的面積為（2+4）x4及xg=12&.

故選：C

4、答案：B

解析：記這3名男生分別a,b,c,這2名女生分別為。，E,

則從這5名學生中任選2人的情況有

ab,ac,aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,DE,共10種，

其中恰有1名女生被選到的情況有a。，aE,bD,bE,cD,cE,共6種，

則所求概率p=9=3.

105

故選：B.

5、答案：B

解析：由正方體的性質知：AD//B\C,故AG與4C所成角為或其補角，

又△GAQ為等邊三角形，則/64。=60。.

故選：B

6、答案：D

解析：如圖，因為D,E分別是△ABC的邊8c和AC的中點，

1IQQ

BE=BC+CE=2DC一一AC=2（AC-AD）——AC=-AC-2AD=-b-2a-

21>222

故選：D

7、答案：C

解析：依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4,四個側面是全等的正三角形，每個

正三角形面積為1x2?=6，

4

所以四棱錐的表面積為46+4?

故選：C

8、答案：A

解析：由題意，作出示意圖，其中30,AC，于是N84C=75。，

地震地點在。處,

則」。

根據正弦定理，——8C20sin75

sinZBACsinZBCAsin45°

又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin300="+6

4

故公嚕翳=6。+6。"

故選：A

9、答案：BC

一解得,

解析：由復數相等可得b=3,:一T所以z=(l+i)?=(l+i)2=2i，

a—\=-2,Z7=-3,

對于A,z的虛部是2,故A錯誤;

對于B,|zH2i|=2,故B正確;

對于C,I=_2i，故C正確;

對于D,z對應的點在虛軸上，故D錯誤.

故選：BC

10、答案:AD

解析：因為a=（百，一I）,8=（0,2），所以卜卜671=2,慟=2，故A正確;

因為a=（61），b=（O,2），所以cos,，匕）=斌j-2__￡

T--2,

因為兩向量夾角的范圍為［0,可，所以°與。的夾角為四,故B錯誤;

因為￡>=(0,2)，所以2a+b=2(G,-l)+(0,2)=(2百,0),

又人=（0,2），所以（2。+可2=0,所以（2a+匕）j_"所以（2a+人）與匕不共線，故C錯

誤，D正確.

故選：AD.

11、答案：ACD

解析：在△ABC中,若A>B,則a>h，因此sinA>sin3,A正確;

若sin2A=sin2B，則2A=28或2A+23=兀，

即A=8或A+6=乙，

2

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；

若acosB-bcosA-c'

則sinA-cos5—sin-BcosA=sinC=sin(A+B),

所以sin3cosA=0，即cosA=0，A=—?

2

所以△ABC定為直角三角形，C正確；

三角形的三邊的比是3:5:7,設最大邊所對的角為。，

則cos6=fi工二二=」，因為0＜。＜兀，

2x3x52

所以。正確.

3

故選:ACD.

12、答案：BD

解析：由頻率分布直方圖，(0.015+0.02)x10=0.35，

(0.015+0.02+0.025)x10=0.6,

(0.005+0.02)x10=0.25，(O.(X)5+0.02+0.035)x10=0.6

則xd60,70］，/e［70,80］，

進行數據分析可得：(再一60)x0.025+0.15+0.2=0.5，

解得玉=66，(%一70)x0.035+0.05+0.2=0.5，

解得工,=理=77!

-77

所以滿意度評分中位數玉＜乙，故B正確，

y,=45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.2+85x0.1+95x0.1=67,

%=55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=77.5,

所以滿意度評分平均數x<%，故D正確，

故選：BD.

13、答案：0.98

解析：由題意目標未被擊中的概率是(1-0.8)x(1-0.9)=0.02,

所以目標被擊中的概率為1-0.02=0.98-

故答案為：0.98.

14、答案：-4

解析：因為a=(3,4)，。=(4,一2)，所以2a—0=(2,10)，h/+2b=(3左+8,4左—4)，

因為2a-〃與燃+2〃為共線向量，所以2(41—4)=10(3、+8),解得:k=-4-

故答案為：-4.

15、答案：①②

解析：對于①，如圖1.

圖1

因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以MN//AC，NP//AD-

XBC//AD>所以NP//BC.

因為MNu平面MNP,ACU平面MVP,所以AC//平面MNP.

同理可得5c〃平面MNP.

因為ACu平面ABC，3Cu平面ABC，ACBC=C，

所以平面ABC//平面MNP.

又ABu平面ABC,所以Afi〃平面MNP,故①正確；

圖2

對于②，如圖2,連結CD

因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以MP〃C￡>.

又4。/3。，且4。=%>，所以，四邊形ABDC是平行四邊形，所以AB//C。，

所以AB//MP.

因為MPu平面MNP,AB仁平面MNP,所以AB〃平面MNP,故②正確；

圖3

對于③，如圖3,連結AC、AD.CD.

因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以MP//AC，MN//CD-

因為ACZ平面MNP，叱u平面MNP,所以AC〃平面MNP.

同理可得CD//平面MNP.

因為ACu平面AC。，C￡)u平面AC。，ACCD=C，

所以平面ACO〃平面MNP.

顯然4平面AC，B任平面AC。，所以AB.平面ACO,且AB與平面ACO不平

行，所以A8與平面MNP不平行，故③錯誤；

圖4

對于④：如圖4,連接GE,EN,因為M,N為所在棱的中點，則MN//EF,

故平面MNP即為平面MNEF,由正方體可得AB//EG>

而平面ABGE^平面MNEF=EM，

若AB〃平面MNP,

由ABu平面ABGE可得AB//EM，

椒EGHEM，顯然不正確，故④錯誤.

故答案為：①②.

16、答案：_2血+1

解析：y(x)=x+—=x-i+-^—+i=-+i,

x-1x-1_1_x_

由于x<l，所以i-x>0，故1-x+22^(1-尤)=20,當且僅當

l-x==-nx=i—貶時等號成立，

1-x

因此/(x)=-l—x+『-+1<-272+1,

故答案為：-272+1

17、答案：(1)-1；

15

⑵-

5

解析：(1)記參加了2次志愿者活動的人為a,參加了3次志愿者活動的人為白、

瓦、4，參加了4次志愿者活動的人為q、c2.

從這6人中隨機選出2人.共有6曲、ab2>ab3>ac]>eg,、〃也、“四、、〃&、

b1b3、、h2c2>A。、b3c2、eg這15種選法；

其中這2人參加志愿者活動次數相同的有。仇、他、b2b3、C&這4種選法.

故選出的2人參加志愿者活動次數相同的概率為

15

(2)由⑴可知,X小于6有助、ab2>這3種選法，

故X不小于6的概率1_a=±

155

18、答案：（1）26；

（2）叵;

14

⑶5

解析：（1）sinA=6sin。，.?.由正弦定理得4=百。

又△A8C的面積為G，二.；〃csinl50o=G，解得c=2,

a=2>/3；

(2)由余弦定理有b?=a2+c2—2/2CCOS150°9?9-b=2v7?

由正弦定理，_=±nsinA2x/5sin150。

sinAsinB2A/714

(3)B=150°，.?.A<90°，.?.由sinA=叵得，cosA;包

1414

sin2A——2sinAcosA——，cos2A2cos-A-1=??

1414

.(A兀).Cd兀C.?兀13

/.sin2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—=—.

I6)6614

19、答案：(1)0.0075

(2)眾數、中位數、第80百分位數分別為230、224、253.33

(3)5

解析：(1)因直方圖中，各組數據頻率之和為所有矩形面積之和為1,

則(0(X)2+0.0025+().(X)5+x+0.0095+0.011+0.0125)x20=1，

得x=0.0075?

(2)月平均用電量的眾數是220+24°=23().

2

因前3個矩形面積之和為(0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5.

前4個矩形面積之和為(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20-0.7>0.5.

則中位數在［220,240)內，設為y,則(y-220)x0.0125=0.5—0.45，得y=224,即中

位數為224.

因為前4個矩形面積之和為().7<0.8，前5個矩形面積之和為

0.7+20x0.0075=0.85>0,8，則第80百分位數在［240,260)內，

設第80百分位數為。，則(a-240)*0.0075=0.8-0.7=0.1,解得”253.33,即第80

百分位數約為253.33.

(3)月平均用電量為［220,240)的居民對應的頻率為:0.0125x20=0.25.

又由(2)分析可知，月平均用電量為［220,240),［240,260),［260,280),［280,300)的四組

居民對應頻率之和為：1-0.45=0.55.

則應抽取居民的戶數為：llx絲=5.

0.55

20、答案：(1)證明見解析

(2)證明見解析

解析：(1)證明：正方體ABCO—44儲?！窩Q=4g，

又ABgB、,AB=AtB.,:.C、DJ/AB,CR=AB,

四邊形GOAB是平行四邊形，

AD、HC\B,

?.<8(=平面。/。，A"《平面QB。，

40〃平面GBO.

(2)證明：正方體ABC。—A4G2.

A。-L，CD,平面A,ADD,,

4￡>1<2平面44?？冢?.CD±AD］,

又A￡)p|C￡)=Q，A}D,O)u平面4。。

ADt_L平面AQC.

21、答案：(1)［一］+

(2)最小正周期為兀；-—+kit,—+kn,(keZ)

(3)九n(x)=-3，x=-W

解析：(1)/(%)=\/3sin2x-2sin2x-V3sin2x-1+cos2x

.G1Q]

sin2x+-cos2x—1=2sin[2x4-^-j-1

2

7

由2%+2=也得》=—2+蛆，ZeZ，

6122

所以對稱中心+左eZ）；

（2）/'（X）=2sin（2%+弓）-1,

T=育，.?.T=g=兀，.??/（X）的最小正周期為無，

由一二+2EW2x+工4巴+2E，kwZ，

262

zg71.7C,‘._

fe：---\-kjt<x<—+kjtyZwZ，

36

???/（%）單調遞增區(qū)間為一尹配看+而，化￡Z）;

(3)/(x)=2sin(2x+^-j-1,

57171

xe--,0，「?2cx+—兀w

L26~6,6

.(c兀)[1

sin2x+—G-1,—，

I[_2」

/.2sin[2x+看]-1￡[-3,0],

即：埼(6=-3,此時.工+9-弓，x=-g

oZ5

22、答案：(1)3

⑵①

100

(3)2或4屈

15

解析：(1)AE=A,AB=>AB=—AE?AF-ACAC-—AB

A4

如圖所示，連接AG并延長交BC于點。，則。為BC中點

A

因為G為△ABC重心

77

所以AG=4AO=--(AB+AC\^-AB+-AC=—AE+—AF

332、〃33323〃

因為4G，AE,囚產起點相同，終點共線

所以導A"所以；+)=3

(2)設角A,B,C所對的邊分別為mb,c,.\a=l^b=2

c2=a2+/?2-2Q〃COSC=1+4-2X1X2X—=4,/.C=2

4

S4AEF=；AExAFxsinZEAF=；AABx(//AC)xsinZEAF

SAABC=；ABxACxsinABAC

所以沁="=2，

—I—=3

由，〃解之得4

3

Ll二一

AE=2X-=-,A/?=2X-=-

42