2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第7章 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第七章立體幾何與空間向量

§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【考試要求】1.借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空

間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問

題.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

I.基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線包.

2.“三個(gè)”推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

L■亠亠兒［相交直線:在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線！

匣方i直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號(hào)語言公共點(diǎn)

相交L個(gè)

直線與平面

--------a

平行//a"a9個(gè)

在平面內(nèi)/——aUa無數(shù)個(gè)

%/

平行9個(gè)

4__/

平面與平面

相交aC8=l無數(shù)個(gè)

5.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

6.異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線a'//a,b'//b,我們把

直線a'與6'所成的角叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

（2）范圍：〔’2」.

【常用結(jié)論】

1.過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.

2.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“丿”或“X”）

（1）沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（X）

（2）直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.（X）

（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.（X）

（4）兩兩相交的三條直線共面.（X）

【教材改編題】

1.（多選）如圖是某正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列說法正確的是（）

A.8/W與平行

B.CN與BM成66。角

C.CN與8E是異面直線

D.DW與BN是異面直線

答案BD

解析正方體的直觀圖如圖所示.

很顯然，BM與ED不平行,故A錯(cuò)誤；

連接/N,AC,易知△/CN是等邊三角形，CN與所成角即為/4VC=60。，故B正確；

連接8E,易知CN〃BE,故C錯(cuò)誤；

連接8N,DM,易知。A/與8N是異面直線，故D正確.

2.已知a,b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與久)

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D.不可能是相交直線

答案C

解析由已知得直線c與人可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若

b//c,則?！?,與已知a,6為異面直線相矛盾.

3.如圖，在三棱錐/一88中，E,F,G,，分別是棱BC,CD,的中點(diǎn)，則

C

(1)當(dāng)/C,80滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

(2)當(dāng)/C,8。滿足條件時(shí)，四邊形E/G”為正方形.

答案(1)4C=8。(2)NC=8D且ZC丄8。

解析(1)由題意知，EF//AC,EH//BD,且E尸=：/C,EH=；BD,

：.四邊形EFGH為平行四邊形，

:四邊形EFG”為菱形，:.EF=EH,:.AC=BD.

(2)：四邊形EFGH為正方形，：.EF=EH且EF±EH,

：.4C=BD且AC1BD.

■探究核心題型

題型一基本事實(shí)的應(yīng)用

例1已知在正方體小3GA中，E,尸分別為。Ci，G8i的中點(diǎn)，ACCBD=P,

A\C\C\EF=Q.

求證：(1)。，B,F,E四點(diǎn)共面；

(2)若4c交平面。8斤E于點(diǎn)R,則尸，Q,R三點(diǎn)共線;

(3)￡>￡,BF,三線交于一點(diǎn).

證明(1)如圖所示，連接Bid.

因?yàn)镋F是△ASG的中位線，所以.在正方體/BCD—481Gz)|中，B\D\〃BD,

所以EF〃BD,所以EF,80確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.

(2)在正方體/8C。一小BGDi中，連接4C,設(shè)4,C,G確定的平面為a,又設(shè)平面BDEF

為及因?yàn)?G4G,所以Qda.又。GEE所以0G夕，所以。是a與￡的公共點(diǎn)，同理，尸是

a與6的公共點(diǎn).所以aC￡=P。又小CC￡=H,所以火64(7,R&a,且RG/f.則尺6尸。，故

P,Q,R三點(diǎn)共線.

(3)因?yàn)镋F〃8。且所以。E與8f相交，設(shè)交點(diǎn)為則由A/eOE,D￡u平面

DiDCCi,得MG平面。OCCi,

同理，MG平面818CC1.

又平面。iDCCm平面8i8CG=CG,所以A/GCG.

所以O(shè)E,BF,CG三線交于一點(diǎn).

思維升華共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).

(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，aC.=l,A,B&a,C"，且/，B,C生/,直線48rU=M,過4B,

C三點(diǎn)的平面記作y,則y與夕的交線必經(jīng)過()

A.點(diǎn)4

B.點(diǎn)B

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M

D.點(diǎn)C和點(diǎn)M

答案D

解析因?yàn)镸GAB,所以A/Gy.

又aC￡=l,MEI,所以MG..

根據(jù)基本事實(shí)3可知，M在y與￡的交線上.

同理可知，點(diǎn)C也在y與夕的交線上.

所以y與6的交線必經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)

(2)如圖所示，平面/8E尸丄平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，NBAD=ZFAB

=90°,BC//ADJLBC=~AD,BE//AFSLBE=~AF,G,H分別為E4,尸。的中點(diǎn).

22

①證明：四邊形5C7/G是平行四邊形；

②C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

①證明由題設(shè)知，因?yàn)镚,H分別為E4,ED的中點(diǎn)，所以GH〃4D且GH=L1D,

2

又BC//AD且BC^-AD,

2

故GH〃BCS.GH=BC,

所以四邊形8C7/G是平行四邊形.

②解C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下：

由8￡〃/尸且尸，G是E4的中點(diǎn)、知BE〃GF且BE=GF,所以四邊形EFG8是平行

四邊形，所以EF〃BG.

由①知2G〃C，，所以EF〃CH.

故EC,FH共面.又點(diǎn)。在直線戶H上，

所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.

題型二空間位置關(guān)系的判斷

命題點(diǎn)1空間位置關(guān)系的判斷

例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()

A.M&a,M&p,

B.A&a,A",B三a,864*aCl4=Z8

C.l<Za,A&l^A^a

D.A,B,C￡a,A,B,CW夕，且4B,C不共線=a,夕重合

答案ABD

解析對于A,因?yàn)镸Ga,M",aC'=l,由基本事實(shí)3可知MG/,A正確；

對于B,A^a,AG0,BGa,故直線/8Ua,ABU°,即aA￡=/8,B正確；

對于C,若/ria=/,則有/<Za,A日,但ZGa,

C錯(cuò)誤；

對于D,有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面a,夕中，故a,夕重合，D正確.

（2）（2023,龍巖模擬）若a和b是異面直線，6和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

答案D

解析如圖，在長方體/88一/選|。。|中，

①若直線/由記為直線a,直線8c記為直線b,直線S4記為直線c,

此時(shí)。和c相交；

②若直線記為直線°,直線8c記為直線b,直線。G記為直線c,

此時(shí)。和c平行；

③若直線/小記為直線4,直線8c記為直線厶，直線CLDI記為直線c,

此時(shí)“和c異面.

命題點(diǎn)2異面直線所成的角

例3（1）如圖所示，圓柱002的底面半徑為1，高為2,是一條母線,8。是圓Oi的直徑,

C是上底面圓周上一點(diǎn)，ZCBD=30°,則異面直線4C與8。所成角的余弦值為（）

3叵.4修￡由c2s

答案C

解析連接4。2,設(shè)力。2的延長線交下底面圓周上的點(diǎn)為￡,連接CE,易知/C4E（或其補(bǔ)

角）即為異面直線4C與8。所成的角，連接CD（圖略），在RtZXBC。中，Z5C￡>=90°,BD

=2,NCBD=30。,得BC=3,CD=l.又AB=DE=AE=BD=2,AC=\IAB2+BC2=\I7,

CE=\IDC2+DE2=Y[S,所以在△CZE中，cosNC""—'。—C"=7+尸=域,即

2ACAE2XV7X214

異面直線AC與BD所成角的余弦值為上近.

14

（2）（2023?長治模擬）如圖，在直三棱柱Z8C—Z閏G中，乙4c8=90。，AC=BC=CCi=2,E

為8囪上一點(diǎn)，平面NEC將三棱柱分為上、下體積相等的兩部分，則力E與5G所成角的

余弦值為（）

A.2-B.2-C.3-D.丄1

3553

答案A

解析如圖，作G"丄小囪于點(diǎn)”,

則G"丄平面ABBTAI且Ci"=/,

設(shè)B\E=x,

易得/C丄平面BBiCC

1119

則V*-BCC、ES四邊形ace?AC---~（2—X+2）-2-2--（4—X）,

平面/EG將三棱柱分為兩個(gè)體積相等的四棱錐G-m/ES和/—8CGE,

即、=匕-BCGE，

則x=l,所以￡為5劣的中點(diǎn),

取CG中點(diǎn)為尸，連接EF,

則EF//B\C\、N4EF（或其補(bǔ)角）即為異面直線ZE與歷G所成角，

/4llEF2

cosZAEF=—=-

AE3

所以異面直線NE與SG所成角的余弦值為2.

3

思維升華（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判

斷，常借助正方體為模型.

（2）求異面直線所成角的方法

方法解讀

將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的

平移法

平行線或者作平行線，形成三角彫求解

在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直

補(bǔ)形法

線相應(yīng)的位置，形成三角形求解

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）如圖所示，在正方體48co—小SCiOi中，M,N分別為棱G。，C,C

的中點(diǎn)，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（

A.直線與CG是相交直線

B.直線與8N是平行直線

C.直線與MS是異面直線

D.直線⑷1/與。。是異面直線

答案CD

解析因?yàn)辄c(diǎn)/在平面CDDyCx點(diǎn)M在平面CD。?內(nèi)，直線CG在平面CDDC內(nèi),

CG不過點(diǎn)所以直線與CG是異面直線，故A錯(cuò)；取。。的中點(diǎn)E,連接4E（圖略），

則8N〃幺E,但/E與//相交，故B錯(cuò)；因?yàn)辄c(diǎn)8與直線BN都在平面8CG8i內(nèi)，點(diǎn)M

在平面8CGB外，BN不過魚Bi,所以8N與是異面直線，故C正確；同理D正確.

（2）如圖，在圓錐S。中，AB,C￡＞為底面圓的兩條直徑，ABQCD=O,ABLCD,SO=OB

=3,SE=』SB,則異面直線SC與。￡所成角的正切值為（）

4

s

A返B亞C以Dy：n

2316,3

答案D

解析如圖，過點(diǎn)S作S/〃O￡,交4B于點(diǎn)、F,連接CF,則NCSF（或其補(bǔ)角）為異面直線SC

與0E所成的角.

'：SE=~SB,：.SE=-BE.

43

又08=3,：.0F=~0B^\.

3

VSO1<?C,SO=OC=3,；.SC=3也

"JSOLOF,.?.5尸="\/502+。產(chǎn)=而.

VOC1.OF,ACF=Vlb.

...在等腰中，

2

即異面直線SC與OE所成角的正切值為5.

3

（3）平面a過正方體/BCQ-/15IG￡>I的頂點(diǎn)/,a〃平面CBQ”afl平面機(jī)，aCl平

面/8囪4=〃，則機(jī)，〃所成角的正弦值為（）

答案A

解析如圖所示，過點(diǎn)/補(bǔ)作一個(gè)與正方體N8CZ）一小81clz）i相同棱長的正方體，易知平面

a為平面AFiE,則m,n所成的角為/E/Q.；ZX/QE為正三角形，...sin/E/尸i=sin60。=也.

2

題型三空間幾何體的切割（截面）問題

例4（1）（多選）用一個(gè)平面a截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.這兩部分的表面積一定不相等

B.截面不會(huì)是三角形

C.截面不會(huì)是五邊形

D.截面可以是正六邊形

答案BCD

解析如圖，一個(gè)平面a截正方體，把正方體分為體積相等的兩部分，則平面a一定過正方體

的中心，所以這兩部分的表面積相等，根據(jù)對稱性，截面不會(huì)是三角形、五邊形，但可以是

正六邊形（如圖）.

（2）已知直四棱柱/8CD—381cgi的棱長均為2,ZBAD=60°,以A為球心，#為半徑的

球面與側(cè)面BCCB的交線長為.

答案也5

口2

解析如圖，連接&A,易知為正三角形，所以8Qi=GG=2.分別取SG,BB1,

CG的中點(diǎn)/，G,H,連接。幽，D\G,DiH,則易得AG=O，=亞而=貼，丄BQ,

且。1用=3.由題意知G,”分別是8囪，CG與球面的交點(diǎn).在側(cè)面5CGS內(nèi)任取一點(diǎn)P,

使MP=&連接。砂，則DF=7DiM2+3雨2+曲2=在連接MG,MH,易得

MG=MH=R故可知以M為圓心，価為半徑的圓瓠G”為球面與側(cè)面的交線.由

NBiMG=NCiMH=45°知NGMH=90°,所以南的長為丄X2TI義価=魚.

42

思維升華（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直

線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）在正方體45GO1中，E,尸分別在8山和GC上（異于端點(diǎn)）,

則過三點(diǎn)4F,E的平面被正方體截得的圖形（截面）可能是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

答案ABD

解析當(dāng)8E=CF時(shí)，截面是矩形；當(dāng)28E=CF時(shí)，截面是菱形；

當(dāng)8E>C尸時(shí)，截面是梯形；截面不可能是正方形.

（2）如圖，在正方體488—NIAGDI中，￡是8c的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過直線8。且與直線GE

平行，若正方體的棱長為2,則平面a截正方體所得的多邊形的面積為.

9

答案

2

解析如圖，過點(diǎn)8作交81G于點(diǎn)過點(diǎn)〃作BD的平行線，交GG于點(diǎn)N,

連接。N,則平面8DMW即為符合條件的平面a,

DyNC,

由圖可知M,N分別為GG的中點(diǎn),

故8。=2/，MN=%

且BM=DN=瓜

設(shè)等腰梯形的高為厶，

:.梯形MNDB的面積為

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，貝女）

A.直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)

B.直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)

C.直線上所有點(diǎn)都在平面外

D.直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)

答案D

解析根據(jù)題意，兩點(diǎn)確定一條直線，那么由于直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則直線在平面外,

只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi).

2.（多選）下列命題中不正確的是（）

A.空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線

B.空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線

C.空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)不共面

D.空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面

答案ACD

解析對于平面四邊形來說不成立，故A不正確；若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直

線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故B正確；由B的分析可知

C不正確；平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，故D不正確.

3.已知平面a,0,y兩兩垂直，直線a,b,c滿足“Ua,bup,cUy,則直線a,b,c不可

能滿足以下哪種關(guān)系（）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

答案B

解析如圖1,可得a,b,c可能兩兩垂直；

如圖2,可得a,h,c可能兩兩相交；

如圖3,可得a,b,c可能兩兩異面.

圖1圖2圖3

4.在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸。Oi作圓柱的軸截面N8CD,其中母線48=2,

E是8c的中點(diǎn)，F(xiàn)是N8的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,ZC與EF是共面直線

B.AEHCF,/C與EF是共面直線

C.AE=CF,/C與E尸是異面直線

D.AE^CF,4c與EF是異面直線

答案D

解析如圖，由題意知，圓柱的軸截面N8CZ）為邊長為2的正方形，E是部的中點(diǎn)，F(xiàn)是

Z8的中點(diǎn)，

4CU平面/8C,EF與平面Z8C相交，且與NC無交點(diǎn),

所以4C與EF是異面直線，故A,B錯(cuò)誤；

又。F=32+22=3,鉆=也2+雨2=#,所以/EWCF,故C錯(cuò)誤.

5.如圖，已知四面體/8C。的各條棱長均等于4,E,F分別是棱40,BC的中點(diǎn).若用一

個(gè)與直線EF垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一個(gè)多

邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為（）

答案B

解析將正四面體補(bǔ)成正方體如圖所示,

可得E尸丄平面CHBG,且正方體的棱長為2也.

由于EE丄平面a,且平面a與四面體的每一個(gè)面都相交,

故截面為平行四邊形MVKL,且KL+KN=4,

XKL//BC,KN//AD,且/。丄8C,

:.KNLKL,

：.平行四邊形MNKL為矩形，

(KN+KQ

:.S也/MNKL=KN,KL^^2J2—4,

當(dāng)且僅當(dāng)KN=KL=2時(shí)取等號(hào).

6.(2021?全國乙卷)在正方體力5。)一小5。。|中，戶為囪。|的中點(diǎn)，則直線尸8與“￡)|所成

的角為()

A.-B.-C.-D.-

2346

答案D

解析方法一如圖，連接CiP,因?yàn)?8C。-481Goi是正方體，且尸為的中點(diǎn)，所

以GP丄囪。|,又GP丄8囪，所以Ci尸丄平面818P.又8PU平面818P,所以GP丄8P.連接

BCi,則/￡>i〃8Cj,所以NP8G為直線9與/5所成的角.設(shè)正方體ABCZ)—的

棱長為2,則在RtACiPS中，C\P=-B\D\=^2,8G=2S，sinZPSCi=—=",所以NP8G

2BC\2

7C

6

方法二以囪為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,B\A\,86所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體aC0的棱長為2,則8(0,0,2),尸(1,1,0),。(2,2,0),

/(0,2,2),為=(一1,-1,2),石=(2,0,-2).設(shè)直線產(chǎn)3與451所成的角為仇則cos，=

PBAD\I「兀?

畫函『舄邛因?yàn)槠釯"或所以H

方法三如圖所示，連接8G,AiB,4尸，PC1,則易知所以直線P8與4。所

成的角等于直線P8與BG所成的角.根據(jù)P為正方形小81cbDi的對角線與。的中點(diǎn)，易

知小，P,G三點(diǎn)共線，且尸為4G的中點(diǎn).易知48=8G=4Ci,所以△48G為等邊三

角形，所以N/i8G=匹，又產(chǎn)為4G的中點(diǎn)，所以可得/尸8G=丄/48。==

326

7.（2023?廣州模擬）如圖為四棱錐4—OEEG的側(cè)面展開圖（點(diǎn)G”G2重合為點(diǎn)G）,其中工。=

AF,GQ=G2尸.E是線段。尸的中點(diǎn)，請寫出四棱錐/一。后尸G中一對一定相互垂直的異面直

線.（填上你認(rèn)為正確的一個(gè)結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形）

答案AE,DF（或/E,DG^AE,G/或/G,DF）

解析還原該四棱錐的直觀圖如圖所示，連接。F和GE,相交于點(diǎn)O,連接/。,

\'DG=FG,DE=EF,GE=GE,：./\GDE^/\GFE,：.ZDGO=ZFGO,

又"：DG=FG,GO=GO,

:.△DGO9/\FGO,

:.DO=OF,NGOD=NGOF=Z:.DFLOE,

2

"：AD=AF,OD=OF,：.AO±DF,

'：AOnOE=O,AO,OEU平面40E,

二。尸丄平面/又/EU平面NOE,J.DF1.AE.

8.如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、

左右、上下均對稱，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4,且兩個(gè)四棱柱的側(cè)

棱互相垂直.則這兩個(gè)四棱柱的表面相交的交線段總長度為.

答案8#

解析由題可知，這兩個(gè)四棱柱的表面相交的交線段由8條長度相等的線段構(gòu)成，

如圖所示，選取一個(gè)側(cè)面進(jìn)行分析，其中4C,均為交線段，且4C=Z8,8c為底面的對

角線長，。為8C的中點(diǎn),

：.AD=2,CD=-BC=-X2\l2=y]2,

22

4cz4D2+CDJ22+雨2=水，

.??所求的交線段總長度為8義#=8巫.

9.如圖所示，在空間四邊形/5CD中，E,尸分別是Z8,49的中點(diǎn)，G,“分別在8C,CD

上，且8G：GC=DH:HC=1：2.

(1)求證：E,F,G,，四點(diǎn)共面；

(2)設(shè)EG與尸，交于點(diǎn)P,求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

證明(1)因?yàn)椤關(guān)分別為48,的中點(diǎn)，

所以EF//BD.

所以GH//BD,

所以EF//GH.

所以E,F,G,，四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)镋GCiFH=P,P&EG,EGU平面

所以尸6平面N8C.同理PG平面ADC.

所以P為平面/8C與平面ADC的公共點(diǎn).

又平面/BCC平面ADC—AC,

所以「WNC,

所以P,A,C三點(diǎn)共線.

10.如圖，在三棱錐尸一/BC中，h丄底面/8C,。是PC的中點(diǎn).已知AB=2,

2

4c=23,以=2.求：

R

D

-----------------4（：

（1）三棱錐p—N8C的體積；

（2）異面直線BC與AD所成角的余弦值.

解⑴SjBC=g義2X2而=25,

===

三棱錐尸一ABC的體積V^S/SABCPA~X2\（3X2^--.

（2）如圖，取尸8的中點(diǎn)E,連接。￡,AE,

則ED//BC,

所以N/OE是異面直線8c與/。所成的角（或其補(bǔ)角）.

在△/￡）￡：中，DE=2,AE=y12,AD=2,

4。2+?！?—/￡2=22+22—23

cosZADE

2ADDE2X2X24

故異面直線BC與3所成角的余弦值號(hào)

應(yīng)綜合提升練

11.（多選）（2023?朝陽模擬）在三棱錐4一8。中，AB=CD=QAD=BC=AC=BD=#,

則（）

A.ABLCD

B.三棱錐/一8。的體積為|

C.三棱錐力-BCD外接球半徑為北

D.異面直線/。與8c所成角的余弦值為］

答案ABD

解析將三棱錐補(bǔ)形為長方體，如圖所示.

其中8E=8N=1,BF=2,

所以/B=CO=S,AD=BC=AC=BD=在

連接MF,

則NA/〃8F,AM=BF,

所以四邊形為平行四邊形，

所以4B〃MF,

又四邊形MCFD為正方形，

所以MF±CD,

所以丄CD,故A正確；

長方體的體積匕=1X1X2=2,

三棱錐E-ABC的體積匕=V1X2X1=；,

同理，三棱錐N-48D,三棱錐尸一BCD,三棱錐M一/C。的體積也為丄,

3

10

所以三棱錐Z—8C。的體積/=2—4X丄=與故B正確;

33

長方體的外接球的直徑為、『+12+22=#,

所以長方體的外接球的半徑為出，

2

長方體的外接球也是三棱錐A-BCD的外接球，

所以三棱錐力一BCD外接球的半徑為逐，故C錯(cuò)誤；

2

連接交AD于點(diǎn)0,

因?yàn)镸N//BC,

所以N/OM（或其補(bǔ)角）為異面直線4。與8C所成的角，

由已知OA=-AD—^-,

22

OM=-MN=^-,AM=2,

22

5,5,

--14

443

所以cosZAOM=------；=-----戸

2X道火選5,

22

所以異面直線力。與8c所成角的余弦值為，故D正確.

12.如圖，E,尸分別為正方體/88—小86。1的棱CG,CQ的中點(diǎn)，若48=6,則過4

E,尸三點(diǎn)的截面的面積為（）

A.師

B.18也

「21而

c.--------

2

n27^17

U.------------

答案c

解析連接EF,作直線E尸分別與直線DC,。。的延長線相交于點(diǎn)P,Q,

連接/尸交8c于點(diǎn)/，連接交小Oi于點(diǎn)N,連接NF,ME.

則五邊形4WEFN即為過/,E,尸三點(diǎn)的截面，如圖所示.

由題意知/尸=20=3亞，尸。=9\吼

入MEHAQ、且黑=3,

13.（2022?南陽模擬）如圖，力8和CD是異面直線，AB=CD=3,E,尸分別為線段ZD,BC

上的點(diǎn)‘嗜噴樣‘防=近則”與。所成角的大小為——?

D

答案60°

解析在平面48。中，過七作EG〃力5,交DB于點(diǎn)、G,連接GR如圖,

..AE=\?5G=1

*ED~29^GD~2"

PBF_1.BGBF

FC2GDFC

則GF//CD,

(或其補(bǔ)角)即為N8與CO所成角,

在△EGP中，EG=%B=2,GF="D=1,EF=①

33

222

2+l~(V7)1

/.cosNEGF=

2X2X12,

：.ZEGF^\20°