運(yùn)籌學(xué)B-第1章線性規(guī)劃課件

運(yùn)籌學(xué)b-第1章線性規(guī)劃課件目錄CONTENTS線性規(guī)劃概述線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型圖形解法與幾何意義單純形法原理及步驟對(duì)偶理論與靈敏度分析運(yùn)輸問題與指派問題整數(shù)規(guī)劃與混合整數(shù)規(guī)劃01線性規(guī)劃概述0102線性規(guī)劃定義線性規(guī)劃問題可以表示為一系列線性不等式或等式約束下的線性目標(biāo)函數(shù)最大化或最小化問題。線性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法，旨在通過優(yōu)化線性目標(biāo)函數(shù)，在滿足一系列線性約束條件的情況下，找到最優(yōu)解。線性規(guī)劃的起源可以追溯到20世紀(jì)30年代，當(dāng)時(shí)經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖解決資源分配和生產(chǎn)計(jì)劃等問題。1947年，美國(guó)數(shù)學(xué)家丹齊格提出了單純形法，為線性規(guī)劃問題的求解提供了有效方法，推動(dòng)了線性規(guī)劃理論的發(fā)展和應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線性規(guī)劃在20世紀(jì)60年代后得到了廣泛應(yīng)用，成為運(yùn)籌學(xué)的重要分支。線性規(guī)劃發(fā)展歷程交通運(yùn)輸0102030405線性規(guī)劃可用于制定生產(chǎn)計(jì)劃，確定各種產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)量，以滿足市場(chǎng)需求并實(shí)現(xiàn)成本最小化。在資源有限的情況下，線性規(guī)劃可用于優(yōu)化資源分配，如人力資源、物資資源、資金等。線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如市場(chǎng)營(yíng)銷策略、投資決策、財(cái)務(wù)分析等。線性規(guī)劃可用于解決交通運(yùn)輸問題，如車輛路徑規(guī)劃、貨物配送優(yōu)化等。除了上述領(lǐng)域外，線性規(guī)劃還可應(yīng)用于環(huán)境科學(xué)、能源工程、生物醫(yī)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。線性規(guī)劃應(yīng)用領(lǐng)域資源分配生產(chǎn)計(jì)劃其他領(lǐng)域經(jīng)濟(jì)管理02線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是決策者希望達(dá)到的目標(biāo)，通常表示為決策變量的線性函數(shù)，形如Z=c1x1+c2x2+...+cnxn。目標(biāo)函數(shù)約束條件是限制決策變量取值的條件，通常表示為決策變量的線性不等式或等式，形如ax≤b或ax=b。約束條件目標(biāo)函數(shù)與約束條件決策變量是線性規(guī)劃中的未知數(shù)，表示決策者可以控制的因素，通常用x1,x2,...,xn表示。滿足所有約束條件的決策變量取值稱為可行解，所有可行解構(gòu)成的集合稱為可行域。決策變量與可行解可行解決策變量標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，可以通過引入松弛變量、剩余變量和人工變量等方法，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行求解。線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式是指目標(biāo)函數(shù)為最大化（或最小化）形式，約束條件為等式形式，且所有決策變量非負(fù)的線性規(guī)劃問題。03圖形解法與幾何意義在二維平面上，滿足所有約束條件的點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域?？尚杏蚰繕?biāo)函數(shù)最優(yōu)解需要優(yōu)化的函數(shù)，在二維平面上表示為一條直線。目標(biāo)函數(shù)在可行域上的最優(yōu)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。030201二維平面圖形解法圖形解法的步驟繪制約束條件對(duì)應(yīng)的直線或曲線，確定可行域。繪制目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，并平移至與可行域相切的位置。切點(diǎn)即為最優(yōu)解，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為最優(yōu)值。01020304二維平面圖形解法

高維空間圖形解法高維空間中的可行域滿足所有約束條件的點(diǎn)集構(gòu)成的高維空間區(qū)域。高維空間中的目標(biāo)函數(shù)需要優(yōu)化的函數(shù)，在高維空間中表示為一個(gè)超平面。高維空間中的最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)在可行域上的最優(yōu)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。圖形解法的步驟繪制目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的超平面，并平移至與可行域相切的位置。繪制約束條件對(duì)應(yīng)的高維空間圖形，確定可行域。切點(diǎn)即為最優(yōu)解，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為最優(yōu)值。高維空間圖形解法1234線性規(guī)劃問題的幾何意義最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到可行域是凸集對(duì)偶性幾何意義及性質(zhì)在幾何上，線性規(guī)劃問題可以看作是在高維空間中尋找一個(gè)點(diǎn)，使得該點(diǎn)到某個(gè)超平面的距離最大或最小。這個(gè)超平面由目標(biāo)函數(shù)確定，而約束條件則限定了尋找點(diǎn)的范圍。線性規(guī)劃問題的可行域是由一系列線性不等式圍成的區(qū)域，因此是一個(gè)凸集。這意味著如果兩個(gè)點(diǎn)在可行域內(nèi)，則它們之間的任何點(diǎn)也在可行域內(nèi)。由于可行域是凸集，目標(biāo)函數(shù)在可行域上的最優(yōu)值一定在可行域的某個(gè)頂點(diǎn)上達(dá)到。因此，在求解線性規(guī)劃問題時(shí)，只需要考慮可行域的頂點(diǎn)即可。每一個(gè)線性規(guī)劃問題都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的對(duì)偶問題。對(duì)偶問題的解與原問題的解密切相關(guān)，可以通過求解對(duì)偶問題來間接求解原問題。04單純形法原理及步驟可行解與基本解在標(biāo)準(zhǔn)形式下，滿足所有約束條件的解稱為可行解；基本解則是對(duì)應(yīng)基變量的取值。最優(yōu)性條件通過比較目標(biāo)函數(shù)值，確定最優(yōu)解的存在性和唯一性。線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式通過引入松弛變量和剩余變量，將一般形式的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。單純形法基本原理初始基可行解的確定迭代過程終止條件單純形法計(jì)算步驟通過構(gòu)造初始單純形表，找到一組基可行解作為起點(diǎn)。根據(jù)最優(yōu)性檢驗(yàn)和入基變量的選擇，進(jìn)行迭代計(jì)算，逐步改進(jìn)基可行解。當(dāng)?shù)^程中無法找到新的入基變量或已達(dá)到最優(yōu)解時(shí)，算法終止。優(yōu)點(diǎn)單純形法是一種成熟且高效的求解線性規(guī)劃問題的方法，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和廣泛的應(yīng)用范圍。缺點(diǎn)對(duì)于大規(guī)模問題，單純形法可能面臨計(jì)算量大、內(nèi)存占用高等挑戰(zhàn)；此外，對(duì)于某些特殊結(jié)構(gòu)的問題，單純形法可能不是最優(yōu)的求解方法。單純形法優(yōu)缺點(diǎn)分析05對(duì)偶理論與靈敏度分析對(duì)偶問題定義01對(duì)于原線性規(guī)劃問題，可以構(gòu)造一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的新問題，使得原問題的任一可行解對(duì)應(yīng)新問題的一個(gè)可行解，且兩者目標(biāo)函數(shù)值相等。這個(gè)新問題稱為原問題的對(duì)偶問題。弱對(duì)偶性02原問題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值不小于對(duì)偶問題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值。強(qiáng)對(duì)偶性03若原問題有最優(yōu)解，則對(duì)偶問題也有最優(yōu)解，且兩者目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。對(duì)偶問題定義及性質(zhì)通過構(gòu)造原問題的對(duì)偶單純形表，利用迭代方法求解對(duì)偶問題的最優(yōu)解。單純形法通過引入對(duì)數(shù)障礙函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束優(yōu)化問題，然后利用牛頓法等迭代方法求解。內(nèi)點(diǎn)法基于橢球體的幾何性質(zhì)，通過不斷縮小包含可行域的橢球體來逼近最優(yōu)解。橢球法對(duì)偶問題求解方法01020304靈敏度分析概念生產(chǎn)計(jì)劃調(diào)整資源分配優(yōu)化投資決策支持靈敏度分析概念及應(yīng)用研究線性規(guī)劃問題中參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響程度。通過靈敏度分析，可以了解哪些參數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解的改變以及變化范圍。當(dāng)生產(chǎn)成本、市場(chǎng)需求等參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，通過靈敏度分析可以及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃，保持最優(yōu)生產(chǎn)狀態(tài)。在投資決策中，通過靈敏度分析可以評(píng)估不同投資方案的風(fēng)險(xiǎn)和收益，為決策者提供科學(xué)依據(jù)。在資源有限的條件下，通過靈敏度分析可以合理分配資源，使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。06運(yùn)輸問題與指派問題運(yùn)輸問題模型建立根據(jù)實(shí)際問題背景，確定供應(yīng)地、需求地以及各自的供應(yīng)量與需求量，構(gòu)建運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型。求解方法采用表上作業(yè)法，通過尋找初始基可行解、最優(yōu)性檢驗(yàn)和調(diào)整運(yùn)輸方案等步驟，求得運(yùn)輸問題的最優(yōu)解。運(yùn)輸問題模型及求解方法根據(jù)實(shí)際問題背景，確定工作人數(shù)、任務(wù)數(shù)以及每個(gè)人完成各項(xiàng)任務(wù)所需的時(shí)間或成本，構(gòu)建指派問題的數(shù)學(xué)模型。指派問題模型建立采用匈牙利算法，通過變換系數(shù)矩陣、試指派和調(diào)整等步驟，求得指派問題的最優(yōu)解。求解方法指派問題模型及求解方法03某項(xiàng)工作一定由某人完成的指派問題將該工作只能由該人完成的限制條件加入到模型中，然后進(jìn)行求解。01人數(shù)和工作數(shù)不等的指派問題通過添加虛擬的工作或人，將問題轉(zhuǎn)化為人數(shù)和工作數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)指派問題進(jìn)行處理。02一個(gè)人可做多項(xiàng)工作的指派問題將該人的多項(xiàng)工作看作不同的工作，分別計(jì)算時(shí)間和成本，然后按照標(biāo)準(zhǔn)指派問題進(jìn)行求解。特殊類型指派問題處理技巧07整數(shù)規(guī)劃與混合整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃是要求決策變量取整數(shù)值的線性規(guī)劃問題。根據(jù)問題要求的不同，可分為純整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃和0-1整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃模型整數(shù)規(guī)劃的求解方法主要有分支定界法、割平面法和隱枚舉法等。其中，分支定界法是一種常用的求解方法，通過不斷將問題分解為子問題并求解，逐步縮小問題的范圍，最終找到最優(yōu)解。求解方法整數(shù)規(guī)劃模型及求解方法混合整數(shù)規(guī)劃模型及求解方法混合整數(shù)規(guī)劃模型混合整數(shù)規(guī)劃是指部分決策變量取整數(shù)值，部分決策變量取連續(xù)值的線性規(guī)劃問題。在實(shí)際問題中，混合整數(shù)規(guī)劃的應(yīng)用非常廣泛。求解方法混合整數(shù)規(guī)劃的求解方法類似于整數(shù)規(guī)劃，主要采用分支定界法、割平面法和隱枚舉法等。其中，分支定界法在處理混合整數(shù)規(guī)劃問題時(shí)同樣有效。分支定界法割平面法分支定界法和割平面法介紹分支定界法是一種求解整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃的常用方法。該方法通過不斷將問題分解為子問題并求解，逐步縮小問題的范圍，最終找到最優(yōu)解。在分支過程中，根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的分支策略，如二分法、最