數(shù)學(xué)北師大版必修3學(xué)案3-2-3互斥事件

2．3互斥事件知識(shí)點(diǎn)一互斥事件[填一填]1．互斥事件不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互斥事件(或稱(chēng)互不相容事件)．2．事件A與B的并(或和)一般地，由事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A、B都發(fā)生)所構(gòu)成的事件C稱(chēng)為事件A與B的并(或和)，記作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件組成的集合．3．互斥事件的概率加法公式(1)如果A、B是互斥事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事件A1，A2，…An中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[答一答]1．怎樣正確理解事件A與事件B的和？提示：并(和)事件具有三層意思：(1)事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；(3)事件A，B同時(shí)發(fā)生．即事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生．與集合的并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A類(lèi)似，事件A與事件B的并(和)事件等于事件B與事件A的并(和)事件，即A∪B＝B∪A.例如在擲骰子的試驗(yàn)中，事件C，D分別表示投擲骰子出現(xiàn)2點(diǎn)、3點(diǎn)，則C∪D＝{出現(xiàn)2點(diǎn)或3點(diǎn)}．知識(shí)點(diǎn)二對(duì)立事件[填一填]4．對(duì)立事件(1)定義：不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記作eq\x\to(A).(2)概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．[答一答]2．怎樣正確理解互斥事件與對(duì)立事件？提示：互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)要發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能兩個(gè)事件同時(shí)不發(fā)生．所以?xún)蓚€(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立；反之兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥．1．要注意互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系：互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生．(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生．(3)事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生．而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生．②事件B發(fā)生且事件A不發(fā)生．對(duì)立事件是互斥事件的特殊情形．2．關(guān)于概率的加法公式：(1)使用條件：A、B互斥．(2)推廣：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)在求某些復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解為一些概率較易求的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易．類(lèi)型一互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例1】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)”，事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)也不訂”．判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們是否是對(duì)立事件．(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.【思路探究】判斷兩個(gè)事件是否互斥，就是判斷它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中是否能同時(shí)發(fā)生；判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就是判斷它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中是否必有一個(gè)發(fā)生．【解】(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)”與事件E“一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E也是對(duì)立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào)，即有可能不訂甲報(bào)，也就是說(shuō)事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報(bào)”中有3種可能：“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事件C“至多訂一種報(bào)”中有3種可能：“一種報(bào)也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．即事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一種報(bào)也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件．規(guī)律方法互斥事件和對(duì)立事件的判斷方法(1)判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中能否同時(shí)發(fā)生，若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件，若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件．(2)判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看在一次試驗(yàn)中這兩個(gè)事件是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生．如果這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，只要有一個(gè)條件不成立，這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件．事實(shí)上，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明晰“恰”“至少”“至多”“都”等關(guān)鍵詞．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用圖形畫(huà)出下列每對(duì)事件所含結(jié)果構(gòu)成的集合之間的關(guān)系，并說(shuō)明二者之間是否構(gòu)成對(duì)立事件．(1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；(2)“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4解：(1)根據(jù)題意作出Venn圖(如圖(1))．從圖中可以看出：“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”各自所含結(jié)果所組成的集合互為補(bǔ)集，因此它們構(gòu)成對(duì)立事件．(2)根據(jù)題意作出Venn圖(如圖(2))．從圖中可以看出：“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4類(lèi)型二互斥事件的概率計(jì)算【例2】假設(shè)向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投擲一枚炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.025，炸中其余兩個(gè)的概率各為0.1，只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，求軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率．【思路探究】本題應(yīng)先判斷“軍火庫(kù)發(fā)生爆炸”所包含的結(jié)果是否可寫(xiě)成幾個(gè)互斥事件所包含結(jié)果的和的形式，如果可以，則分別計(jì)算出每個(gè)基本事件發(fā)生的概率，再利用概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算．【解】設(shè)A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個(gè)軍火庫(kù)這三個(gè)事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.又設(shè)D表示軍火庫(kù)發(fā)生爆炸這個(gè)事件，則有D＝A＋B＋C，其中A、B、C彼此互斥．所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225，則軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率為0.225.規(guī)律方法利用互斥事件的加法公式解題體現(xiàn)了化整為零、化難為易的思想．但要注意用此公式時(shí)，首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果．解：解答時(shí)抓住運(yùn)算定義．在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，也不對(duì)立；事件B與D不是互斥事件，也不是對(duì)立事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或5)，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2或3或4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}．類(lèi)型三對(duì)立事件的概率計(jì)算【例3】一個(gè)箱子內(nèi)有9張票，其號(hào)數(shù)分別為1,2，…，9.從中任取2張，其號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率是多少？【思路探究】從9張票中任取2張，要弄清楚取法種數(shù)為eq\f(1,2)×9×8＝36，“號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)”的對(duì)立事件是“號(hào)數(shù)全是偶數(shù)”，用對(duì)立事件的性質(zhì)求解非常簡(jiǎn)單．【解】從9張票中任取2張，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共計(jì)36種取法．記“號(hào)數(shù)至少有一個(gè)為奇數(shù)”為事件B，“號(hào)數(shù)全是偶數(shù)”為事件C，則事件C為從號(hào)數(shù)為2,4,6,8的四張票中任取2張有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6種取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由對(duì)立事件的性質(zhì)得P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).規(guī)律方法(1)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先去求對(duì)立事件的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的問(wèn)題，可以用互斥事件以及分類(lèi)討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個(gè)時(shí)，一般用對(duì)立事件求解．將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是eq\f(5,6).解析：方法1：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30種，故所求概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).方法2：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6種，故所求概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).類(lèi)型四互斥事件、對(duì)立事件的綜合應(yīng)用【例4】一個(gè)盒中裝有除顏色外完全相同的12個(gè)球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．【解】方法1：(1)從12個(gè)球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同的取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得到紅球或黑球的概率為eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個(gè)球中任取1球，得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：(利用互斥事件求概率)記事件A1＝“任取1球?yàn)榧t球”；A2＝“任取1球?yàn)楹谇颉保籄3＝“任取1球?yàn)榘浊颉?；A4＝“任取1球?yàn)榫G球”，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：(利用對(duì)立事件求概率)(1)由方法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).規(guī)律方法解決此類(lèi)問(wèn)題要注意分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，在決定用哪個(gè)公式前，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出相關(guān)事件是不是互斥事件或?qū)α⑹录?，不要由于亂套公式而出錯(cuò)．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩猓?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲獲勝的概率是eq\f(1,6).(2)法1：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法2：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).——易錯(cuò)警示——不能區(qū)分事件是否互斥而致錯(cuò)【例5】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的數(shù)不超過(guò)3”，求P(A∪B)．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】事件A與事件B不是互斥事件，不能應(yīng)用概率的加法公式．【防范措施】1.明確概率的加法公式使用的條件．2．掌握互斥事件的特點(diǎn)，分清事件是否為互斥事件．【正解】記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)3點(diǎn)”，“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4.這四個(gè)事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).某城市2018年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50<T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100<T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染．該城市2018年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為(A)A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,9)解析：所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5)，故選A.一、選擇題1．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(C)A．對(duì)立事件 B．不可能事件C．互斥但不對(duì)立事件 D．以上答案都不對(duì)解析：由互斥事件的定義可知：甲、乙不能同時(shí)得到紅牌，由對(duì)立事件的定義可知：甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事件可能不發(fā)生．2．一人打靶連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是(C)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶解析：連續(xù)射擊兩次包含的基本事件有“兩次都不中靶”、“一次中靶”、“兩次中靶”，而“至少有一次中靶”包含“一次中靶”與“兩次中靶”，故其對(duì)立事件為“兩次都不中靶”．3．2015年5月12日尼泊爾發(fā)生里氏7.5級(jí)地震，此后，連續(xù)下了幾天的雨，下表是氣象人員記錄的一組觀察值及其概率的情況：日降雨量(單位：mm)[0,50)[50,100)[100,150)概率0.140.300.32則日降雨量在[50,150)內(nèi)的概率及日降雨量不低于150mm的概率分別為(B)A．0.24,0.62 B．0.62,0.24C．0.24,0.72 D．0.14,0.62解析：記“日降雨量在[0,50)內(nèi)”為事件A，“日降雨量在[50,100)內(nèi)”為事件B，“日降雨量在[100,150)內(nèi)”為事件C，事件A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.14，P(B)＝0.30，P(C)＝0.32，則日降雨量在[50,1