蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題32反比例函數(shù)中的將軍飲馬(原卷版+解析)

專題32反比例函數(shù)中的將軍飲馬1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．（3，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）2．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)．點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線距離的倍，軸交直線于點(diǎn)M，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中、反比例函數(shù)的圖象與邊長(zhǎng)是8的正方形的兩邊分別相交于M，N兩點(diǎn)，三角形的面積為，若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是___________．4．（2022春·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)P在y軸上，求的最小值．5．（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，斜邊，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，交x軸于點(diǎn)D，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．6．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；(3)若點(diǎn)在軸上，求的最小值．7．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式，并確定這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)畫(huà)出草圖，并據(jù)此直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在的直線上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)C在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過(guò)邊上一點(diǎn)E，與邊交于點(diǎn)D，，，(1)求k的值；(2)直線過(guò)點(diǎn)D及線段的中點(diǎn)F，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出這個(gè)最小值．9．（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若將菱形邊OD沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)D落在函數(shù)的圖象上時(shí)，求線段OD掃過(guò)圖形的面積．(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P使PA+PB有最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo).10．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCO中，，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，直線DE的解析式為．(1)求反比例函數(shù)和直線DE的解析式．(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，的周長(zhǎng)最小值是_________．12．（2022·河南平頂山·平頂山市第十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值．13．（2022春·四川瀘州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，直線DE的解析式為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在y軸上找一點(diǎn)P，使△PDE的周長(zhǎng)最小，求出最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，的面積為4．(1)分別求出和的值；(2)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出的解集；(3)在軸上取一點(diǎn)P，當(dāng)取得最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M，面積為1．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸上求一點(diǎn)P，使的值最大，并求出其最大值和P點(diǎn)坐標(biāo)．16．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，反比例函數(shù)（，）的圖象與直線交于和，該函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱后的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求和的解析式及m值；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出時(shí)x的取值范圍；(3)點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取得最大值時(shí)M的坐標(biāo)．17．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)（≠0）的圖象與反比例函數(shù)（≠0）的圖象交于第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)A（，4）和點(diǎn)B（8，）．過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，△AOC的面積為4．（1）分別求出和的值；（2）結(jié)合圖象直接寫(xiě)出的解集；（3）在軸上取點(diǎn)P，使|PA﹣PB|取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）在軸上是找一點(diǎn)，使值最大，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．專題32反比例函數(shù)中的將軍飲馬1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A．（3，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）【答案】A【詳解】思路引領(lǐng)：求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．答案詳解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y得：y1＝2，y2＝1，∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得：，解得：k＝﹣1，b＝3，∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，即P（3，0）．故選：A．2．（2022秋·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)．點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線距離的倍，軸交直線于點(diǎn)M，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，得出等于點(diǎn)P到直線距離的倍，得出，得出的最小值即為的最小值，即當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求出最值即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵軸交直線于點(diǎn)M，∴，∴等于點(diǎn)P到直線距離的倍，∵點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線距離的倍，∴，∴的最小值即為的最小值，當(dāng)F、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∴其最小值為，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是求出，得出的最小值即為的最小值，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中、反比例函數(shù)的圖象與邊長(zhǎng)是8的正方形的兩邊分別相交于M，N兩點(diǎn)，三角形的面積為，若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是___________．【答案】【分析】由正方形的邊長(zhǎng)是8，得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為8，求得，根據(jù)三角形的面積列方程得到，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于P，則的長(zhǎng)等于的最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)是8，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為8，∵，的面積為，∴，∴（負(fù)值舍去）∴，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于P，則的長(zhǎng)等于的最小值，∵，，∴，∴，根據(jù)勾股定理求得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，勾股定理，正確求出M、N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)P在y軸上，求的最小值．【答案】(1)(2)PA+PB的最小值為【分析】（1）依據(jù)反比例函數(shù)的圖像交于A（1，m）、（n，1）兩點(diǎn)，即可得到A（1，3）、B（3，1），代入一次函數(shù)，可得直線AB的解析式；（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交y軸與點(diǎn)P，則PA+PB的最小值等于BC的長(zhǎng)，利用勾股定理即可得到BC的長(zhǎng)．（1）解：把，代入，得，，∴，，代入，可得，∴，∴；（2）解：作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則，連接交y軸于點(diǎn)P，則的最小值等于的長(zhǎng)，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱求最短距離，以及勾股定理等知識(shí)，得出不等式的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，斜邊，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，交x軸于點(diǎn)D，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由平行線分線段成比例可得，然后根據(jù)勾股定理求出，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求解；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接交直線于點(diǎn)P，連接，可得垂直平分，從而得到，再由“兩點(diǎn)間線段最短”可得的最小值為線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∴A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴O為的中點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．（2）解：如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接交直線于點(diǎn)P，連接，∵，，∴垂直平分，∴，∴，由“兩點(diǎn)間線段最短”可得的最小值為線段的長(zhǎng)，由（1）得A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∵C為線段的中點(diǎn)，∴，，即，，解得，，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，平行線分線段成比例，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；(3)若點(diǎn)在軸上，求的最小值．【答案】(1)，（）(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，求得，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入一次函數(shù)即可求解；（2）根據(jù)圖象確定一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的范圍，即可求解；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，的最小值等于的長(zhǎng)，求解即可．【詳解】（1）∵反比例函數(shù)（）過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)解析式為（），將代入得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)，分別代入一次函數(shù)，可得解得∴一次函數(shù)的解析式為；（2）由圖象可得：當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接，的最小值等于的長(zhǎng)，∵，∴∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，涉及了線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．7．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式，并確定這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)畫(huà)出草圖，并據(jù)此直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在的直線上是否存在一點(diǎn)P，使的值最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)(2)圖見(jiàn)解析，或(3)存在，【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)代入，∴，解得：，∴點(diǎn)，∵把點(diǎn)代入，∴，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式，∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且兩圖象的一個(gè)交點(diǎn)．∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）解：畫(huà)圖如下：觀察圖象得：當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)的下方，∴使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍為或；（3）解：存在作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)P，連接，在直線上任取一點(diǎn)D，連接，則，∵，∵，∴，當(dāng)B、C、P共線時(shí)，的值最大，設(shè)直線的解析式為，把和分別代入中得：，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)C在x軸上，反比例函數(shù)的圖象過(guò)邊上一點(diǎn)E，與邊交于點(diǎn)D，，，(1)求k的值；(2)直線過(guò)點(diǎn)D及線段的中點(diǎn)F，點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫(xiě)出這個(gè)最小值．【答案】(1)48(2)【分析】（1）由四邊形是正方形，得到，，在中，由勾股定理求出，則，得到，由待定系數(shù)法求得答案；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再求出直線的解析式和直線的解析式，得到，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)G，證明，則，連接交于點(diǎn)P，則,且P、C、G三點(diǎn)共線，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)取得最小值，最小值是的長(zhǎng)度，即點(diǎn)P滿足要求，求出即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，，在中，，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，將代入得，∴；（2）解：由（1）得到反比例函數(shù)解析式為，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為，代入得到，，解得，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)G，∵線段的中點(diǎn)F，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴點(diǎn)D與點(diǎn)G關(guān)于直線軸對(duì)稱，連接交于點(diǎn)P，連接，則,且P、C、G三點(diǎn)共線，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)取得最小值，最小值是的長(zhǎng)度，即點(diǎn)P滿足要求，∵，∴點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)，此時(shí),即的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若將菱形邊OD沿x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)D落在函數(shù)的圖象上時(shí)，求線段OD掃過(guò)圖形的面積．(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P使PA+PB有最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo).【答案】(1)反比例函數(shù)y=(x>0)；(2)線段OD掃過(guò)的面積為；(3)P點(diǎn)作標(biāo)（，0）【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x軸于點(diǎn)F，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出表達(dá)式即可．（2）將OD向右平移，使點(diǎn)D落在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上，求出D′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，表示出DF、OO′再求出線段OD掃過(guò)圖形的面積．（3）作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB有最小值，求出直線的關(guān)系式，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）作DF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)，∴FO=4，DF=3，∴DO=5，∴AD=5，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：(4，8)，∴xy=4×8=32，∴k=32；反比例函數(shù)y=(x>0)（2）∵將OD向右平移，使點(diǎn)D落在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上，∴DF=3，=3，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，∴3=，x=，∴=，∴=?4=，∴平行四邊形平移的面積S=×3=；（3）作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB有最小值，∵OB＝OD＝5∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，5)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，-5)，設(shè)直線的關(guān)系式把A(4，8)，(0，-5)代入解析式得∶解得：當(dāng)y=0時(shí)，，∴PA+PB有最小值，P點(diǎn)作標(biāo)（，0）【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的面積、待定系數(shù)法求一次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是利用菱形性質(zhì)找出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求出一次函數(shù)．10．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小？若存在，求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函數(shù)解析式是；（2）存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，理由：解和得，和，，和，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，所以存在點(diǎn)P使△ABP周長(zhǎng)最小，△ABP的周長(zhǎng)=，，，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱求出點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCO中，，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，直線DE的解析式為．(1)求反比例函數(shù)和直線DE的解析式．(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，的周長(zhǎng)最小值是_________．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）由已知可得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得到E點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可以確定直線DE的解析式；（2）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，連接PD．此時(shí)的周長(zhǎng)最?。勺鲌D寫(xiě)出的坐標(biāo)，求出的解析式，然后令y=0，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由（2）及勾股定理即可得到的周長(zhǎng)最小值．【詳解】（1）解：點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，，∴，四邊形ABCO是矩形，，D點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在的圖象上，，∴反比例函數(shù)的解析式為，∵E在反比例函數(shù)圖象上，∴當(dāng)時(shí)，，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，，解得：，直線DE的解析式為；（2）解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)P，連接PD．此時(shí)的周長(zhǎng)最小，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，解得∴直線的解析式為，∵當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：由（2）可得：的周長(zhǎng)最小值．因此，的周長(zhǎng)最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、利用軸對(duì)稱求最短路徑的方法及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．12．（2022·河南平頂山·平頂山市第十六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值．【答案】(1)y=；(2)【分析】（1）先確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求出k得到反比例函數(shù)解析式；（2）先畫(huà)出圖形，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．（1）∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，2），∴OA=2，AD=2，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，1），把點(diǎn)M（2，1）代入，得k=2×1=2，∴反比例函數(shù)解析式為y=；（2）∵正方形ABCD，點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，2），∴AB=BC=2，∵點(diǎn)N在上，OA=2，∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2+2=4，代入，得y=，∴N(4，)，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M＇（2，-1），連接M＇N，則點(diǎn)P在M＇N與x軸的交點(diǎn)處時(shí)，PM＋PN的值最小，如圖，理由如下；∵點(diǎn)M與點(diǎn)M＇（2，-1）關(guān)于x軸的對(duì)稱，∴PM＝PM＇，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：當(dāng)點(diǎn)P在M＇N與x軸的交點(diǎn)處時(shí)，PM＇＋PN的值最小，從而PM＋PN的值最小，此時(shí)，M＇N＝，∴PM＋PN的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形．13．（2022春·四川瀘州·九年級(jí)校考期末）如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，直線DE的解析式為．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在y軸上找一點(diǎn)P，使△PDE的周長(zhǎng)最小，求出最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和矩形的性質(zhì)得到D（1，4），利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；（2）作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，求得直線D′E的解析式為y=-x+，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，AB=2，∴AD=1，∵四邊形OABC是矩形，BC=4，∴D（1，4），∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴k=4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=（x＞0）；（2）解：∵反比例函數(shù)的解析式為y=（x＞0），當(dāng)x=2時(shí)，y=2，∴E（2，2），把D（1，4）和E（2，2）代入y=mx+n（m≠0）得，，∴，∴直線DE的解析式為y=-2x+6；作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′E交y軸于P，連接PD，此時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-1，4），設(shè)直線D′E的解析式為y=ax+b，∴，解得：，∴直線D′E的解析式為y=-x+，令x=0，得y=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）；∵D（1，4），E（2，2），∴BE=2，BD=1，∴DE=，由（2）知，D′的坐標(biāo)為（-1，4），∴BD′=3，∴D′E=，∴△PDE的周長(zhǎng)最小值=DE+D′E=，故答案為：+．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，的面積為4．(1)分別求出和的值；(2)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出的解集；(3)在軸上取一點(diǎn)P，當(dāng)取得最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）利用的幾何意義，求出反比例函數(shù)解析式，再求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖象，找到雙曲線在直線上方時(shí)，的取值范圍即可；（3）作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸與點(diǎn)，求出直線的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：由得，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴，∴反比例函數(shù)：，將，代入，解得，；（2）由（1）知，，結(jié)合圖象可知的解集為或；（3）解：作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸與點(diǎn)，連接，則當(dāng)且僅當(dāng)，，，三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào)，有最大值.設(shè)，代入，，有，解得，∴，取，得，∴；故當(dāng)取得最大值時(shí)：．．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為M，面積為1．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸上求一點(diǎn)P，使的值最大，并求出其最大值和P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)最大值為，【分析】（1）由面積為1，可直接得到答案；（2）記一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的值最大，最大值為的長(zhǎng)．聯(lián)立：，再解方程組求解A，B的坐標(biāo)，從而可得最大值，再令，則，解得，從而可得P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，面積為1，∴，∵，∴，故反比例函數(shù)的解析式為：；（2）解：記一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的值最大，最大值為的長(zhǎng)．聯(lián)立：整理得：解得：所以方程組的解為：，∴，∴的最大值為，∵一次函數(shù)，令，則，解得，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，兩條線段的絕對(duì)值之差的最大值的理解，掌握“反比例函數(shù)的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．16．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，反比例函數(shù)（，）的圖象與直線交于和，該函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱后的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求和的解析式及m值；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出時(shí)x的取值范圍；(3)點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取得最大值時(shí)M的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)或(3)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)可求出，即可得點(diǎn)B坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)題意，可知要求使得反比例函數(shù)在直線的上方，所對(duì)應(yīng)的x的范圍(3)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)A、F、M共線時(shí)，可得最大，故點(diǎn)M為直線AF與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴，得，

∴；把點(diǎn)代入中得，

∴，點(diǎn)B為，∵過(guò)點(diǎn)A，B，∴把和代入得

，

解得，∴易知關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)在圖象上，∴

∴；（2）由圖象得或；（3）由（1）得，，，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，射線AF交