三角形的角平分線和中線2浙教版

三角形的角平分線和中線2浙教版REPORTING目錄三角形基本概念與性質(zhì)角平分線性質(zhì)與應(yīng)用中線性質(zhì)與應(yīng)用角平分線與中線綜合應(yīng)用拓展延伸：塞瓦定理與梅涅勞斯定理簡(jiǎn)介總結(jié)回顧與課堂練習(xí)PART01三角形基本概念與性質(zhì)REPORTINGWENKUDESIGN由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。三角形定義根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)和角度特征，三角形可分為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形等。三角形分類三角形定義及分類三角形內(nèi)角和定理三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。推論直角三角形的兩個(gè)銳角互余；一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；一個(gè)三角形的外角等于它的兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角的和。三角形內(nèi)角和定理三角形的一邊與另一邊延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角。三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三角形外角性質(zhì)三角形外角性質(zhì)三角形外角定義PART02角平分線性質(zhì)與應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN01性質(zhì)角平分線將相對(duì)邊分為兩段，這兩段線段與角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。角平分線是角的對(duì)稱軸，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。定義：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫做三角形的角平分線。020304角平分線定義及性質(zhì)面積關(guān)系三角形的面積與角平分線長(zhǎng)度之間存在一定的關(guān)系。具體來說，三角形面積等于兩鄰邊長(zhǎng)度與其夾角正弦值的乘積的一半，而角平分線長(zhǎng)度則影響這一乘積。應(yīng)用在解決三角形面積問題時(shí)，可以利用角平分線的性質(zhì)，通過已知邊長(zhǎng)和角度信息來計(jì)算面積。角平分線與三角形面積關(guān)系利用角平分線的性質(zhì)，可以證明與角平分線相關(guān)的兩條線段相等。證明線段相等證明角相等證明比例關(guān)系通過角平分線的定義和性質(zhì)，可以證明與角平分線相關(guān)的兩個(gè)角相等。利用角平分線將相對(duì)邊分為兩段，可以證明這兩段線段與角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。030201角平分線在幾何證明中應(yīng)用PART03中線性質(zhì)與應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN中線定義及性質(zhì)連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部。三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心。三角形中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形。中線定義中線性質(zhì)1中線性質(zhì)2中線性質(zhì)3

中線與三角形面積關(guān)系中線與面積關(guān)系定理三角形一條中線與其所對(duì)邊構(gòu)成的三角形面積等于原三角形面積的1/4。推論1若三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE=1/4S△ABC。推論2若三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且BF=FC，則S△DEF=1/8S△ABC。證明兩條線段相等。通過證明兩條線段分別是兩個(gè)三角形的中線，從而利用中線性質(zhì)證明兩條線段相等。應(yīng)用1證明兩個(gè)角相等。通過證明兩個(gè)角分別是兩個(gè)三角形的中線所對(duì)的內(nèi)角，從而利用中線性質(zhì)證明兩個(gè)角相等。應(yīng)用2證明兩條直線平行。通過證明兩條直線分別是兩個(gè)三角形的中線所在的直線，從而利用中線性質(zhì)證明兩條直線平行。應(yīng)用3中線在幾何證明中應(yīng)用PART04角平分線與中線綜合應(yīng)用REPORTINGWENKUDESIGN角平分線性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。中線性質(zhì)三角形的中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心，重心分中線為2:1（頂點(diǎn)到重心:重心到對(duì)邊中點(diǎn)）。交點(diǎn)性質(zhì)三角形角平分線與中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。角平分線與中線交點(diǎn)性質(zhì)03利用交點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行角度和距離計(jì)算通過三角形內(nèi)心和重心的性質(zhì)，可以計(jì)算出三角形內(nèi)角平分線和中線的夾角，以及內(nèi)心到三角形三邊的距離等。01利用角平分線性質(zhì)構(gòu)造全等三角形通過角的平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形，從而解決問題。02利用中線性質(zhì)進(jìn)行邊長(zhǎng)計(jì)算通過中線的性質(zhì)，可以將三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化和計(jì)算。利用角平分線和中線解決問題策略過點(diǎn)C作CF//AD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由于AD是角BAC的平分線，所以角BAD=角CAD，因?yàn)镃F//AD，所以角F=角BAD=角CAD，從而得出AC=AF。又因?yàn)锳E是BC邊上的中線，所以BE=CE，從而得出AB=AF+BF=AC+BF，因此AB/AC=(AC+BF)/AC=1+BF/AC。又因?yàn)锽D/CD=AB/AC，所以BD/CD=1+BF/AC。在三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，AE是BC邊上的中線，且AB=5cm，AC=3cm，求DE的長(zhǎng)。由于AD是角BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DF。又因?yàn)锳E是BC邊上的中線，所以BE=CE。在三角形ABD和三角形ACD中，由于AB=5cm，AC=3cm且AD為公共邊，所以三角形ABD和三角形ACD的面積之比為5:3。從而可以得出DE/DF=5/3。設(shè)DE=5xcm，則DF=3xcm。因?yàn)镈E=DF所以5x=3x解得x=0從而得出DE=0cm與題目矛盾所以此題無解。解析例題2解析典型例題解析PART05拓展延伸：塞瓦定理與梅涅勞斯定理簡(jiǎn)介REPORTINGWENKUDESIGN對(duì)于三角形ABC，若點(diǎn)P、Q、R分別在邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上，且滿足BP/PC*CQ/QA*AR/RB=1，則AP、BQ、CR三線共點(diǎn)或互相平行。塞瓦定理內(nèi)容證明過程可以通過面積法、向量法或解析法等多種方法完成。其中，面積法是通過比較不同三角形面積的比例關(guān)系來證明；向量法則是通過向量的線性組合和共線條件來證明；解析法則是通過建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算來證明。證明塞瓦定理內(nèi)容及其證明對(duì)于三角形ABC和一條不經(jīng)過三角形頂點(diǎn)的直線l，若l分別與邊BC、CA、AB交于點(diǎn)D、E、F，則有(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。梅涅勞斯定理內(nèi)容證明過程可以通過相似三角形性質(zhì)或面積法完成。相似三角形性質(zhì)是通過證明三角形之間的相似性，并利用相似比得到結(jié)論；面積法則是通過比較不同三角形面積的比例關(guān)系來證明。證明梅涅勞斯定理內(nèi)容及其證明意義：塞瓦定理和梅涅勞斯定理都是三角形中的基本定理，揭示了三角形中線段之間的比例關(guān)系。它們?cè)诮鉀Q三角形中的線段比例問題、證明線段共點(diǎn)或平行等問題時(shí)具有重要作用。應(yīng)用舉例在三角形中，已知三條中線長(zhǎng)度，可以利用塞瓦定理證明三條中線交于一點(diǎn)（重心）。在三角形中，已知三條高線長(zhǎng)度，可以利用梅涅勞斯定理證明三條高線交于一點(diǎn)（垂心）。在解決三角形中的線段比例問題時(shí)，可以利用這兩個(gè)定理進(jìn)行求解或證明。例如，已知三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AD/DB=AE/EC=2，DE與BC交于點(diǎn)F，求BF/FC的值。此時(shí)可以利用梅涅勞斯定理進(jìn)行求解。0102030405兩個(gè)定理在幾何中意義和應(yīng)用舉例PART06總結(jié)回顧與課堂練習(xí)REPORTINGWENKUDESIGN010405060302角平分線的定義和性質(zhì)定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。中線的定義和性質(zhì)定義：連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心，且重心分每條中線的比為2:1。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G。求證：AD垂直平分EF。1.題目根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=DF，再利用HL全等條件證明△AED≌△AFD，從而得到AE=AF，進(jìn)而證明AD垂直平分EF。分析在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EF=DE。求證：AB=CF。2.題目根據(jù)中線的性質(zhì)，DE是△ABC