新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類(lèi)與強(qiáng)化測(cè)試（新高考專(zhuān)用） 基本立體圖形表面積及體積

專(zhuān)題41基本立體圖形、表面積及體積

知考綱要求

識(shí)

考點(diǎn)預(yù)測(cè)

梳

理常用結(jié)論

方法技巧

題題型一：基本立體圖形

型題型二：表面積與體積

歸題型三：與球有關(guān)的切'接問(wèn)題

類(lèi)

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測(cè)

試填空題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀(guān)察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能

運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體）的直觀(guān)

圖.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)

D'AD'

您

圖形

4B

4BAB

互相平行互相平行

底面多邊形

且全笠且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交

但不一定相等于一一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球

通怎

圖形

mA1

互相平行且相等，

母線(xiàn)相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)

垂直于底面

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓

側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀(guān)圖

(1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法.

(2)規(guī)則:

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀(guān)圖中，/軸、，軸的夾角為45?；?35。，z'軸與一軸和/

軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀(guān)圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸,平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中保持

原長(zhǎng)度丕變，平行于1軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度在直觀(guān)圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

，八

八P

側(cè)面展開(kāi)圖

s圓臺(tái)側(cè)=十工2)/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2?！眘圓惟惻=匹旦

4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

名稱(chēng)

幾色冰、表面積體積

柱體S&=S側(cè)+25底V=Sh

錐體S表=$惻+S底V=-Sh

3

夕=如上+5下+65m

臺(tái)體S表=SM+S上+SF

P=j4tR3

球S及

3

【常用結(jié)論】

1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為°,球的半徑為七

(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=Sa；

(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

(3)若球與正方體的各棱相切，則2H=/a.

2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2&=@2+62+,2.

3.正四面體的外接球的半徑及=*a,內(nèi)切球的半徑其半徑R：尸=3：l(a為該正四面

412

體的棱長(zhǎng)).

4.直觀(guān)圖與原平面圖形面積間關(guān)系S或觀(guān)圖=當(dāng)5原圖形

【方法技巧】

1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧

(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

2.在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線(xiàn)段.“平行于x軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平

行于y軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度減半

3.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀(guān)圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：

S支理蹌=[S展國(guó)壽.

4.幾何體的表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀(guān)察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)圖

的關(guān)系，一定先觀(guān)察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.

5.空間幾何體表面積的求法

(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線(xiàn)長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)

側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

6.求空間幾何體的體積的常用方法

(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解：

(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何

體；

(3)等體積法：通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.

7.求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,

截面圓。的半徑為r,A/為截面圓上任意一點(diǎn)，球心。到截面圓O的距離

為d,則在RtZxOO'M中，01^=00'-+O'M1,即膽=/十戶(hù).

8.求解球的內(nèi)接正方體、長(zhǎng)方體等問(wèn)題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的

體對(duì)角線(xiàn).

9.“切”的問(wèn)題處理規(guī)律

（1）找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.

（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

二、【題型歸類(lèi)】

【題型一】基本立體圖形

【典例1】（多選）下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

C.長(zhǎng)方體是直平行六面體

D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

【解析】A中，當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；

B中，當(dāng)平面與圓柱的母線(xiàn)平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一

部分，B不正確；

C正確；

D正確，如圖，正方體/BCD-4&GA中的三棱錐C1一48C,四個(gè)面都是直角三角形.

故選CD.

【典例2】一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀(guān)圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為“的正方形，則原平面四邊形

的面積等于（）

A亭2缶2c爭(zhēng)D.聿2

【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖的規(guī)則可知，在X軸上（或與X軸平行）的線(xiàn)段，

其長(zhǎng)度保持不變；在歹軸上（或與y軸平行）的線(xiàn)段，其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，且NfOT=45。（或

135°）,所以若設(shè)原平面圖形的面積為S,則其直觀(guān)圖的面積為可以提出一個(gè)

平面圖形的面積S與它的直觀(guān)圖的面積S，之間的關(guān)系是s，=烏，本題中直觀(guān)圖的面積為解，

4

故選B.

【典例3］如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線(xiàn)長(zhǎng)為4m,一只小蟲(chóng)從

圓錐的底面圓上的點(diǎn)尸出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處.若該小蟲(chóng)爬行

的最短路程為4gm,則圓錐底面圓的半徑等于m.

【解析】圓錐頂點(diǎn)記為O,把圓錐側(cè)面沿母線(xiàn)0P展開(kāi)成如圖所示的扇形,

由題意OP=4,PP=4?

42+42—（43）21

則cos/POP'

2X4X42,

又/POP為APOP'一內(nèi)角,

所以

3

設(shè)底面圓的半徑為r,則2口=竽X4,

所以r=^.

【題型二】表面積與體積

【典例1】如圖，四面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另

一個(gè)頂點(diǎn)是上底面的圓心，則圓柱的表面積是（）

A（也+2）?？冢?/+8）兀

312

C2（A/2+1）%口（/+2加

-3-2

【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作PC平面/3C,E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形N8C的中心，連接ZE并延

長(zhǎng)，交8c于點(diǎn)D

AE=-AD,AD=^3,

32

:.AE=Z義也=迫,

323

PE=\1PA2-AE2=^.

設(shè)圓柱底面半徑為r,則/?=/!￡=*,

，圓柱的側(cè)面積S=2m~PE=27tx立X?=處5,

333

底面積52=兀/義2=兀*[3]乂2="

3

二圓柱的表面積S=5I+S2=0醫(yī)+”

33

=2（^2+]>

31

故選C.

【典例2】如圖所示，在四邊形Z8CD中，ZDAB=90°,N/L>C=135。，4B=5,CD=2電/0=2,則

四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為.

【解析】由題意可得，四邊形N8CD繞4）旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺(tái)上面挖去一個(gè)圓錐的組合體.如圖，

過(guò)C作CEJ_/。交/。的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,過(guò)C作的垂線(xiàn)，垂足為反

則ZEDC=180°-ZADC=45°,

EC=CDsin45°=2,EZ?=CDcos45°=2,

CF=AE=4,BF=AB-AF=3,5C=\/32+42=5.

故圓臺(tái)的上底面半徑r=2,

下底面半徑火=5,高〃=4,母線(xiàn)長(zhǎng)2=5.

圓錐底面半徑r=2,if；h—2,母線(xiàn)長(zhǎng)/i=23.

所以圓臺(tái)側(cè)面積

Si=7t（R+r）/2=7t（5+2）X5=35兀，

圓錐側(cè)面積

52=-X2jtrX/1=-X27tX2X2A/2=4^7t,

22

圓臺(tái)下底面面積53=兀咫=25兀

故該幾何體的表面積

S=S+S2+S3=35兀+4/兀+257r

=（60+4圾兀

【典例3】正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體積為（）

A.20+123B.28/

「56?28也

C.一D.---

33

【解析】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高6=啦2—（2也—/）2=/,

下底面面積Si=16,上底面面積S2=4,

所以該棱臺(tái)的體積/=，(Si+S2+Y^)=gx/x(16+4+病尸管2

【題型三】與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

【典例1】圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓

臺(tái)的體積為.

【解析】截面圖如圖所示，下底面半徑為5,圓周直徑為10.

則圓臺(tái)的下底面位于圓周的直徑上，OC=OB=5,O'C=4,ZOO1C=*，

2

則圓臺(tái)的高為3,H=?(SI+A/^E+S2)=25兀+16兀+207t=61兀.

【典例2】已知圓錐的底面半徑為1,母線(xiàn)長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

【解析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為廠(chǎng).作出圓錐的軸截面以8,如圖所示，則△必8

的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△刈8中，PA=PB=3,。為的中點(diǎn)，AB=2,E為切點(diǎn)、,則尸。=

2也△PEOS^PDB,

解得

2

故內(nèi)切球的體積為與月3=烏.

33

【典例3】已知正三棱錐S—45C的側(cè)棱長(zhǎng)為43,底面邊長(zhǎng)為6,則該正三棱錐外接球的表面積是.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)S作平面Z8C于點(diǎn)￡,記球心為O.

?.?在正三棱錐S—48c中，底面邊長(zhǎng)為6,

側(cè)棱長(zhǎng)為43，

:.BE=Z義亞乂6=2電,

32

：.SE=^SB2-BE2=6.

?.?球心。到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均等于該正三棱錐外接球的半徑七

：.OB=R,OE=6-R.

在中，OB2=BE2+OE2,即火2=12+(6一尺產(chǎn)，

解得R=4,

外接球的表面積為S=4nR2=647r.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】(多選)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,

開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱(chēng)為該沙漏的一個(gè)沙

時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為

圓錐高度的!（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)），假設(shè)該沙漏每秒鐘漏cn?的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)

蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結(jié)論正確的是（兀七）（）

A.沙漏中的細(xì)沙體積為上班co?

81

B.沙漏的體積是128兀cm?

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為cm

D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒

【解析】A項(xiàng)，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙

的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑，=泊=刎），

所以體積/甘兀嚀.等竽

=管（加）；

O1

B項(xiàng)，沙漏的體積-=2乂1X兀義02乂〃

3

253

=2X-X3iX4X8=^（cm）；

33

C項(xiàng)，設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為加，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知，

813

所以干犯=乎加，所以加心2.4（cm）；

813

D項(xiàng)，因?yàn)榧?xì)沙的體積為上班cm3,

81

沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，

10247t

所以一個(gè)沙時(shí)為81x50

0.0281

*1985（秒）.

故選ACD.

【訓(xùn)練二】若E，E是三棱柱/3。一4囪G側(cè)棱881和CG上的點(diǎn)，且3￡=CF,三棱柱的體

積為加，則四棱錐N—8EFC的體積為.

【解析】如圖所示，連接/Bi,ACi.

因?yàn)樗蕴菪?EFC的面積等于梯形尸G的面積.

又四棱錐4一8￡尸。的高與四棱錐的高相等,

=

所以VA-BEFCVA-B{EFC[=3匕—附]C[C.

VABC-A[81q=S△力[81q，44\=m9

所以乙一44q=:,

rZ_2加

所以VA町qc=VABC-A}B}C}

12mm

所以VA-BEFC=-X-

233'

即四棱錐/-BEFC的體積是場(chǎng).

3

【訓(xùn)練三】在半徑為15的球O內(nèi)有一個(gè)底面邊長(zhǎng)為123的內(nèi)接正三棱錐Z—8C。，則此正

三棱錐的體積為.

【解析】①如圖所示，

顯然OA=OB=OC=OD=T5.

設(shè)”為△8C。的中心，

則4O,“三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.

\"HB=HC=HD=-X^X[2^=12,

32

=9,

...正三棱錐的高力=9+15=24.

又5AfiCD=-X(123)2=1083，

???匕一BCD=；X108^/3X24=864^.

②如圖所示，同理，可得正三棱錐Z—8C。的高"=15—9=6,S?a>=108S，

...%.BS=；X108A/3X6=216^.

綜上，正三棱錐〃一8C。的體積為8643或216g.

【訓(xùn)練四】我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖咂提出了一條原理：“鼎勢(shì)既同，則A

積不容異”.意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾

何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖，將底面直徑都為助，高皆

為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面夕上，用平行于平面用且與平面例壬

意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，可橫截得到S網(wǎng)及S環(huán)兩截面.可以證明S網(wǎng)=S0總成立.據(jù)

此，短半軸長(zhǎng)為1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3的橢球體的體積是.

【解析】因?yàn)镾g|=S環(huán)總成立，所以半橢球體的體積為n〃a—,nb2a=2nb2a,

33

4

所以橢球體的體積V=~nb2a.

3

因?yàn)闄E球體的短半軸長(zhǎng)為1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3.

44

所以橢球體的體積V=-nb2a=~TiX12X3=4n.

33

【訓(xùn)練五】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻第(chdrA。)：倍

下長(zhǎng)，加上長(zhǎng)，以廣乘之，又以高乘，用六歸之.如屋脊：上斜下平.”劉徽注曰：止斬方亭

兩邊，合之即“芻薨”之形也.即將方臺(tái)的兩邊切下來(lái)合在一起就是“芻薨”，是一種五面體

(如圖)：矩形Z8CD，棱EF//AB，/8=4，EF=2，AADE和aBC尸都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角

形，則此幾何體的表面積為，體積為.

【解析】由題意知該五面體的表面積S=S紀(jì)般ABCD+2S△ADE+2s犀?ABFE=2義4+

2X；X2義亞-12+2x：X(2+4)義卷-12=8+83.過(guò)點(diǎn)/作R7_L平面Z8CO，垂足為O，

取BC的中點(diǎn)P，連接PF，過(guò)點(diǎn)尸作FQLAB，垂足為Q，連接00.因?yàn)椤癉E和△8CF都

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)P=^(AB-EF)=\>PF=^22-12=A/3，OQ=^BC=\，所

以O(shè)F=\[P產(chǎn)一OP2=y/i，采用分割的方法，分別過(guò)點(diǎn)F，E作與平面ABCD垂直的平面，這

兩個(gè)平面把幾何體分割成三部分，如圖，包含一個(gè)三棱柱EMN-FQH，兩個(gè)全等的四棱錐

E-AMND，F(xiàn)-QBCH>所以這個(gè)幾何體的體積V=VEMN.FQH+2VF.QB^S^QFH^MQ+2X

QBCHXF0=；X2X也X2+2X：X1X2X也

【訓(xùn)練六】在半徑為15的球。內(nèi)有一個(gè)底面邊長(zhǎng)為123的內(nèi)接正三棱錐Z—88,求此正三棱錐的體

積.

【解析】①如圖所示，顯然O/=O8=OC=OD=15.

設(shè)〃為△38的中心，

則4O,〃三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.

；HB=HC=HD=2X^■義12祖=12,

32

,OH=\jOB2~HB2=9,

...正三棱錐A-BCD的高71=9+15=24.

又S&BCD^—X(123)2=1084，

4

^A-BCD=-X1083X24=864業(yè)

3

②如圖所示，同理，可得正三棱錐力-8co的高/=15-9=6,

SABCD=108^,

：.VA88=1X1083X6=2163.

3

綜上，正三棱錐/一8。。的體積為8643或216氈.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.下列說(shuō)法中，正確的是()

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形

C.正方體的所有棱長(zhǎng)都相等

D.棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等

【解析】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A錯(cuò)誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，B錯(cuò)誤；棱柱的

側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)并不一定相等，D錯(cuò)誤；易知C正確.

故選C.

2.一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為4cm,一內(nèi)角為60。，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的這個(gè)菱形的直觀(guān)圖的面積為

()

\/3cm2cm2

,\；6cm2\;3cm2

【解析】直觀(guān)圖的面積為*x*X42=2#(cm2).

故選B.

3.現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為

()

A.3兀B.—C.-D.0

22

【解析】設(shè)底面圓的半徑為R,圓柱的高為九

依題意2/?=/z=2,：,R=\.

圓錐的母線(xiàn)/=4序+夫2=卷幣=芯,

因此S閩箱他=nR!=lX?n=#7t.

故選D.

4.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏

本兩周，上與木齊，問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向

上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)多少尺？"（注：1丈等于10尺），則這個(gè)問(wèn)題中，

葛藤長(zhǎng)的最小值為（）

A.2丈4尺B.2丈5尺

C.2丈6尺D.2丈8尺

【解析】如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，一條直角邊（即圓木的高）長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)

5X2=10（尺），因此葛藤長(zhǎng)的最小值為/衣前=26（尺），即為2丈6尺.

故選C.

5.在梯形中，ZABC=~,AD//BC,BC=2AD=2AB=2,則將梯形繞/。所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)

2

一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為（）

A.（5+的兀

B.（4+/）兀

C.（5+2物兀

D.（3+啦）兀

【解析】如圖所示，梯形力8。繞工。所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑

為AB=l,高為8c=2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為45=1,高為8c—4。=2—1=1的圓錐，

,該幾何體的表面積S=TIXl2+2nXlX2+nX1X\'''l2+12=（5+A^）7T.

故選A.

6.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱(chēng)為“六器”，是古人用于祭

祀神祇的一種禮器.《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖

為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對(duì)稱(chēng)，圓筒內(nèi)徑cm,外徑cm,筒高cm,方高cm,則其體積約

為（單位：cnP）（）

A.-B.-

C.-D.一

【解析】由題圖可知，組合體由圓柱、長(zhǎng)方體構(gòu)成，

組合體的體積為/=2X7t><2+4xX—TCX『x6=—3.12兀

故選D.

7.已知表面積為12兀的圓柱的上下底面的中心分別為。1,。2.若過(guò)直線(xiàn)。。2的平面截該圓柱所得的截面是

正方形，則。1。2=（）

A.B.2sC.SD.也

【解析】因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為，，則母線(xiàn)長(zhǎng)為2r,所以圓柱的表面積為2加2+2w?2r

=\2n,解得廠(chǎng)=/,所以O(shè)iQ=2r=2/，

故選B.

8.在長(zhǎng)方體力中，四邊形/8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，與。C所成的角是60。，則長(zhǎng)方

體的外接球的表面積是（）

A.16兀B.8兀

C.4兀D.4/兀

【解析】如圖，在長(zhǎng)方體中，因?yàn)镈C〃4B,所以相交直線(xiàn)與48所成的角是異面直

線(xiàn)DiB與DC所成的角.

連接/A，由力8_L平面小，得所以在RtZkZB。中，NABDi就是D山與DC所展的甬,

即NN8￡>i=60°,又AB=2,AB=BD\cos60°,

所以8A=-=4,設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為R,則由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)就是長(zhǎng)方體外

cos60°

接球的直徑得4尺2=。歸2=16,則R=2,

所以長(zhǎng)方體外接球的表面積是4?！?=[6兀.

故選A.

【多選題】

9.下列結(jié)論中正確的是（）

A.由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱

B.正棱臺(tái)的對(duì)角面一定是等腰梯形

C.圓柱側(cè)面上的直線(xiàn)段都是圓柱的母線(xiàn)

D.各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體

【解析】由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐>所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B，C，D說(shuō)法均正確.

故選BCD.

10.已知/，6，C三點(diǎn)均在球。的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距離

等于球半徑的3，則下列結(jié)論正確的是（）

A.球。的表面積為6“

B.球。的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1

C.球。的外切正方體的棱長(zhǎng)為g

D.球。的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2

【解析】設(shè)球。的半徑為r'AABC的外接圓圓心為。，，半徑為R易得R=".因?yàn)榍蛐?

3

11A1

到平面Z6C的距離等于球O半徑的工，所以戶(hù)一工戶(hù)，得戶(hù)=2.所以球。的表面積

3932

=4nX：=6TT，選項(xiàng)A正確：球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)a滿(mǎn)足Sa=2r，顯然選項(xiàng)B不正確；

球O的外切正方體的棱長(zhǎng)b滿(mǎn)足b=2r，顯然選項(xiàng)C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)c

滿(mǎn)足c=&Ar="kx諉=2，選項(xiàng)D正確.

332

故選AD.

11.將正三棱錐P-48C置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐"P-/BC。，如圖.下列關(guān)

于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中，正確的有（）

A.P。，平面N8C

B.若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上

C.若該“倒影三棱錐”存在外接球，則4B=?4

D.^AB=^PA，則尸。的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心

【解析】由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ_L平面/8C，A正確；當(dāng)在同一

球面上時(shí)，若△/BC的外接圓不是球的最大圓，則點(diǎn)Q不在該球面上，B錯(cuò)誤：若該“倒影

三棱錐”存在外接球，則三棱錐P-N8C的外接球的半徑與等邊三角形N8C外接圓的半徑相等，

設(shè)其為R，則AB=\{3R,PA=y^R'W']AB=^PA，C錯(cuò)誤；由C的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”

外接球的球心為A4BC的中心，即PQ的中點(diǎn)，D正確.

故選AD.

12.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，底面半徑為由，A，B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（4與B

不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓錐的體積為n

B.三角形刃8為等腰三角形

C.三角形以8面積的最大值為

D.直線(xiàn)口與圓錐底面所成角的大小為三

【解析】如圖所示，點(diǎn)0為點(diǎn)尸在圓錐底面上的射影，連接OA，OB.PO=

\j22~(\5)2=1，圓錐的體積2=；XTTX(3)2X1=TI，A正確；PA=PB=2，

B正確；易知直線(xiàn)PA與圓錐底面所成的角為ZR4O=—，D正確；取48中點(diǎn)C，連接PC，

6

nrt]

----'------1rr

設(shè)NR4C=e，則62J-S^PAB=lsin0-2cos8=2s加28，當(dāng)。=一時(shí)，△a8面積取

4

得最大值2，C錯(cuò)誤.

故選ABD.

【填空題】

13.一個(gè)六棱錐的體積為23，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為

【解析】設(shè)六棱錐的高為兒則/=；S/7,

所以重X4X6〃=23，解得〃=1.

34

設(shè)六棱錐的斜高為〃'，

則712+(3)2=/2,故萬(wàn)，=2.

所以該六棱錐的側(cè)面積為1x2X2X6=12.

2

14.已知△/8C是面積為迪的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球。的表面積為16兀，則。

4

到平面ABC的距離為.

【解析】如圖所示，過(guò)球心。作0?！蛊矫鎆8C,

則Oi為等邊三角形力8C的外心.

設(shè)△/8C的邊長(zhǎng)為a,

則重。2=也，解得。=3,

44

：.O\A=-X—X3=y5.

32

設(shè)球0的半徑為廣，則由4兀戶(hù)=16兀，得r=2,即04=2.

22

在RtaOOM中，OOi=\IOA-OtA=l,

即。到平面48c的距離為1.

15.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面